Соответствие Кричевера и ограниченные адельные комплексы. I

В 70-х годах прошлого века было придумано, как при помощи якобианов алгебраических кривых и соответствующих тэта-функций выписывать точные решения некоторых известных уравнений математической физики, а именно тех, которые получаются из иерархии (бесконечной системы уравнений в частных производных) Кадомцева–Петвиашвили, в частности, уравнений Кортевега–де Фриза и Кадомцева–Петвиашвили. За этими решениями стоит геометрия алгебраических кривых и линейных расслоений на них, а также отображение Кричевера, которое некоторым алгебро-геометрическим данным, связанным с проективной кривой и линейным расслоением на ней, ставит в соответствие точку в бесконечномерном алгебраическом многообразии, грассманиане Сато. При этом возникает комплекс, так называемый ограниченный адельный комплекс, который вычисляет когомологии линейного расслоения на проективной кривой. Я расскажу про эту конструкцию, а также про обобщение отображения Кричевера на проективные алгебраические поверхности, данное А.Н. Паршиным, и на проективные алгебраические многообразия произвольной размерности, данное мной. При этом возникают комплексы (ограниченные адельные комплексы), вычисляющие когомологии квазикогерентных пучков, зависящие только от конечного числа флагов неприводимых подмногообразий. Также можно восстановить алгебро-геометрические данные, связанные с проективным алгебраическим многообразием и векторным расслоением на нем, из локальных данных, связанных с одним флагом подмногообразий.