Слоение Лиувилля плоских биллиардов в потенциальном и магнитном поле

В последние несколько лет теория интегрируемых биллиардов получила большое развитие во многих направлениях, в том числе изучения их слоений Лиувилля. Так, начиная с работ В. Драговича и М. Раднович по изучению эллиптического биллиарда, В. В. Ведюшкина продолжила их результаты на произвольный эллиптико-гиперболический стол, и затем предложила конструкцию биллиардной книжки, тем самым значительно расширив класс биллиардных систем. В связи с этим А. Т. Фоменко выдвинул гипотезу, согласно которой любая интегрируемая система с двумя степенями свободы лиувиллево эквивалентна некоторому биллиарду. Слабая версия этой гипотезы (о реализации произвольной базы слоения) была конструктивно доказана В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой. Тем не менее, предложенной конструкции недостаточно для доказательства сильной версии гипотезы. Возникает желание еще больше обобщить понятие биллиарда, добавив к нему, например, потенциальное или магнитное поле.
В докладе будет представлена серия работ, посвященных изучению слоения таких биллиардов. Первая часть доклада посвящена потенциалу. Будут рассмотрены ограничения, которые накладывает интегрируемость, вычислены изоэнергетические инварианты Фоменко-Цишанга, а также построены бифуркационные диаграммы и установлены характеры особых значений первых интегралов в случае малых порядков потенциала. Вторая часть доклада посвящена магнитным топологическим биллиардам. Также будут вычислены инварианты Фоменко-Цишанга и построены бифуркационные диаграммы.