Гипотеза Шаркози и полиномиальный метод

Пусть $G$ – абелева группа, а $A$ и $B$ – подмножества в ней. Аддитивная комбинаторика изучает множества сумм $A+B$, состоящие из всех попарных сумм элементов $A$ и $B$. Если $G$ – аддитивная группа поля, то предполагается, что множества сумм не могут обладать богатой мультипликативной структурой. Например, гипотеза А. Шаркози, сформулированная в 2013 году, утверждает, что для всех достаточно больших простых чисел $p$ множество квадратичных вычетов по модулю $p$ является аддитивно неразложимым, то есть не может быть нетривиально представлено в виде $A+B$. В докладе будет представлено недавнее полное решение гипотезы Шаркози, которое опирается на разновидность метода Степанова, впервые использованную Хэнсоном и Петридисом для изучения клик в графе Пэли. Оказывается, аддитивная разложимость квадратичных вычетов приводит к интересному крайнему случаю в теореме Хэнсона-Петридиса, что позволяет получить ряд соотношений между симметрическими полиномами множеств из разложения. Мы изучим эти соотношения при помощи дифференциальных форм на проективной прямой. Тот же метод позволяет решить гипотезу Льва-Сонна: подгруппа $\Gamma$ в мультипликативной группе простого конечного поля удовлетворяет $\Gamma\cup\{0\}=A-A$ для некоторого $A$ тогда и только тогда, когда $|\Gamma|=2$ или $6$. Кроме того, оказывается, что если $\Gamma=A+B$, то порядки множеств $A$ и $B$ совпадают.