Соответствие Кричевера и теория коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов

Этот доклад является в некотором смысле продолжением серии докладов Д.В. Осипова. Я расскажу о тех аспектах теории под названием «алгебраическая теория КП», которые остались в тени. Речь пойдет о теории классификации колец коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов, начало которой было положено еще в конце 19-начале 20 веков в работах Валленберга, Шура и Бурхналла-Чонди. Свое новое рождение эта теория пережила в середине 70-х годов в контексте интегрируемых систем — именно в это время И.М. Кричевер показал как можно классифицировать такие кольца в терминах алгебро-геометрических спектральных данных, и с помощью этой классификации строить явные решения уравнений из иерархии КП в терминах тета-функций якобианов спектральных кривых. Впоследствии эта классификация уточнялась и развивалась многими известными математиками (В. Дринфельд, Д.Мамфорд, Ж.Вердье, Г.Сигал, Д.Вилсон, М.Муласе, Т.Шиота), и сыграла важную роль в решении проблемы Шоттки. В настоящее время есть две основные версии теоремы классификации — более аналитического характера, предложенная Кричевером, в которой важную роль играет понятие функции Бейкера-Ахиезера и теория римановых поверхностей, и более алгебраического характера, использующая алгебро-геометрические конструкции из соответствия Кричевера и теорию Сато. Если останется время, я кратко расскажу о том, что известно об обобщениях этой теории в размерности >1. В этом случае, как и в одномерном, важную роль играет обобщение отображения Кричевера на многомерный случай.