Схемная дифференциальная геометрия

Хорошо известно, что гладкое многообразие M восстанавливается из своего кольца гладких функций $C^\infty(M)$. Но алгебраические конструкции с коммутативными кольцами не отражают геометрических конструкций с соответствующими гладкими многообразиями: коммутативная алгебра соответствует алгебраической геометрии, а не дифференциальной (и кольца гладких функций многообразий с полиномиальной перспективы большие и патологические). Но $C^\infty(M)$ — это не просто коммутативные кольца, они имеют естественную дополнительную структуру: к набору элементов $f_1, ..., f_n$ можно применить любую гладкую функцию $a$: $R^n -> R$, а не только полином. Множества, снабженные такой алгебраической структурой (расширяющей структуру коммутативного кольца), называются $C^\infty$-кольцами и конструкции с ними в точности соответствуют конструкциям с соответствующими гладкими многообразиями! Объекты дуальной категории к $C^\infty$-кольцами называются гладкими локусами (аналог аффинных схем) и включают гладкие многообразия как полную подкатегорию. Схемная гладкая геометрия предлагает ряд приятных унификаций и преимуществ, по сравнению с традиционной перспективой. В докладе будет дан обзор её особенностей, а в конце мы кратко поговорим о дальнейшем развитии языка и потенциальных приложениях.