| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О локальной корректности задач с характеристическими свободными границами для гиперболических систем законов сохранения Ю. Л. Трахинин Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10150e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеВ механике жидкостей, газов и плазмы многие постановки задач со свободными границами так или иначе следуют из постановки задачи с граничными условиями Ренкина–Гюгонио на свободной поверхности, на которой имеют разрыв гладкие решения системы дифференциальных законов сохранения, описывающих течение сплошной среды. Поэтому мы начнем наш обзор с описания именно этой наиболее общей задачи. 1.1. Задача со свободной границей с граничными условиями Ренкина–ГюгониоРассмотрим систему $m$ дифференциальных законов сохранения
$$
\begin{equation}
\partial_t f^0_i(U )+\operatorname{div} f_i (U )=0,\qquad i=1,\dots,m,
\end{equation}
\tag{1}
$$
для вектора неизвестных величин $U(t,x)=(u_1(t,x),\dots,u_m(t,x))^\top$, где $t$ – время, $x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ – декартовы координаты, $\partial_t:=\partial /\partial t$. Функции потока $f^0_i=f^0_i(U)$ и $f_i=(f_i^1,\dots,f_i^n)^\top=f_i(U)$ предполагаются достаточно гладкими (для конкретных систем они обычно бесконечно гладкие). Уравнения (1) переписываются в виде квазилинейной системы
$$
\begin{equation}
A_0(U )\,\partial_t U+\sum_{j=1}^nA_j(U)\,\partial_jU=0
\end{equation}
\tag{2}
$$
с матрицами $A_{\alpha}=A_{\alpha}(U)=(\partial f^{\alpha}/\partial U)$, где $f^{\alpha}:=(f_1^{\alpha},\dots,f_m^{\alpha})^\top$, $\alpha=0,\dots,n$. Напомним, что система (2) называется симметрической гиперболической [13], [14], если
$$
\begin{equation*}
A_{\alpha}=A_{\alpha}^\top\quad (\alpha =0,\dots,n),\qquad A_0>0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $U\in G\subset\mathbb{R}^m$. Симметрические гиперболические системы являются гиперболическими в смысле следующего общего определения гиперболических систем. А именно, квазилинейная система (2) с невырожденной матрицей $A_0$ называется гиперболической, если все собственные числа $\lambda_i$ ($i=1,\dots,m$) характеристической матрицы вещественны при всех ${\xi}=(\xi_1,\dots,\xi_n)^\top\in \mathbb{R}^n \setminus\{0\}$, $U\in G\subset\mathbb{R}^m$ и эта матрица приводится к диагональному виду (с вещественными диагональными элементами $\lambda_i=\lambda_i(U,{\xi})$). При этом подобласть $G$ пространства состояний называется областью гиперболичности. Локальное по времени существование и единственность гладких решений задачи Коши для симметрической гиперболической системы были независимо доказаны в [59], [23]. Задачи со свободными границами будут нами далее рассматриваться также для симметрических гиперболических систем. Общий метод приведения системы законов сохранения к симметрическому виду был предложен С. К. Годуновым [15], [16]. Мы не будем обсуждать здесь этот вопрос, поскольку для наших целей достаточно использовать элементарную симметризацию системы законов сохранения, которая для наиболее известных моделей механики сплошной среды достигается за счет удачного выбора вектора неизвестных $U$. Основным требованием, гарантирующим локальное существование и единственность гладкого решения задачи Коши для симметрической системы (2), является выполнение условия гиперболичности $A_0(U_0)>0$ для начальных данных $U\big|_{t=0}=U_0(x)$. Если интересоваться локальным существованием и единственностью кусочно гладкого решения, гладкие куски которого разделены свободной поверхностью разрыва, то естественно возникает вопрос о требованиях на начальные данные соответствующей задачи со свободной границей (помимо условия гиперболичности). И с физической, и с математической точек зрения необходимо, чтобы такие кусочно гладкие решения являлись слабыми решениями системы законов сохранения (1). Слабое решение системы (1) определяется стандартным способом. А именно, вектор-функция $U(t,x)\in L^2([0,T]\times \mathbb{R}^n)$ называется слабым решением системы законов сохранения (1), если
$$
\begin{equation}
\int_{[0,T]\times\mathbb{R}^n}\biggl( f^0(U)\cdot\partial_t\psi + \sum_{j=1}^n f^j(U)\cdot \partial_j\psi\biggr)=0
\end{equation}
\tag{3}
$$
для всех $\psi (t,x) =(\psi_1(t,x),\dots,\psi_m(t,x))^\top\in C_0^{\infty} ([0,T]\times \mathbb{R}^n)$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\Sigma=\Sigma(t)=\{ x_1-\varphi (t,x')=0\},\qquad x':=(x_2,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^{n-1},
\end{equation*}
\notag
$$
является гладкой гиперповерхностью в $[0,T]\times\mathbb{R}^n$. Предположим, что $\Sigma (t)$ есть поверхность сильного разрыва решения $U(t,x)$ системы (1), которое является гладким решением (1) с обеих сторон от разрыва $\Sigma$. Иными словами, на этой поверхности терпит разрыв само решение $U$, а не только его производные. Вопрос спонтанного образования сильных разрывов (в частности, ударных волн) из гладких начальных данных в решениях гиперболических систем законов сохранения мы оставляем за рамками нашего обзора и отсылаем читателя, например, к монографии [61]. Пусть
$$
\begin{equation*}
U=U^{\pm}\quad\text{в}\ \ \Omega^{\pm}(t)=\{\pm(x_1-\varphi (t,{x}'))>0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая систему (1) скалярно на $\psi \in C_0^{\infty} ([0,T]\times \mathbb{R}^n)$, интегрируя полученное равенство по частям, а также используя формулу Гаусса–Остроградского, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{[0,T]\times\mathbb{R}^n}\biggl(f^0(U)\cdot\partial_t\psi+ \sum_{j=1}^n f^j(U)\cdot \partial_j\psi \biggr) \nonumber \\ &\qquad+\int_{\Sigma} \biggl\{\partial_t\varphi\,[f^0(U)]-[f^1(U)]+ \sum_{k=2}^{n}\partial_k\varphi\,[f^k(U)]\biggr\}\cdot \psi=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
для всех $\psi \in C_0^{\infty} ([0,T]\times \mathbb{R}^n)$. Здесь и далее мы используем обычное обозначение для скачка, т. е.
