| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения О явных численно реализуемых формулах для операторов Пуанкаре–Стеклова А. С. Демидов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10118e 
Реферативные базы данных:
     1.Пусть $u$ – решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа $\Delta u=0$ в односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ с $C^1$-границей $\Gamma$ длины $2\pi$, точнее: $\partial^2 u/\partial x^2+\partial^2 u/\partial y^2=0$ в $\Omega$, $u(P_s)=F(s)$, $P_s\in \Gamma$, где $s\in \mathbb{T}\overset{\rm def}{=}{\mathbb{R}}/{2\pi}$ – натуральный параметр на $\Gamma$, равный длине дуги $\smile\! P_0P_s$ кривой $\Gamma$, отсчитываемой в положительном направлении от некоторой точки $P_0$ до точки $P_s$, а функция $F\in C^1(\mathbb{T})$ задана рядом Фурье
$$
\begin{equation}
F\colon\mathbb{T}\ni s\mapsto \sum_{k\geqslant 0}(a_k\cos ks+b_k\sin ks).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Начнем с численно реализуемых формул для оператора Дирихле–Робена (частного случая операторов Пуанкаре–Стеклова [1]), заданного формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal D\mathcal R(F)\overset{\rm def}{=}\biggl(\alpha u+ \beta\,\frac{\partial u}{\partial\nu}\biggr)\bigg|_{P_s\in\Gamma}\,,\qquad |\alpha|+|\beta|\ne 0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\nu$ – единичная внешняя нормаль к кривой $\Gamma$. Если область $\Omega_\varepsilon$ отличается от $\Omega$ только тем, что ее граница $\Gamma_\varepsilon=\partial\Omega_\varepsilon$ аналитична и в хаусдорфовой $C^1$-метрике отличается от $\Gamma$ на величину порядка $\varepsilon>0$, то операторы $\mathcal D\mathcal R$ для $\Omega_\varepsilon$ и для $\Omega$ будут отличаться в $C^1$-метрике на тот же порядок. Поэтому будем считать, что кривая $\Gamma$ аналитична. При таком предположении в [2] приведены явные численно реализуемые формулы для изометричного на $\Gamma$ однолистного отображения
$$
\begin{equation*}
z\colon V_{\mathbb{T}}\ni\zeta=\rho e^{i\theta}\mapsto z(\zeta)= x(\rho,\theta)+iy(\rho,\theta)\in V_{\Gamma}
\end{equation*}
\notag
$$
окрестности $V_{\Gamma}$ кривой $\Gamma\subset\mathbb{R}^2\simeq\mathbb C\ni z=x+iy$ на окрестность $V_{\mathbb{T}}\ni \zeta=\rho e^{i\theta}$ единичной окружности $\mathbb{T}=\{\rho=1,\,\theta\in\mathbb{R}/2\pi\}$. Свойство изометричности
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{dz(\zeta)}{d\zeta}\biggr|\equiv 1\quad \text{для}\ \ \zeta\in\mathbb{T}
\end{equation}
\tag{3}
$$
играет ключевую роль в построении формул для оператора (2). Возьмем кривую $\gamma=z(\mathcal C)\subset V_{\Gamma}$, где $\mathcal C=\{0<|\zeta|=r\}$, а $r$ мало. Пусть $g$ есть след на $\gamma$ решения $u$ исходной задачи Дирихле. Положим $f\colon\mathbb{T}\ni\theta\mapsto f(\theta)= g(z)\big|_{z=z(re^{i\theta})\in\gamma}$. Ряд Фурье этой периодической функции имеет вид
$$
\begin{equation}
f\colon\mathbb{T}\ni \theta\mapsto \sum_{k\geqslant 0}(c_k\cos k\theta+d_k\sin k\theta).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Учитывая (1) и (4), положим $\lambda_0=c_0$, а для $k\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\lambda_k=a_k-\frac{c_k r^k-a_k r^{2k}}{1-r^{2k}}\,,\quad \mu_k=b_k-\frac{d_k r^k-b_k r^{2k}}{1-r^{2k}}\,,\quad \varphi_k=\frac{c_k-a_kr^k}{1-r^{2k}}\,,\quad \psi_k=\frac{d_k-b_kr^k}{1-r^{2k}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда гармоническая в кольце $V_{\mathbb{T}}=\{r<\rho<1;\, \theta\in\mathbb{T}\}$ функция
