Универсальность псевдохарактеров кос в теории узлов

Теория узлов и теория кос тесно связаны конструкцией замыкания, переводящей косы в узлы и зацепления. Классическая теорема Александера гласит, что любое зацепление является замыканием некоторой косы, а теорема Маркова описывает, когда две косы представляют одно и то же зацепление, сводя топологическую эквивалентность к алгебраическим преобразованиям — сопряжению и стабилизации в группах кос. Эта связь стимулирует поиск тонких инвариантов сопряженности, среди которых особое место занимают псевдохарактеры — вещественнозначные функции на группе кос, задающие её ограниченные 2-коциклы. Они возникают на стыке алгебры, топологии, геометрии и динамики и находят применения в комбинаторной теории групп, симплектической геометрии и теории представлений.
Наиболее яркие результаты о связи топологии узлов и свойств представляющих их кос были получены для конкретного псевдохарактера, предложенного А. В. Малютиным — закрученности (также известной как коэффициент дробного скручивания Дена). Закрученность даёт нижнюю оценку на род ограничивающих узел поверхностей в 3D и 4D, оценку на число нитей кос-представителей, а также позволяет определять геометрический тип узла в терминах динамического типа задающей его косы. Отсюда возникает естественный вопрос: данная глубокая связь является специфическим свойством закрученности или частным проявлением более общего принципа?
Отталкиваясь от работ Дж. Бирман, У. Менэско, И. Дынникова, А. Малютина и Т. Ито, мы показываем, что связь универсальна: любой псевдохарактер на группах кос несёт содержательную информацию о геометрии и топологии зацепления. В частности, при замене закрученности на произвольный псевдохарактер остаются в силе аналогичные оценки и критерии, касающиеся трёхмерного рода, числа нитей и геометрического типа. Полученные результаты могут использоваться в ситуациях, где закрученность неприменима, например, в контексте псевдохарактеров М. Бествины и К. Фудживары.
Совместная работа с Андреем Рябичевым