$$
\begin{equation*}
[f^{\alpha}(U)]:=f^{\alpha}(U^+)\big|_{\Sigma}-f^{\alpha}(U^-)\big|_{\Sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу определения (3) слабого решения и леммы Дюбуа-Реймона из равенства (4) выводим, что кусочно гладкое решение ${U}$ системы (1) (или (2)), терпящее разрыв на $\Sigma(t)$, будет являться слабым решением тогда и только тогда, когда в каждой точке $\Sigma$ выполнены соотношения Ренкина–Гюгонио:
$$
\begin{equation}
\partial_t\varphi\,[f^0(U)]-[f^1(U)]+ \sum_{k=2}^{n}\partial_k\varphi\,[f^k(U)]=0\quad \text{на } \Sigma(t).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Необходимо отметить, что задача для системы (2) в областях $\Omega^{\pm}(t)$,
$$
\begin{equation}
A_0(U^\pm)\,\partial_t U^\pm + \sum_{j=1}^nA_j(U^\pm)\,\partial_jU^\pm=0\quad \text{в } \Omega^\pm(t),
\end{equation}
\tag{6}
$$
с граничными условиями (5) на гиперповерхности $\Sigma(t)$ является задачей со свободной границей. В самом деле, функция $\varphi(t,{x}')$, задающая $\Sigma$, является одной из неизвестных задачи (2), (5) с соответствующими начальными данными
$$
\begin{equation}
{U}^\pm\big|_{t=0}={U}^{\pm}_0({x}),\qquad \varphi\big|_{t=0}=\varphi_0(x').
\end{equation}
\tag{7}
$$
Для того чтобы доказать существование сильного разрыва у системы законов сохранения (1), необходимо ответить на следующий вопрос: существует ли гладкое решение $(U^+,U^-,\varphi)$ задачи со свободной границей (5), (6), по крайней мере локально по времени? При этом необходимо, конечно, еще доказать единственность такого решения. Гиперповерхность в $[0,T]\times\mathbb{R}^n$ называется характеристической, если она является характеристикой гиперболической системы (2). В этом случае в каждой точке этой поверхности пространственно-временной вектор нормали к ней, $(\tau,\xi_1,\dots,\xi_n)^\top$, удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\det\biggl(\tau A_0(U)+\sum_{j=1}^n\xi_jA_j(U)\biggr) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, поверхность сильного разрыва $\Sigma(t)$ является характеристической, если
$$
\begin{equation}
\det\biggl(\partial_t\varphi\,A_0(U^\pm)-A_1(U^\pm)+ \sum_{k=2}^n\partial_k\varphi\,A_n(U^\pm)\biggr)=0\quad\text{на } \Sigma(t).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Следуя терминологии П. Д. Лакса [27], характеристические разрывы называют контактными, а если в каждой точке разрыва определитель в (8) не равен нулю, то такой разрыв называют ударной волной. Заметим, правда, что с физической точки зрения не все контактные разрывы являются поверхностями контакта (с нулевым потоком массы сплошной среды через разрыв). В рамках настоящего обзора нас будут интересовать задачи с характеристическими свободными границами, в частности задачи для характеристических сильных разрывов. 1.2. Задача со свободной границей для уравнений Эйлера сжимаемой жидкостиСистема уравнений Эйлера, описывающих течение идеальной сжимаемой жидкости, в частности газа, представляет собой систему вида (1), состоящую из пяти законов сохранения:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_t\rho+\operatorname{div}(\rho v)=0, \\ \partial_t(\rho v)+\operatorname{div}(\rho v \otimes v)+\nabla p=0, \\ \partial_t(\rho E)+\operatorname{div}(\rho Ev+pv)=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\rho$ – плотность жидкости, $v=(v_1,v_2,v_3)^\top$ – скорость, $p=p(\rho,S)$ – давление, $S$ – энтропия, $E=\mathfrak{e}+|v|^2/2$ – полная энергия, а $\mathfrak{e}=\mathfrak{e}(\rho,S)$ – внутренняя энергия жидкости. Из термодинамического тождества
$$
\begin{equation}
{d}\mathfrak{e}=\frac{p}{\rho^2}\,{d}\rho+\vartheta\,dS
\end{equation}
\tag{10}
$$
(здесь $\vartheta$ – температура) следует, что
$$
\begin{equation*}
p=\rho^2\,\frac{\partial\mathfrak{e}}{\partial\rho}(\rho,S) \quad\text{и}\quad \vartheta=\frac{\partial\mathfrak{e}}{\partial S}(\rho,S).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда система (9) является замкнутой. В качестве неизвестного можно выбрать, например, вектор $U=(p,v,S)^\top$. Заметим, что на гладких решениях системы (9) выполняется дополнительный закон сохранения энтропии С учетом (11) система (9) переписывается в неконсервативном виде
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\rho c^2}\,\frac{dp}{dt}+\operatorname{div}\, v =0,\qquad \rho\, \frac{dv}{dt}+\nabla p=0,\qquad \frac{dS}{dt}=0,
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $c^2=\dfrac{\partial p}{\partial \rho}(\rho,S)$ – квадрат скорости звука и $\dfrac{d}{dt}=\partial_t+v\cdot \nabla$. Сейчас логичнее рассматривать $\rho=\rho(p,S)$ как уравнение состояния среды. Нетрудно понять, что система (12) является симметрической системой вида (2) (с $n=3$) для выбранного неизвестного $U=(p,v,S)^\top$. Симметрические матрицы $A_{\alpha}$ могут быть легко выписаны, а диагональная матрица $A_0$ положительно определена при естественных физических предположениях
$$
\begin{equation}
\rho (p,S) >0,\quad \frac{\partial \rho}{\partial p}(p,S)>0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