$$
\begin{equation}
\zeta=\rho e^{i\theta}\mapsto U(\rho,\theta)=\lambda_0+\sum_{k\geqslant 1} \biggl\{\rho^k[\lambda_k\cos k\theta+\mu_k\sin k\theta]+ \biggl(\frac{r}{\rho}\biggr)^k[\varphi_k\cos k\theta+\psi_k\sin k\theta]\biggr\}
\end{equation}
\tag{5}
$$
удовлетворяет граничным условиям $U(1,\theta)=F(\theta)$ и $U(r,\theta)=f(\theta)$. Теорема 1. Для оператора Дирихле–Неймана $\mathcal D{\mathcal N}\bigl(u\big|_\Gamma\bigr)\overset{\rm def}{=} (\partial u/\partial\nu)\big|_\Gamma$ имеем Остается представить численно реализуемые формулы для $u\big|_\gamma$, где $u$ – решение исходной задачи Дирихле. Известно [3], что
$$
\begin{equation}
u(x,y)=\int_0^{2\pi}\mu(t)K(x(t)-x,y(t)-y)\,dt,\quad\text{где}\ \ K(\xi(t),\eta(t))=\frac{\eta'(t)\xi-\eta\xi'}{\xi^2+\eta^2}\,,
\end{equation}
\tag{7}
$$
т. е. $K(\xi(t),\eta(t))=\dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}\dfrac{\eta(t)}{\xi(t)}$ , а $\mu$ – решение интегрального уравнения
$$
\begin{equation}
\mu(\tau)+\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\mu(t)\,\frac{d}{dt}\operatorname{arctg} \frac{y(t)-y(\tau)}{x(t)-x(\tau)}\,dt=\frac{1}{\pi}F(\tau)\,.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Аппроксимируя интеграл в (8) суммой (подробности см. в [4]) и полагая последовательно $\tau=t_1,\dots,t_n$, получаем систему линейных алгебраических уравнений, из которой находится приближение к $\mu$ и, соответственно, приближение к решению исходной задачи Дирихле.
2.Численная реализация оператора Робена1–Робена2, т. е. оператора
$$
\begin{equation*}
\biggl(\alpha_1u+\beta_1\frac{\partial u}{\partial\nu}\biggr)\bigg|_{\Gamma} \mapsto\biggl(\alpha_2u+ \beta_2\frac{\partial u}{\partial\nu}\biggr)\bigg|_{\Gamma}\,,\qquad |\alpha_k|+|\beta_k|\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
сводится к рассмотренной выше задаче Дирихле–Робена2 с использованием построения (см., например, [5]) решения $\gamma$-задачи Робена1–Дирихле $(\alpha_1u+\beta_1\,\partial u/\partial\nu)\big|_{\Gamma}\mapsto u\big|_{\gamma}$.
3.Еще один частный случай операторов Пуанкаре–Стеклова – это оператор $\mathcal G_{\mathcal M}\mathcal R$, где оператор Гринберга–Майергойза $\mathcal G_{\mathcal M}$ [6], [7] задается при $-1\leqslant\sigma<1$ условиями
$$
\begin{equation}
(1-\sigma)u(P_s^-)-(1+\sigma)u(P_s^+)=2F(P_s),\qquad \frac{\partial u}{\partial \nu}(P_s^-)= \frac{\partial u}{\partial\nu}(P_s^+).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Здесь значение в точке $P_s^+$ (или в $P_s^-$) означает предельное значение в точке $P_s\in \Gamma$ вдоль нормали $\nu$ с внешней (соответственно с внутренней) стороны $\Gamma$. Явные формулы для следов $u\big|_{\gamma}$ и $u\big|_{\Gamma}$ решения задачи (9) обозначены выше в случае задачи Дирихле, т. е. для $\sigma=-1$, а при $|\sigma|<1$ такого же типа формулы через потенциалы с плотностью, удовлетворяющей интегральному уравнению 2-го рода, даны в [7]. Это позволяет получить (аналогично теореме 1) значение $\mathcal G_{\mathcal M}\mathcal R(F)$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dem23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|