| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Пространства Бесова в теории операторов В. В. Пеллерabc a Санкт-Петербургский государственный университет b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Российский университет дружбы народов
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10140e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеВ этом обзоре речь идёт о том, какую важную роль играют классы Бесова в теории операторов. Мы продемонстрируем многочисленные случаи, в которых классы Бесова применяются в различных вопросах теории операторов. Пространства Бесова были введены в работе О. В. Бесова [23]. Оказалось, что они играют весьма заметную роль в теоремах вложения, теории приближений, интерполяционных теоремах и во многих других вопросах теории функций (см. [24], [66], [67], [105]). Однако вышеперечисленным значение пространств Бесова отнюдь не исчерпывается. Начиная с восьмидесятых годов прошлого века классы Бесова играют всё более и более важную роль и в теории операторов. Именно роли пространств Бесова в теории операторов и посвящён этот обзор. Мы начнём с классов Бесова $B_p^{1/p}(\mathbb{T})$, $0<p<\infty$, функций на единичной окружности $\mathbb{T}$, которые возникают при описании операторов Ганкеля класса Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$. Мы также рассмотрим некоторые приложения и обобщения этих результатов, такие как коммутаторы операторов умножения и преобразования Гильберта, операторы Винера–Хопфа на конечном промежутке, задача Ибрагимова–Солева в теории стационарных случайных процессов. Далее, мы рассмотрим задачу оценки норм полиномов от операторов с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве. Эта задача тесно связана с некоторыми классами Бесова функций на окружности $\mathbb{T}$ и с ганкелевыми матрицами в тензорных произведениях пространств $\ell^1$ и $\ell^\infty$. В свою очередь, это приводит к решению задач Мазура 8 и 88 из Шотландской книги [60]. Заключительная часть обзора посвящена приложениям классов Бесова в теории возмущений операторов в гильбертовом пространстве. Будут рассмотрены различные задачи, связанные с поведением функций от операторов или функций от наборов операторов при их возмущении. 2. Определения классов БесоваВ этом обзоре мы будем иметь дело с пространствами Бесова на единичной окружности (иными словами, с пространствами Бесова периодических функций на вещественной прямой) и с пространствами Бесова на евклидовых пространствах. Мы начнём со случая единичной окружности. Причём мы рассмотрим случай единичной окружности несколько подробнее, нежели случай евклидовых пространств, ибо пространства Бесова на евклидовых пространствах освещались подробно во многих книгах. Отметим также, что определения и свойства пространств Бесова на единичной окружности $\mathbb{T}$ легко обобщаются на случай пространств Бесова на торе $\mathbb{T}^d$ для произвольного натурального числа $d$. 2.1. Классы Бесова на единичной окружностиПусть $w$ – бесконечно дифференцируемая функция на $\mathbb{R}$ такая, что
$$
\begin{equation}
w\geqslant0,\quad \operatorname{supp} w\subset\biggl[\frac{1}{2}\,,2\biggr],\quad\text{и}\quad w(t)=1-w\biggl(\frac{t}{2}\biggr)\quad\text{при}\ \ t\in[1,2].
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Определим тригонометрические полиномы $W_n$, $n\geqslant0$, равенствами
$$
\begin{equation}
W_n(\zeta)\overset{\rm def}= \sum_{j\in\mathbb{Z}}w\biggl(\frac{|j|}{2^n}\biggr)\zeta^j,\quad n\geqslant1,\quad W_0(\zeta)\overset{\rm def}=\sum_{\{j:\,|j|\leqslant1\}}\zeta^j,\quad \zeta\in\mathbb{T}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Если $f$ – распределение (обобщённая функция) на $\mathbb{T}$, положим и будем говорить, что $f$ входит в класс Бесова $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$, $s\in\mathbb{R}$, $0<p,q\leqslant\infty$, если
$$
\begin{equation}
\bigl\{2^{ns}\|f_n\|_{L^p}\bigr\}_{n\geqslant0}\in\ell^q.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Напомним, что распределение на $\mathbb{T}$ – это непрерывный линейный функционал на пространстве бесконечно дифференцируемых функций на окружности. Класс $L^1(\mathbb{T})$ естественным образом вкладывается в пространство распределений: функция $g$ из $L^1(\mathbb{T})$ определяет линейный функционал
$$
\begin{equation*}
f\mapsto\displaystyle\int_{\mathbb{T}} fg\,\mathrm{d}\boldsymbol{m},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\boldsymbol{m}$ – нормированная мера Лебега на $\mathbb{T}$. В случае, когда $p,q\geqslant1$, класс $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$ является банаховым пространством. На нём можно рассматривать различные эквивалентные нормы. В частности, можно положить
$$
\begin{equation}
\|f\|_{B_{p,q}^s(\mathbb{T})}= \bigl\|\{2^{ns}\|f_n\|_{L^p}\bigr\}_{n\geqslant0}\bigr\|_{\ell^p}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Если же $\min\{p,q\}<1$, выражение (2.4) является квазинормой. Отметим, что на классах Бесова рассматривают и другие естественные нормы (квазинормы). При $p=q$ принято использовать обозначение $B_p^s(\mathbb{T})\overset{\rm def}= B_{p,p}^s(\mathbb{T})$. Пространство, двойственное к пространству Бесова $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$, в случае, когда $p,q\geqslant1$ и $q<\infty$, можно описать следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\bigl(B_{p,q}^s(\mathbb{T})\bigr)^*=B_{p',q'}^{-s}(\mathbb{T}),\qquad p'=\frac{p}{1-p}\,,\quad q'=\frac{q}{1-q}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
относительно билинейной формы
$$
\begin{equation*}
(f,g)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\widehat f(j)\widehat g(j);
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $f$ пробегает плотное в $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$ множество тригонометрических полиномов, а $g$ – произвольная функция (распределение) из $B_{p',q'}^{-s}(\mathbb{T})$. Напомним, что если $g$ – распределение на $\mathbb{T}$, то коэффициент Фурье $\widehat g(j)$ – это значение функционала $g$ на функции $\overline z^j$. Перейдём теперь к описанию пространств Бесова $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$ при $s>0$ в терминах конечных разностей. Предположим для простоты, что $p\geqslant1$ и $q\geqslant1$. Определим разностный оператор $\Delta_\tau$, $\tau\in\mathbb{T}$, на множестве функций на $\mathbb{T}$ равенством
$$
\begin{equation*}
(\Delta_\tau f)(\zeta)\overset{\rm def}= f(\tau\zeta)-f(-z),\qquad \zeta\in\mathbb{T},
\end{equation*}
\notag
$$
а разностный оператор $\Delta^n_\tau$ определяется как $n$-я степень оператора $\Delta_\tau$. Пусть $s>0$, $1\leqslant p\leqslant\infty$ и $1\leqslant q\leqslant\infty$. Тогда имеет место следующее описание пространств $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_{p,q}^s(\mathbb{T})&=\biggl\{f\in L^p(\mathbb{T})\colon\int_{\mathbb{T}} \frac{\|\Delta^n_\tau f\|_{L^p}^q}{|1-\tau|^{1+sq}}\, {\rm d}\boldsymbol{m}(\tau)<\infty\biggr\},\qquad q<\infty; \\ B_{p,\infty}^s(\mathbb{T})&=\biggl\{f\in L^p(\mathbb{T})\colon\sup_{\tau\ne1} \frac{\|\Delta^n_\tau f\|_{L^p}}{|1-\tau|^s}<\infty\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $p=q=\infty$ и $0<s<1$ мы получаем пространство Гёльдера $\Lambda_s$:
$$
\begin{equation*}
f\in\Lambda_s=B_{\infty,\infty}^s(\mathbb{T})\quad\Longleftrightarrow\quad |f(\zeta_1)-f(\zeta_2)|\leqslant\operatorname{const}|\zeta_1-\zeta_2|^s,\ \ \zeta_1,\zeta_2\in\mathbb{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Классы $\Lambda_s\overset{\rm def}= B_\infty^s(\mathbb{T})= B_{\infty,\infty}^s(\mathbb{T})$ при $s>0$ образуют так называемую шкалу пространств Гёльдера–Зигмунда. В частности, $\Lambda_1$ – это пространство Зигмунда:
$$
\begin{equation*}
f\in\Lambda_1\quad\Longleftrightarrow\quad |f(\zeta\tau)-2f(\zeta)+f(\zeta\overline\tau)|\leqslant \operatorname{const}|1-\tau|,\ \ \zeta,\tau\in\mathbb{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $\lambda_s$ мы будем обозначать замыкание тригонометрических полиномов в $\Lambda_s$ и будем говорить, что $\lambda_s$ – сепарабельное пространство Гёльдера–Зигмунда. Теперь приступим к описанию пространств Бесова в терминах гармонического продолжения в единичный круг. Пусть $s\in\mathbb{R}$, и пусть $m$ – целое положительное число такое, что $m>s$. Тогда обобщённая функция $f$ на окружности $\mathbb{T}$ принадлежит пространству $B_{p,q}^s(\mathbb{T})$ в том и только том случае, когда
$$
\begin{equation}
\int_0^{1}(1-r)^{(m-s)q-1}\biggl\|\frac{\partial^m}{\partial r^m} \bigl((\mathcal{P} f)(r\zeta)\bigr)\biggr\|_{L^p(\mathbb{T})}^q\,{\rm d}r <\infty, \qquad q <\infty,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
\sup_{r\in[0,1)}(1-r)^{m-s}\biggl\|\frac{\partial^m}{\partial r^m} \bigl((\mathcal{P} f)(r\zeta)\bigr)\biggr\|_{L^p(\mathbb{T})} <\infty, \qquad q =\infty,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\mathcal{P} f$ обозначает интеграл Пуассона обобщённой функции $f$. Рассмотрим проекторы Рисса $\mathbb{P}_+$ и $\mathbb{P}_-$, определённые на классе всех распределений на $\mathbb{T}$ равенствами
$$
\begin{equation}
\mathbb{P}_+f=\sum_{j\geqslant0}\widehat f(j)z^j,\qquad \mathbb{P}_-f=\sum_{j<0}\widehat f(j)z^j.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Из определения классов Бесова в терминах свёрток с $W_n$ легко вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{P}_+B_{p,q}^s(\mathbb{T})\subset B_{p,q}^s(\mathbb{T})\quad\text{и}\quad \mathbb{P}_-B_{p,q}^s(\mathbb{T})\subset B_{p,q}^s(\mathbb{T}),\quad p,q>0,\quad s\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем использовать обозначение $(B_{p,q}^s)_+$ для $\mathbb{P}_+B_{p,q}^s(\mathbb{T})$. Функции $f$ из класса $(B_{p,q}^s)_+$ (распределения при $s\leqslant0$) можно отождествить со степенными рядами и, тем самым, классы $(B_{p,q}^s)_+$ становятся пространствами аналитических функций в круге. Такие классы можно описать с помощью условий (2.5) и (2.6); при этом частные производные порядка $m$ можно заменить на производные порядка $m$ по комплексной переменной. В частности, при $p=q<\infty$ и $s<0$ классы Бесова $(B_p^s)_+\overset{\rm def}=(B_{p,p}^s)_+$ становятся весовыми классами Бергмана, т. е. аналитическая функция $f$ в единичном круге $\mathbb{D}$ входит в класс Бесова $(B_p^s)_+$ в том и только том случае, когда
$$
\begin{equation*}
\int_\mathbb{D}(1-|\zeta|)^{-sp-1} |f(\zeta)|^p\,{\rm d}\boldsymbol{m}_2(\zeta)<\infty,\qquad p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Важное пространство Блоха ${\mathfrak B}$ аналитических функций $f$ в $\mathbb{D}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{\zeta\in\mathbb{D}}|f'(\zeta)|(1-|\zeta|)<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
также является классом Бесова $(B_\infty^0)_+$ аналитических функций. Отметим здесь книгу [79], которая содержит введение в классы Бесова на единичной окружности. 2.2. Классы Бесова на евклидовых пространствахПусть $d$ – натуральное число, а $w$ – бесконечно гладкая функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая требованиям (2.1). Определим функции $W_n$, $n\in\mathbb{Z}$, на $\mathbb{R}^d$ равенством
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathscr{F} W_n\bigr)(x)=w\biggl(\frac{\|x\|}{2^n}\biggr),\qquad n\in\mathbb{Z}, \quad x=(x_1,\dots,x_d),\quad \|x\|\overset{\rm def}=\biggl(\,\sum_{j=1}^dx_j^2\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{F}$ – преобразование Фурье, определённое на $L^1(\mathbb{R}^d)$ равенством
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (\mathscr{F} f)(t)=\int_{\mathbb{R}^d} f(x)e^{-{\rm i}(x,t)}\,{\rm d} x, \\ x=(x_1,\dots,x_d),\quad t=(t_1,\dots,t_d), \quad (x,t)\overset{\rm def}= \sum_{j=1}^dx_jt_j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\in\mathbb{Z}}(\mathscr{F} W_n)(t)=1,\qquad t\in\mathbb{R}^d\setminus\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что использование одного и того же обозначения $W_n$ в этом и предыдущем пунктах не приведёт к путанице. Каждому медленно растущему распределению $f$ из ${\mathscr S}'(\mathbb{R}^d)$ поставим в соответствие последовательность $\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, где Формальный ряд $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_n$, являющийся разложением типа Литтлвуда–Пэли функции $f$, не обязательно сходится к $f$. Сначала мы определим (однородный) класс Бесова $\dot B^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)$, $s\in\mathbb{R}$, $0<p,q\leqslant\infty$, как пространство распределений $f$ класса ${\mathscr S}'(\mathbb{R}^n)$ (т. е. медленно растущих распределений) таких, что
$$
\begin{equation}
\{2^{ns}\|f_n\|_{L^p}\}_{n\in\mathbb{Z}}\in\ell^q(\mathbb{Z}),\quad \|f\|_{B^s_{p,q}}\overset{\rm def}= \bigl\|\{2^{ns}\|f_n\|_{L^p}\}_{n\in\mathbb{Z}}\bigr\|_{\ell^q(\mathbb{Z})}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В соответствии с этим определением $\dot B^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ содержит все полиномы; при этом $\|f\|_{B^s_{p,q}}=0$ для всякого полинома $f$. Кроме того, распределение $f$ определено последовательностью $\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ единственным образом с точностью до полинома. Легко видеть, что ряд $\displaystyle\sum_{n\geqslant0}f_n$ сходится в пространстве1 ${\mathscr S}'(\mathbb{R}^d)$. Однако ряд $\displaystyle\sum_{n<0}f_n$, вообще говоря, может расходиться. Можно доказать, тем не менее, что ряды
$$
\begin{equation}
\sum_{n<0}\frac{\partial^r f_n}{\partial x_1^{r_1}\cdots \partial x_d^{r_d}}\quad\text{при}\ \ r_j\geqslant0,\ \ 1\leqslant j\leqslant d,\ \ \sum_{j=1}^dr_j=r,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
равномерно сходятся в $\mathbb{R}^d$, если $r\in\mathbb{Z}_+$ и $r>s-d/p$. Отметим, что при $q\leqslant1$ ряды в (2.10) сходятся равномерно при более слабом условии $r\geqslant s-d/p$. Теперь мы можем определить модифицированное (однородное) пространство Бесова $B^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)$. Будем говорить, что распределение $f$ принадлежит классу $B^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)$, если выполнено условие (2.9) и
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^r f}{\partial x_1^{r_1}\cdots\partial x_d^{r_d}}= \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{\partial^r f_n}{\partial x_1^{r_1}\cdots \partial x_d^{r_d}}\quad\text{при}\ \ r_j\geqslant0,\ \ 1\leqslant j\leqslant d,\ \ \sum_{j=1}^dr_j=r,
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве ${\mathscr S}'(\mathbb{R}^d)$, где $r$ – минимальное неотрицательное целое число, при котором $r>s-d/p$ ($r\geqslant s-d/p$, если $q\leqslant1$). Теперь функция $f$ однозначно определяется последовательностью $\{f_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ с точностью до полинома степени, меньшей чем $r$. При этом полином $g$ входит в $B^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)$ тогда и только тогда, когда $\deg g<r$. В случае $p=q$ мы используем обозначение $B_p^s(\mathbb{R}^d)$ для $B_{p,p}^s(\mathbb{R}^d)$. Рассмотрим теперь шкалу $\Lambda_\alpha(\mathbb{R}^d)$, $\alpha>0$, классов Гёльдера–Зигмунда. Их можно определить равенством
$$
\begin{equation*}
\Lambda_\alpha(\mathbb{R}^d)\overset{\rm def}= B_\infty^\alpha(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Классы Бесова допускают много других описаний. Приведём описание в терминах конечных разностей. Для $h$ из $\mathbb{R}^d$ определим разностный оператор $\Delta_h$ равенством Пусть $s>0$, $m\in\mathbb{Z}$ и $m-1\leqslant s<m$. Пусть $p,q\in[1,\infty]$. Класс Бесова $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ может быть определён как пространство функций $f$ из $L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^d)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \int_{\mathbb{R}^d}|h|^{-d-sq} \|\Delta^m_h f\|_{L^p}^q\,{\rm d}h&<\infty,&\qquad q&<\infty; \\ \sup_{h\ne 0}\frac{\|\Delta^m_h f\|_{L^p}}{|h|^s}&<\infty,&\qquad q&=\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Однако при этом определении классы Бесова могут содержать полиномы более высоких степеней, чем в случае определения в терминах свёрток с функциями $W_n$. Пространство $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ может быть определено в терминах интеграла Пуассона. Пусть $P_d(x,t)$ – ядро Пуассона, решающее задачу Дирихле для полупространства $\mathbb{R}^{d+1}_+\overset{\rm def}=\{(x,t)\colon x\in\mathbb{R}^d, t>0\}$, т. е.
$$
\begin{equation*}
P_d(x,t)=c_dt(|x|^2+t^2)^{-(d+1)/2},\qquad c_d=\pi^{-(d+1)/2}\Gamma\biggl(\frac{d+1}{2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
С каждой функцией $f\in L^1\bigl(\mathbb{R}^d,(\|x\|+1)^{-(d+1)}\,{\rm d} x\bigr)$ можно связать интеграл Пуассона $\mathcal{P} f$:
$$
\begin{equation*}
(\mathcal{P} f )(x,t)=\int_{\mathbb{R}^d}P_d(x-y,t)f(y)\,{\rm d} y.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любого целого положительного числа $m$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^m (\mathcal{P} f)}{\partial t^m}(x,t)= \int_{\mathbb{R}^d}\frac{\partial^m P_d(x-y,t)}{\partial t^m}f(y)\,{\rm d}y.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что последний интеграл имеет смысл при всех $f$ из пространства $L^1\bigl(\mathbb{R}^d,(\|x\|+1)^{-(d+m+1)}\,{\rm d} x\bigr)$. Это обстоятельство позволяет корректно определить $\partial^m\mathcal{P}/\partial t^m$ для функций $f$ класса $L^1\bigl(\mathbb{R}^d,(\|x\|+1)^{-(d+m+1)}\,{\rm d} x\bigr)$. Пусть $m\in\mathbb{Z}$, $s>0$, $m-1\leqslant s<m$, $1\leqslant p,q\leqslant \infty$. Тогда мы можем определить пространство $B_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ как множество всех функций $f$, принадлежащих пространству $L^1\bigl(\mathbb{R}^d,(\|x\|+1)^{-(d+m+1)}\,{\rm d} x\bigr)$, таких, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \biggl(\int_0^{\infty}t^{(m-s)q-1}\biggl\|\biggl(\frac{\partial^m} {\partial t^m}\mathcal{P} f\biggr)(\,\cdot\,,t)\biggr\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}^q \,{\rm d} t\biggr)^{1/q}&<\infty,&\qquad q&<\infty; \\ \sup_{t>0}t^{m-s}\biggl\|\biggl(\frac{\partial^m}{\partial t^m} \mathcal{P} f\biggr)(\,\cdot\,,t)\biggr\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}&<\infty,&\qquad q&=\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом определении классы Бесова тоже могут содержать полиномы более высоких степеней, чем в случае определения в терминах свёрток с функциями $W_n$. Отметим ещё, что это определение в терминах интеграла Пуассона при определённых условиях и оговорках работает и в том случае, когда $p<1$ или $q<1$. 2.3. Неоднородные классы Бесова на евклидовых пространствахВ теории операторов, как правило, возникают однородные пространства Бесова. Но в недавних работах [16] и [14] появляются и неоднородные пространства Бесова. Определим функцию $W^{[0]}$ равенством
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathscr{F} W^{[0]}\bigr)(t)=1- \sum_{n\geqslant1}(\mathscr{F} W_n)(t),\qquad t\in\mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\bigl(\mathscr{F} W^{[0]}\bigr)(t)=1,\quad\text{если}\ \ \|t\|\leqslant1,\quad\text{и}\quad \operatorname{supp}\mathscr{F}W^{[0]}\subset\bigl\{t\in\mathbb{R}^d\colon \|t\|\leqslant2\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $s>0$ и $p,q\in[1,\infty]$. Будем говорить, что медленно растущее распределение $f$ на $\mathbb{R}^d$ входит в неоднородное пространство Бесова $\textit{Б}^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)$, если
$$
\begin{equation}
f^{[0]}\overset{\rm def}=f*W^{[0]}\in L^p(\mathbb{R}^d)\quad\text{и}\quad \bigl\{2^{ns}\|f_n\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\bigr\}_{n\geqslant1}\in\ell^q,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где функции $f_n$ определены равенством (2.8). Отметим, что такое обозначение для неоднородных классов Бесова было принято в [16] и [14], и оно несколько отличается от общепринятого. Тем не менее оно достаточно удобно. Хорошо известно и легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\textit{Б}^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)=B^s_{p,q}(\mathbb{R}^d)\cap L^p(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Более подробную информацию о классах Бесова читатель может найти в книгах [67], [24], [66] и [105]. 3. Введение в классы Шаттена–фон НейманаВ этом разделе мы дадим краткое введение в сингулярные числа операторов в гильбертовом пространстве и классы Шаттена–фон Неймана. Мы отсылаем читателя к [34] и [28] за доказательствами приведённых ниже утверждений и за более подробной информацией. Для ограниченного линейного оператора $T$ в гильбертовом пространстве его сингулярные числа $s_j(T)$, $j\geqslant0$, определяются равенством
$$
\begin{equation}
s_j(T)\overset{\rm def}=\inf\bigl\{\|T-R\|\colon \operatorname{rank} R\leqslant j\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
В случае, когда $T$ – компактный оператор в гильбертовом пространстве, последовательность $\{s_j(T)\}_{j\geqslant0}$ совпадает с последовательностью собственных чисел (с учётом кратностей) оператора $(T^*T)^{1/2}$, расположенных в невозрастающем порядке. Класс Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$, $0<p<\infty$, состоит по определению из операторов $T$, для которых
$$
\begin{equation}
\|T\|_{\boldsymbol{S}_p}\overset{\rm def}= \biggl(\,\sum_{j\geqslant0}(s_j(T))^p\biggr)^{1/p}<\infty.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
При $p\geqslant1$ это – нормированный идеал операторов в гильбертовом пространстве с нормой (3.2). При $p<1$ функционал $\|\cdot\|_{\boldsymbol{S}_p}$ не является нормой, а является $p$- нормой, т. е. выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\|T+R\|_{\boldsymbol{S}_p}^p\leqslant\|T\|_{\boldsymbol{S}_p}^p+ \|R\|_{\boldsymbol{S}_p}^p,\qquad T,R\in\boldsymbol{S}_p.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Класс $\boldsymbol{S}_1$ называется классом ядерных операторов. Если $T$ – ядерный оператор в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, то его след $\operatorname{trace} T$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\operatorname{trace} T\overset{\rm def}=\sum_{j\geqslant0}(Te_j,e_j),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{e_j\}_{j\geqslant0}$ – ортонормированный базис в $\mathscr{H}$. Правая часть не зависит от выбора базиса. Класс $\boldsymbol{S}_2$ называется классом Гильберта–Шмидта. Он образует гильбертово пространство со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(T,R)_{\boldsymbol{S}_2}\overset{\rm def}=\operatorname{trace}(TR^*).
\end{equation*}
\notag
$$
При $p\in(1,\infty)$ двойственное пространство $(\boldsymbol{S}_p)^*$ можно изометрическим образом отождествить с пространством $\boldsymbol{S}_{p'}$, $1/p+1/p'=1$, с помощью билинейной формы
$$
\begin{equation*}
\langle T,R\rangle\overset{\rm def}=\operatorname{trace}(TR).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, при $R\in\boldsymbol{S}_{p'}$ норма линейного функционала $T\mapsto\operatorname{trace}(TR)$ на $\boldsymbol{S}_p$ совпадает с нормой оператора $R$ в $\boldsymbol{S}_{p'}$. Пространство, двойственное к $\boldsymbol{S}_1$, можно отождествить с пространством всех ограниченных линейных операторов с помощью этой же билинейной формы, в то время как пространство, двойственное к пространству компактных операторов, отождествляется с $\boldsymbol{S}_1$. 4. Операторы Ганкеля и классы Бесова4.1. Классические операторы Ганкеля и ганкелевы матрицыКлассы Бесова были применены при изучении операторов Ганкеля в работе [70]. Операторы Ганкеля на классе Харди2 $H^2$ аналитических функций в круге $\mathbb{D}$ определяются следующим образом. Пусть $\varphi$ – функция класса $L^2=L^2(\mathbb{T})$. На множестве всех аналитических полиномов $\mathscr{P}_+$ оператор Ганкеля $H_\varphi$ из класса Харди $H^2$ в пространство $H^2_-\overset{\rm def}= L^2\ominus H^2$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
H_\varphi\overset{\rm def}=\mathbb{P}_-\varphi f,\qquad f\in\mathscr{P}_+
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним, что проекторы Рисса определяются равенствами (2.7)). Такие операторы не обязательно ограничены. Критерий ограниченности операторов Ганкеля даётся теоремой Нехари: оператор $H_\varphi$ ограничен в том и только том случае, когда существует функция $\psi$ из $L^\infty$ такая, что $H_\varphi=H_\psi$. Последнее равенство эквивалентно следующему: При этом
$$
\begin{equation*}
\|H_\varphi\|=\operatorname{dist}_{L^\infty}(\psi,H^\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Из теорем Нехари и Феффермана вытекает, что для $\varphi\in L^2$ оператор Ганкеля $H_\varphi$ является ограниченным оператором из $H^2$ в $H^2_-$ (точнее, продолжается до ограниченного оператора из $H^2$ в $H^2_-$) тогда и только тогда, когда функция $\mathbb{P}_-\varphi$ входит в класс $\operatorname{BMO}$ функций на $\mathbb{T}$ ограниченной средней осцилляции. При этом норма оператора $H_\varphi$ эквивалентна норме функции $\mathbb{P}_-\varphi$ в пространстве $\operatorname{BMO}$. Критерий компактности операторов Ганкеля даётся теоремой Хартмана: если $\varphi\in L^\infty$, то компактность оператора $H_\varphi$ эквивалентна тому, что $\varphi\in H^\infty+C$, т. е. $\varphi$ представляется в виде $\varphi=g+h$, где $g\in H^\infty$, а $h$ – непрерывная функция на $\mathbb{T}$. Вместе с теоремой Сарасона это даёт следующий критерий: оператор $H_\varphi$ компактен в том и только том случае, когда функция $\mathbb{P}_-\varphi$ входит в класс ${\rm VMO}$ функций на $\mathbb{T}$ исчезающей средней осцилляции. Подробная информация об операторах Ганкеля и их приложениях содержится в книге [79] (см. также книгу [65]). Оператор Ганкеля $H_\varphi\colon H^2\to H^2_-$ в ортонормированных базисах $\{z^j\}_{j\geqslant0}$ пространства $H^2$ и $\{\overline z^j\}_{j>0}$ пространства $H^2_-$ имеет бесконечную матрицу
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \widehat\varphi(-1)&\widehat\varphi(-2)&\widehat\varphi(-3)&\dots \\ \widehat\varphi(-2)&\widehat\varphi(-3)&\dots&\dots \\ \widehat\varphi(-3)&\vdots&\ddots \\ \vdots \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такие матрицы называются ганкелевыми матрицами. Последовательности комплексных чисел $\{\alpha_j\}_{j\geqslant0}$ из $\ell^2$ поставим в соответствие ганкелеву матрицу
$$
\begin{equation}
\Gamma_\alpha=\begin{pmatrix} \alpha_0&\alpha_1&\alpha_2&\dots \\ \alpha_1&\alpha_2&\dots&\dots \\ \alpha_2&\vdots&\ddots \\ \vdots \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
и будем отождествлять такие матрицы с операторами в пространстве $\ell^2$ относительно естественного ортонормированного базиса в $\ell^2$. Ясно, что изучение метрических свойств операторов Ганкеля $H_\varphi$ эквивалентно изучению метрических свойств матриц Ганкеля $\Gamma_\alpha$. В частности, $\Gamma_\alpha$ определяет ограниченный оператор в $\ell^2$ в том и только том случае, когда
$$
\begin{equation}
\alpha(z)\overset{\rm def}=\sum_{j\geqslant0}\alpha_jz^j\in {\rm BMOA}\overset{\rm def}=\mathbb{P}_+\operatorname{BMO}={\rm BMO}\cap H^2,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и в случае, когда последнее условие выполнено, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\|\Gamma_\alpha\|=\|\alpha\|_{\rm BMOA}\overset{\rm def}= \inf\{\|\psi\|_{L^\infty}\colon\psi\in L^\infty\ \text{и}\ \widehat\psi(j)=\alpha_j\ \text{при}\ j\geqslant0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, оператор $\Gamma_\alpha$ компактен в том и только том случае, когда
$$
\begin{equation*}
\alpha(z)\overset{\rm def}=\sum_{j\geqslant0}\alpha_jz^j\in{\rm VMOA} \overset{\rm def}=\mathbb{P}_+{\rm VMO}={\rm VMO}\cap H^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдём теперь к условиям принадлежности операторов Ганкеля классам Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$. Критерий принадлежности операторов Ганкеля $H_\varphi$ классам Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$ даётся следующей теоремой. Теорема 4.1. Пусть $0<p<\infty$, и пусть $\varphi\in L^2$. Тогда оператор Ганкеля $H_\varphi$ входит в класс Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$ в том и только том случае, когда функция $\mathbb{P}_-\varphi$ входит в класс Бесова $B_p^{1/p}(\mathbb{T})$. Теорему 4.1 можно переформулировать следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\Gamma_\alpha\in\boldsymbol{S}_p\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{j\geqslant0}\alpha_jz^j\in\bigl(B_p^{1/p}\bigr)_+,\qquad 0<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Применив теперь описание (2.5) классов Бесова к пространствам Бесова аналитических функций, мы получаем следующие описания операторов $\Gamma_\alpha$ класса $\boldsymbol{S}_p$. Теорема 4.2. Пусть $\alpha$ – функция, заданная степенным рядом (4.2). Предположим, что $0<p<\infty$, а $m$ – целое число такое, что $m>1/p$. Тогда В частности, при $p=1$ получаем следующее описание ядерных операторов $\Gamma_\alpha$. Отметим, что описание ядерных ганкелевых операторов было получено в работе [70]. Тем самым была решена старая хорошо известная задача, которая, в частности, упомянута М. Розенблюмом [97], М. Г. Крейном [48] и Ф. Холландом (см. [18]). Случай $1<p<\infty$ был также охвачен в работе [70]. В случае $0<p<1$ описание операторов Ганкеля класса $\boldsymbol{S}_p$ было получено в работе [72]. Отметим, что другие подходы в случае $0<p<1$ были предложены А. А. Пекарским [68] и С. Семмесом [103]. Рамки этого обзора не позволяют привести здесь полное доказательство теоремы 4.1. Мы ограничимся доказательством достаточности условия $\mathbb{P}_-\varphi\in B_p^{1/p}(\mathbb{T})$ при $0<p<1$, а также обсудим, как можно получить необходимость этого условия при $p=1$. Доказательство достаточности условия $\mathbb{P}_{-}\varphi\in B_p^{1/p}(\mathbb{T})$ при $p\leqslant1$. Пусть $\psi$ – аналитическая в круге $\mathbb{D}$ функция, и пусть $\psi_n=\psi*W_n$, где аналитические полиномы $W_n$ определены равенствами (2.2). Воспользовавшись неравенством (3.3) (которое, очевидно, верно и при $p=1$), мы видим, что из (2.3) и (2.4) вытекает, что достаточно установить следующее утверждение.
Пусть $\psi$ – аналитический полином степени $m-1$. Тогда
$$
\begin{equation}
\|\Gamma_\psi\|_{\boldsymbol{S}_p}\leqslant 2^{1/p-1}m^{1/p}\|\psi\|_{L^p(\mathbb{T})}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Итак, для аналитического полинома $\psi$, $\deg\psi=m-1$, определим операторы $A_j$, $0\leqslant j\leqslant2m-1$, ранга 1 следующим образом. Рассмотрим точки
$$
\begin{equation*}
\zeta_j=e^{2\pi\mathrm{i} j/(2m)},\qquad 0\leqslant j\leqslant2m-1,
\end{equation*}
\notag
$$
на окружности $\mathbb{T}$. Пусть $f_j$ и $g_j$, $0\leqslant j\leqslant2m-1$, – последовательности из $\ell^2$, определяемые равенствами
$$
\begin{equation*}
f_j(k)=\begin{cases} \overline{\psi(\zeta_j)}\,\zeta_j^k, & 0\leqslant k<m, \\ 0, & k\geqslant m; \end{cases}\qquad g_j(n)=\begin{cases} \overline\zeta_j^n, & 0\leqslant k<m, \\ 0, & k\geqslant m. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим теперь оператор $A_j$, $0\leqslant j\leqslant2m-1$, ранга 1 формулой Тогда имеет место равенство Для доказательства этого равенства нужно проверить, что матричные элементы операторов в левой и правой частях одинаковы. Ясно, что в случае, когда $k\geqslant m$ или $n\geqslant m$, выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
(A_je_k,e_n)=0\quad\text{и}\quad (\Gamma_\psi e_k,e_n)=\widehat\psi(n+k)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\{e_j\}_{j\geqslant0}$ – стандартный ортонормированный базис пространства $\ell^2$. Далее, поскольку $\psi$ – аналитический полином и $\deg\psi<m$, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2m}\sum_{j=0}^{2m-1}\psi(\zeta_j)\overline\zeta_j^d= \widehat\psi(d)\quad\text{при}\ \ 0\leqslant d\leqslant 2m-1.
