$L_p$-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка

Цикл работ посвящен изучению граничных свойств решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничными функциями из широкого класса. Целью исследования является доказательство в случае однородного эллиптического уравнения аналога теоремы Карлесона об $L_p$-оценках аналитической функции; для гармонических функций эта теорема была доказана Хермандером.
Для уравнения в самосопряженной форме без младших членов в работе [1] доказано, что для справедливости для всех граничных функций из $L_p$, $p>1$, оценки нормы решения в пространстве $L_p$ по мере через соответствующую норму граничной функции необходимо и достаточно, чтобы эта мера была мерой Карлесона. При этом на коэффициенты уравнения не налагаются условия гладкости внутри рассматриваемой ограниченной области, требуется их измеримость и ограниченность (на границе области условия на коэффициенты необходимы, без них не справедлива теорема о единственности решения даже в «гильбертовом» случае $p=2$).
Доказательство основного результата потребовало изменения определения решения задачи Дирихле с граничной функцией из рассматриваемого пространства. При обычном требовании принадлежности решения пространству $W_{p,\mathrm{loc}}^1$ в случае $p>2$ нельзя гарантировать существование решения, а при $p<2$ – его единственность. Новая постановка задачи и теорема об однозначной разрешимости содержится в работе [2]. Доказательство достаточности в основной теореме базируется на аналогичной оценке некасательной максимальной функции, установленной в работах [3] и [4].