которые являются условиями гиперболичности в том смысле, что при их выполнении система (12) является симметрической гиперболической. Заметим, что условия гиперболичности в смысле выполнения требования $A_0>0$ могут различаться для различных симметрических видов системы. Так, например, эти условия, записанные для годуновской симметризации уравнений Эйлера [15], помимо неравенств (13) содержат требования выпуклости уравнения состояния $\mathfrak{e}=\mathfrak{e}(V,S)$, где $V=1/\rho$ (см. [18]). Соотношения Ренкина–Гюгонио для законов сохранения (9) могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
[\mathfrak{m}]=0,\quad \mathfrak{m}[v_{N}]+|N|^2[p]=0,\quad \mathfrak{m}[v_{\tau}]=0,\quad \mathfrak{m}[ E]+[pv_{N}]=0,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^{\pm}\big|_{\Sigma}$ – поток массы через разрыв, $N=(1,-\partial_2\varphi,-\partial_3\varphi)^\top$ – нормаль к $\Sigma(t)$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{m}^{\pm}=\rho^{\pm} (v_{N}^{\pm}-\partial_t\varphi),\quad v_{N}^{\pm}=v^\pm\cdot N,\quad v_{\tau}^{\pm}=(v_{\tau_1}^{\pm},v_{\tau_2}^{\pm})^\top, \\ v_{\tau_i}^{\pm}= v^{\pm}\cdot\tau_i,\quad i=1,2,\quad {\tau}_1=(\partial_2\varphi,1,0)^\top,\quad {\tau}_2=(\partial_3\varphi,0,1)^\top. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться в том, что если $\mathfrak{m}=0$, то выполнено условие (8), т. е. поверхность $\Sigma(t)$ является характеристической. Такой разрыв называется тангенциальным [25]. При $\mathfrak{m}\ne 0$ и дополнительном условии $[\rho ]\ne 0$ мы имеем дело с ударной волной. (При $\mathfrak{m}\ne 0$ и $[\rho]=0$ решение непрерывно.) Как следует из (14), граничные условия на тангенциальном разрыве имеют следующий вид [25]:
$$
\begin{equation}
[p]=0,\quad \partial_t\varphi=v_{N}^\pm\quad \text{на } \Sigma(t).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пусть теперь область с одной стороны от тангенциального разрыва, скажем $\Omega^-(t)$, – область вакуума. Тогда в области $\Omega(t):=\Omega^+(t)$ для нахождения $U:=U^+$ и $\varphi$ мы получаем классическую задачу со свободной границей для уравнений Эйлера (12) с граничными условиями
$$
\begin{equation}
p=0,\quad \partial_t\varphi=v_{N}\quad \text{на } \Sigma(t)
\end{equation}
\tag{16}
$$
и начальными данными
$$
\begin{equation}
{U}\big|_{t=0}={U}_0({x}),\qquad \varphi\big|_{t=0}=\varphi_0(x').
\end{equation}
\tag{17}
$$
Задача со свободной границей (12), (16), (17) сформулирована нами для случая неограниченной области $\Omega (t)=\{x_1>\varphi(t,x')\}$, когда свободная граница $\Sigma(t)$ имеет вид графика $x_1=\varphi(t,x')$. Условие непротекания в (16) может быть переписано в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{d\eta}{dt}=0,\quad\text{где}\ \ \eta(t,x)=x_1-\varphi(t,x').
\end{equation*}
\notag
$$
Именно такой вид с произвольной гладкой функцией $\eta(t,x)$ имеет это условие для задачи со свободной границей в ограниченной области $\Omega(t)$. 1.3. Задачи со свободными границами для тангенциальных и контактных магнитогидродинамических разрывовСистема уравнений магнитной гидродинамики (МГД), описывающих течение невязкой сжимаемой идеально проводящей жидкости (в частности, плазмы) в магнитном поле, состоит из восьми законов сохранения [26]:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_t \rho +\operatorname{div} (\rho v )=0, \\ \partial_t(\rho v)+\operatorname{div}(\rho v \otimes v -H \otimes H )+\nabla q =0, \\ \partial_t H-\nabla\times(v\times H)=0, \\ \partial_t\biggl(\rho E+\dfrac{1}{2}|H|^2\biggr)+ \operatorname{div}\bigl(\rho Ev+pv+H\times(v\times H)\bigr)=0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $H=(H_1,H_2,H_3)^\top$ – магнитное поле, $q=p+|H|^2/2$ – полное давление, а остальные обозначения те же, что в системе (9). Для системы (18) обязано выполняться дивергентное ограничение на начальные данные, которое, как нетрудно показать, справедливо для всех $t>0$, если оно было выполнено при $t=0$. С учетом термодинамического тождества (10) система (18) является замкнутой, например, для вектора неизвестных $U=(p,v,H,S)^\top$. Как и для уравнений Эйлера (9), на гладких решениях системы (18) выполняется закон сохранения энтропии (11). С учетом (11) и (19) система (18) переписывается в неконсервативном виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{1}{\rho c^2}\,\dfrac{d p}{dt} +\operatorname{div}{v}=0,\quad \rho\, \dfrac{dv}{dt}-({H}\cdot\nabla ){H}+{\nabla}q =0 , \\ \dfrac{dH}{dt}-(H \cdot\nabla ){v}+{H}\,\operatorname{div}\,{v}=0,\quad \dfrac{dS}{dt}=0, \vphantom{\Biggr\}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где, как и в (12), $c$ и $d/dt$ – скорость звука и материальная производная соответственно. Система (20) является симметрической системой вида (2). Симметрические матрицы $A_{\alpha}$ могут быть легко выписаны; в частности,
$$
\begin{equation*}
A_0=\operatorname{diag}\biggl(\frac{1}{\rho c^2}\,,\rho I_3,I_4\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $I_k$ – единичная матрица порядка $k$. Условие гиперболичности $A_0 >0$ выполнено, если функция состояния среды $\rho =\rho(p,S)$ удовлетворяет неравенствам (13). Соотношения Ренкина–Гюгонио для системы (18) могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
