Аннотация:
В самом общем виде задача выглядит так: имеется некоторое тело (или несколько тел, или облако точек, или несколько облаков), наша задача — разрезать его на равные по объёму части, экономя число разрезов. Мы начнём с простых задач и постепенно усложнимся.
Задачи для разминки, уже можно начать их решать, так как здесь достаточно идеи непрерывности:
Для каждой плоской фигуры найдутся два взаимно перпендикулярных прямолинейных разреза, делящие фигуру на четыре равные по площади части.
Для двух фигур на плоскости найдётся прямолинейный разрез, делящий каждую из них на две равные по площади части.
Всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на шесть одинаковых по площади частей.
Не всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на семь равных по площади частей.
Задачи, которыми мы займёмся:
Для трёх тел в трёхмерном пространстве найдётся разрез плоскостью, делящий каждое из них на две равные по объёму части. Это так называемая теорема о бутерброде с ветчиной.
Каждое трёхмерное тело тремя плоскими разрезами можно разделить на восемь равных по объёму частей.
Можно ли каждое четырёхмерное тело четырьмя гиперплоскими разрезами разделить на шестнадцать равных по объёму частей? — это открытая проблема.
В пятимерном пространстве не всякое тело режется пятью гиперплоскостями на 32 равные по объёму части — это внезапно просто.
И далее в том же духе с разными вариациями и приложениями.
Методы: Ручными методами сложные задачи про разрезания не решаются. Поэтому мы пройдём векторные расслоения, «игрушечный» класс Эйлера, кривую моментов и приличествующую случаю комбинаторику.
Это несложный курс, комбинация топологии, геометрии и комбинаторики. Слушателям хорошо понимать идею непрерывности отображений (не только непрерывность функций).
Обратная связь: