Динамические системы на торе, моделирующие переход Джозефсона, зоны захвата, перемычки и уравнения Гойна

Эффект туннелирования в сверхпроводимости, открытый Б. Джозефсоном в 1960-е гг. (Нобелевская премия по физике за 1973 г.) относится к Джозефсоновскому переходу: системе двух сверхпроводников, разделенных тонким слоем диэлектрика. Он состоит в том, что если слой диэлектрика достаточно тонок, то сквозь него потечет сверхпроводящий ток, описываемый уравнением, открытым Джозефсоном. Мы обсудим модель так называемого сильно шунтированного перехода Джозефсона: замечательное семейство дифференциальных уравнений на двумерном торе, встречающееся в разных областях математики, механики и физики. Семейство зависит от двух параметров (B,A) плюс третий параметр: фиксированная частота “внешней накачки”. Интересно изучать число вращения динамической системы на торе как функцию от (В,А) и зоны захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность, аналоги знаменитых языков Арнольда. Как показали В. М. Бухштабер, О. В. Карпов и С. И. Тертычный, они существуют только для целых чисел вращения. Каждая зона является бесконечной гирляндой из областей, разделенных точками. Те из них, которые не лежат на оси абсцисс, называются перемычками. В докладе будет намечено экспериментального факта и гипотезы о том, что в каждой зоне все перемычки лежат на одной прямой: совместный результат Ю. П. Бибило и докладчика. Оно основано на связи рассматриваемой модели с дважды конфлюэнтными уравнениями Гойна на сфере Римана, явлением Стокса, изомонодромными деформациями, уравнениями Пенлеве 3 и быстро-медленными системами. Будет дан обзор открытых задач и результатов. Будет представлена деформация данной модели, эквивалентная семейству общих уравнений Гойна на сфере Римана (ответ на вопрос А. С. Горского). Мы покажем, что в деформированной модели все перемычки размыкаются (совместный результат с А. А. Александровым).