\begin{cases} [\mathfrak{m}]=0,\quad [H_{N}]=0,\quad \mathfrak{m}[v_{N}] + |N|^2[q]=0,\quad \mathfrak{m}[{v}_{\tau}]=H_{N}[{H}_{\tau}], \\ H_{N}[{v}_{\tau}]=\mathfrak{m}\biggl[\dfrac{{H}_{\tau}}{\rho}\biggr],\quad \mathfrak{m}\biggl[E+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{|{H}|^2}{\rho}\biggr]+ [qv_{N}-H_{N}({H} \cdot {v})]=0, \vphantom{\Biggr\}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{21}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H_{N}^{\pm}=H\cdot N,\qquad H_{N}\big|_{\Sigma}:=H_{N}^{\pm}\big|_{\Sigma}, \\ H_{\tau}=(H_{\tau_1},H_{\tau_2})^\top,\qquad H_{\tau_i}= H\cdot\tau_i,\quad i=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а остальные обозначения те же, что и в (14). Если $\mathfrak{m}=0$, то возможны два типа сильных разрывов [26]: тангенциальные (при $H_N=0$) и контактные (при $H_N\ne 0$). Нетрудно убедиться в том, что оба эти типа разрывов являются характеристическими, так как для них справедливо условие (8). Здесь нас будут интересовать именно эти разрывы. Заметим, что при $\mathfrak{m}\ne 0$ и $[\rho ] =0$ разрыв также является характеристическим. Он называется вращательным [26], а при $\mathfrak{m}\ne 0$ и $[\rho] \ne 0$ имеет место ударная волна. Как следует из (21), граничные условия на тангенциальном разрыве имеют следующий вид [26]:
$$
\begin{equation}
[q]=0,\quad \partial_t\varphi=v_{N}^\pm,\quad H_{N}^+=0,\quad H_{N}^-=0\quad\text{на }\Sigma(t).
\end{equation}
\tag{22}
$$
В то же время нетрудно показать, что на контактном разрыве должны выполняться граничные условия [26]
$$
\begin{equation}
[p]=0,\quad [v]=0,\quad [H]=0,\quad \partial_t\varphi=v_{N}^+\quad \text{на }\Sigma (t),
\end{equation}
\tag{23}
$$
а плотность и энтропия могут иметь произвольный скачок. Соответствующие задачи со свободными границами для этих разрывов имеют вид (6), (7) с граничными условиями (22) или (23). 1.4. Задача со свободной границей плазма–вакуумРассматривая формально задачу для магнитогидродинамического тангенциального разрыва, предположим, что область $\Omega^-(t)$ с одной стороны от разрыва – область вакуума. Тогда в области $\Omega(t):=\Omega^+(t)$ для нахождения $U:=U^+$ и $\varphi$ мы получаем задачу со свободной границей для квазилинейной системы МГД (20) с граничными условиями
$$
\begin{equation}
q=0,\quad \partial_t\varphi=v_{N},\quad H_{N}=0\quad \text{на }\Sigma (t)
\end{equation}
\tag{24}
$$
и начальными данными (17). Если в данном случае уравнения МГД описывают течение плазмы, то такую задачу обычно называют задачей со свободной границей плазма–вакуум. Однако наиболее полная постановка этой задачи включает в себя также описание магнитного поля ${h}=(h_1,h_2,h_3)^\top$ и электрического поля ${e}=(e_1,e_2,e_3)^\top$ в вакууме, которые должны удовлетворять уравнениям предмаксвелловской динамики
$$
\begin{equation}
\nabla\times {h} =0, \qquad \operatorname{div}{h} =0,
\end{equation}
\tag{25a}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla\times {e} =-\partial_t h, \qquad \operatorname{div} {e} =0,
\end{equation}
\tag{25b}
$$
где скорость света полагается равной единице. Эти уравнения получаются, если в системе Максвелла в вакууме пренебречь током смещения $\partial_t e$, что естественно, так как ток смещения считается пренебрежимо малым и при выводе уравнений нерелятивистской МГД. (Мы также отсылаем читателя к работам [3], [4], [31], [32], [52], где исследуются постановки задач в нерелятивистской и релятивистской МГД с учетом тока смещения в вакууме.) При этом электрическое поле в вакууме в (25) является вторичной неизвестной, которая определятся через магнитное поле $h$. Таким образом, в области вакуума $\Omega^-(t)$ мы имеем эллиптическую систему (25a) для нахождения $h$, которая эквивалентным образом записывается так:
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{3}A_j^-\partial_j {h}=0\quad \text{в } \Omega^-(t),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_1^-:=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\!\hphantom{-}0 \\ 0 & 0 &\!-1 \\ 0 & 1 &\!\hphantom{-}0 \\ 1 & 0 &\!\hphantom{-}0 \end{pmatrix}, \quad A_2^-:=\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 0 &1 \\ \hphantom{-}0 & 0 &0 \\ -1 & 0 &0 \\ \hphantom{-}0 & 1 &0 \end{pmatrix}, \quad A_3^-:=\begin{pmatrix} 0 & \!-1 &0 \\ 1 & \!\hphantom{-}0 &0 \\ 0 & \!\hphantom{-}0 &0 \\ 0 & \!\hphantom{-}0 &1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
На бесконечно проводящей свободной границе $\Sigma (t)$ для эллиптической системы (26) ставится граничное условие $h_{N}\big|_{\Sigma}=0$, где $h_{N} = h\cdot N$, а первое условие в (24) должно быть заменено на требование равенства нулю скачка полного давления:
$$
\begin{equation*}
