Детерминантные точечные процессы

Детерминантные точечные процессы, т.е. точечные процессы с корреляционными функциями, задаваемыми детерминантами, впервые появляются в работах Дайсона о случайных матрицах с эрмитовой симметрией. Так, например, распределение собственных значений случайной (по отношению к мере Хаара) унитарной матрицы – детерминантный процесс. Класс детерминантных точечных процессов, с одной стороны, допускает построение развитой теории, а, с другой, включает множество примеров, возникающих в самых разных задачах, от подсчета случайных деревьев до гармонического анализа на бесконечномерных группах. Несмотря на специальный вид корреляционных функций, класс детерминантных процессов замкнут относительно операции взятия условных мер и действия группы диффеоморфизмов с компактным носителем. Для детерминантных точечныx процессов имеет место Центральная Предельная Теорема и сходимость к гауссову мультипликативному хаосу. Одно из основных свойств детерминантных процессов – их отрицательная коррелированность: частицы детерминантного процесса отталкиваются, как, в частности, собственные значения случайной унитарной матрицы. Начиная с пионерской работы Кулеши–Таскара (2012) и включая недавнюю работу Бардене–Гоша–Симонa-Онфруа–Сон Трана (NeurIPS 2024), модели, основанные на детерминантных точечных процессах, находят свое применение в машинном обучении. В рамках общедоступного обзорного докладa мы поговорим о детерминантных точечных процессах и их применениях.