| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Эргодическая теорема для действий фуксовых групп А. И. Буфетовabc, А. В. Клименкоad, К. Сириесe a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН c CNRS, Institut de Mathématiques de Marseille, Marseille, France d Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" e University of Warwick, Coventry, UK
Английская версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10099e 
Реферативные базы данных:
     Основной результат этой заметки, теорема 1, устанавливает поточечную сходимость сферических средних для действий фуксовой группы. Пусть $G$ – конечно порождённая фуксова группа, ${\mathcal R}$ – её фундаментальная область, возможно имеющая вершины или дуги на границе гиперболического диска ${\mathbb D}$, и пусть ${\mathbf{T}_{\mathcal{R}}}=\{g{\mathcal R}\colon g\in G\}$ – соответствующее замощение диска ${\mathbb D}$. Будем говорить, что ${\mathcal R}$ удовлетворяет условию ровных углов (even corners), если геодезическая, проходящая через любую сторону области ${\mathcal R}$, содержится в объединении границ областей $g{\mathcal R}\in{\mathbf{T}_{\mathcal{R}}}$. Пусть $G_0$ – симметричное множество образующих группы $G$, состоящее из элементов, переводящих ${\mathcal R}$ в смежные области разбиения ${\mathbf{T}_{\mathcal{R}}}$. Обозначим $|g|$ длину кратчайшего слова в $G_0$, представляющего $g\in G$, и пусть $S(n)=\{g\in G\colon |g|=n\}$ – сфера радиуса $n$ в группе $G$. Пусть группа $G$ действует на вероятностном пространстве $(X,\mu)$ сохраняющими меру преобразованиями $T_g$. Определим сферические средние функции $f\in L^1(X,\mu)$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{S}_n(f)=\frac1{\#S(n)} \sum_{g\in S(n)} f\circ T_g.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v\in{\mathbb D}$ – вершина ${\mathbf{T}_{\mathcal{R}}}$. Если ${\mathcal R}$ удовлетворяет условию ровных углов, то граница ${\mathbf{T}_{\mathcal{R}}}$ в малой окрестности $v$ состоит из $n = n(v)$ отрезков геодезических, пересекающихся в $v$ и разбивающих эту окрестность на $2n(v)$ секторов. Обозначим $N({\mathcal R})$ число сторон ${\mathcal R}$ внутри ${\mathbb D}$. Если $G_0$ содержит эллиптический элемент порядка 2, то его неподвижная точка считается вершиной ${\mathcal R}$. Введём следующее условие на ${\mathcal R}$.
Условие 1. Область ${\mathcal R}$ удовлетворяет условию ровных углов. Кроме того, либо $N({\mathcal R})\geqslant 5$, либо ${\mathcal R}$ некомпактна и $N({\mathcal R})\in\{3,4\}$, либо ${\mathcal R}$ компактна, $N({\mathcal R})=4$ и ${\mathcal R}$ не имеет пары противоположных вершин $v$, $v'$, для которых $n(v)=n(v')=2$. Обозначим $L\log L(X,\mu)=\biggl\{f \in L^1\colon \displaystyle\int |f| \log ^+|f|\,d\mu < \infty\biggr\}$. Теорема 1. Пусть $G$ – неэлементарная фуксова группа, ${\mathcal R}$ – её фундаментальная область, удовлетворяющая условию 1, а $G_0$ – вышеуказанное множество образующих $G$. Пусть $G$ действует на вероятностном пространстве Лебега $(X,\mu)$ сохраняющими меру преобразованиями. Обозначим $\mathcal I_{G_0^2}$ $\sigma$-алгебру множеств, инвариантных под действием отображений вида $T_{g_1g_2}$, $g_1,g_2\in G_0$. Тогда для любой функции $f\in L\log L(X,\mu)$ имеет место следующая сходимость при $n\to\infty$: где $\mathsf E(f\mid\mathcal I_{G_0^2})$ – условное математическое ожидание $f$ относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal I_{G_0^2}$. Доказательство теоремы обобщает рассуждения из [3], где сходимость сферических средних установлена для действий свободной группы. Главный шаг в доказательстве теоремы 1 – это построение нового марковского кодирования для фуксовой группы, удовлетворяющей условию 1. Первые результаты о поточечной сходимости сферических средних для гиперболических по Громову групп были получены К. Фудзиварой и А. Нево [5] при условии экспоненциального перемешивания действия. Удобный метод доказательства эргодических теорем для действий свободных групп, предложенный Р. И. Григорчуком [6], Ж.-П. Тувено (устное сообщение) и в [2], состоит в построении по действию группы некоторого марковского оператора $P$. Сходимость сферических средних тогда соответствует сходимости его степеней $P^n f$. Данное в [3] доказательство сходимости в случае свободной группы основано на аргументе “Alternierende Verfahren” Дж.-К. Роты [7], т. е. на сходимости $(P^*)^n P^n f$. Для получения отсюда сходимости $P^{2n}f$ нужно соотношение между $P$ и $P^*$ (см. [3; предложение 3]), вытекающее из симметричности соответствующего марковского кодирования на $G$, т. е. следующих условий:
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BufKliSer23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|