[q]:=\biggl(q-\frac{1}{2}|h|^2\biggr)\bigg|_{\Sigma}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако, так как область $\Omega^-(t)=\{x_1<\varphi(t,x')\}$ односвязная, то единственным решением в ней краевой задачи для эллиптической системы (26) с граничным условием $h_{N}\big|_{\Sigma}=0$ является $h=0$. В этом случае мы автоматически приходим к задаче со свободной границей (20), (24) в области $\Omega (t)=\{x_1>\varphi(t,x')\}$. Область вакуума может быть неодносвязной для более общих ситуаций, когда свободная граница является компактной гиперповерхностью $F(t,x)=0$. Представляется, что трудности, связанные с доказательством локальной по времени корректности задачи (при определенных условиях на начальные данные) для случая неодносвязной области вакуума, имеют технический характер. Однако формально они пока не преодолены, и этот вопрос остается открытым. С другой стороны, эллиптическая задача даже в односвязной области вакуума имеет нетривиальное решение, если система плазма–вакуум не изолирована от окружающей среды ввиду наличия на внешней границе области вакуума поверхностного тока $\boldsymbol{j}_{\rm c}$ (см. [19]). Следуя [44], сформулируем ниже задачу со свободной границей для этого случая. Пусть области плазмы и вакуума имеют вид
$$
\begin{equation}
\Omega^{\pm}(t)=\{x\in \Omega\colon \pm(x_1-\varphi(t,x'))>0 \},
\end{equation}
\tag{27}
$$
где – общая область, занимаемая системой плазма–вакуум, с границами Здесь $\mathbb{T}^2$ – двумерный тор, т. е. для технической простоты рассматриваются периодические по $x_2$ и $x_3$ граничные условия. Граничные условия ставятся не только на свободной границе но и на внешних границах $\Sigma^{\pm}$:
$$
\begin{equation}
q-\frac{1}{2}|{h}|^2 =0, \quad \partial_t \varphi =v_{N} \qquad \text{на } \Sigma(t),
\end{equation}
\tag{31a}
$$
$$
\begin{equation}
H_{N} =0, \quad {h}_{N} =0 \qquad \text{на } \Sigma(t),
\end{equation}
\tag{31b}
$$
$$
\begin{equation}
{h}\times \mathbf{e}_1 =\boldsymbol{j}_{\rm c} \qquad\text{на } \Sigma^-,
\end{equation}
\tag{31d}
$$
где $\mathbf{e}_j:=(\delta_{1j},\delta_{2j},\delta_{3j})^\top$, $j=1,2,3$, а $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. На внешней неподвижной границе области плазмы ставятся стандартные граничные условия непротекания и бесконечной проводимости границы (31c). Заданный поверхностный ток $\boldsymbol{j}_{\rm c}$ на внешней неподвижной границе области вакуума вызывает колебания системы плазма–вакуум. Например, для лабораторной плазмы это внешнее возбуждение может быть вызвано системой катушек индуктивности. (Подробное обсуждение граничного условия (31d) можно найти в [19].) Таким образом, задача со свободной границей плазма–вакуум является задачей для гиперболической системы (20) для $U=(p,v,H,S)^\top$ в $\Omega^+(t)$ и эллиптической системы (26) для $h$ в $\Omega^-(t)$ с граничными условиями (31) и начальными данными вида (17). 2. Эквивалентная задача c неподвижной границей и ее линеаризацияДля удобства изложения все вышеописанные задачи будут далее рассматриваться в области (28), являющейся объединением подвижных областей (27) c обеих сторон от свободной границы (30). В частности, для магнитогидродинамических тангенциальных и контактных разрывов на внешних фиксированных границах (29) подвижных областей $\Omega^\pm (t)$ поставим стандартные граничные условия непротекания и бесконечной проводимости границы:
$$
\begin{equation}
v_1^\pm=0,\quad H_1^\pm =0 \quad \text{на } \Sigma^\pm.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Потребуем выполнения этих же граничных условий на $\Sigma^+$ для задачи (20), (24), (17) (c $U:=U^+$). Для задачи со свободной границей (12), (16), (17) на фиксированной границе $\Sigma^+$ поставим соответственно условие непротекания Далее для удобства изложения будем также считать, что $U^-\equiv 0$ в $\Omega^-(t)$ (и соответственно $U^+:=U$) для задач, сформулированных только в области $\Omega^+(t)$, и $U^-:=h$ для задачи (20), (26), (31), (17). Для того чтобы свести задачу со свободной границей $\Sigma(t)$ к задаче с неподвижной границей, сделаем замену $U^\pm_{\sharp}(t,x):=U^\pm(t,\Phi(t,x),x')$, где
$$
\begin{equation}
\Phi(t,x):=x_1+\Psi(t,x)=x_1+\chi( x_1)\varphi(t,x'),
\end{equation}
\tag{34}
$$
а $\chi\in C^{\infty}_0(-1,1)$ – функция срезки, удовлетворяющая условию $\|\chi'\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})} < 2$ и равная единице в малой окрестности нуля. (В [6], [44] был использован другой выбор функции $\Phi(t,x)$, который дает в теореме существования непринципиальное повышение гладкости – на 1/2 – функции $\varphi$.) Требование невырожденности нашей замены, $\partial_1\Phi >0$, будет гарантировано, если $\|\varphi\|_{L^{\infty}([0,T]\times\mathbb{T}^2)}< 1/2$. Последнее же неравенство будет выполнено в малом по времени, если, не нарушая общности, рассматривать начальные данные такие, что
$$
\begin{equation}
\|\varphi _0\|_{L^{\infty}(\mathbb{T}^2)} < \frac{1}{4}\,.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Результатом замены переменных (34) является следующая задача с неподвижной границей:
$$
\begin{equation}
\mathbb{L}_+(U^+,\Phi) :=L_+(U^+,\Phi)U^+ =0 \qquad \text{в}\ \ \Omega^+:=(0,1)\times \mathbb{T}^2,
\end{equation}
\tag{36a}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{L}_-(U^-,\Phi) :=L_-(U^-,\Phi)U^- =0 \qquad \text{в}\ \ \Omega^-:=(-1,0)\times \mathbb{T}^2,