\end{equation*}
\notag
$$
А значит, при $n<m$ и $k<m$ имеем $(A_je_k,e_n)=\psi(\zeta_j)\overline\zeta_j^{n+k}$ и, стало быть,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2m}\sum_{j=0}^{2m-1}(A_je_k,e_n)=\frac{1}{2m} \sum_{j=0}^{2m-1}\psi(\zeta_j)\overline\zeta_j^{n+k}=\widehat\psi(n+k).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь представление (4.4) вместе с неравенством (3.3) позволяет заключить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Gamma_\psi\|^p_{\boldsymbol{S}_p}&\leqslant\frac{1}{(2m)^p} \sum_{j=0}^{2m-1}\|A_j\|^p_{\boldsymbol{S}_p}= \frac{1}{(2m)^p}\sum_{j=0}^{2m-1}\|f_j\|^p\|g_j\|^p \\ &=\frac{1}{(2m)^p}\sum_{j=0}^{2m-1}\bigl(|\psi(\zeta_j)|m\bigr)^p, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\|\Gamma_\psi\|_{\boldsymbol{S}_p}\leqslant 2^{1/p-1}m^{1/p}\,\frac{1}{2m}\sum_{j=0}^{2m-1}|\psi(\zeta_j)|^p.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Чтобы получить (4.3), достаточно воспользоваться хорошо известным неравенством
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2m}\sum_{j=0}^{2m-1}|\psi(\zeta_j)|^p\leqslant\|\psi\|_{L^p}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Впрочем, мы можем просто применить неравенство (4.5) для функции $\psi_\tau$, $\tau\in\mathbb{T}$, $\psi_\tau(\zeta)\overset{\rm def}=\psi(\tau\zeta)$, заметить, что $\|\Gamma_{\psi_\tau}\|_{\boldsymbol{S}_p}= \|\Gamma_\psi\|_{\boldsymbol{S}_p}$, $\tau\in\mathbb{T}$, и проинтегрировать по переменной $\tau$ по мере Лебега $\boldsymbol{m}$ на $\mathbb{T}$. Доказательство достаточности завершено. При $p=1$ есть несколько подходов к доказательству необходимости условия $\alpha\in(B_1^1)_+$. Один из них состоит в подборе специальных ограниченных операторов $B$ в $\ell^2$ и подсчёте следов $\operatorname{trace}\Gamma_\alpha B$ (см. [70] и [79]). Другой подход заключается в построении некоторого специального ограниченного проектора ${\mathscr Q}$ из $\boldsymbol{S}_1$ на подпространство ядерных ганкелевых операторов (см. [79; гл. 6, § 5]). Отметим здесь, что усредняющий проектор $\mathcal{P}$ на ганкелевы матрицы, определяемый равенством
$$
\begin{equation}
(\mathcal{P} T)_{jk}\overset{\rm def}= \frac{1}{j+k+1}\sum_{m=0}^{j+k}(Te_m,e_{j+k-m}),\qquad j,k\geqslant0,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
не является ограниченным оператором на $\boldsymbol{S}_1$. Действительно, нетрудно заметить, что когда $T$ пробегает все операторы ранга 1, ганкелевы матрицы $\mathcal{P} T$ заполняют все матрицы вида $\Gamma_\alpha$, где $\alpha$ – произвольная аналитическая в $\mathbb{D}$ функция с производной из класса Харди $H^1$, и, стало быть,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}\boldsymbol{S}_1=\bigl\{\Gamma_\varphi\colon\varphi'\in H^1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем не менее $\{f\colon f'\in H^1\}\not\subset(B_1^1)_+$. Действительно, хорошо известно, что лакунарные коэффициенты Фурье $\widehat g(2^k)$ функций $g$ из $H^1$ заполняют всё пространство $\ell^2$, в то время как лакунарные коэффициенты Фурье функций с производными из $(B_1^1)_+$ заполняют пространство $\ell^1$. Мы отсылаем читателя к [72] и [79] по поводу доказательства необходимости условия $\mathbb{P}_-\varphi\in B_p^{1/p}(\mathbb{T})$, $0<p<1$, в теореме 4.1. Это доказательство довольно сложно и основано на явном вычислении $\boldsymbol{S}_p$-квазинорм операторов свёртки на циклических группах. В случае $1<p<\infty$ доказательство теоремы 4.1, приведённое в работе [70], получено с помощью интерполяционной теоремы Марцинкевича. При этом в ходе доказательства было установлено, что усредняющий проектор $\mathcal{P}$ на ганкелевы матрицы ограничен в $\boldsymbol{S}_p$ при $1<p<\infty$. Мы отсылаем читателя к книге [79], в которой все эти вопросы подробно освещаются. 4.2. Обобщённые ганкелевы матрицыПуть $\alpha$ и $\beta$ – вещественные числа, а $\varphi$ – аналитическая в круге $\mathbb{D}$ функция. Рассмотрим обобщённые ганкелевы матрицы вида
$$
\begin{equation*}
\Gamma_\varphi^{\alpha,\beta}= \bigl\{(1+j)^\alpha(1+k)^\beta\bigr\}_{j,k\geqslant0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $\alpha=\beta=0$ соответствует классическим ганкелевым матрицам. Мы будем рассматривать такие матрицы как операторы в пространстве $\ell^2$. Следующая теорема описывает ограниченные и компактные операторы $\Gamma_\varphi^{\alpha,\beta}$ при $\alpha\geqslant0$ и $\beta\geqslant0$. Теорема 4.4. Пусть $\varphi$ – аналитическая функция в $\mathbb{D}$. Имеют место следующие утверждения: (i) если $\alpha>0$ и $\beta>0$, то $\Gamma_\varphi^{\alpha,\beta}$ – матрица ограниченного оператора в $\ell^2$ в том и только том случае, когда $\varphi$ входит в класс Гёльдера $\Lambda_{\alpha+\beta}$; (ii) если $\alpha>0$ и $\beta>0$, то $\Gamma_\varphi^{\alpha,\beta}$ – матрица компактного оператора в $\ell^2$ в том и только том случае, когда $\varphi$ входит в сепарабельный класс Гёльдера $\lambda_{\alpha+\beta}$; (iii) если $\alpha>0$, то $\Gamma_\varphi^{\alpha,0}$ – матрица ограниченного оператора в $\ell^2$ в том и только том случае, когда функция
$$
\begin{equation*}
I_{-\alpha}\varphi\overset{\rm def}= \sum_{n\geqslant0}(1+n)^\alpha\widehat\varphi(n)z^n
\end{equation*}
\notag
$$
входит в класс $\operatorname{BMO}$; (iv) если $\alpha>0$, то $\Gamma_\varphi^{\alpha,0}$ – матрица компактного оператора в $\ell^2$ в том и только том случае, когда функция $I_{-\alpha}\varphi$ входит в класс ${\rm VMO}$. В следующей теореме описываются операторы $\Gamma_\varphi^{\alpha,\beta}$, принадлежащие классам Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$. Теорема 4.5. Пусть $\varphi$ – аналитическая функция в $\mathbb{D}$, и пусть $0<p<\infty$. Предположим, что $\alpha$ и $\beta$ – вещественные числа такие, что Тогда $\Gamma_\varphi^{\alpha,\beta}\in\boldsymbol{S}_p$ в том и только том случае, когда функция $\varphi$ входит в класс Бесова $(B_p^{1/p+\alpha+\beta})_+$. Мы отсылаем читателя к книге [79] для доказательств этих утверждений и более подробных обсуждений. 5. Некоторые приложения критерия принадлежности оператора Ганкеля классам $\boldsymbol{S}_p$В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения описания операторов Ганкеля класса $\boldsymbol{S}_p$ в терминах классов Бесова. Читатель может ознакомиться с приложениями более подробно в книге [79]. 5.1. Характеризация классов Бесова в терминах рациональной аппроксимацииВ этом пункте мы обсудим, как можно описать классы Бесова $(B_p^{1/p})(\mathbb{T})$ в терминах рациональной аппроксимации в норме пространства $\operatorname{BMO}$. Прежде всего нам понадобится самая старая теорема о ганкелевых матрицах – теорема Кронекера [50] о ганкелевых матрицах конечного ранга, из которой вытекает, что оператор Ганкеля $H_\varphi\colon H^2\to H^2_-$ имеет ранг $k$ в том и только том случае, когда $\mathbb{P}_-\varphi$ – рациональная функция степени3$k$. Мы также воспользуемся глубоким результатом Адамяна–Арова–Крейна [1], который состоит в том, что в случае, когда $T$ – оператор Ганкеля, в правой части равенства (3.1) достаточно рассматривать только ганкелевы операторы $R$ ранга не выше $j$, т. е.
$$
\begin{equation*}
s_j(H_\varphi)=\inf\bigl\{\|H_\varphi-H_g\|\colon g\in L^\infty,\ \operatorname{rank} H_g\leqslant j\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинация теоремы Кронекера и теоремы Адамяна–Арова–Крейна вместе с упомянутыми выше теоремами Нехари и Феффермана позволяет получить следующее описание классов Бесова $(B_p^{1/p})(\mathbb{T})$ в терминах рациональной аппроксимации в норме пространства $\operatorname{BMO}$. Пусть $\varphi\in L^\infty$, и пусть $j\in\mathbb{Z}_+$. Рассмотрим расстояние $\rho_n(\varphi)$ функции $\varphi$ до множества ${\mathcal R}_n$ рациональных функций степени не выше $n$ с полюсами вне $\mathbb{T}$ в норме пространства $\operatorname{BMO}$:
$$
\begin{equation*}
\rho_n(\varphi)\overset{\rm def}= \operatorname{dist}_{\operatorname{BMO}}(\varphi,{\mathcal R}_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.1. Пусть $\varphi$ – функция на $\mathbb{T}$ класса $\operatorname{BMO}$, и пусть $0<p<\infty$. Тогда $\varphi\in(B_p^{1/p})(\mathbb{T})$ в том и только том случае, когда Теорема 5.1 была получена в [70] и [72]. Мы отсылаем читателя к [79; гл. 6, § 6], где эти вопросы обсуждаются подробно и приводятся другие результаты на эту тему. 5.2. Коммутаторы операторов умножения и проектора РиссаДля функции $\varphi$ класса $L^2$ оператор умножения $M_\varphi$ определяется на плотном в $L^2$ множестве $\mathscr{P}$ тригонометрических полиномов равенством $M_\varphi f\overset{\rm def}=\varphi f$, $f\in \mathscr{P}$. Рассмотрим теперь коммутатор ${\mathscr C}_\varphi$ оператора $M_\varphi$ и проектора Рисса $\mathbb{P}_+$, определяемый равенством
$$
\begin{equation*}
{\mathscr C}_\varphi=[M_\varphi,\mathbb{P}_+]f= \varphi\mathbb{P}_+f-\mathbb{P}_+\varphi f,\qquad f\in\mathscr{P}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такие коммутаторы играют важную роль в гармоническом анализе. Хорошо известно, что
$$
\begin{equation*}
(\mathbb{P}_+f)(\zeta)={\rm v.p.}\int_{\mathbb{T}} \frac{f(\tau)}{1-\overline\tau\zeta}\,{\rm d} \boldsymbol{m}(\tau)+ \frac{1}2f(\zeta),\qquad f\in\mathscr{P},\quad \zeta\in\mathbb{T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь v. p. означает интеграл в смысле главного значения. Отсюда легко вывести, что
$$
\begin{equation}
{\mathscr C}_\varphi f={\rm v.p.}\int_{\mathbb{T}} \frac{\varphi(\zeta)-\varphi(\tau)} {1-\overline\tau\zeta}f(\tau)\,{\rm d} \boldsymbol{m}(\tau),\qquad f\in\mathscr{P}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Выразим теперь коммутатор ${\mathscr C}_\varphi$ в терминах операторов Ганкеля. Нам удобно использовать обозначения $f_+\overset{\rm def}=\mathbb{P}_+f$ и $f_-\overset{\rm def}=\mathbb{P}_-f$. Доказательство. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathscr C}_\varphi f&=\varphi\mathbb{P}_+f-\mathbb{P}_+\varphi f= \varphi_+f_++\varphi_-f_+-\varphi_+f_+-\mathbb{P}_+\varphi_-f_+- \mathbb{P}_+\varphi_+f_- \\ &=\mathbb{P}_-\varphi_-f_+-\mathbb{P}_+\varphi_+f_-=H_{\varphi_-} f_+- \bigl(H_{\overline{\varphi_+}}\bigr)^*f_-, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает теорему. Поскольку оператор Ганкеля $H_{\varphi_-}$ действует из $H^2$ в $H^2_-$, а оператор $\bigl(H_{\overline{\varphi_+}}\bigr)^*$ действует из $H^2_-$ в $H^2$, ясно, что оператор ${\mathscr C}_\varphi$ ограничен (или компактен) в том и только том случае, когда оба оператора Ганкеля $H_{\varphi_-}$ и $H_{\overline{\varphi_+}}$ ограничены (соответственно компактны). Отсюда вытекают хорошо известные результаты в гармоническом анализе: ограниченность коммутатора ${\mathscr C}_\varphi$ эквивалентна принадлежности функции $\varphi$ классу BMO, а компактность коммутатора ${\mathscr C}_\varphi$ эквивалентна принадлежности функции $\varphi$ классу VMO. Точно так же можно рассуждать и в вопросе принадлежности коммутатора ${\mathscr C}_\varphi$ классам Шаттена–фон Неймана. Таким образом, имеет место следующий критерий. Теорема 5.3. Пусть $0<p<\infty$. Тогда коммутатор ${\mathscr C}_\varphi$, определённый равенством (5.1), входит в класс $\boldsymbol{S}_p$ в том и только том случае, когда $\varphi$ входит в класс Бесова $(B_p^{1/p})(\mathbb{T})$. Более подробную информацию читатель может найти в книге [79]. 5.3. Операторы Ганкеля как интегральные операторы в $L^2[0,\infty)$; коммутаторы операторов умножения и преобразования ГильбертаДля функции $k$ класса $L^1(\mathbb{R}_+)$ интегральный оператор Ганкеля $\boldsymbol\varGamma_k$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol\varGamma_kf)(t)=\int_0^\infty k(s+t)f(s)\,{\rm d}s.
