Закон Марченко‒Пастура для матриц Грама: неоднородный случай

Матрицы Грама большой размерности повсеместно возникают в современной статистике и машинном обучении, в особенности в алгоритмах, связанных с различными формами метода наименьших квадратов. Точные предельные формулы для различных спектральных характеристик этих матриц используются в анализе соответствующих алгоритмов. В работе дано исчерпывающее описание условий, при которых предельное спектральное распределение матриц Грама $\mathbf{XX}^*$ растущей размерности, отвечающих случайным комплексным матрицам $\mathbf{X}$ с независимыми столбцами/строками, будет описываться законом Марченко‒Пастура (при должной нормировке). В частности, впервые найдены точные условия, при которых предельные распределения для матриц $\mathbf{X}$ с независимыми центрированными элементами (дисперсии которых могут быть различны) описываются тем же предельным законом, что и для матриц $\mathbf{X}$ с независимыми стандартными гауссовскими элементами. Результаты получены новым методом, основанном на приближенных матричных уравнениях с оценкой остатков в специальной полунорме.