\end{equation}
\tag{36b}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{B}(U^+,U^-,\varphi)=0 \qquad \text{на}\ \ \Sigma^l\times \Sigma^+\times \Sigma^-,
\end{equation}
\tag{36c}
$$
$$
\begin{equation}
U^\pm\big|_{t=0}=U_0^\pm,\qquad \varphi\big|_{t=0}=\varphi_0,
\end{equation}
\tag{36d}
$$
где для удобства мы опустили индекс “$\sharp$”. Здесь $\Sigma:=\{0\}\times \mathbb{T}^2$,
$$
\begin{equation}
L_\pm(U,\Phi) :=A_0(U^\pm)\partial_t+\widetilde{A}_1(U^\pm,\Phi)\partial_1+ A_2(U^\pm)\partial_2+A_3(U^\pm)\partial_3,
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{A}_1(U^\pm,\Phi) := \frac{1}{\partial_1\Phi}\big(A_1(U^\pm)-\partial_t\Phi A_0(U^\pm)- \partial_2\Phi A_2(U^\pm)-\partial_3\Phi A_3(U^\pm)\big)
\end{equation}
\tag{38}
$$
и $l$ – число граничных условий на “распрямленной” свободной границе $\Sigma$; например, для задачи (20), (26), (31), (17) мы имеем $l=3$ и
$$
\begin{equation}
\mathbb{B}(U^+,U^-,\varphi)=\mathbb{B}(U,h,\varphi):= \begin{pmatrix} \partial_t \varphi -v_{N} \\ q-\dfrac{1}{2}|{h}|^2 \\ {h}_{N} \\ v_1 \\ {h}\times \mathbf{e}_1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
(Равенства $H_{N}\big|_{\Sigma}=0$ и $H_1\big|_{\Sigma^-}=0$ не включены в граничные условия (36c), поскольку, как показано в [49], они являются ограничениями на начальные данные. Этим же свойством обладают условия $H_{N}^\pm\big|_{\Sigma}=0$ из (22).) Более того, в (36c) условная запись “на $\Sigma^l\times \Sigma^+\times \Sigma^-$” означает, что первые $l$ граничных условий в (36c) ставятся на $\Sigma$, а последние два условия – на $\Sigma^+$ и $\Sigma^-$ соответственно. Заметим также, что если (36b) используется для обозначения результата замены переменных (34) в эллиптической системе (26), то в (37), (38) матрица $A_0(U^-)$ – нулевая, а $A_j(U^-):=A_j$ ($j=1,2,3$) – постоянные матрицы из (26) и, в частности,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}_1(U^-,\Phi) := \widetilde{A}_1(\Phi)= \frac{A_1-\partial_2\Phi A_2-\partial_3\Phi A_3}{\partial_1\Phi}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, отметим, что для задачи (20), (26), (31), (17) в правой части условий (36c) вместо нулевого вектора необходимо написать $(0,0,0,0,\boldsymbol{j}_{\rm c})^\top$, а в (36d) не нужно задавать начальные данные $U^-\big|_{t=0}=U_0^-$ для “эллиптического” неизвестного $U^-=h$. Если существование и единственность решения $(U^+,U^-,\varphi )$ задачи (36) мы хотим доказать методом сжимающих отображений, то необходимо рассмотреть соответствующую линеаризованную задачу. Как известно, для успешного применения этого метода нужно вывести априорные оценки решений линеаризованной задачи без потери производных от ее коэффициентов, начальных данных и правых частей. В то же время, даже если в априорных оценках имеет место потеря производных, иногда для доказательства существования решений можно воспользоваться методом Нэша–Мозера (см. раздел 6). Этот метод также предполагает рассмотрение соответствующей линеаризации. Таким образом, так или иначе нам нужно провести линеаризацию задачи (36). Пусть
$$
\begin{equation*}
\Omega_T^{\pm}:=(-\infty,T)\times \Omega^{\pm}\quad\text{и}\quad \Sigma_T:=(-\infty,T)\times \Sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть основным состоянием тройку где $\mathring{U}^+=\mathring{U}^+(t,x)$ и $\mathring{U}^-=\mathring{U}^-(t,x)$ – заданные достаточно гладкие вектор-функции, определенные в $\Omega_{T}^+$ и $\Omega_{T}^-$ соответственно, а $\mathring{\varphi}=\mathring{\varphi}(t,x')$ – заданная достаточно гладкая функция на $\Sigma_T$. Основное состояние (40) может, в частности, быть произвольным решением задачи (36) (при условии его существования, которое еще предстоит доказать). Функции $\mathring{U}^\pm$ и $\mathring{\varphi}$ должны быть также ограничены в нормах некоторых пространств Соболева. Мы не выписываем здесь соответствующих неравенств, так как они зависят от конкретной задачи. Более того, основное состояние должно удовлетворять определенным требованиям, в частности условиям гиперболичности $A_0(\mathring{U}^\pm )>0$. Эти требования обычно включают в себя часть граничных условий (36c), для того чтобы граничные матрицы $\widetilde{A}_1(U^\pm,\Phi)\big|_{\Sigma}$, вычисленные на основном состоянии, имели ту же структуру, что и эти матрицы, вычисленные на решении задачи (36). Например, для задачи (20), (26), (31), (17) основное состояние должно удовлетворять всем граничным условиям в (31), кроме первого условия в (31a). Линеаризованные относительно основного состояния (40) операторы для задачи (36) определяются так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{L}_{\pm}'\bigl(\mathring{U}^{\pm},\mathring{\Phi}\bigr)(V^{\pm},\Psi) &:=\biggl.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\mathbb{L}_{\pm} \bigl(\mathring{U}^{\pm}+{\theta}V^{\pm}, \mathring{\Phi}+{\theta}\Psi\bigr)\bigg|_{\theta=0}, \\ \mathbb{B}'\bigl(\mathring{U}^+,\mathring{U}^-,\mathring{\varphi}\bigr) (V^+,V^-,\psi)&:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \mathbb{B}(\mathring{U}^{+}+{\theta}V^+,\mathring{U}^{-}+{\theta}V^-, \mathring{\varphi}+{\theta}\psi)\bigg|_{\theta=0}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Psi(t,x):=\chi(x_1)\psi(t,x')$ и $\mathring{\Phi}(t,x):=x_1+\chi(x_1)\mathring{\varphi}(t,x')$. Нетрудно найти их явный вид. В частности,