\end{equation*}
\notag
$$
Операторы $\boldsymbol\varGamma_k$ являются интегральными аналогами матричных операторов $\Gamma_\alpha$, определённых в (4.1). Оказывается, однако, что операторы $\boldsymbol\varGamma_k$ не только являются интегральными аналогами операторов $\Gamma_\alpha$, но и имеют ганкелевы матрицы в базисе функций Лагерра. Мы обсудим в этом пункте, как определить операторы $\boldsymbol\varGamma_k$ в ситуации значительно более общей, нежели в случае $k\in L^1(\mathbb{R}_+)$, а также обсудим условия ограниченности, компактности и принадлежности идеалам Шаттена–фон Неймана таких операторов. Для того чтобы сформулировать нужные нам результаты, нам понадобятся понятия распределений и медленно растущих распределений. Для открытого подмножества $\Omega$ вещественной прямой $\mathbb{R}$ рассматривается пространство ${\mathcal D}(\Omega)$, состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на $\Omega$ с компактным носителем, с естественной топологией индуктивного предела, а пространство распределений ${\mathcal D}'(\Omega)$ на $\Omega$ определяется как пространство непрерывных линейных функционалов на ${\mathcal D}(\Omega)$. Мы отсылаем читателя к книге Л. Шварца [102] для ознакомления с основами теории распределений. Чтобы определить пространство медленно растущих распределений, рассматривается пространство Шварца ${\mathcal S}$, состоящее из бесконечно дифференцируемых функций $f$ на $\mathbb{R}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\in\mathbb{R}}|f^{(m)}(t)|(1+|t|)^n<\infty\quad\text{при всех}\ m\ \text{и}\ n\ \text{из}\ \mathbb{Z}_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь пространство ${\mathcal S}'$ медленно растущих распределений можно определить как пространство непрерывных линейных функционалов на пространстве ${\mathcal S}$ с естественной топологией (см. [102]). Хорошо известно, что преобразование Фурье $\mathscr{F}$ и обратное преобразование Фурье $\mathscr{F}^*$, определённые на классе $L^1(\mathbb{R})$ равенствами
$$
\begin{equation*}
(\mathscr{F} f)(s)=\int_\mathbb{R} e^{-2\pi{\mathrm{i}}ts}f(t)\,{\rm d}t \quad\text{и}\quad (\mathscr{F}^* f)(t)=\int_\mathbb{R} e^{2\pi{\mathrm{i}}ts}f(s)\,{\rm d}s,
\end{equation*}
\notag
$$
отображают пространство Шварца ${\mathcal S}$ на себя и по двойственности продолжаются до отображений пространства медленно растущих распределений ${\mathcal S}'$ на себя. Имеет место следующий результат. Теорема 5.4. Пусть $k\in{\mathcal D}'(0,\infty)$. Следующие утверждения равносильны: (i) $\boldsymbol\varGamma_k$ – ограниченный оператор в $L^2[0,\infty)$; (ii) существует функция $\varkappa$ класса $L^\infty(\mathbb{R})$ такая, что $(\mathscr{F}\varkappa)|(0,\infty)=k$; (iii) существует распределение $r$ из ${\mathcal S}'$ такое, что $r|(0,\infty)=k$, $\operatorname{supp} r\subset[0,\infty)$ и $\mathscr{F}^*r\in\operatorname{BMO}(\mathbb{R})$. Мы отсылаем читателя к [79; гл. 1, § 8], где подробно обсуждаются эти вопросы и, в частности, формулируется критерий компактности интегральных операторов $\boldsymbol\varGamma_k$. Рассмотрим теперь оператор ${\mathcal U}$, определённый на классе $L^2(\mathbb{T})$ равенством
$$
\begin{equation*}
({\mathcal U}f)(t)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\, \frac{(f\circ\omega^{-1})(t)}{t+\mathrm{i}}\,,\qquad t\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\omega(\zeta)\overset{\rm def}= \mathrm{i}\,\frac{1+\zeta}{1-\zeta}\,,\qquad \zeta\in\mathbb{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что ${\mathcal U}$ – унитарный оператор из $L^2(\mathbb{T})$ на $L^2(\mathbb{R})$, причём он отображает пространство Харди $H^2$ в круге на пространство Харди $H^2$ в полуплоскости. Имеет место следующее утверждение. Теорема 5.5. Ограниченные операторы $\boldsymbol\varGamma_k$ имеют ганкелевы матрицы в ортонормированном базисе $\{\mathscr{F}{\mathcal U}z^n\}_{n\geqslant0}$ в $L^2(\mathbb{R}_+)$. При этом имеет место равенство где $L_n$ – полиномы Лагерра, определённые равенствами Доказательства вышеперечисленных утверждений могут быть найдены в [79; гл. 1, § 8]. Сформулируем теперь критерий принадлежности интегральных операторов $\boldsymbol\varGamma_k$ классам $\boldsymbol{S}_p$. Теорема 5.6. Пусть $0<p<\infty$, и пусть $k$ – распределение на $(0,\infty)$. Тогда $\boldsymbol\varGamma_k\in\boldsymbol{S}_p$ в том и только том случае, когда $k=(\mathscr{F}\psi)|(0,\infty)$ для некоторой функции $\psi$ класса Бесова $B_p^{1/p}(\mathbb{R})$. Мы отсылаем читателя за подробностями к [79; гл. 6, § 7]. Теорема 5.6 позволяет получить аналог теоремы 5.3 в случае коммутаторов операторов умножения и преобразования Гильберта. Для функции $\varphi$ класса $\operatorname{BMO}(\mathbb{R})$ рассмотрим оператор $\boldsymbol{\mathcal C}_\varphi$, определённый равенством
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{\mathcal C}_\varphi f)(y)=\text{v.p.}\int_\mathbb{R} \frac{\varphi(x)-\varphi(y)}{x-y}f(x)\,{\rm d}x,\qquad f\in L^2(\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что оператор $\boldsymbol{\mathcal C}_\varphi$ ограничен в $L^2(\mathbb{R})$ в том и только том случае, когда $\varphi\in\operatorname{BMO}(\mathbb{R})$. Теорема 5.7. Пусть $0<p<\infty$, и пусть $\varphi$ – функция класса $\operatorname{BMO}(\mathbb{R})$. Тогда оператор $\boldsymbol{\mathcal C}_\varphi$ входит в класс Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$ в том и только том случае, когда $\varphi$ входит в класс Бесова $B_p^{1/p}(\mathbb{R})$. 5.4. Операторы Винера–Хопфа на конечном промежуткеПусть $\sigma>0$. Определим операторы Винера–Хопфа в пространстве $L^2[-\sigma,\sigma]$ следующим образом. Пусть $k$ – локально интегрируемая функция на $(-2\sigma,2\sigma)$ (или даже распределение на $(-2\sigma,2\sigma)$). Рассмотрим оператор $W_{\sigma,k}$, определённый на плотном в $L^2[-\sigma,\sigma]$ множестве бесконечно гладких функций $f$ с компактным носителем в $(-\sigma,\sigma)$ равенством
$$
\begin{equation*}
(W_{\sigma,k}f)(x)=\int_{-\sigma}^\sigma k(x-y)f(y)\,{\rm d}y,\qquad x\in(-\sigma,\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Такие операторы называются операторами Винера–Хопфа на конечном промежутке. В этом пункте мы обсудим условия принадлежности этих операторов классам $\boldsymbol{S}_p$ при $0<p<\infty$. Вместе с операторами $W_{\sigma,k}$ мы можем рассматривать так называемые усечённые операторы Ганкеля $\boldsymbol{\varGamma}_{\sigma,k}$ в $L^2[-\sigma,\sigma]$, определённые равенством
$$
\begin{equation*}
(\boldsymbol{\varGamma}_{\sigma,k}f)(x)= \int_{-\sigma}^\sigma k(x+y)f(y)\,{\rm d} y,\qquad x\in(-\sigma,\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\boldsymbol{\varGamma}_{\sigma,k}=W_{\sigma,k}U$, где $U$ – унитарный оператор в $L^2[-\sigma,\sigma]$: Чтобы дать описание операторов $W_{\sigma,k}$ и $\boldsymbol{\varGamma}_{\sigma,k}$ класса $\boldsymbol{S}_p$, определим следующие функции:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \nu_j(x)&=w\biggl(\frac{x+2\sigma}{2^{j+1}\sigma}\biggr),&\qquad j&<0; \\ \nu_j(x)&=\nu_{-j}(-x),&\qquad j&>0; \\ \nu_0(x)&=1-\sum_{j\ne0}\nu_j(x),&& \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w$ – бесконечно гладкая функция, удовлетворяющая условиям (2.1). Следующее утверждение было доказано в работе [75] (отметим, что в работе [96] другими методами этот результат получен в случае $p\geqslant1$). Теорема 5.8. Пусть $\sigma>0$, $0<p<\infty$, и пусть $k$ – распределение на $(-2\sigma,2\sigma)$. Следующие утверждения равносильны: (i) $W_{\sigma,k}\in\boldsymbol{S}_p$; (ii) $\boldsymbol{\varGamma}_{\sigma,k}\in\boldsymbol{S}_p$; (iii) выполнено условие
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{-|j|}\|\mathcal{F}(\nu_jk)\|_{L^p}^p<\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) существуют функции $\psi_1$ и $\psi_2$ класса Бесова $B_p^{1/p}(\mathbb{R})$ такие, что иВ заключение этого пункта отметим, что имеется много обобщений результатов разделов 4 и 5, в которых классы Бесова появляются при описании тех или иных операторов, принадлежащих классам $\boldsymbol{S}_p$. Часть таких работ упоминается в списке литературы книги [79]. Но помимо них есть много и других публикаций, появившихся после выхода книги [79]. 5.5. Задача И. А. Ибрагимова–В. Н. Солева о стационарных случайных процессахЗадача Ибрагимова–Солева, поставленная в заметке [39], касается свойств регулярности стационарных процессов. Задача состоит в том, чтобы выяснить, в каком случае произведение проекторов на прошлое и на будущее входит в класс Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$, $1\leqslant p<\infty$. Не вдаваясь в детали теории стационарных процессов, отметим, что под стационарным процессом (в широком смысле) мы имеем в виду последовательность вещественных случайных величин $\{X_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ таких, что математическое ожидание ${\mathsf E}X_jX_k$ зависит лишь от разности $j-k$. Пусть По теореме Ф. Рисса–Герглотца (см. [95; § 53]) существует конечная положительная борелевская мера $\mu$ на единичной окружности $\mathbb{T}$ такая, что $c_n=\displaystyle\int_{\mathbb{T}} z^n\,\mathrm{d}\mu$. Мера $\mu$ называется спектральной мерой процесса. Тогда замкнутая линейная оболочка $\operatorname{clos}\operatorname{span}\{X_n\colon n\in\mathbb{Z}\}$ изометрическим образом отождествляется с весовым пространством $L^2(\mu)$ посредством отображения При этом прошлое процесса отождествляется с подпространством
$$
\begin{equation*}
H^2_-(\mu)\overset{\rm def}= \operatorname{clos}\operatorname{span}\{z^j\colon j<0\},
\end{equation*}
\notag
$$
а будущее с момента времени $n$ отождествляется с подпространством
$$
\begin{equation*}
z^nH^2(\mu)\overset{\rm def}= \operatorname{clos}\operatorname{span}\{z^j\colon j\geqslant n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы будем рассматривать регулярные стационарные процессы, т. е. такие процессы, для которых Хорошо известно, что регулярность процесса эквивалентна тому, что его спектральная мера $\mu$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и её плотность $w$ (она называется спектральной плотностью процесса) удовлетворяет условию $\log w\in L^1(\mathbb{T})$.Предположим, что у нас есть регулярный стационарный процесс со спектральной плотностью $w$. Рассмотрим ортопроекторы $\mathfrak{P}_0$ и $\mathfrak{P}^n$ на прошлое и на будущее с момента времени $n$. Задача Ибрагимова–Солева состояла в том, чтобы описать спектральные плотности регулярных процессов, при которых операторы $\mathfrak{P}_0\mathfrak{P}^n$ входят в класс Шаттена–фон Неймана $\boldsymbol{S}_p$. Решение этой задачи даётся следующей теоремой (см. [70] и [87]). Теорема 5.9. Пусть $1\leqslant p<\infty$, и пусть $w$ – спектральная плотность регулярного стационарного процесса. Следующие утверждения равносильны: (i) $\mathfrak{P}_0\mathfrak{P}^n\in\boldsymbol{S}_p$ при всех $n\in\mathbb{Z}_+$; (ii) $\mathfrak{P}_0\mathfrak{P}^0\in\boldsymbol{S}_p$; (iii) $w$ допускает представление где $P$ – полином с корнями на $\mathbb{T}$, а $\varphi$ – вещественнозначная функция класса Бесова $B_p^{1/p}(\mathbb{T})$.Отметим, что при $p=2$ это утверждение получено ранее в работе И. А. Ибрагимова и В. Н. Солева [38]; причём методы работы [38] не распространяются на случай $p\ne2$. 6. Операторы с ограниченными степенями и тензорные произведения $\ell^\infty\mathbin{\widehat{\otimes}} \ell^\infty$ и $\ell^{1}\mathbin{\check{\otimes}}\ell^{1}$; задачи Мазура из Шотландской книгиЭтот раздел посвящён получению оценок норм полиномов от операторов с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве. Возникающие при этом нормы тесно связаны с тензорными произведениями $\ell^\infty\mathbin{\widehat{\otimes}}\ell^\infty$ и $\ell^{1}\mathbin{\check{\otimes}}\ell^{1}$. Мы рассмотрим возникающую при этом задачу описания ганкелевых матриц класса $\ell^{1}\mathbin{\check{\otimes}}\ell^{1}$ (и получим такое описание в терминах класса Бесова), а также рассмотрим свойства усредняющего проектора на пространство ганкелевых матриц в таких нормах. В заключение этого раздела мы увидим, каким образом такие результаты приводят к решению задач Мазура 8 и 88 из Шотландской книги. 6.1. Оценки операторных полиномовВ этом пункте мы начнём с задачи получения оценок функций от операторов с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве. Мы обсудим некоторые оценки норм полиномов от таких операторов. В частности, мы увидим, что норма полинома от оператора с ограниченными степенями оценивается через норму этого полинома в классе Бесова $(B_{\infty,1}^0)_+$. Итак, пусть $T$ – оператор с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве, т. е. Здесь $c>1$ (значение $c=1$ соответствует случаю, когда $T$ – сжатие, т. е. $\|T\|\leqslant 1$). Хорошо известно, что при $c>1$ оператор $T$ не обязан быть полиномиально ограниченным, т. е. для таких операторов $T$ оценка
$$
\begin{equation*}
\|\varphi(T)\|\leqslant \operatorname{const}\max_{|\zeta|\leqslant1}|\varphi(\zeta)|
\end{equation*}
\notag
$$
для аналитических полиномов $\varphi$, вообще говоря, не имеет места (это было показано в работе [54]; см. также [71] и работы, цитируемые там). В работе [71] рассматривалась следующая задача: найти наиболее оптимальные оценки норм $\|\varphi(T)\|$ при условии (6.1). Иными словами, задача состоит в том, чтобы оценить норму
$$
\begin{equation*}
||| \varphi ||| _c\overset{\rm def}=\sup\bigl\{\|\varphi(T)\|\colon T\text{ удовлетворяет условию (6.1)}\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
оптимальным образом. Для формулировки результатов рассмотрим некоторые тензорные произведения. Определим проективное тензорное произведение $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$ как пространство матриц $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$, допускающих представление в котором $\{f_n(j)\}_{j\geqslant0}\in\ell^\infty$, $\{g_n(k)\}_{k\geqslant0}\in\ell^\infty$ и
$$
\begin{equation}
\sum_n\|f_n\|_{\ell^\infty}\|g_n\|_{\ell^\infty}<\infty.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
При этом под нормой $\bigl\|\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\bigr\|_{\ell^\infty \mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty}$ матрицы $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ в $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$ понимается инфимум левой части неравенства (6.3) по всем представлениям этой матрицы вида (6.2). С такой нормой произведение $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$ становится банаховым пространством. Рассмотрим теперь тензорную алгебру $V^2$ (алгебру Варопулоса) как слабое пополнение пространства $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$ в следующем смысле. Определим проекторы $P_m$, $m\in\mathbb{Z}_+$, на пространстве всех бесконечных матриц равенством
$$
\begin{equation*}
(P_m\gamma)_{jk}=\begin{cases} \gamma_{jk},&j\leqslant m, \ k\leqslant m; \\ 0 & \text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что бесконечная матрица $\gamma=\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ входит в пространство $V^2$, если
$$
\begin{equation*}
\sum_{m\in\mathbb{Z}_+}\|P_m\gamma\|_{\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes} \ell^\infty}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$ является замкнутым собственным подпространством пространства $V^2$. Нетрудно заметить, что единичная матрица входит в $V^2$, но не входит в $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$. Легко видеть, что если $A=\{a_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\in V^2$, то $A$ – мультипликатор Шура пространства ${\mathcal B}(\ell^2)$ всех матриц ограниченных линейных операторов в $\ell^2$, т. е.
$$
\begin{equation*}
B=\{b_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\in{\mathcal B}(\ell^2)\quad\Longrightarrow\quad A\star B\overset{\rm def}=\{a_{jk}b_{jk}\}_{j,k\geqslant0} \in{\mathcal B}(\ell^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Оказывается, что верно и обратное утверждение (см. [21]). Определим теперь инъективное тензорное произведение $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$ двух пространств $\ell^1$ как пополнение алгебраического тензорного произведения $\ell^1\otimes\ell^1$ в норме
$$
\begin{equation*}
\bigl\|\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\bigr\|_{\ell^1 \mathbin{\check\otimes}\ell^1}= \sup\biggl\{\biggl|\,\sum_{j,k\geqslant0}\gamma_{jk}f_jg_k\biggr|\colon \|\{f_j\}_{j\geqslant0}\|_{\ell^\infty}\leqslant1, \|\{g_k\}_{k\geqslant0}\|_{\ell^\infty}\leqslant1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо известно, что двойственное пространство $(\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1)^*$ можно отождествить с пространством $V^2$ относительно билинейной формы
$$
\begin{equation*}
\bigl(\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0},\{\beta_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\bigr)= \sum_{j,k\geqslant0}\gamma_{jk}\beta_{jk},\qquad \{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\in\ell^1 \mathbin{\check\otimes}\ell^1,\quad \{\beta_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\in V^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, заметим, что пространство $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$ можно естественным образом отождествить с пространством всех ограниченных линейных операторов из пространства $c_0$ стремящихся к нулю последовательностей в пространство $\ell^1$. Определим теперь класс ${\mathscr L}$ функций $f$, аналитических в круге $\mathbb{D}$, для которых существует матрица $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ из $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$ такая, что
$$
\begin{equation}
\widehat f(n)=\sum_{j+k=n}\gamma_{jk},\qquad n\geqslant0.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
При этом норма $\|f\|_{{\mathscr L}}$ функции $f$ в пространстве ${\mathscr L}$ определяется как инфимум норм $\|\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\|_{\ell^1 \mathbin{\check\otimes}\ell^1}$ по всем матрицам $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ из $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$, удовлетворяющим условию (6.4). Нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{{\mathscr L}}=\sup\bigl\{|\langle\varphi,\psi\rangle|\colon \|\Gamma_\psi\|_{V^2}\leqslant1\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. супремум берётся по всем аналитическим в $\mathbb{D}$ функциям $\psi$, для которых ганкелева матрица $\Gamma_\psi$ входит в единичный шар пространства $V^2$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\langle\varphi,\psi\rangle\overset{\rm def}= \sum_{n\geqslant0}\widehat\varphi(n)\widehat\psi(n).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы привести полученную в [71] оценку норм полиномов от операторов с ограниченными степенями через норму полиномов в ${\mathscr L}$, мы напомним неравенство Гротендика [35]: пусть $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\in\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$, а $\{x_j\}_{j\geqslant0}$ и $\{y_k\}_{k\geqslant0}$ – векторы из единичного шара гильбертова пространства; тогда
$$
\begin{equation}
\biggl|\,\sum_{j,k\geqslant0}\gamma_{jk}(x_j,y_k)\biggr|\leqslant k_{\rm G} \|\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\|_{\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1},
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где $k_{\rm G}$ – так называемая константа Гротендика, т. е. наименьшее число, при котором неравенство имеет место. Следующий результат был получен в [71]. Теорема 6.1. Пусть $T$ – оператор в гильбертовом пространстве, удовлетворяющий условию (6.1). Тогда для всякого аналитического полинома $\varphi$. Доказательство. Пусть $x$, $y$ – векторы из единичного шара гильбертова пространства, и пусть $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ – комплексная матрица, матричные элементы которой, за исключением конечного их числа, обращаются в нуль, и такая, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{j+k=n}\gamma_{jk}=\widehat\varphi(n),\qquad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
(\varphi(T)x,y)=\sum_{n\geqslant0}\widehat\varphi(n)(T^nx,y)= \sum_{j,k\geqslant0}\widehat\varphi(j+k)(T^jT^kx,y)= \sum_{j,k\geqslant0}\gamma_{jk}(T^kx,(T^*)^jy).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\|T^kx\|\leqslant c$ и $\|(T^*)^jy\|\leqslant c$, из неравенства Гротендика (6.5) получаем что доказывает теорему. Перейдём теперь к более осязаемым оценкам норм операторных полиномов. Определение 1. Говорят, что функция $\psi$, аналитическая в $\mathbb{D}$, является мультипликатором класса Харди $H^1$, если Обозначим символом ${\mathfrak M}H^1$ класс всех мультипликаторов пространства $H^1$; при этом под нормой функции $\psi$ в ${\mathfrak M}H^1$ подразумевается норма оператора $f\mapsto\psi*f$ в $H^1$. Легко видеть, что $\psi\in{\mathfrak M}H^1$ тогда и только тогда, когда $\psi$ – мультипликатор пространства ${\rm BMOA}$ (см. (4.2)). Из теоремы 6.1 легко вытекает следующее утверждение. Следствие 6.2. Пусть $T$ – оператор с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве. Тогда для всякого аналитического полинома $\varphi$. Определим теперь пространство ${\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1$ функций, аналитических в круге $\mathbb{D}$, равенством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &{\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1 \\ &\qquad=\biggl\{\,\sum_mf_m*g_m\colon f_m\in{\rm VMOA}, g_m\in H^1, \sum_m\|f_m\|_{\rm VMOA}\,\|g_m\|_{H^1}<\infty\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Норма в пространстве ${\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\|\varphi\|_{{\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1}\overset{\rm def}= \inf\biggl\{\,\sum_m\|f_m\|_{{\rm VMOA}}\,\|g_m\|_{H^1}\colon \sum_mf_m\ast g_m=\varphi\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\bigl({\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}}H^1\bigr)^*={\mathfrak M}H^1
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
относительно естественной билинейной формы. Теперь мы можем сформулировать результат работы [71] об оценках полиномов от операторов с ограниченными степенями через норму полиномов в ${\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1$. Теорема 6.3. Пусть $T$ – оператор с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве. Тогда для всякого аналитического полинома $\varphi$. Теорема 6.3 легко следует из соотношений (6.7) и (6.8). Наконец, мы можем оценить нормы полиномов от операторов с ограниченными степенями через норму полиномов в пространстве Бесова $(B^0_{\infty,1})_+$. Теорема 6.4. Пусть $T$ – оператор с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве. Тогда для всякого аналитического полинома $\varphi$. Доказательство. Ввиду теоремы 6.3 достаточно показать, что и это вложение непрерывно.
Пусть $\varphi\in(B^0_{\infty,1})_+$. Легко видеть, что Следовательно, Результат вытекает теперь из хорошо известного утверждения о том, что $\|W_n\|_{L^1}\leqslant\operatorname{const}$. Теорема доказана.Естественным образом возникает вопрос об оптимальности приведённых выше оценок норм полиномов от операторов с ограниченными степенями. Предположим, что $\|\cdot\|_\flat$ – норма на множестве всех аналитических полиномов и у нас есть оценка
$$
\begin{equation*}
\|\varphi(T)\|\leqslant\operatorname{const}\|\varphi\|_\flat
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольного оператора $T$, удовлетворяющего условию (6.1), причём константа в правой части неравенства может зависеть от числа $c$ в условии (6.1). Будем говорить, что эта оценка оптимальна, если существует число $c$ такое, что $c>1$, существует оператор $T$, удовлетворяющий условию (6.1) и такой, что
$$
\begin{equation*}
\|\varphi(T)\|\geqslant\operatorname{const}\|\varphi\|_\flat.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что в этом случае пополнение $\mathscr{P}^\flat$ пространства полиномов по норме $\|\cdot\|_\flat$ является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения. Более того, эта банахова алгебра должна быть операторной алгеброй, т. е. она должна быть изоморфна подалгебре алгебры всех операторов в гильбертовом пространстве. Отметим, что в работе [71] показано, что ${\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1$ и $(B^0_{\infty,1})_+$ – банаховы алгебры относительно поточечного умножения. Г. Беннетт в реферате MR0658618 работы [71], опубликованном в Mathematical Reviews, показал, что таким же свойством обладает и пространство ${\mathscr L}$. Оказывается, что алгебра $(B^0_{\infty,1})_+$ не является операторной алгеброй, ибо в противном случае нормы $\|\cdot\|_{\mathscr L}$, $\|\cdot\|_{{\rm VMOA}\mathbin{\widehat{\circledast}} H^1}$ и $\|\cdot\|_{B^0_{\infty,1}}$ были бы эквивалентны. Нетрудно, однако, показать (см. [71]), что это означало бы выполнение равенств $(B^0_{\infty,1})^*=B^0_{1,\infty}={\mathfrak M}H^1$. Тем не менее хорошо известно (см. ссылки в [71]), что ${\mathfrak M}H^1$ – собственное подмножество пространства $B^0_{1,\infty}$. Упомянем здесь также работы [20], [36], [106], в которых функциональное исчисление для операторов с ограниченными степенями на классе Бесова $(B^0_{\infty,1})_+$ обобщается на случай полугрупп операторов. 6.2. Ганкелевы матрицы и тензорные произведения пространств $\ell^1$ и $\ell^\infty$Вернёмся теперь к оценке (6.6). В правой части неравенства (6.6) нужно минимизировать $\|\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\|_{\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1}$ по всем матрицам $\{\gamma_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ в $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$, удовлетворяющим условию
$$
\begin{equation*}
\widehat\varphi(n)=\sum_{j+k=n}\gamma_{jk},\qquad n\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
$$
Возникает вопрос, будет ли выбор матрицы оптимальным, если мы положим
$$
\begin{equation}
\gamma_{jk}=\frac{\widehat\varphi(n)}{n+1}\quad\text{в случае, когда}\ j+k=n+1.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Здесь возникает вопрос об описании ганкелевых матриц класса $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$, ответ на который даётся следующей теоремой, полученной в [71]. Теорема 6.5. Пусть $\varphi$ – аналитическая в $\mathbb{D}$ функция. Тогда $\Gamma_\varphi\in\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$ в том и только том случае, когда $\varphi\in(B_{\infty,1}^1)_+$. Отсюда вытекает, что если мы сделаем выбор (6.9), то получим оценку
$$
\begin{equation*}
\|\varphi(T)\|\leqslant\operatorname{const}\|\varphi\|_{B^0_{\infty,1}},
\end{equation*}
\notag
$$
которая, как мы уже обсуждали ранее, не является оптимальной. Вернёмся к усредняющему проектору $\mathcal{P}$ на множество ганкелевых матриц, определённому равенством (4.6). Следующее утверждение, полученное в [71], описывает образ пространства $V^2$ при применении этого проектора. Отсюда нетрудно вывести следующий факт (см. [71]). Следствие 6.7. Проектор $\mathcal{P}$ не является ограниченным оператором в $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$, $\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes}\ell^\infty$ и $V^2$. 6.3. Задачи 8 и 88 из Шотландской книгиВ этом пункте мы увидим, как результаты предыдущего пункта позволяют решить задачи 8 и 88 из знаменитой Шотландской книги (см. [60]). Обе задачи были поставлены С. Мазуром. Задача 8. Пусть $c$ – пространство сходящихся последовательностей. Рассмотрим билинейную форму ${\mathscr B}$ на $c\times c$, определённую равенством Задача 88. Предположим, что ганкелева матрица $\{\gamma_{j+k}\}$ входит в тензорное произведение $\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1$. Задача 88 из Шотландской книги состоит в том, вытекает ли отсюда, что т. е. должна ли сумма модулей матричных элементов быть конечной. В работах [52] и [31] даются решения обеих задач. Оказалось, однако, что из результатов более ранней работы [71] сразу же вытекает, что обе задачи 8 и 88 имеют отрицательное решение (см. [81], где дано подробное изложение этих вопросов). Перейдём к обсуждению решения задачи 8. Рассмотрим линейный оператор ${\mathscr A}$, заданный на множестве матриц $Q=\{q_{jk}\}_{j,k\geqslant0}$ и отображающий матрицы в последовательности комплексных чисел:
$$
\begin{equation*}
{\mathscr A}Q=\{z_n\}_{n\geqslant0},\quad\text{где}\ \ z_n\overset{\rm def}=\frac{1}{n+1}\sum_{j+k=n}q_{jk}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорему 6.6 настоящего обзора, полученную в работе [71], можно переформулировать следующим образом. Теорема 6.8. Оператор ${\mathscr A}$ отображает пространство $V^2$ на пространство коэффициентов Фурье функций класса Бесова $(B^0_{1,\infty})_+$. Из этой теоремы вытекает, что
$$
\begin{equation*}
{\mathscr A}\bigl(c\mathbin{\widehat\otimes} c\bigr)\subset {\mathscr A}\bigl(\ell^\infty\mathbin{\widehat\otimes} \ell^\infty\bigr) \subset{\mathscr A}(V^2)\subset\bigl\{\{f_n\}_{n\geqslant0}\colon f\in\bigl(B^0_{1,\infty}\bigr)_+\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а стало быть,
$$
\begin{equation*}
{\mathscr B}(c\times c)\subset\bigl\{\{f_n\}_{n\geqslant0}\colon f\in\bigl(B^0_{1,\infty}\bigr)_+\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хорошо, однако, известно, что
$$
\begin{equation*}
c\not\subset\bigl\{\{f_n\}_{n\geqslant0}\colon f\in\bigl(B^0_{1,\infty}\bigr)_+\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [81], где приводится подробное обсуждение этих вопросов). Перейдём теперь к задаче 88. Прежде всего, из теоремы 6.5 настоящего обзора следует, что
$$
\begin{equation*}
\{\gamma_{j+k}\}_{j,k\geqslant0}\in\ell^1\mathbin{\check\otimes}\ell^1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n\geqslant0}\gamma_nz^n\in\bigl(B^1_{\infty,1}\bigr)_+.
\end{equation*}
\notag
$$
Отрицательное решение задачи 88 вытекает из следующей неулучшаемой оценки модулей коэффициентов Фурье функций класса Бесова $(B^1_{\infty,1})_+$:
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\geqslant0}2^n\biggl(\,\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} |\widehat f(k)|^2\biggr)^{1/2}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, легко видеть, что такое условие на коэффициенты не влечёт неравенство Мы отсылаем читателя к работе [81], где дано подробное обсуждение этих вопросов. Отметим также, что в работе [69] получены некоторые количественные оценки, связанные с задачами 8 и 88, а также поставлен ряд задач на эту тему. В работе [81] показано, что эти количественные оценки также вытекают из результатов работы [71], а задачи, поставленные в [69], легко решаются с помощью результатов работы [71]. 7. Классы Бесова в теории возмущений7.1. Функции от самосопряжённых операторов при их возмущенииПусть $f$ – непрерывная комплекснозначная функция на вещественной прямой. Рассмотрим вопрос о том, когда справедливо неравенство для произвольных (ограниченных) самосопряжённых операторов $A$ и $B$ в гильбертовом пространстве. Функции $f$, обладающие таким свойством, называются операторно липшицевыми. Обозначим символом $\operatorname{OL}(\mathbb{R})$ класс всех операторно липшицевых функций на $\mathbb{R}$ и для функции $f$ класса $\operatorname{OL}(\mathbb{R})$ положим
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\operatorname{OL}(\mathbb{R})}\overset{\rm def}= \sup\frac{\|f(A)-f(B)\|}{\|A-B\|}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берётся по всем парам самосопряжённых операторов $A$ и $B$ с ограниченной разностью таких, что $A\ne B$. Хорошо известно (см. [10]), что если неравенство (7.1) имеет место для всех ограниченных самосопряжённых операторов, то оно имеет место и для всех неограниченных самосопряжённых операторов. Ясно, что операторно липшицевы функции обязательно должны быть липшицевыми, т. е. должно быть справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
|f(x)-f(y)|\leqslant\operatorname{const}|x-y|,\qquad x,y\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе Ю. Б. Фарфоровской [32] было показано, что обратное утверждение неверно. Более того, как выяснилось позже, операторно липшицевы функции обязательно всюду дифференцируемы ([107], см. также [10]), но не обязательно непрерывно дифференцируемы ([41], см. также [10]). В частности, функция $x\mapsto|x|$ не является операторно липшицевой. Далее, в работах [73] и [76] получены необходимые условия операторной липшицевости. В частности, если $f$ – операторно липшицева функция, то $f$ принадлежит классу Бесова $B_1^1(\mathbb{R})$ локально. Это необходимое условие также показывает, что условие непрерывной дифференцируемости и ограниченности производной не достаточно для операторной липшицевости. Мы отсылаем читателя к [10] по поводу других необходимых условий. В работах автора [73] и [76] было показано, что класс Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$ состоит из операторно липшицевых функций. Иными словами, имеет место следующее утверждение. Теорема 7.1. Пусть $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Тогда справедливо неравенство (7.1) для любых самосопряжённых операторов $A$ и $B$. Для доказательства теоремы 7.1 в работах [73] и [76] использовались двойные операторные интегралы. Двойные операторные интегралы – это выражения вида
$$
\begin{equation}
\int_{\mathscr X}\int_{\mathscr Y} \Phi(x,y)\,\mathrm{d}E_1(x)Q\,\mathrm{d}E_2(y),
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
где $E_1$ и $E_2$ – спектральные меры в гильбертовом пространстве, $Q$ – линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, а $\Phi$ – ограниченная измеримая функция двух переменных. Двойные операторные интегралы впервые появились в работе [30]. Позже, в серии работ [25], [26] и [27], М. Ш. Бирман и М. З. Соломяк создали стройную теорию двойных операторных интегралов. В частности, их подход позволяет определить двойные операторные интегралы вида (7.2) для произвольных операторов $Q$ класса Гильберта–Шмидта $\boldsymbol{S}_2$; при этом двойной операторный интеграл должен входить в $\boldsymbol{S}_2$ и справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\int_{\mathscr X}\int_{\mathscr Y}\Phi(x,y)\,{\rm d} E_1(x)Q\,{\rm d} E_2(y)\biggr\|_{\boldsymbol{S}_2}\leqslant \|\Phi\|_{L^\infty}\|Q\|_{\boldsymbol{S}_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оказывается, однако, что если $Q$ – произвольный ограниченный оператор, то для того, чтобы определить двойной операторный интеграл (7.2), нужно наложить дополнительные ограничения на функцию $\Phi$. В работе [73] естественный максимальный класс таких функций $\Phi$, при которых интеграл (7.2) может быть определён для любых ограниченных операторов $Q$, назван классом мультипликаторов Шура по отношению к спектральным мерам $E_1$ и $E_2$. Имеется несколько описаний класса мультипликаторов Шура (см. [73]). Отметим здесь следующее. Теорема 7.2. Ограниченная измеримая функция $\Phi$ является мультипликатором Шура по отношению к $E_1$ и $E_2$ в том и только том случае, когда $\Phi$ входит в тензорное произведение Хогерупа $L^\infty_{E_1}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_2}$, т. е. $\Phi$ допускает представление где $\varphi_n\in L^\infty_{E_1}$, $\psi_n\in L^\infty_{E_2}$ и Отметим здесь, что если $\Phi$ – мультипликатор Шура по отношению к спектральным мерам $E_1$ и $E_2$, то
$$
\begin{equation}
Q\in\boldsymbol{S}_p,\ \ 1\leqslant p<\infty\quad\Longrightarrow\quad \int_{\mathscr X}\int_{\mathscr Y}\Phi(x,y)\,{\rm d} E_1(x)Q\,{\rm d} E_2(y)\in\boldsymbol{S}_p.
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
Роль двойных операторных интегралов в получении операторно липшицевых оценок можно проиллюстрировать следующим результатом Бирмана–Соломяка [25]. Теорема 7.3. Пусть $f$ – дифференцируемая функция на $\mathbb{R}$, и пусть ${\mathfrak D} f$ – соответствующая ей разделённая разность, т. е. Предположим, что $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы такие, что оператор $B-A$ ограничен, и пусть ${\mathfrak D} f$ – мультипликатор Шура по отношению к спектральным мерам $E_B$ и $E_A$ операторов $B$ и $A$. Тогда $f(B)-f(A)$ – ограниченный оператор и Отсюда вытекает, что если разделённая разность ${\mathfrak D} f$ является мультипликатором Шура по отношению к любым парам борелевских спектральных мер на $\mathbb{R}$, то $f$ – операторно липшицева функция. Верно и обратное утверждение (см. [10] и приведённые там ссылки). Следующий результат был получен в [73]. Теорема 7.4. Пусть $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Тогда ${\mathfrak D}f$ является мультипликатором Шура по отношению к любым парам борелевских спектральных мер на $\mathbb{R}$, функция $f$ операторно липшицева и для произвольных самосопряжённых операторов $A$ и $B$ с ограниченной разностью справедливо представление (7.4) и выполнено неравенство Отметим здесь, что условие $f\in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$ не является необходимым для операторной липшицевости. Мы отсылаем читателя к обзору [10], где можно найти подробное обсуждение условий операторной липшицевости. 7.2. Операторное неравенство типа БернштейнаИз теоремы 7.4 легко вывести следующее так называемое операторное неравенство типа Бернштейна: пусть $f$ – функция класса $L^\infty(\mathbb{R})$, преобразование Фурье которой сосредоточено на отрезке $[-\sigma,\sigma]$; тогда для произвольных ограниченных самосопряжённых операторов $A$ и $B$ с ограниченной разностью справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|f(A)-f(B)\|\leqslant\operatorname{const}\sigma\|f\|_{L^\infty}.
\end{equation}
\tag{7.6}
$$
В работе [6] (см. также [10]) предложен альтернативный, более элементарный подход к операторной липшицевости функций класса $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Сначала даётся независимое доказательство операторного неравенства типа Бернштейна, а затем из него выводится операторная липшицевость функций из $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Более того, в [6] показано, что на самом деле неравенство (7.6) справедливо с константой 1. В этом пункте мы приведём доказательство операторного неравенства типа Бернштейна с константой 1 и выведем из него неравенство (7.5). Мы приведём также полученное в работе [6] более сильное операторное неравенство Бернштейна, которое является операторной версией неравенства, полученного С. Н. Бернштейном в [22]. Пусть $\sigma>0$. Говорят, что целая функция $f$ является функцией экспоненциального типа не выше $\sigma$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ найдётся число $c>0$ такое, что $|f(z)|\leqslant c e^{(\sigma+\varepsilon)|z|}$ при всех $z\in\mathbb{C}$. Обозначим через ${\mathscr E}_\sigma$ множество всех целых функций экспоненциального типа не выше $\sigma$. Положим ${\mathscr E}_\sigma^\infty\overset{\rm def}= {\mathscr E}_\sigma\cap L^\infty(\mathbb{R})$. Хорошо известно, что
$$
\begin{equation*}
{\mathscr E}_\sigma^\infty=\{f\in L^\infty(\mathbb{R})\colon \operatorname{supp}\mathscr{F} f\subset[-\sigma,\sigma]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим ещё, что пространство ${\mathscr E}_\sigma^\infty$ совпадает с множеством всех целых функций $f$ таких, что $f\in L^\infty(\mathbb{R})$ и
$$
\begin{equation}
|f(z)|\leqslant e^{\sigma|\!\operatorname{Im} z|} \|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})},\qquad z\in\mathbb{C}
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
(см., например, [55; с. 97]). Неравенство Бернштейна (см. [22]) утверждает, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in \mathbb{R}}|f'(x)|\leqslant\sigma\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|
\end{equation*}
\notag
$$
для любой функции $f$ класса $L^\infty(\mathbb{R})$, преобразование Фурье которой имеет носитель в $[-\sigma,\sigma]$. Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation}
|f(x)-f(y)|\leqslant\sigma\|f\|_{L^\infty(\mathbb R)}|x-y|,\qquad f\in{\mathscr E}_\sigma^\infty,\quad x,y\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Бернштейн также доказал в [22] следующее усиление неравенства (7.8):
$$
\begin{equation}
|f(x)-f(y)|\leqslant\beta(\sigma|x-y|)\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})},\qquad f\in{\mathscr E}_\sigma^\infty,\quad x,y\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta(t)\overset{\rm def}=\begin{cases} 2\sin \dfrac{t}{2}\,,&\text{если}\ 0\leqslant t\leqslant\pi, \\ 2,&\text{если}\ t>\pi. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\beta(t)\leqslant\min\{t,2\}$ при всех $t\geqslant0$. В работе [6] из неравенства (7.9) выведен следующий вариант операторного неравенства Бернштейна. Теорема 7.5. Пусть $f\in{\mathscr E}_\sigma^\infty$. Тогда для любых (ограниченных) самосопряжённых операторов $A$ и $B$. В частности, $\|f\|_{\operatorname{OL}(\mathbb{R})}\leqslant \sigma\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})}$. Доказательство. Прежде всего, заметим, что из неравенства (7.9) вытекает следующий его векторный вариант. Пусть $X$ – комплексное банахово пространство. Обозначим через ${\mathscr E}_\sigma(X)$ пространство всех целых $X$-значных функций $f$ экспоненциального типа не выше $\sigma$, т. е. удовлетворяющих следующему условию: для любого положительного числа $\varepsilon$ найдётся число $c>0$ такое, что $\|f(z)\|_X\leqslant c e^{(\sigma+\varepsilon)|z|}$ при всех $z\in\mathbb{C}$. Тогда имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\|f(x)-f(y)\|_X\leqslant\beta(\sigma|x-y|)\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R},X)} \leqslant \sigma\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R},X)}|x-y|,\quad x,y\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Легко видеть, что неравенство (7.11) сводится к неравенству (7.9) при помощи теоремы Хана–Банаха.
Пусть теперь $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$. Покажем, что
$$
\begin{equation*}
\|f(A)-f(B)\|\leqslant\beta(\sigma\|A-B\|)\|f\|_{L^\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $F(z)=f(A+z(B-A))$. Ясно, что $F$ – целая функция со значениями в пространстве $\mathcal{B}(\mathscr{H})$ ограниченных линейных операторов в $\mathscr{H}$ и $\|F(t)\|\leqslant\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})}$ при $t\in\mathbb{R}$. Из неравенства фон Неймана (см. [104; гл. I, § 8]) следует, что $F\in{\mathscr E}_{\sigma\|B-A\|}(\mathcal{B}(\mathscr{H}))$. Чтобы завершить доказательство, остаётся применить векторный вариант неравенства Бернштейна (7.11) к векторнозначной функции $F$ при $x=0$ и $y=1$. Теорема доказана. Доказательство неравенства (7.5), основанное на операторном неравенстве Бернштейна. Пусть $f\in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Рассмотрим функции $f_n$, определённые формулой (2.8). Ясно, что $\operatorname{supp}\mathscr{F} f_n\subset[-2^{n+1},2^{n+1}]$. Тогда в силу (7.10) имеем
$$
\begin{equation*}
\|f(A)-f(B)\|\leqslant\sum_{n\in\mathbb{Z}}\|f_n(A)-f_n(B)\|\leqslant \sum_{n\in\mathbb{Z}}2^{n+1}\|f_n\|_{L^\infty}\leqslant \operatorname{const}\|f\|_{B_{\infty,1}^1},
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает оценку (7.5). Примечания. Можно показать, что если $f$ – операторно липшицева функция на $\mathbb{R}$, а $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы такие, что $A-B\in\boldsymbol{S}_p$, $1\leqslant p<\infty$, то $f(A)-f(B)\in\boldsymbol{S}_p$. Однако, как было показано в работе [93], в случае $1<p<\infty$ заключение $f(A)-f(B)\in\boldsymbol{S}_p$ справедливо и при более слабом условии на $f$: достаточно предположить, что $f$ удовлетворяет условию Липшица. Тем самым была решена известная задача. По аналогии с операторно липшицевыми функциями можно попробовать ввести понятие операторно гёльдеровых функций. Пусть $0<\alpha<1$. Можно сказать, что функция $f$ на вещественной прямой $\mathbb{R}$ называется операторно гёльдеровой порядка $\alpha$, если имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\|f(A)-f(B)\|\leqslant\operatorname{const}\|A-B\|^\alpha
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
для произвольных самосопряжённых (неважно, ограниченных или неограниченных) операторов $A$ и $B$. Однако оказалось, что, в отличие от случая операторно липшицевых функций, функция $f$ является операторно гёльдеровой порядка $\alpha$ в том и только том случае, когда она является гёльдеровой порядка $\alpha$, т. е. входит в класс $\Lambda_\alpha(\mathbb{R})$. Это было установлено в работе [4]. Отметим, что в той же работе [4] найдены и другие оценки для функций от операторов при их возмущении. Другой подход к доказательству неравенства (7.12) для функций $f$ из $\Lambda_\alpha(\mathbb{R})$ найден в работе [64]. Отметим здесь также, что в работе [5] рассматривались оценки операторных разностей $f(A)-f(B)$ в случае, когда $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы с разностью из $\boldsymbol{S}_p$, а $f$ – функция класса Гёльдера $\Lambda_\alpha(\mathbb{R})$. В частности, в [5] показано, что если $0<\alpha<1$, $p>1$, $f\in\Lambda_\alpha(\mathbb{R})$, а $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы такие, что $A-B\in\boldsymbol{S}_p$, то
$$
\begin{equation*}
f(A)-f(B)\in\boldsymbol{S}_{p/\alpha}\quad\text{и}\quad \|f(A)-f(B)\|_{\boldsymbol{S}_{p/\alpha}}\leqslant \operatorname{const}\|f\|_{\Lambda_\alpha}\|A-B\|_{\boldsymbol{S}_p}^\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим здесь также работу [61], в которой получены оценки квазинорм $\|f(A)-f(B)\|_{\boldsymbol{S}_p}$ для самосопряжённых операторов $A$ и $B$ при $0<p<1$. 7.3. Функции от унитарных операторов при их возмущенииПонятие операторно липшицевых функций можно легко обобщить для функций на замкнутых подмножествах комплексной плоскости $\mathbb{C}$. В частности, непрерывная функция $f$ на единичной окружности $\mathbb{T}$ называется операторно липшицевой, если для произвольных унитарных операторов $U$ и $V$ в гильбертовом пространстве.В работе [73] получено следующее утверждение. Теорема 7.6. Пусть $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{T})$. Тогда $f$ – операторно липшицева функция на $\mathbb{T}$ и справедливо неравенство для произвольных унитарных операторов $U$ и $V$ в гильбертовом пространстве. В работе [73] теорема 7.6 была доказана с помощью представления разности функций от операторов в виде двойного операторного интеграла:
$$
\begin{equation*}
f(U)-f(V)=\int_{\mathbb{T}}\int_{\mathbb{T}} \frac{f(\zeta)-f(\tau)}{\zeta-\tau}\,{\rm d} E_U(\zeta) (U-V)\,{\rm d}E_V(\tau)
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь $E_U$ и $E_V$ – спектральные меры операторов $U$ и $V$). Точнее, в работе [73] доказано, что разделённая разность под знаком интеграла является мультипликатором Шура и её норма в пространстве мультипликаторов Шура оценивается через норму функции $f$ в классе Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{T})$. Так же как и в случае самосопряжённых операторов, в работе [6] был предложен альтернативный поход к получению операторно липшицевой оценки (7.13). Этот подход также основан на операторном неравенстве типа Бернштейна для функций от унитарных операторов: для любого тригонометрического полинома $q$. Примечания. Отметим кратко, что задача получения оценок липшицева типа для функций от сжатий была рассмотрена впервые в работе автора [74] (оператор называется сжатием, если его норма не превосходит 1). Там с помощью двойных операторных интегралов по полуспектральным мерам было показано, что если $f$ – функция класса Бесова $(B_{\infty,1}^1)_+$ функций, аналитических в круге $\mathbb{D}$, а $T$ и $R$ – сжатия в гильбертовом пространстве, то Отметим также, что аналог этого результата для функций от диссипативных операторов был получен в работе [8]. 7.4. Функции от нормальных операторов при их возмущении. Функции от наборов коммутирующих операторовПонятие операторно липшицевой функции легко обобщается на функции, заданные на комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Пусть $f$ – непрерывная комплекснозначная функция на $\mathbb{C}$. Будем говорить, что $f$ – операторно липшицева функция, если имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\|f(N_1)-f(N_2)\|\leqslant\operatorname{const}\|N_1-N_2\|
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
для произвольных нормальных операторов $N_1$ и $N_2$ с ограниченной разностью. Как и в случае самосопряжённых операторов, если неравенство (7.14) имеет место для всех ограниченных нормальных операторов, то оно справедливо и для неограниченных нормальных операторов (см. [10]). В работе [17] было доказано, что функции класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ являются операторно липшицевыми функциями на $\mathbb{C}$ (здесь мы отождествляем естественным образом $\mathbb{C}$ с $\mathbb{R}^2$). Введём следующие обозначения. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_j\overset{\rm def}=\operatorname{Re} N_j=\frac{1}2(A_j+A_j^*),\qquad B_j\overset{\rm def}=\operatorname{Im} N_j=\frac{1}{2\mathrm{i}}(A_j-A_j^*), \\ \quad E_j-\text{ спектральная мера оператора } N_j,\ j=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, $N_j=A_j+{\rm i}B_j$, $j=1,2$, где $A_j$ и $B_j$ – коммутирующие самосопряжённые операторы. Если $f$ – функция на $\mathbb{R}^2$, имеющая всюду частные производные по обеим переменным, рассмотрим разделённые разности по каждой переменной:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \bigl({\mathfrak D}_xf\bigr)(z_1,z_2)&\overset{\rm def}= \frac{f(x_1,y_2)-f(x_2,y_2)}{x_1-x_2}\,,&\qquad z_1,z_2&\in\mathbb{C}, \\ \bigl({\mathfrak D}_yf\bigr)(z_1,z_2)&\overset{\rm def}= \frac{f(x_1,y_1)-f(x_1,y_2)}{y_1-y_2}\,,&\qquad z_1,z_2&\in\mathbb{C}, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
x_j\overset{\rm def}=\operatorname{Re} z_j,\quad y_j\overset{\rm def}=\operatorname{Im} z_j,\qquad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что на множествах $\{(z_1,z_2)\colon x_1=x_2\}$ и $\{(z_1,z_2)\colon y_1=y_2\}$ разделённые разности ${\mathfrak D}_xf$ и ${\mathfrak D}_yf$ будут пониматься как соответствующие частные производные функции $f$. Доказательство операторной липшицевости функций, принадлежащих классу Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$, основано на следующем утверждении. Для его формулировки мы введём обозначение
$$
\begin{equation*}
{\mathscr E}_\sigma^\infty(\mathbb{R}^2)\overset{\rm def}= \bigl\{f\in L^\infty(\mathbb{R}^2)\colon\operatorname{supp}\mathscr{F} f\subset\{\zeta\in\mathbb{C}\colon|\zeta|\leqslant\sigma\}\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma$ – положительное число. Лемма 7.7. Пусть $f$ – функция класса ${\mathscr E}_\sigma^\infty(\mathbb{R}^2)$. Тогда разделенные разности ${\mathfrak D}_xf$ и ${\mathfrak D}_yf$ являются мультипликаторами Шура для любых борелевских спектральных мер и их нормы в пространстве мультипликаторов Шура не превосходят $\operatorname{const}\sigma\|f\|_{L^\infty}$. Теорема 7.8. Пусть $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$. Предположим, что $N_1$ и $N_2$ – нормальные операторы такие, что оператор $N_1-N_2$ ограничен. Тогда Отметим, что изучение поведения функций от нормальных операторов при возмущениях эквивалентно изучению поведения функций от пар коммутирующих самосопряжённых операторов. При этом возникает задача исследовать поведение функций от $d$ коммутирующих самосопряжённых операторов. Такая задача рассматривалась в работе [62], в которой был получен следующий результат. Теорема 7.9. Пусть $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^d)$. Тогда справедливы следующие утверждения: (i) существует положительное число $K$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\|f(A_1,\dots,A_d)-f(B_1,\dots,B_d)\|\leqslant K\|f\|_{B_{\infty,1}^1} \max_{1\leqslant j\leqslant d}\|A_j-B_j\|
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольных наборов $\{A_1,\dots,A_d\}$ и $\{B_1,\dots,B_d\}$ коммутирующих самосопряжённых операторов таких, что операторы $A_j-B_j$, $1\leqslant j\leqslant d$, ограничены; (ii) если $\{A_1,\dots,A_d\}$ и $\{B_1,\dots,B_d\}$ – наборы коммутирующих самосопряжённых операторов таких, что операторы $A_j-B_j$, $1\leqslant j\leqslant d$, являются ядерными, то и оператор $f(A_1,\dots,A_d)-f(B_1,\dots,B_d)$ является ядерным. Примечания. Отметим здесь работы [86] и [13], в которых получены аналоги этих результатов для функций от пар коммутирующих сжатий и функций от пар коммутирующих диссипативных операторов. 7.5. Операторная дифференцируемостьПерейдём теперь к вопросу о дифференцируемости отображения Здесь $f$ – непрерывная функция на $\mathbb{R}$, $A$ – самосопряжённый оператор, а $K$ – ограниченный самосопряжённый оператор. Функция $f$ называется операторно дифференцируемой, если такое отображение, заданное на вещественном банаховом пространстве всех ограниченных самосопряжённых операторов, дифференцируемо для любого самосопряжённого оператора $A$. Мы отсылаем читателя к работе [10], где подробно обсуждаются вопросы операторной дифференцируемости и приводится обширная библиография; см. также работы [43] и [42].В приведённом определении операторной дифференцируемости не говорится, имеется в виду дифференцируемость по Гато или дифференцируемость по Фреше. Оказывается, что в данном случае это одно и то же (см. [10]). Приведём достаточное условие операторной дифференцируемости. Теорема 7.10. Пусть $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Тогда отображение (7.15) дифференцируемо по Гато для любого самосопряжённого оператора $A$. Причём его дифференциал в точке $\boldsymbol{0}$ – это ограниченный линейный трансформатор Упомянем также работу [82], в которой обсуждается дифференцируемость функций от сжатий. Перейдём теперь к операторной дифференцируемости более высокого порядка. Начнём со случая, когда $A$ – ограниченный самосопряжённый оператор. Тогда для ограниченного самосопряжённого оператора $K$ и для непрерывной функции $f$ на $\mathbb{R}$ мы рассмотрим задачу о существовании производной порядка $n$ у функции Чтобы получить формулу для производной порядка $n$ такой операторнозначной функции, нам понадобятся понятия разделённых разностей высших порядков и кратных операторных интегралов. Определение 2. Пусть $f$ – функция на $\mathbb{R}$, имеющая $k$ производных. Определим разделённую разность ${\mathfrak D}^k f$ порядка $k$ по индукции следующим образом: если $k\geqslant1$, то Для того чтобы написать выражения для производных высших порядков оператор-функции, нам понадобятся кратные операторные интегралы. Существует несколько различных подходов к определению кратных операторных интегралов. Здесь мы будем пользоваться подходом, данным в работе автора [80]. Отметим, что для других задач бывает полезным использовать другие определения кратных операторных интегралов (см., в частности, определения в п. 7.8 этого обзора). Для простоты рассмотрим здесь случай тройных операторных интегралов. Пусть $({\mathscr X},E)$, $({\mathscr Y},F)$ и $({\mathscr Z},G)$ – пространства со спектральными мерами $E$, $F$ и $G$ в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$. Предположим, что функция $\psi$ на ${\mathscr X}\times{\mathscr Y}\times\mathscr{Z}$ входит в интегральное проективное тензорное произведение $L^\infty(E)\mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty(F) \mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty(G)$, т. е. $\psi$ допускает представление
$$
\begin{equation}
\psi(\lambda,\mu,\nu)=\int_Q f(\lambda,x)g(\mu,x)h(\nu,x)\,{\rm d}\sigma(x),
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
где $(Q,\sigma)$ – пространство с $\sigma$-конечной мерой, $f$ – измеримая функция на ${\mathscr X}\times Q$, $g$ – измеримая функция на ${\mathscr Y}\times Q$, $h$ – измеримая функция на ${\mathscr Z}\times Q$, причём
$$
\begin{equation}
\int_Q\|f(\cdot,x)\|_{L^\infty(E)}\,\|g(\cdot,x)\|_{L^\infty(F)}\, \|h(\cdot,x)\|_{L^\infty(G)}\,{\rm d} \sigma(x)<\infty.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Норма $\|\psi\|_{L^\infty\mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty \mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty}$ функции $\psi$ в $L^\infty(E)\mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty(F) \mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty(G)$ определяется как инфимум левой части неравенства (7.18) по всем представлениям вида (7.17). Предположим теперь, что $T_1$ и $T_2$ – ограниченные линейные операторы в $\mathscr{H}$. Для функции $\psi$ из $L^\infty(E)\mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty(F) \mathbin{\widehat\otimes_{\rm i}}L^\infty(G)$ вида (7.17) положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\mathscr X}\int_{\mathscr Y}\int_{\mathscr Z}\psi(\lambda,\mu,\nu) \,{\rm d} E(\lambda)T_1\,{\rm d} F(\mu)T_2\,{\rm d} G(\nu) \\ \notag &\qquad\overset{\rm def}=\int_Q\biggl(\,\int_{\mathscr X} f(\lambda,x)\,{\rm d} E(\lambda)\biggr)T_1 \biggl(\,\int_{\mathscr Y} g(\mu,x)\,{\rm d} F(\mu)\biggr) \\ &\qquad\qquad\times T_2 \biggl(\,\int_{\mathscr Z} h(\nu,x)\,{\rm d}G(\nu)\biggr)\,{\rm d}\sigma(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Хорошо известно (см., например, [84] или [19]), что правая часть равенства (7.19) не зависит от выбора представления (7.17); иными словами, определение тройного операторного интеграла корректно. Определение кратных операторных интегралов в общем случае даётся таким же образом. Следующий результат получен в работе автора [80]. Теорема 7.11. Пусть $m$ – натуральное число. Предположим, что $A$ – ограниченный самосопряжённый оператор, а $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^m(\mathbb{R})$. Тогда функция ${\mathfrak D}^m f$ входит в интегральное проективное тензорное произведение В случае, когда оператор $A$ не является ограниченным, возникает некоторая трудность, связанная с тем, что условие $f\in B_{\infty,1}^m(\mathbb{R})$ при $m>1$ не влечёт липшицевости функции $f$ на всей прямой. Поэтому для того, чтобы получить заключение теоремы в случае неограниченных операторов $A$, нужно добавить условие $f\in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. 7.6. Ядерные возмущения и формула следов Лифшица–КрейнаВ работе [56] И. М. Лифшиц, рассматривая задачи квантовой статистики и теории кристаллов, пришёл к следующей формуле следов. Пусть $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве с ядерной разностью. Тогда существует интегрируемая вещественнозначная функция $\xi=\xi_{\{A,B\}}$ на $\mathbb{R}$, для которой справедлива формула следов
$$
\begin{equation}
\operatorname{trace}\bigl(f(B)-f(A)\bigr)= \int_\mathbb{R}f'(t)\xi(t)\,{\rm d}t
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
для достаточно хороших функций $f$ на $\mathbb{R}$. Позже М. Г. Крейн в работе [46] дал строгое обоснование формулы следов (7.20) и показал, что она справедлива в случае, когда производная функции $f$ является преобразованием Фурье комплексной борелевской меры на $\mathbb{R}$. При этом М. Г. Крейн поставил задачу найти максимальный класс функций $f$, при которых формула следов (7.20) имеет место для произвольных самосопряжённых операторов $A$ и $B$ с ядерной разностью. В работе автора [76] был получен следующий результат. Теорема 7.12. Пусть $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы с ядерной разностью, и пусть $\xi$ – функция спектрального сдвига для этой пары. Тогда формула следов (7.20) имеет место для произвольной функции $f$ класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Однако класс Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$ не является максимальным классом для справедливости формулы следов (7.20). Задача Крейна была решена недавно в работе автора [83]. Это решение даётся следующей теоремой. Теорема 7.13. Пусть $f$ – непрерывная функция на $\mathbb{R}$. Следующие утверждения равносильны: (i) формула следов (7.20) имеет место для произвольной пары самосопряжённых операторов $A$ и $B$ с ядерной разностью и $\xi=\xi_{\{A,B\}}$; (ii) $f$ – операторно липшицева функция. Примечания. М. Г. Крейн в работе [47] определил интегрируемую вещественнозначную функцию спектрального сдвига $\xi$ на окружности $\mathbb{T}$ для пар унитарных операторов $(U,V)$ с ядерной разностью и получил формулу следов Остановимся также вкратце на формулах следов для функций от сжатий и для функций от диссипативных операторов. Задача нахождения интегрируемой функции спектрального сдвига для пары сжатий с ядерной разностью оставалась открытой в течение длительного времени; см. [59], где подробно изложена история вопроса. Эта задача была решена в работах [58] и [59] разными методами; см. также более раннюю работу [57], в которой налагалось дополнительное ограничение. Итак, в работах [58] и [59] было показано, что для любой пары сжатий $(T,R)$ в гильбертовом пространстве с ядерной разностью $T-R$ существует интегрируемая функция $\xi$ на окружности $\mathbb{T}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{trace}\bigl(f(T)-f(R)\bigr)= \int_{\mathbb{T}} f'(\zeta)\xi(\zeta)\,{\rm d} \zeta
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольной операторно липшицевой функции $f$, аналитической в единичном круге. В этих же работах [58] и [59] получены и формулы следов для функций от диссипативных операторов. Отметим, что ранее частичные результаты в этом направлении были получены в работах Х. Лангера [53], В. М. Адамяна–Х. Найдхардта [2], А. В. Рыбкина [98]–[101] и М. Г. Крейна [49]. Более подробное обсуждение истории вопроса приводится в работе [59]. 7.7. Формулы следов в случае возмущений операторами класса $\boldsymbol{S}_m$, $m\geqslant2$В работе Л. С. Коплиенко [45] была введена так называемая обобщённая функция спектрального сдвига в случае возмущения самосопряжённого оператора самосопряжённым оператором класса $\boldsymbol{S}_2$ и получена соответствующая формула следов. Пусть $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы такие, что оператор $K\overset{\rm def}= B-A$ – самосопряжённый оператор класса Гильберта–Шмидта $\boldsymbol{S}_2$, а $f$ – достаточно хорошая функция на $\mathbb{R}$. Ясно, что в этом случае не приходится ожидать, что оператор $f(B)-f(A)$ будет ядерным. Идея Коплиенко состояла в том, чтобы рассмотреть оператор который при таких предположениях должен быть ядерным, и найти формулу следов для таких операторов.В работе [45] показано, что существует единственная функция $\eta$ класса $L^1(\mathbb{R})$ такая, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{trace}\biggl(f(B)-f(A)-\frac{\rm d}{{\rm d}s} \varphi(A+sK)\Big|_{s=0}\biggr)=\int_\mathbb{R} f''(x)\eta(x)\,{\rm d} x
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
для любых рациональных функций $\varphi$ с полюсами вне $\mathbb{R}$. Функция $\eta$ называется обобщённой функцией спектрального сдвига, соответствующей паре $(A,B)$. В работе автора [78] показано, что для справедливости формулы следов (7.21) достаточно наложить существенно более мягкое условие на функцию $f$, а именно, верно следующее утверждение. Теорема 7.14. Пусть $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы такие, что $K\overset{\rm def}= B-A\in\boldsymbol{S}_2$. Тогда формула следов (7.21) справедлива для любой функции $f$ класса Бесова $B_{\infty,1}^2(\mathbb{R}^2)$. Отметим, что результаты Коплиенко были распространены в работе [63] на случай функций от унитарных операторов, а в работе [78] эти результаты были усилены и был получен аналог формулы следов Коплиенко для функций от унитарных операторов в случае, когда соответствующая функция на окружности входит в класс Бесова $B_{\infty,1}^2(\mathbb{T})$. Отметим также, что на случай функций от сжатий результаты работы [45] были распространены в работе [94]. В работе [90] формула следов Коплиенко была распространена на случай возмущений операторами класса $\boldsymbol{S}_m$, где $m$ – натуральное число, большее 2. Пусть $A$ – самосопряжённый оператор, а $K$ – самосопряжённый оператор класса $\boldsymbol{S}_m$. Чтобы сформулировать основной результат работы [90], определим операторный полином Тейлора ${\mathscr T}^{(m)}_{A,K}f$ для достаточно гладких функций $f$ равенством
$$
\begin{equation*}
{\mathscr T}^{(m)}_{A,K}f\overset{\rm def}= f(A+K)-f(A) -\frac{{\rm d}}{{\rm d} t}f(A+tK)\bigg|_{t=0}-\cdots-\frac{1}{(m-1)!}\, \frac{{\rm d}^{m-1}}{{\rm d} t^{m-1}}f(A+tK)\bigg|_{t=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [90] установлено, что для таких операторов $A$ и $K$ существует интегрируемая функция $\eta_m$ на $\mathbb{R}$ (функция спектрального сдвига порядка $m$ для пары $A$ и $K$) такая, что для любой функции $f$ на $\mathbb{R}$, удовлетворяющей условию
$$
\begin{equation}
\mathscr{F} f^{(j)}\in L^1(\mathbb{R}),\qquad 0\leqslant j\leqslant m,
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
справедлива формула следов
$$
\begin{equation}
\operatorname{trace}({\mathscr T}^{(m)}_{A,K}f)= \int_\mathbb{R} f^{(m)}(x)\eta_m(x)\,{\rm d} x.
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
Далее, в работе [7] показано, что формула следов (7.23) верна и при более слабом условии, нежели условие (7.22). А именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 7.15. Пусть $m\geqslant3$. Предположим, что $A$ – самосопряжённый оператор, а $K$ – самосопряжённый оператор класса $\boldsymbol{S}_m$. Тогда формула следов (7.23) имеет место для любой функции $f$ класса Бесова $B_{\infty,1}^m(\mathbb{R})$. В работе [7] приводятся более общие формулы следов в случае возмущений операторами класса $\boldsymbol{S}_m$. Среди результатов работы [7] выделим следующий. Теорема 7.16. Пусть $m$ – натуральное число, и пусть $A$ и $K$ – самосопряжённые операторы, причём $K\in\boldsymbol{S}_m$. Предположим, что $\mu$ – комплексная борелевская мера на $\mathbb{R}$. Тогда существует комплексная борелевская мера $\mu_{\{A,K\}}$ такая, что имеет место равенство для произвольной функции $f$ класса Бесова $B^m_{\infty,1}(\mathbb{R})$. При этом если мера $\mu$ абсолютно непрерывна (относительно меры Лебега), то и мера $\mu_{\{A,K\}}$ абсолютно непрерывна. Следующее утверждение, полученное в [7], показывает, что теорема 7.14 является частным случаем теоремы 7.16. Теорема 7.17. Пусть $m$ – положительное целое число, а $A$ и $K$ – самосопряжённые операторы, причём $K\in\boldsymbol{S}_m$. Рассмотрим абсолютно непрерывную меру $\mu$ на $\mathbb{R}$, определённую равенством Тогда имеет место формула для произвольной функции $f$ из класса Бесова $B_{\infty,1}^m(\mathbb{R})$. Примечание. Результаты работы [90] были распространены на случай функций от сжатий в работе [91] и на случай функций от унитарных операторов в работе [92]. 7.8. Функции от пар некоммутирующих операторовДля не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов $A$ и $B$ в гильбертовом пространстве и для функции $f$ на $\mathbb{R}^2$ определим функцию $f(A,B)$ от операторов $A$ и $B$ в виде двойного операторного интеграла
$$
\begin{equation*}
f(A,B)=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(s,t)\,{\rm d} E_A(s)\,{\rm d} E_B(t)= \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} f(s,t)\,{\rm d} E_A(s)I\,{\rm d} E_B(t)
\end{equation*}
\notag
$$
в случае, когда функция $f$ является мультипликатором Шура относительно спектральных мер $E_A$ и $E_B$ операторов $A$ и $B$. Если операторы $A$ и $B$ ограничены, то функции $f$ класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$ являются мультипликаторами Шура относительно спектральных мер $E_A$ и $E_B$ (см. [3]), и, стало быть, для таких функций $f$ мы можем определить функции $f(A,B)$ от операторов $A$ и $B$. Рассмотрим задачу о поведении функций от пар некоммутирующих самосопряжённых операторов при возмущении пар. Иными словами, мы хотим оценить нормы разности $f(A_2,B_2)-f(A_1,B_1)$ через нормы операторов $A_2-A_1$ и $B_2-B_1$. Для этого нам понадобятся тройные операторные интегралы. Причём нам потребуется определение тройных операторных интегралов, отличное от того, что было дано в п. 7.5. Напомним, что тройные операторные интегралы – это выражения вида
$$
\begin{equation}
\int_{\mathscr X}\int_{\mathscr Y}\int_{\mathscr Z}\Psi(x,y,z)\,{\rm d} E_1(x)T\,{\rm d} E_2(y)R\,{\rm d} E_3(z),
\end{equation}
\tag{7.24}
$$
где $E_1$, $E_2$ и $E_3$ – спектральные меры в гильбертовом пространстве, а $T$ и $R$ – ограниченные линейные операторы. В работе [40] тройные операторные интегралы были определены для функций $\Psi$, принадлежащих тензорному произведению Хогерупа $L^\infty_{E_1}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_2}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_3}$, которое по определению состоит из функций $\Psi$, допускающих представление
$$
\begin{equation}
\Psi(x,y,z)=\sum_{j,k\geqslant0}\alpha_j(x)\beta_{jk}(y)\gamma_k(z),
\end{equation}
\tag{7.25}
$$
где функции $\alpha_j$, $\beta_{jk}$ и $\gamma_k$ удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\geqslant0}|\alpha_j|^2\in L^\infty_{E_1},\qquad \sum_{k\geqslant0}|\gamma_k|^2\in L^\infty_{E_3}
\end{equation*}
\notag
$$
и функция
$$
\begin{equation*}
y\mapsto\bigl\|\{\beta_{jk}(y)\}_{j,k}\bigr\|_{\mathcal B}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $L^\infty_{E_2}$. Здесь символом ${\mathcal B}$ обозначен класс бесконечных матриц, которые определяют ограниченные операторы в $\ell^2$. При этом норма матрицы в ${\mathcal B}$ является нормой соответствующего оператора из $\ell^2$ в $\ell^2$. Норма функции $\Psi$ в тензорном произведении Хогерупа $L^\infty_{E_1}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_2}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_3}$ определяется как инфимум произведений
$$
\begin{equation*}
\|\{\alpha_j\}_{j\geqslant0}\|_{L^\infty_{E_1}(\ell^2)}\, \|\{\beta_{jk}\}_{j,k\geqslant0}\|_{L^\infty_{E_2}({\mathcal B})}\, \|\{\gamma_k\}_{k\geqslant0}\|_{L^\infty_{E_3}(\ell^2)}
\end{equation*}
\notag
$$
по всем представлениям вида (7.25) функции $\Psi$. Для таких функций $\Psi$ тройной операторный интеграл (7.24) определяется как произведение операторных матриц
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} A_0&A_1&A_2&\dots& \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B_{00}&B_{01}&B_{02}&\dots& \\ B_{10}&B_{11}&B_{12}&\dots \\ B_{20}&B_{21}&B_{22}&\dots \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}\begin{pmatrix} G_0 \\ G_1 \\ G_2 \\ \vdots \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_j\overset{\rm def}=\int\alpha_j\,{\rm d} E_1,\quad B_{jk}\overset{\rm def}=\int\beta_{jk}\,{\rm d} E_2\quad\text{и}\quad G_k\overset{\rm def}=\int\gamma_k\,{\rm d} E_3.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\int\!\!\!\int\!\!\!\int\Psi\,{\rm d} E_1T\,{\rm d} E_2R\,{\rm d} E_3\biggr\|\leqslant \|\Psi\|_{L^\infty\otimes_{\rm h}L^\infty\otimes_{\rm h}L^\infty}\, \|T\|\,\|R\|
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [40]) и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl\|\int\!\!\!\int\!\!\!\int\Psi\,{\rm d} E_1T\,{\rm d} E_2R\,{\rm d} E_3\biggr\|_{\boldsymbol{S}_r}\leqslant\|\Psi\|_{L^\infty \otimes_{\rm h}L^\infty\otimes_{\rm h}L^\infty}\, \|T\|_{\boldsymbol{S}_p}\,\|R\|_{\boldsymbol{S}_q}, \\ \notag \frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.26}
$$
в случае, когда $2\leqslant p\leqslant\infty$ и $2\leqslant q\leqslant\infty$ (см. [12]). Оказалось, однако, что для оценок липшицева типа для функций от двух некоммутирующих самосопряжённых операторов при их возмущении определение тройных операторных интегралов в случае, когда подынтегральная функция $\Psi$ входит в тензорное произведение Хогерупа пространств $L^\infty$, не подходит. В работе [3] получена следующая оценка липшицева типа для функций от пар некоммутирующих самосопряжённых операторов. Пусть $1\leqslant p\leqslant2$. Тогда существует положительное число $C$ такое, что
$$
\begin{equation}
\|f(A_1,B_1)-f(A_2,B_2)\|_{\boldsymbol{S}_p}\leqslant C\|f\|_{B_{\infty,1}^1} \max\bigl\{\|A_1-A_2\|_{\boldsymbol{S}_p}, \|B_1-B_2\|_{\boldsymbol{S}_p}\bigr\}
\end{equation}
\tag{7.27}
$$
для всякой функции $f$ класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ и для произвольных ограниченных (не обязательно коммутирующих) самосопряжённых операторов $A_1$, $A_2$, $B_1$ и $B_2$, удовлетворяющих условиям $A_2-A_1\in\boldsymbol{S}_p$ и $B_2-B_1\in\boldsymbol{S}_p$. Из определения классов Бесова, данного в разделе 2, нетрудно вывести, что для доказательства неравенства (7.27) достаточно установить, что если $f\in L^\infty(\mathbb{R}^2)$ и $\operatorname{supp}\mathscr{F} f\subset\{\xi\in\mathbb{R}^2\colon \|\xi\|\leqslant1\}$, то при $1\leqslant p\leqslant2$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|f(A_1,B_1)-f(A_2,B_2)\|_{\boldsymbol{S}_p}\leqslant \operatorname{const}\|f\|_{L^\infty}\max\bigl\{\|A_1-A_2\|_{\boldsymbol{S}_p}, \|B_1-B_2\|_{\boldsymbol{S}_p}\bigr\}
\end{equation}
\tag{7.28}
$$
для произвольных ограниченных самосопряжённых операторов $A_1$, $A_2$, $B_1$ и $B_2$ таких, что $A_2-A_1\in\boldsymbol{S}_p$ и $B_2-B_1\in\boldsymbol{S}_p$. Для того чтобы установить неравенство (7.28), в работе [3] использовалось следующее представление операторной разности $f(A_1,B_1)-f(A_2,B_2)$ в виде тройных операторных интегралов:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &f(A_1,B_1)-f(A_2,B_2) \notag \\ &\qquad=\int\!\!\!\int\!\!\!\int\bigl({\mathfrak D}^{[1]}f\bigr)(x_1,x_2,y) \,{\rm d} E_{A_1}(x_1)(A_1-A_2)\,{\rm d} E_{A_2}(x_2)\,{\rm d} E_{B_1}(y) \notag \\ &\qquad\qquad+\int\!\!\!\int\!\!\!\int\bigl({\mathfrak D}^{[2]}f\bigr)(x,y_1,y_2)\,{\rm d} E_{A_2}(x)\,{\rm d} E_{B_1}(y_1)(B_1-B_2)\,{\rm d} E_{B_2}(y_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.29}
$$
где
$$
\begin{equation}
\bigl({\mathfrak D}^{[1]}f\bigr)(x_1,x_2,y) \overset{\rm def}= \frac{f(x_1,y)-f(x_2,y)}{x_1-x_2}\,,
\end{equation}
\tag{7.30}
$$
$$
\begin{equation}
\bigl({\mathfrak D}^{[2]}f\bigr)(x,y_1,y_2) \overset{\rm def}= \frac{f(x,y_1)-f(x,y_2)}{y_1-y_2}\,.
