Инварианты почти вложений графов в плоскость

Изображение графа на плоскости называется почти вложением, если образы любых двух несмежных симплексов (т.е. вершин или ребер) не пересекаются.
Мы показываем, что это понятие (и его многомерная версия) возникает в топологической комбинаторике, в комбинаторной геометрии, при изучении вложений, в частности, вложений графов в $R^3$.
Мы напоминаем определения целочисленных инвариантов почти вложений: числа оборотов, циклического и триодического чисел Ву. Мы доказываем некоторые соотношения между инвариантами. Например, для почти вложения $f$ графа $K_4$ обозначим через $w_f(v)$ число оборотов $f$-образа цикла, полученного удалением $v$ из $K_4$, вокруг $f(v)$.
Тогда
(*) сумма этих четырех чисел нечетна;
(**) их знакочередующаяся сумма равна триодическому числу Ву сужения $f$ на любой из триодов в графе $K_4$.
Мы строим пример, показывающий, что не существует других соотношений на числа оборотов графа $К_4$, кроме (*).
Эти и другие соотношения доказываются использованием гомологий взрезанного квадрата графа. Другое упоминаемое соотношение - недавний нетривиальный результат Т.Гараева.