Эллиптические кривые и суммы символов Лежандра. Семинар 2

Начало курса будет посвящено знакомству с эллиптическими кривыми. Затем мы познакомимся с элементарными методами подсчёта точек на эллиптических кривых над конечным полем из $p$ элементов ($p$ — простое). Эта задача сводится к оценке суммы символов Лежандра от значений многочлена третьей степени. Для некоторых многочленов, например, таких как $x^3+ax$ или $x^3+b$, суммы символов Лежандра оцениваются относительно просто. Такие суммы даже имеют свои имена, это суммы Якобшталя и Шрутки. Они позволяют в явном виде строить решения уравнений $p=x^2+y^2$ и $p=x^2+xy+y^2$.
Главный результат, с которым мы познакомимся — это оценка Хассе. Она утверждает, что $N_p$ — число решений сравнения
$$y^2\equiv x^3+ax+b\pmod{p }$$
удовлетворяет неравенству
$$|N_p-p|\le 2\sqrt{p}.$$
Для доказательства мы используем элементарный подход Манина.