$$
\begin{equation}
\mathbb{L}_{\pm}'\bigl(\mathring{U}^{\pm},\mathring{\Phi}\bigr)(V^{\pm},\Psi)= \mathbb{L}'_{\mathrm{e}\pm}\bigl(\mathring{U}^{\pm},\mathring{\Phi}\bigr)V^{\pm}- \frac{L_{\pm}(\mathring{U}^{\pm}, \mathring{\Phi})\Psi} {\partial_1 \mathring{\Phi}}\,\partial_1\mathring{U}^{\pm},
\end{equation}
\tag{41}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbb{L}'_{\mathrm{e}\pm}(U,\Phi)Y:=L_{\pm}(U,\Phi)Y+\mathcal{C}_{\pm}( U,\Phi)Y
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторого $Y=(y_1,\dots,y_m)^\top$, а матрицы $\mathcal{C}_{\pm}(U,\Phi)$ определяются так:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}_{\pm}({U},{\Phi})Y:=\sum_{k=1}^{N}y_k \biggl(\frac{\partial A^{\pm}_0}{\partial {u_k}}({U})\,\partial_t{U}+ \frac{\partial\widetilde{A}^{\pm}_1}{\partial{u_k}}(U,\Phi)\,\partial_1{U}+ \sum_{i=2,3}\frac{\partial A^{\pm}_i}{\partial{u_k}}(U)\,\partial_i{U}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(фактически конкретный вид этих матриц не имеет значения, так как младшие члены не играют никакой роли в анализе корректности задачи). Дифференциальный оператор в (41) имеет первый порядок для $\Phi$, что представляет потенциальную трудность при получении априорных оценок для линеаризованной задачи. Для преодоления этой трудности мы переходим к “хорошему неизвестному” Алиньяка [1]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dot{V}^{\pm}:=V^{\pm}- \frac{\Psi}{\partial_1 \mathring{\Phi}}\,\partial_1\mathring{U}^{\pm}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
В терминах (42) оператор в (41) принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathbb{L}_{\pm}'\big(\mathring{U}^{\pm},\mathring{\Phi}\big)(V^{\pm},\Psi)= \mathbb{L}'_{\mathrm{e}\pm}\big(\mathring{U}^{\pm},\mathring{\Phi}\big)\dot{V}^{\pm}+ \frac{\Psi}{\partial_1\mathring{\Phi}}\,\partial_1\mathbb{L}_{\pm} (\mathring{U}^{\pm},\mathring{\Phi}).
\end{equation}
\tag{43}
$$
Что же касается линеаризованных граничных условий, то, например, для задачи со свободной границей плазма–вакуум линеаризация граничного оператора в (39) и переход к “хорошему неизвестному” дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\mathbb{B}'\bigl(\mathring{U}^+,\mathring{U}^-,\mathring{\varphi}\bigr) (V^+,V^-,\psi) \\ &\qquad=\mathbb{B}'_{\mathrm{e}}(\mathring{U}^+, \mathring{U}^-, \mathring{\varphi}) (\dot{V}^+,\dot{V}^-,\psi)=\begin{pmatrix} (\partial_t + \mathring{v}' \cdot \mathrm{D}_{x'}+\mathring{b}_1) \psi- \dot{v}\cdot\mathring{N} \\ \dot{p}+\mathring{H}\cdot\dot{H}-\mathring{h}\cdot\dot{h}+\mathring{b}_2\psi \\ \dot{{h}}\cdot \mathring{N}-\mathrm{D}_{x'}\cdot(\mathring{h}' \psi) \\ \dot{v}_1 \\ \dot{h}\times \mathbf{e}_1 \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathring{U}^+:=\mathring{U}=(\mathring{p},\mathring{v},\mathring{H}, \mathring{S})^\top,\quad \mathring{U}^-:=\mathring{h}, \\ \dot{V}^+:=(\dot{p},\dot{v},\dot{H},\dot{S})^\top,\quad \dot{V}^-:=\dot{h},\quad \mathring{v}'=(\mathring{v}_2,\mathring{v}_3)^\top,\quad \mathring{b}_1:=-\partial_1 \mathring{v}\cdot \mathring{N}, \\ \mathring{N}=(1,-\partial_2\mathring{\varphi}, -\partial_3\mathring{\varphi})^\top,\quad \mathring{b}_2:=\partial_1\mathring{p}+\mathring{H}\cdot\partial_1\mathring{H} -\mathring{{h}}\cdot \partial_1\mathring{{h}},\quad \mathrm{D}_{x'}:=(\partial_2,\partial_3)^\top. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге линеаризация задачи (36) приводит к следующей линейной начально-краевой задаче с переменными коэффициентами:
$$
\begin{equation}
\mathbb{L}'_{\mathrm{e}\pm}(\mathring{U}^\pm, \mathring{\Phi}) \dot{V}^\pm =f^\pm \quad \text{в}\ \ \Omega^\pm_T,
\end{equation}
\tag{45a}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbb{B}'_{\mathrm{e}}(\mathring{U}^+, \mathring{U}^-, \mathring{\varphi}) (\dot{V}^+,\dot{V}^-,\psi)=g \quad\text{на}\ \ \Sigma_T^l\times \Sigma_T^+\times \Sigma_{T}^-,
\end{equation}
\tag{45b}
$$
где $\Sigma_T^{\pm}:=(-\infty,T)\times \Sigma^{\pm}$, функции $f^{\pm}(t,x)$ и $g(t,x')$ в правых частях предполагаются заданными, а условная запись “на $\Sigma_T^l\times \Sigma_T^+\times \Sigma_{T}^-$” понимается аналогично записи в (36c). Кроме того, рассматриваются нулевые начальные данные, так как случай ненулевых начальных данных можно отложить на нелинейный анализ, а именно на построение так называемого аппроксимационного решения (см., например, [50]). При этом функции источника $f^{\pm}(t,x)$ и $g(t,x')$ полагаются равными нулю при $t<0$. Как нетрудно видеть, в левых частях систем (45a) были сохранены только так называемые эффективные дифференциальные операторы из (43), а последние слагаемые в (43) (члены нулевого порядка для $\psi$) были опущены. Эти слагаемые в последующем нелинейном анализе будут рассматриваться как дополнительные ошибки итерационной схемы Нэша–Мозера.
