Об экспоненциальной алгебраической геометрии

Конечная линейная комбинация функций вида $e^{\lambda(z)}$, где $\lambda$ – линейный функционал в $C^n$, называется экспоненциальной суммой (для краткости э-сумма). Э-суммы образуют кольцо. Э-многообразие – это множество совместных нулей конечной системы э-сумм. Или нулевое множество конечно порожденного идеала в кольце э-сумм (это кольцо не Нетерово). Остается ли что-нибудь алгебро-геометрическое при переходе от кольца полиномов к кольцу э-сумм? Этому вопросу больше 100 лет. Первая теорема доказана Дж. Риттом в 1929: если все нули э-суммы $f$ являются также нулями э-суммы $g$, то $g$ делится на $f$ в кольце э-сумм. Ритт рассматривал э-суммы от одного переменного. Многомерное утверждение доказано в 1975. Новые результаты начали появляться относительно недавно. Я расскажу про алгебраическое определение размерности э-многообразия (примерно 2000 г). Алгебраическая размерность, как правило равна геометрической, но иногда бывает меньше. Например, для уравнений $e^z-1=e^{\pi z}-1=0$ в $C^1$ с нулевым множеством $z=0$, алгебраическая размерность равна $-1$, т.е. алгебраическая размерность бывает отрицательной. В вопросе о несовпадении размерностей возникает некоторая содержательная и интересная математика.