Квантовые числа, узлы и косы

Квантовые (или $q$-деформированные) числа восходят к Эйлеру и Гауссу, но, вообще говоря, определены неоднозначно и зависят от ситуации. Классический пример — это эйлеровская $q$-версия натуральных чисел
$$[n]_q = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q}.$$
Я расскажу о $q$-версии вещественных чисел, предложенной недавно в работах Софи Морье-Жену и Валентина Овсиенко. Соответствующие квантовые дроби
$$\left[\frac{r}{s}\right]_q = \frac{R(q)}{S(q)},$$
являются рациональными функциями, где $R(q)$ и $S(q)$ — многочлены с целыми положительными коэффициентами, такими, что $R(1) = r$, $S(1) = s$. Примеры
$$ \left[\frac{1}{5}\right]_q = \frac{q^4}{q^4 + q^3 + q^2 + q + 1}, \quad \left[\frac{2}{5}\right]_q = \frac{q^3 + q^2}{q^3 + 2q^2 + q + 1}, \quad \left[\frac{3}{5}\right]_q = \frac{q^3 + q^2 + q}{q^3 + q^2 + 2q + 1} $$
показывают, что они оба нетривиально зависят от $r$ и $s$.
Эта $q$-версия была мотивирована связями с комбинаторикой и кластерными алгебрами, но довольно быстро оказалась полезной и с других точек зрения. В частности, рациональные $q$-числа оказались тесно связанными с многочленами Джонса рациональных узлов и теорией представлений группы кос.
Квантование иррациональных чисел приводит к специальным степенным рядам по $q$ с целыми коэффициентами, свойства которых еще во многом предстоит понять.