Многообразие многообразий

Одной из основных проблем топологии, имеющей значительные приложения к другим областям математики, является изучение многообразий с определенными свойствами и специальных отображений между ними. В тоже время, в математике нет единого понятия многообразия: дифференциальная геометрия изучает римановы многообразия, алгебраическая геометрия — алгебраические многообразия и т.д. Из-за этого топологии тоже приходится иметь дело с различными многообразиями, которые исторически сгруппировались в три больших класса — топологические, кусочно-линейные (комбинаторные) и гладкие многообразия. Также, в различных задачах их разумно рассматривать с точностью до различных отношений эквивалентности — гомотопической эквивалентности, гомеоморфизма, кусочно-линейного гомеоморфизма и диффеоморфизма. С давних пор людей интересовало как эти различные классы многообразий и различные типы эквивалентностей взаимодействуют друг с другом. Например, одна из самых известных и старых гипотез топологии — гипотеза Пуанкаре — утверждает, что 3-х мерное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное 3-х мерной сфере, будет ей и гомеоморфно (доказана Г. Перельманом). В докладе будет обзорно рассказано о важнейших результатах, полученных в данном направлении.