Об усреднении аттракторов случайных систем реакции-диффузии в областях, границы которых содержат быстро осциллирующие части

Доклад основан на совместной работе с Г.Ажмолдаевым, К.Бекмаганбековым и Г.Чечкиным, которая рассказывалась на 25 конференции Петровского в мае этого года.
Изучается усреднение случайных систем реакции-диффузии с быстро осциллирующими членами в областях с быстро осциллирующей границей, содержащих малый параметр $\varepsilon$, который характеризует скорость осцилляций коэффициентов в уравнениях и в части граничных условий. Рассматриваются системы реакции-диффузии, удовлетворяющие некоторым общим условиям диссипативности, причем для нелинейных функций взаимодействия не предполагается выполнение условий Липшица. Изучается асимптотическое поведение траекторных аттракторов рассматриваемых систем при $\varepsilon \to 0$.
Важной особенностью задачи является случайная геометрия областей, а именно, на части её случайно осциллирующей границы рассматривается условие Фурье (условие 3-го рода). Предполагается, что случайные структуры коэффициентов уравнений и граничных профильных функций являются статистически однородными в некотором вероятностном пространстве $\Omega$, что позволяет получить детерминированную предельную краевую задачу с использованием эргодической теоремы Биркгофа.
Вначале строятся траекторные аттракторы $A_{\varepsilon}(\omega)$, $\omega \in \Omega$, для рассматриваемых случайных систем реакции-диффузии и траекторный аттрактор A для соответствующей предельной (усреднённой) детерминированной системы реакции-диффузии, включая новые предельные граничные условия.
После этого доказывается, что с вероятностью единица по $\omega \in \Omega$ случайные траекторные аттракторы $A_{\varepsilon}(\omega)$ сходится к (неслучайному) траекторному аттрактору $A$ при $\varepsilon \to 0$ в слабой топологии некоторого естественного функционального пространства, содержащего траекторные пространства этих систем реакции-диффузии.
Теория траекторных аттракторов для диссипативных уравнений в частных производных была развита в работах М.И.Вишика и В.В.Чепыжова. Этот метод особенно полезен при изучении долговременного поведения решений эволюционных уравнений, для которых теорема единственности решения соответствующей задач Коши или не доказана (например, для 3D системы Навье-Стокса) или не имеет места (например, для систем реакции-диффузии, рассматриваемых в этом докладе).