Старые задачи иногда решаются (корреляционное неравенство и гипотеза Кантелли)

Относительно недавно были решены две долго стоявшие проблемы, связанные с гауссовскими мерами. Более полувека оставались безуспешными попытки доказать так называемое корреляционное неравенство
$$P(A\cap B)\ge P(A)P(B)$$
для центрально-симметричных выпуклых тел $A,B\subset \mathbb{R}^n$ при $n > 2$, где $P$ — стандартная гауссовская мера, т.е. мера с плотностью $(2\pi)^{-n/2}e^{-|x|^2/2}$. Для множества важных в приложениях частных случаев неравенство было установлено. В настоящее время полное решение получено, в докладе будет рассказано о перипетиях.
Другая проблема, тоже решенная несколько лет назад, была поставлена в 1918 году Кантелли (соавтора классической «леммы Бореля—Кантелли»), высказавшего гипотезу, что если $x$ и $y$ — независимые случайные величины со стандартным гауссовским распределением, то для положительной функции $f$ случайная величина $x+f(x)y$ может быть гауссовской только, когда $f$ постоянна. Эта проблема решена отрицательно, построен удивительный (и чрезвычайно нетривиальный) контрпример, но решение привело к интересным открытым вопросам с довольно элементарными формулировками. Об этом также будет рассказано.