Аннотация:
Лекции посвящены изучению диофантова уравнения Маркова
$$x^2+y^2+z^2=3xyz.$$
Это уравнение, впервые полученное выдающимся российским математиком
Андреем Андреевичем Марковым (старшим), нашло множество
применений в самых разных областях математики. Оказалось, что
множество натуральных решений уравнения Маркова имеет структуру
графа-дерева, все натуральные решения могут быть получены друг из
друга цепочкой преобразований. Мы докажем это и обсудим
применения решений уравнения Маркова к теории приближений
действительных чисел рациональными, а также к другим областям
математики.
Исследование уравнения Маркова породило ряд глубоких результатов и
открытых гипотез.
В последнее время большие продвижения были получены в изучении уравнения Маркова
$$x^2+y^2+z^2=3xyz \mod p,$$
рассматриваемого как сравнение по простому модулю $p$. До недавнего
времени была полностью открытым вопросом гипотеза Ж.Бургейна о том,
что все решения сравнения Маркова по простому модулю $p$ получаются как
его целые решения, рассмотренные по модулю $p$.
Доказательство этой гипотезы для достаточно больших $p$ было
опубликовано китайско-американским математиком В.Ченом лишь в прошлом
году.
Доказательство оказалось чрезвычайно сложным, состоящим из нескольких
составных частей, полученных разными математиками.
Мы обсудим идеи, лежащие в основе доказательства гипотезы.
Оказывается, что имеет смысл рассматривать по модулю $p$ не только числа
Маркова,
но и числа Фибоначчи и другие интересные последовательности. Мы также
обсудим некоторые свойства самого поля вычетов $\mathbb{Z}_p$.
Эти понятия приводят как к решённым, так и к нерешённым задачам.
Лекции доступны для школьников. Необходимые понятия
будут объяснены.
План
Целые решения уравнения Маркова. Вывод дерева Маркова.
Числа Маркова, цепные дроби и приближения действительных
чисел рациональными.
Свойства поля $\mathbb{Z}_p$, числа Фибоначчи в $\mathbb{Z}_p$ и их свойства.
Уравнение Маркова над $\mathbb{Z}_p$, свойства графа Маркова. Идея
доказательства гипотезы Бургейна.
Обратная связь: