Теорема Римана-Роха, теорема Кристофа и проблема Гротендика. Семинар 3

Допустим, мы хотим научиться интегрировать алгебраическую функцию. Тогда мы должны учитывать по какой ветке мы ее интегрируем, т.е. вести интеграл по римановой поверхности. Для рациональных функций действуют так: имеются функции с элементарными особенностями $\frac{a_{ij}}{(z-z_i)^j}$, для них интегралы известны, вычтя из функции $f$ величину $\sum_{ij}\frac{a_{ij}}{(z-z_i)^j}$ мы получим константу. Действуя в общем случае, надо изучить пространство функций на кривой у которых в точке $A_i$ полюс порядка не выше $n_i$. При любом достаточно большом $n=\sum n_i$ она равна $n+1-g$, где $g$ — арифметический род кривой. Теорема Римана-Роха утверждает, что арифметический род равен топологическому роду (одномерная комплексная кривая есть сфера с ручками).
Рассмотрим формальный степенной ряд $f(t)=\sum_{n=0}^\infty c_nt^n$ над конечным кольцом характеристики $p$. Теорема Кристофа утверждает, что $f(t)$ алгебраична тогда и только тогда когда существует конечный автомат, который по $p$-ичному разложению числа $n$ вычисляет коэффициент $a_n$, имеются и естественные многомерные обобщения.
Мы поговорим о связях этих теорем и о гипотезе Гротендика о порождаемости голономного $D$ модуля алгебраической функцией.
Курс рассчитан для студентов. Требуется знание интегралов, векторных пространств.