Плотные упаковки шаров: геометрия, анализ, алгебраическая геометрия и теория чисел

Более-менее очевидно, что плотнейший способ разместить непересекающиеся круги на бесконечной плоскости — тот, при котором их центры образуют треугольную решётку, а каждый круг касается шести других (хотя и у этого утверждения строгое доказательство было предъявлено Laslo Fejes Toth-ом уже в XX веке). Задача о плотнейшей упаковке непересекающихся шаров в размерности 3 — задача Кеплера — была решена Томасом Хейлсом уже на рубеже второго и третьего тысячелетий. Работы Марины Вязовской, решившей задачу о плотнейшей упаковке шаров в размерности 8 и — с соавторами — в размерности 24, принесли ей премию Филдса (а ответы в этих размерностях — это знаменитые решётка $\mathbb{E}_8$ — решётка Коркина—Золотарёва — и решётка Лича). А что происходит в других, сильно больших размерностях?
Я расскажу, как в этой задаче взаимодействуют как взаимодействуют различные области математики — геометрия, анализ, алгебраическая геометрия и теория чисел. А именно — упаковки равных шаров в пространствах большой размерности получается строить, используя кривые над конечным полем, поля алгебраических чисел и башни их расширений. Впрочем, задача эта и сегодня полностью не решена — и ждёт новых идей от математиков вашего поколения!
Для понимания заметной части моего рассказа надо знать только понятия многочлена и многомерного пространства, но время от времени в нем будут упоминаться и более сложные объекты алгебры, геометрии и математического анализа.