|
|
Летняя школа «Современная математика», 2014
24 июля 2014 г. 17:00, г. Дубна
|
|
|
|
|
|
Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию. Лекция 3
Г. Ю. Панина |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 497 |
|
Аннотация:
Торическое многообразие – (относительно) простой пример
алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические
объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений...
Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и
геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что
происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический
язык, и наоборот (см. программу ниже). Это современная математика, уже
успевшая стать классической.
Программа курса
1. Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка –
максимальный идеал» и «неприводимое множество – простой
идеал». Конструкция «конус – алгебра полиномов
Лорана – аффинное торическое многообразие». Уже интересно, т.к.
становятся видны сингулярности многообразия.
2. Склеиваем многообразие из аффинных карт. Соответствие
«многогранник – веер – торическое
многообразие». Примеры: проективная прямая, проективная плоскость (видите,
не так уж и страшно), поверхность Хирцебруха. Появляется структурный пучок.
3. Тор и его действие. Инвариантные подмногообразия. Соответствие «грани
многогранника – инвариантные подмногообразия».
4. Раздутие точки на алгебраическом многообразии.
Соответствие «раздутие – измельчение веера – отрезание уголка
многогранника».
5. Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия
«многогранник – обратимый пучок», «целая точка
многогранника – глобальное сечение пучка», «сумма
Минковского – тензорное произведение пучков». В этой связи
абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники.
6. Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный
объем – индекс пересечения», «неравенство
Александрова–Фенхеля для смешанных объемов – неравенство Ходжа для
индексов пересечения». Теорема Бернштейна–Кушниренко о числе корней
системы полиномиальных уравнений.
От слушателей требуется владение понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «фактор», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость», «комплексные числа».
Website:
https://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/panina.htm
Цикл лекций
|
|