Конфигурации на плоскости, сфере, торе, ... Семинар 4

Пусть на плоскости проведено несколько прямых, и мы хотим найти число (всех или только ограниченных) областей, на которые они делят плоскость. Если эти прямые в общем положении, то ответ не представляет труда; мы потратим на него первые 10 минут. В общем же случае, когда через некоторые точки проходит много прямых, ответ даёт формула Робертса (1889). Правда, если заметная доля прямых проходит через одну и ту же точку, формула дает разность двух сравнимых чисел, что можно считать её недостатком.
Это — отправная точка большого пути по конфигурациям прямых (и гиперплоскостей), которому посвящён курс. Мы определим характеристический многочлен конфигурации — и обсудим его связь с хроматическими многочленами. Теорема Т. Заславского (1975) выражает число клеток старшей размерности, а также число ограниченных клеток старшей размерности, как значения характеристического многочлена в точках -1 и 1. Такая формула для числа всех клеток максимально эффективна — в ней нет вычитания, только сложение. После того, как формула сформулирована, доказать ее — несложное упражнение. Другой вопрос — как до этой формулы или подобных вещей можно догадаться. Мы попробуем предложить ответ на этот вопрос, введя и рассматривая алгебру Варченко—Гельфанда (работа этих авторов вышла в 1987); размерности её однородных компонент совпадают, с точностью до знака, с коэффициентами характеристического многочлена.
В целом, мы обсудим общие вопросы, которые имеют смысл в пространствах произвольной размерности — в этом случае речь идет о конфигурациях гиперплоскостей — и которые составляют предмет активных современных исследований, но проиллюстрируем их в двумерной и, возможно, трехмерной, ситуациях, где основные идеи просты, но все же нетривиальны и интересны. Интересно также увидеть, какие именно геометрические предположения оказываются существенными, а какие нет. Например, вместо прямых на плоскости можно рассмотреть окружности на сфере или на торе. А можно даже заменить прямые кривыми линиями, наложив некоторые условия на их пересечения.
Курс рассчитан на первокурсников и очень продвинутых школьников. Некоторое представление о линейной алгебре поможет, но не является строго обязательным.