Обобщение Теоремы Кези и геометрия окружностей

Есть формула длины вектора с координатами $x, y$:$\sqrt{x^2 + y^2}.$
Но что будет, если поменять плюс на минус? Тогда получится альтернативная геометрия, в которой вместо окружности будет гипербола. Большинство теорем, верных в евклидовой геометрии, здесь тоже верны.
Неожиданно, это геометрия довольно сильно связана с окружностями на плоскости.
С помощью понимания этой связи мы обобщим теорему Кези на произвольное число окружностей.
\section*{Теорема Кези}
Если четыре окружности касаются данной, то верно следующее равенство: $L_{1324} = L_{1234} + L_{2314},$ где $L_{ij}$ — длина общей внешней касательной к соответствующим окружностям, пронумерованным в порядке обхода точек касания.
Также, если останется время, поговорим о геометрии окружностей поподробнее.