| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Отображения узлов в цилиндре в плоско-виртуальные узлы В. О. Мантуровab, И. М. Никоновc a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) b Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10090e 
Реферативные базы данных:
     Цель работы – ввести новый инвариант узлов в утолщенном цилиндре (торе), принимающий значения в плоско-виртуальных узлах. Пусть дан цилиндр $C=S^{1}\times [0,1]$ с угловой координатой $\alpha\in [0,2\pi=0)$ и вертикальной координатой $z\in [0,1]$. Зафиксируем натуральное число $d$ и будем говорить, что точки $A=(\alpha_1,z_1)$ и $B=(\alpha_2,z_2)$ цилиндра эквивалентны, если $z_1=z_2$ и $\alpha_1-\alpha_2=2\pi k/d$ для некоторого целого $k$. Аналогично, на торе $T^{2}$ с угловыми координатами $(\alpha,\beta)\in [0,2\pi=0)^2$ зафиксируем решетку (дискретную подгруппу) $l$. Например, $l=\{(2\pi k_{1}/d_{1},2\pi k_{2}/d_{2})\mid k_1,k_2\in\mathbb Z\}$ для некоторых $d_{1},d_{2}\in\mathbb N$. Точки $A,B\in T^2$ будем называть эквивалентными, если $A-B\in l$. Пусть $K$ – диаграмма зацепления на цилиндре (или торе) и задано число $d$ (соответственно решетка $l$). Предположим, что диаграмма $K$ находится в общем положении по отношению к подгруппе, т. е. никакие две различные эквивалентные точки $e,e'\in K$ не являются перекрестками и касательные к диаграмме в таких точках трансверсальны. Построим новую диаграмму $\phi_{d}(K)$ (соответственно $\phi_{l}(K)$) с классическими, плоскими и виртуальными перекрестками следующим образом. В обоих случаях ($\phi$ или $\phi'$) для каждой пары эквивалентных точек на ребрах, скажем, $(e_{j},e'_{j})$, построим новый плоский перекресток так. Пусть $e'_{j}= e_{j}+g$, где $g$ – элемент соответствующей группы ($\mathbb{Z}_{d}$ или $l$). Выберем одну из эквивалентных точек, например, $e_{j}$, удалим ее малую окрестность $N=U(e_{j})$ с концами $A$, $B$, перенесем дугу $AB$ на $g$ и соединим $A$ с $A+g$, а $B$ с $B+g$ произвольными путями, не проходящими через перекрестки, помечая все пересечения путей $[A,A+g]$, $[B,B+g]$ как виртуальные перекрестки (см. рис. 1, (a)). Определение 1. Назовем плоско-виртуальным зацеплением класс эквивалентности плоско-виртуальных диаграмм по модулю следующих движений: 1) классические движения Рейдемейстера на классических перекрестках (в неориентируемом случае есть три таких движения); 2) второе и третье движения Рейдемейстера на плоских перекрестках (движения получаются из классических путем забывания информации о проходах-переходах); 3) смешанное плоско-классическое третье движение Рейдемейстера, когда нить, содержащая два последовательных плоских перекрестка, проходит через классический перекресток (тип перекрестка сохраняется); 4) виртуальное движение объезда: дуга, содержащая только виртуальные перекрестки и самопересечения, может быть удалена и заменена на дугу с теми же конечными точками, в которой все новые пересечения отмечены как виртуальные перекрестки. Исключая из списка третье движение Рейдемейстера, действующее на трех плоских перекрестках, получаем определение строгих плоско-виртуальных зацеплений. Теорема 1. Отображения $\phi_{d}$ (или $\phi_{l}'$) задают корректные отображения из множества зацеплений в утолщенном цилиндре (соответственно в утолщенном торе) в множество плоско-виртуальных зацеплений. Иными словами, если $K\sim K'$ – эквивалентные диаграммы на цилиндре (или торе), то $\phi_{d}(K)\sim \phi_{d}(K')$ (соответственно $\phi'_{l}(K)\sim \phi'_{l}(K')$), где $\sim$ обозначает эквивалентность диаграмм относительно описанных выше движений. Более того, в случае $d=2$ диаграммы $\phi_{2}(K)$ и $\phi_{2}(K')$ определяют одно и то же строгое плоско-виртуальное зацепление. Для иллюстрации теоремы рассмотрим зацепление Уайтхеда (рис. 1, (b), фрагмент вверху слева). Удаляя тривиальную (серую) компоненту, получим узел в полнотории (рис. 1, (b), фрагмент вверху справа). При $d=2$ имеем две пары эквивалентных точек ($(A,A)$ и $(B,B)$); рис. 1, (b), фрагмент внизу справа. Применяя отображение $\phi$ (и забывая структуру полнотория), получаем плоско-виртуальную диаграмму $W$ внизу слева. Чтобы показать нетривиальность диаграммы, введем плоско-виртуальный полином Джонса. Пусть $D$ – диаграмма плоско-виртуального зацепления и $C(D)$ – множество ее классических перекрестков. Состояние $s\in \{0,1\}^{C(D)}$ задает сглаживание $D_s$ диаграммы $D$, получаемое применением следующего правила сглаживания к каждому перекрестку в $D$: Обозначим $\alpha(s)=|s^{-1}(0)|$, $\beta(s)=|s^{-1}(1)|$, и пусть $\gamma_{\rm even}(s)$ (соответственно $\gamma_{\rm odd}(s)$) – число компонент в $D_s$, имеющих четное (соответственно нечетное) число плоских перекрестков, а $w(D)$ – число закрученности диаграммы $D$. Определим плоско-виртуальный полином Джонса $X(D)\in\mathbb{Z}[a,a^{-1},b]$ диаграммы $D$ по формуле (ср. [1])
$$
\begin{equation*}
X(D)=(-a)^{-3w(D)}\sum_{s\in \{0,1\}^{C(D)}}a^{\alpha(s)- \beta(s)}(-a^2-a^{-2})^{\gamma_{\rm even}(s)}b^{\gamma_{\rm odd}(s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Плоско-виртуальный полином Джонса $X$ является инвариантом плоско-виртуальных зацеплений. В случае диаграммы $W$ имеем $X(W)=(a^{-6}-a^{-2})b^2-a^{-10}-a^{-6}$, таким образом, плоско-виртуальное зацепление $W$ нетривиально. В дальнейшем предполагается усиление полинома $X$ до инварианта со значениями в картинках (см. [2], [3]). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ManNik24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|