Подход к численному моделированию глобальных течений на сфере, свободный от проблемы полюсов

Задачи глобальной циркуляции атмосферы, глобальные течения океана и другие задачи требуют решения систем уравнений на полной сфере. Традиционный подход предусматривает запись уравнений сохранения в сферических координатах. При этом в районе полюсов неизбежно возникают две особые точки, в которых сферическая система координат вырождается. Вблизи от этих особых точек теряется точность расчета, а сходящиеся к полюсам линии сетки делают неприемлемо малым расчетный шаг по времени.
Для преодаления этих эффектов применяются различные подходы, среди которых - использование нескольких сеток, фильтрация решения вблизи полюсов, использование в каждой ячейке своей локальной системы координат (опять-таки сферической) и др. Все эти подходы требуют дополнительных усилий по сохранению консервативности. Между тем, существует естественный подход, кардинальным образом решающий указанные проблемы полюсов. Поход заключается в отказе от использования уравнений сохранения импульса в сферической системе координат и использованию закона сохранения момента импульса.
Показано, что два указанных подхода математически эквивалентны, за исключением применения во втором случае невыраждающейся системы координат. Конечно-объемные разностные схемы естественным образом и без специальных усилий оказываются консервативными. Соответствующие выкладки и тестовые расчеты приведены на примере системы уравнений мелкой воды.