Версия итерированной теории малых сокращений для групп бернсайдовского типа

Так называемая теория малых сокращений берет свое начало в работах Тартаковского 40-х гг. прошлого века и была переработана в современный вид несколькими авторами, начиная с 60-х гг. В этой теории исследуются группы, заданные системой определяющих соотношений, в которых любая пара соотношений имеет малое общее наложение по сравнению с их длиной. При выполнении этого условия удается получить существенную информацию о группе, в частности, получить некоторое общее описание всех соотношений в группе.
Принципиальный шаг в понимании структуры свободных бернсайдовых групп достаточно большого нечетного периода был сделан в фундаментальной работе П.С. Новикова и С.И. Адяна в 1968 г. и ее усовершенствованной версии, изложенной в монографии С.И. Адяна 1975 г. Одной из важнейших составляющих созданной ими теории является неявная и тесно вплетенная в доказательство итерированная версия теории малых сокращений.
Особенностью такой версии является построение бесконечной последовательности групп, в которой каждая последующая группа удовлетворяет некоторому специальному условию малого сокращения относительно предыдущей группы. В более поздних работах разных авторов предпринимались попытки найти более концептуальный и технически более простой подход к изучению бернсайдовых групп достаточно большого периода, и более общно, к изучению более широких классов групп ограниченного периода. Во всех этих работах использовался подход, явно или неявно основанный на некоторой версии итерированной теории малых сокращений. Вариантам итерированной теории малых сокращений для групп ограниченного периода, сформулированной в явном виде, были посвящены работы Громова‒Дельзанта (2008) и Кулона (2014).
В статье Лысенка также был разработан явно сформулированный вариант итерированной теории малых сокращений, пригодный для изучения соответствующего класса групп, включающего свободные бернсайдовы группы достаточно большого нечетного периода. По сравнению с предыдущими работами этот вариант имеет два преимущества. Во-первых, этот вариант теории применим к бернсайдовым группам с умеренной нижней оценкой 2000 нечетного периода. В работах Громова‒Дельзанта и Кулона нижняя оценка на период не указана, ее нахождение требует серьезной технической работы и будет являться очень большим числом. Во-вторых, в работе Лысенка итерированное условие малого сокращения сформулировано в достаточно простых комбинаторных терминах, не использующих дополнительных геометрических построений, и является некоторым естественным комбинаторным аналогом классического условия малого сокращения для групп.