Теорема Пикара в полуплоскости

Знаменитая теорема Пикара утверждает, что аналитическая функция $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, которая не принимает значения 0 и 1, обязательно является константой. С другой стороны, если функция определена только в какой-то подобласти $\mathbb{C}$, например в верхней полуплоскости, то она не обязана быть постоянной, и более того, существуют даже аналитические функции, не принимающие значения 0 и 1, которые не являются функциями ограниченного вида, то есть которые нельзя представить как отношения ограниченных функций. В данном докладе мы обсудим, какие дополнительные условия нужно наложить на функцию, чтобы она гарантированно была функцией ограниченного вида? Мы предположим, что функция допускает аналитическое продолжение в большую область $\mathbb{H}(-m)=\{x+iy\colon -m(x)<y\}$ для какой-то хорошей функции $m\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}$ и не принимает значения 0 и 1 в этой большей области. Основной результат, который мы докажем, утверждает, что существование такой функции, не являющейся функцией ограниченного вида в верхней полуплоскости, эквивалентно расходимости интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\log^{-}m(x)}{1+x^2}dx$.
Доклад основан на совместной работе с Александром Ерёменко и Михаилом Содиным.