О непрерывности логарифмической ёмкости

Исследования, касающиеся непрерывности ёмкости множества и связанных с ней величин в теории потенциала, имеют долгую историю. В частности, в 1961 году Геринг доказал, что конформный модуль плоских колец непрерывен при хаусдорфовой сходимости граничных компонент. Асеев, в свою очередь, установил непрерывность ёмкости конденсатора при хаусдорфовой сходимости его пластин, при условии, что пластины являются равномерно совершенными с одной и той же константой. Позднее Асеев и Лазарева доказали аналогичный результат и для непрерывности логарифмической ёмкости множеств. А недавно Рансфорд, Юнси и Ай показали, что логарифмическая ёмкость множества непрерывно изменяется при голоморфных движениях.
В данном докладе будут рассмотрены вопросы о сходимости функций Грина при сходимости областей в смысле ядра и о непрерывности логарифмической ёмкости, когда хаусдорфово расстояние до предельного множества стремится к нулю достаточно быстро по сравнению с убыванием параметров, участвующих в условии равномерной совершенства.
Данный доклад основан на совместных работах с Л. В. Ковалёвым.