Слабая КАМ теория с негладким лагранжианом

Слабая КАМ теория возникла как попытка описать решения задачи вариационного исчисления на больших промежутках времени. Она ставит перед собой цель нахождения функции $\phi : M \to \mathbb{R}$ и константы $\bar{H}$ таких, что решение задачи вариационного исчисления
минимизировать
$$ \phi(x(T)) + \int_0^T L(x(t), \dot{x}(t))dt $$

при условии $x(0) = y$ на произвольном интервале $[0,T]$ есть $\phi(y) - \bar{H}T$. Здесь величину $\bar{H}$ называют эффективным гамильтонианом или показателем Манэ. В рамках слабой КАМ теории показывается, что функция $\phi$ и константа $\bar{H}$ удовлетворяют в вязкостном смысле уравнению типа Гамильтона-Якоби
$$ H(x, -\nabla\phi) = -\bar{H}, $$
где $H$ — гамильтониан:
$$ H(x, p) = \max_{v \in T_x M} [p \cdot v - L(x,v)]. $$
Отметим, что в этом случае решение задачи вариационного исчисления
минимизировать
$$ \frac{1}{T} \int_0^T L(x(t), \dot{x}(t))dt $$

сходится к $\bar{H}$ при $T \to \infty$.
Слабая КАМ теория изначально развивалась в предположении о гладкости и коэрцитивности лагранжиана $L$. В то же время слабое КАМ уравнение ГЯ имеет решение на торе в случае, когда $L$ не обладает условием гладкости.
В связи с этим интересным представляется развить элементы слабой КАМ теории в случае негладкого лагранжиана, основываясь на вязкостном решении слабого КАМ уравнения ГЯ. Этому вопросу и посвящен доклад. При этом мы широко используем метод сдвига вдоль проксимального субградиента, предложенный Ф. Кларком, Ю.С. Ледяевым и А.И. Субботиным.