О связи теорем типа Борсука – Улама и покорении гор

В докладе будет представлено новое качественное расширение теоремы Хопфа о непрерывных отображениях $f$ компактного Риманового многообразия размерности $n$ в $\mathbb R^n$. Мы снимаем предположение о наличии римановой структуры и рассматриваем замкнутые триангулируемые многообразия $M$, снабжённые чисто топологическим понятием «дальних» точек. Будет показано, что для любого непрерывного отображения $f \colon M \to \mathbb{R}^n$ существует связная компонента в пространстве $f$-соседей (где пара точек $a, b$ называется $f$-соседями, если $f(a) = f(b)$), которая содержит как пару «дальних» точек, так и пару совпадающих точек. Полученный результат влечёт следствия для теорем Лустерника–Шнирельмана и Таккера, а также даёт многомерное обобщение задачи о «восхождении на гору» (Mountain Climbing problem). В частности, для стандартной евклидовой двумерной сферы это утверждение можно неформально сформулировать следующим образом: найдётся пара антиподальных точек, таких что путешественники, начавшие движение из этих точек, смогут встретиться, всё время находясь в точках с одинаковым расстоянием до фиксированной аптеки и фиксированного медпункта с точностью до сколь угодно малого отклонения.