Комплексные кобордизмы — универсальная теория когомологий

Лекция посвящена замечательным достижением и открытым проблемам теории комплексных кобордизмов. В центре внимания будут фундаментальные связи алгебраической топологии с алгебраической геометрией, теорией чисел, теорией формальных групп, которые были открыты и развиваются благодаря универсальным свойствам теории комплексных кобордизмов.

Поясним, о каких универсальных свойствах здесь идет речь.

(1) Мультипликативная теория когомологий называется $\mathbb{C}$-ориентируемой, если в ней ориентируемы комплексные векторные расслоения (это равносильно существованию классов Черна в этой теориях). Будет показано, что теория комплексных кобордизмов является универсальной среди всех таких теорий.
(2) Для каждой $\mathbb{C}$-ориентируемой теории определена формальная группа (она задается первым классом Черна тензорного произведения двух комплексных линейных расслоений). Формальная группа геометрических кобордизмов, т. е. формальная группа, соответствующая канонической ориентации в кобордизмах универсального одномерного комплексного расслоения, введенная С. П. Новиковым и А. С. Мищенко в 1967 г., является универсальной среди всех таких формальных групп.
(3) В алгебраической категории универсальная формальная группа была построена Лазаром в 1955 г. Фундаментальным оказался факт, что гомоморфизм формальной группы Лазара в формальную группу геометрических кобордизмов является изоморфизмом (Квиллен, 1969 г.).