\end{equation}
\tag{7.31}
$$
Естественно, нужно разъяснить, в каком смысле понимаются тройные операторные интегралы. Оказывается (см. [3]), что при условии $f\in{\mathscr E}_{1}^\infty(\mathbb{R}^2)$ разделённые разности ${\mathfrak D}^{[1]}f$ и ${\mathfrak D}^{[2]}f$ допускают представления
$$
\begin{equation}
\bigl({\mathfrak D}^{[1]}f\bigr)(x_1,x_2,y)=\sum_{j,k\in\mathbb{Z}} \frac{\sin(x_1-j\pi)}{x_1-j\pi}\cdot\frac{\sin(x_2-k\pi)}{x_2-k\pi} \cdot\frac{f(j\pi,y)-f(k\pi,y)}{j\pi-k\pi}
\end{equation}
\tag{7.32}
$$
и
$$
\begin{equation}
\bigl({\mathfrak D}^{[2]}f\bigr)(x,y_1,y_2)=\sum_{j,k\in\mathbb{Z}} \frac{f(j\pi,x)-f(k\pi,x)}{j\pi-k\pi}\cdot \frac{\sin(y_1-j\pi)}{y_1-j\pi}\cdot\frac{\sin(y_2-k\pi)}{y_2-k\pi}\,,
\end{equation}
\tag{7.33}
$$
причём в случае $j=k$ мы предполагаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{f(j\pi,y)-f(k\pi,y)}{j\pi-k\pi}= \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\bigg|_{(j\pi,y)}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом хорошо известно, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{j\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^2(x_1-j\pi)}{(x_1-j\pi)^2}= \sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^2(x_2-k\pi)}{(x_2-k\pi)^2}=1,\qquad x_1,x_2\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\sup_{y\in\mathbb{R}}\biggl\|\biggl\{\frac{f(j\pi,y)- f(k\pi,y)}{j\pi-k\pi}\biggr\}_{j,k\in\mathbb{Z}}\biggr\|_{\mathcal{B}} \leqslant\operatorname{const}\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные утверждения можно легко сформулировать для функций класса ${\mathscr E}_\sigma^\infty(\mathbb{R}^2)$ в случае произвольного положительного числа $\sigma$. Казалось бы, представления разделённых разностей ${\mathfrak D}^{[1]}$ и ${\mathfrak D}^{[2]}$ в виде (7.32) и (7.33) напоминают представление функции трёх переменных в виде тензорного произведения Хогерупа. Однако при внимательном рассмотрении оказывается, что это не так. Дело в том, что в определении тензорного произведения Хогерупа трёх пространств $L^\infty$ мы видим, что в представлении (7.25) матричнозначная функция $y\mapsto\{\beta_{j,k}(y)\}_{j,k}$ является функцией второй переменной, в то время как в представлениях (7.32) и (7.33) матричнозначные функции являются функциями третьей переменной и первой переменной. Причём это различие весьма существенно. Поэтому потребность определить тройные операторные интегралы для функций ${\mathfrak D}^{[1]}$ и ${\mathfrak D}^{[2]}$ привела в работе [3] к понятиям хогерупообразных тензорных произведений (см. также [12]). Определение 3. Говорят, что ограниченная измеримая функция $\Psi$ на ${\mathscr X}\times{\mathscr Y}\times {\mathscr Z}$ принадлежит хогерупообразному тензорному произведению первого типа $L^\infty(E_1)\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_2) \mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty(E_3)$, если $\Psi$ допускает представление вида Теперь пришла очередь определить тройные операторные интегралы, подынтегральные функции которых входят в $L^\infty(E_1)\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_2) \mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty(E_3)$. Определение 4. Пусть $1\leqslant p\leqslant2$. Для функций $\Psi$ из $L^\infty(E_1)\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_2) \mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty(E_3)$, для ограниченного линейного оператора $R$ и для оператора $T$ класса $\boldsymbol{S}_p$ определим тройной операторный интеграл как следующий линейный непрерывный функционал на $\boldsymbol{S}_{p'}$, $1/p+1/p'= 1$ (на классе компактных операторов в случае $p=1$): Тройной операторный интеграл в (7.36) определён, ибо функция входит в тензорное произведение Хогерупа $L^\infty(E_2)\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_3) \mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_1)$. Из неравенства (7.26) легко вывести, что
$$
\begin{equation*}
\|W\|_{\boldsymbol{S}_p}\leqslant\|\Psi\|_{L^\infty\mathbin{\otimes_{\rm h}} L^\infty\mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty}\|T\|_{\boldsymbol{S}_p}\|R\|,\qquad 1\leqslant p\leqslant2.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим теперь тройные операторные интегралы в случае подынтегральных функций из хогерупообразного тензорного произведения второго типа. Определение 5. Говорят, что ограниченная измеримая функция $\Psi$ на ${\mathscr X}\times{\mathscr Y}\times {\mathscr Z}$ принадлежит хогерупообразному тензорному произведению второго типа $L^\infty(E_1)\mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty(E_2) \mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_3)$, если $\Psi$ допускает представление Определение 6. Предположим, что При этом имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\|W\|_{\boldsymbol{S}_p}\leqslant \|\Psi\|_{L^\infty\otimes^{\rm h} L^\infty\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty}\,\|T\|\,\|R\|_{\boldsymbol{S}_p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти определения тройных операторных интегралов были даны в работе [3]; мы также отсылаем читателя к работе [12], где были даны определения тройных операторных интегралов в более общей ситуации. Теперь мы готовы сформулировать теорему о липшицевых оценках для функций от некоммутирующих самосопряжённых операторов при их возмущении. Теорема 7.18. Пусть $f$ – функция из класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$, и пусть $1\leqslant p\leqslant 2$. Предположим, что $(A_1,B_1)$ и $(A_2,B_2)$ – две пары ограниченных не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов таких, что $A_2-A_1\in\boldsymbol{S}_p$ и $B_2-B_1\in\boldsymbol{S}_p$. Тогда разделённые разности ${\mathfrak D}^{[1]}f$ и ${\mathfrak D}^{[2]}f$, определённые равенствами (7.32) и (7.33), входят в хогерупообразные тензорные произведения $L^\infty(E_1)\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_2) \mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty(E_3)$ и $L^\infty(E_1)\mathbin{\otimes^{\rm h}}L^\infty(E_2) \mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty(E_3)$ для произвольных борелевских спектральных мер $E_1$, $E_2$ и $E_3$; кроме того, имеет место представление (7.29), в котором первый тройной операторный интеграл понимается в смысле определения 4, а второй тройной операторный интеграл понимается в смысле определения 6. При этом имеет место оценка липшицева типа Теорема 7.18 была доказана в работе [3]. В той же работе было установлено, что при $p>2$, равно как и в операторной норме, такая липшицева оценка не верна. Отметим также, что в работе [85] показано, что эти оценки липшицева типа не распространяются на случай функций от трёх некоммутирующих самосопряжённых операторов. 7.9. Функции от пар неограниченных некоммутирующих операторовПерейдём к случаю пар неограниченных не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов. Пусть $1\leqslant p\leqslant 2$ и $f$ – функция класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R})$. Предположим теперь, что $(A_1,B_1)$ и $(A_2,B_2)$ – пары неограниченных не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов таких, что $A_2-A_1\in\boldsymbol{S}_p$ и $B_2-B_1\in\boldsymbol{S}_p$. Отметим, прежде всего, что оба тройных операторных интеграла в правой части представления (7.29) по-прежнему определены, как и в случае пар ограниченных операторов, и определяют операторы класса $\boldsymbol{S}_p$, а их норма в пространстве $\boldsymbol{S}_p$ оценивается сверху через правую часть неравенства (7.39). Проблема здесь состоит в том, каким образом определить функции от операторов $f(A_1,B_1)$ и $f(A_2,B_2)$ как неограниченные операторы с плотной областью определения. Этой задаче посвящены работы [15] и [16]. В п. 7.8 мы определили функции $f(A,B)$ от не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов в случае, когда $f\in L^\infty_{E_A}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_B}$. Пусть теперь $f$ – функция двух переменных, а $f_\sharp$ – функция, определённая равенством
$$
\begin{equation*}
f_\sharp(s,t)\overset{\rm def}=(1-\mathrm{i} t)^{-1}f(s,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $f_\sharp\in L^\infty_{E_A}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_B}$. Определим оператор $f(A,B)$ равенством
$$
\begin{equation*}
f(A,B)\overset{\rm def}= f_\sharp(A,B)(I-\mathrm{i} B)= \biggl(\,\int\!\!\!\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}f_\sharp(s,t)\,{\rm d} E_A(s)\, {\rm d} E_B(t)\biggr)(I-\mathrm{i} B).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $f(A,B)$ – плотно определённый оператор, область определения которого совпадает с областью определения ${\rm D}(B)$ оператора $B$. Он не обязательно является ограниченным, но оператор $f(A,B)(I-\mathrm{i} B)^{-1}$ ограничен. В работах [14] и [16] было установлено, что если $f\in{\mathscr E}_\sigma^\infty(\mathbb{R}^2)$, $\sigma>0$, то $f_\sharp\in L^\infty_{E_1}\mathbin{\otimes_{\rm h}} L^\infty_{E_2}$ для любых спектральных борелевских мер $E_1$ и $E_2$. Таким образом, если $f\in{\mathscr E}_\sigma^\infty(\mathbb{R}^2)$, то оператор $f_\sharp(A,B)$ ограничен, в то время как $f(A,B)$ – не обязательно ограниченный плотно определённый оператор с областью определения ${\rm D}(B)$. При этом имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\|f_\sharp\|_{L^\infty_{E_1}\mathbin{\otimes_{\rm h}}L^\infty_{E_2}}\leqslant \operatorname{const}(1+\sigma)\|f\|_{L^\infty(\mathbb{R}^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда легко вытекает, что если $f$ – функция из неоднородного класса Бесова $\textit{Б}_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$, то $f_\sharp\in L^\infty_{E_1}\mathbin{\otimes_{\rm h}} L^\infty_{E_2}$ и
$$
\begin{equation*}
\|f_\sharp\|_{L^\infty_{E_1}\otimes_{\rm h}L^\infty_{E_2}}\leqslant \operatorname{const}\|f\|_{\textit{Б}_{\infty,1}^1}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых спектральных борелевских мер $E_1$ и $E_2$ (см. [15] и [16]). Таким образом, для произвольной пары $(A,B)$ не обязательно ограниченных самосопряжённых операторов и для функций $f$ из неоднородного класса Бесова $\textit{Б}_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ мы можем определить оператор $f(A,B)$ как плотно определённый оператор. При этом имеет место следующий результат (см. [15] и [16]). Теорема 7.19. Пусть функция $f$ принадлежит неоднородному классу Бесова $\textit{Б}_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$, и пусть $1 \leqslant p \leqslant 2$. Предположим, что $(A_1,B_1)$ и $(A_2,B_2)$ – пары не обязательно ограниченных и не обязательно коммутирующих самосопряжённых операторов такие, что $A_2-A_1\in\boldsymbol{S}_p$ и $B_2-B_1\in\boldsymbol{S}_p$. Тогда Отметим, что аналог этого утверждения для функций от пар некоммутирующих диссипативных операторов был получен в работе [14]. 7.10. Функции от пар почти коммутирующих операторовОграниченные самосопряжённые операторы $A$ и $B$ называют почти коммутирующими, если их коммутатор $[A,B]\overset{\rm def}= AB-BA$ является ядерным оператором. Полиномиальное исчисление для пары $(A,B)$ почти коммутирующих самосопряжённых операторов определяется следующим образом. Если $\varphi$ – полином вида $\varphi(s,t)=\displaystyle\sum_{j,k}a_{jk}s^jt^k$, то оператор $\varphi(A,B)$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\varphi(A,B)\overset{\rm def}=\sum_{j,k}a_{jk}A^jB^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что если $\varphi$ и $\psi$ – полиномы двух вещественных переменных, то $[\varphi(A,B),\psi(A,B)]\in\boldsymbol{S}_1$. В работе Дж. У. Хелтона и Р. Э. Хау [37] была получена формула следов для коммутаторов полиномов от почти коммутирующих самосопряжённых операторов. Пусть $A$ и $B$ – почти коммутирующие самосопряжённые операторы, а $\varphi$ и $\psi$ – полиномы двух вещественных переменных. Тогда
$$
\begin{equation}
\operatorname{trace}[\varphi(A,B),\psi(A,B)]= -\mathrm{i}\int_{\mathbb{R}^2}\biggl(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\, \frac{\partial\psi}{\partial y}- \frac{\partial\varphi}{\partial y}\, \frac{\partial\psi}{\partial x}\biggr)\,{\rm d} P,
\end{equation}
\tag{7.40}
$$
где $P$ – вещественнозначная конечная мера с компактным носителем, которая определяется парой $(A,B)$. В работе [89] было показано, что мера $P$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на плоскости и
$$
\begin{equation*}
{\rm d} P(x,y)=\frac{1}{2\pi}g(x,y)\,{\rm d} \boldsymbol{m}_2(x,y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $g$ – так называемая принципиальная функция Пинкуса, введённая в [88]. Полиномиальное исчисление было расширено в работе [29] до функционального исчисления на классе функций $\varphi=\mathscr{F}\omega$, являющихся преобразованиями Фурье комплексных борелевских мер $\omega$ на $\mathbb{R}^2$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^2}(1+|t|)(1+|s|)\,{\rm d} |\omega|(s,t)<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
причём формула следов Хелтона–Хау (7.40) была распространена на случай таких функций. Далее, в работе автора [77] приведённые выше результаты были получены для ещё более широкого класса функций. Кроме того, в этой же работе [77] показано, что невозможно распространить такое функциональное исчисление на класс всех непрерывно дифференцируемых функций на $\mathbb{R}^2$ при условии, что оно обладает некоторыми естественными свойствами и $[\varphi(A,B),\psi(A,B)]\in\boldsymbol{S}_1$ для произвольных непрерывно дифференцируемых функций $\varphi$ и $\psi$. Наиболее продвинутые результаты в этом направлении были получены в работе [11], в которой нужное функциональное исчисление строится на классе Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ и показывается, что это исчисление почти мультипликативно. Приведём основные результаты работы [11]. Отметим, что эти результаты используют тройные операторные интегралы для хогерупообразных тензорных произведений пространств $L^\infty$, введённых в работе [3], и оценки ядерных норм таких операторных интегралов, полученные в [3] (см. п. 7.8 выше). Теорема 7.20. Пусть $A$ и $B$ – самосопряжённые операторы, а $Q$ – ограниченный линейный оператор такой, что $[A,Q]\in\boldsymbol{S}_1$ и $[B,Q]\in\boldsymbol{S}_1$. Предположим, что $\varphi$ – функция из класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$. Тогда $[\varphi(A,B),Q]\in\boldsymbol{S}_1$, Теорема 7.21. Пусть $A$ и $B$ – почти коммутирующие самосопряжённые операторы, а $\varphi$ и $\psi$ – функции из класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$. Тогда Теперь мы можем распространить формулу следов Хелтона–Хау на случай функций из класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$. Теорема 7.22. Пусть $A$ и $B$ – почти коммутирующие самосопряжённые операторы, а $\varphi$ и $\psi$ – функции из класса Бесова $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$. Тогда 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pel24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|