О геометрии дифференциальных уравнений Абеля

В докладе будет изложен результат, связанный с классификацией обыкновенных дифференциальных уравнений Абеля первого порядка, т.е. уравнений вида $a_0(x,y)(y')^n +a_1(x,y)(y')^{n-1}+\dots+ a_n(x,y)=0$. Эти уравнения являются простейшими (и, возможно, наиболее важными) неявными дифференциальными уравнениями. Они связаны с различными другими вопросами, в частности, с непорядоченными тканями на плоскости и с символами линейных дифференциальных операторов.
Я предлагаю новый подход к изучению уравнений Абеля, основанный на рассмотрении симметрических дифференциальных форм на плоскости $(x,y)$ (этот подход аналогичен подходу В. В. Лычагина для классических уравнений Монжа–Ампера). Тем самым проблема сводится к алгебраической задаче классификации одндродных форм на кокасательном пространстве $T^*R^2$ относительно диффеоморфизмов плоскости $R^2$, решение которой может быть получено с помощью наших результатов с В. В. Лычагиным по классификации бинарных форм.