3. Неэллиптичность символа свободной границы и условие Рэлея–ТейлораРассмотрим задачу со свободной границей (12), (16), (17) (дополненную условием непротекания на твердой стенке (33)). Пусть вначале основное состояние есть постоянный вектор $(\mathring{U},0)$, удовлетворяющий второму условию в (16), т. е. $\mathring{v}_1=0$. Тогда для этой задачи линейные граничные условия (45b) записываются так:
$$
\begin{equation}
\dot{v}_1= (\partial_t + \mathring{v}' \cdot \mathrm{D}_{x'}) \psi,\qquad \dot{p}=0 \quad\text{на } \Sigma_T,\qquad \dot{v}_1=0 \quad\text{на } \Sigma_T^+,
\end{equation}
\tag{47}
$$
а граничная матрица $\widetilde{A}_1(\mathring{U},\mathring{\Phi})$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{A}_1(\mathring{U},\mathring{\Phi})=\mathring{B}=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 &0 & 0 \\ 1 & 0 &0 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 &0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Здесь для простоты мы рассматриваем однородные граничные условия, т. е. в (45b) правая часть $g$ тождественно равна нулю. С помощью стандартных рассуждений энергетического метода (см., например, [2], [14], [17]) для линеаризованной задачи для симметрической гиперболической системы акустики1 с правой частью $f:=f^+$ и граничными условиями (47) без труда выводим априорную оценку
$$
\begin{equation}
\|\dot{V}\|_{L^2(\Omega^+_T)}\lesssim \|f\|_{L^2(\Omega^+_T)},
\end{equation}
\tag{49}
$$
так как граничные условия (47) являются диссипативными [2], [14], [17], поскольку
$$
\begin{equation}
\big({A}_1(\mathring{U})\dot{V}\cdot\dot{V}\big)=2\dot{p}\dot{v_1}=0 \quad \text{на } \Sigma_T\text{ и на } \Sigma_T^+.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Здесь и далее запись $A\lesssim_{a_1,\dots,a_m} B$ обозначает, что $A \leqslant C(a_1,\dots,a_m)B$ для заданных параметров $a_1,\dots,a_m$, где $C(\cdot)$ – некоторая положительная постоянная, зависящая от величин, перечисленных в круглых скобках. Когда указание зависимости этой постоянной от параметров не является важным, просто используется обозначение $\lesssim$ (как в априорной оценке (49) для задачи с постоянными коэффициентами). Заметим, что стандартный сдвиг решения [38] на вектор-функцию, удовлетворяющую условиям (47) с $g\ne 0$, позволяет из оценки (49) вывести априорную оценку
$$
\begin{equation}
\|\dot{V}\|_{L^2(\Omega^+_T)}\lesssim \|f\|_{L^2(\Omega^+_T)} + \|g\|_{H^{1/2}(\Sigma_T)\times H^{1/2}(\Sigma_T^+)}
\end{equation}
\tag{51}
$$
для линейной задачи с неоднородными граничными условиями. Как видим, поскольку граничные условия являются просто диссипативными, но не являются строго диссипативными [2], [17], т. е. квадратичная форма с граничной матрицей не является положительно или отрицательно определенной на границе (в зависимости от направления внешней нормали к границе), то в априорной оценке (51) имеет место потеря производных от правой части $g$. Наличие априорной оценки (49) говорит о том, что для нашей задачи не строится пример некорректности типа примера Адамара, иными словами, граничные условия (47) удовлетворяют условию Лопатинского–Крайса [24] при любых коэффициентах задачи, т. е. при любом векторе $\mathring{U}$. Во многих случаях (но не в нашем) выполнение условия Лопатинского–Крайса позволяет получить априорную оценку и для линейной задачи с переменными коэффициентами без дополнительных ограничений на эти коэффициенты, а также вывести оценку для функции $\psi$, описывающей возмущение свободной границы. Для диссипативных граничных условий это достигается расширением задачи до первых тангенциальных производных и переходом от граничного интеграла из энергетического неравенства к объемному интегралу и интегрированию по частям (см. раздел 5). Специфика же граничных условий (16) такова, что для возможности подобных рассуждений необходимо сделать дополнительное предположение о коэффициентах линеаризованной задачи. Дело в том, что граничные условия (16) таковы, что символ свободной границы не является эллиптическим. Само понятие эллиптичности символа границы (см., например, [7]) связано с терминологией парадифференциального исчисления. Фактически неэллиптичность символа границы просто означает, что граничные условия (16) неоднозначно разрешимы для градиента $(\partial_t\varphi,\partial_2\varphi,\partial_3\varphi)^\top$, для определения компонент которого мы имеем только одно второе условие в (16). Для задачи, линеаризованной относительно основного состояния (46), удовлетворяющего (33) и второму условию в (16), однородные граничные условия имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \dot{v}\cdot\mathring{N}&=(\partial_t+\mathring{v}' \cdot \mathrm{D}_{x'}+ \mathring{b}_1) \psi,&\quad \dot{p}+\mathring{b}_2 \psi&=0 &&\quad\text{на } \Sigma_T, \\ &&\dot{v}_1&=0&&\quad\text{на } \Sigma_T^+, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $\mathring{b}_1:=-\partial_1 \mathring{v}\cdot \mathring{N}$ и $\mathring{b}_2:=\partial_1\mathring{p}$. При этом граничная матрица
$$
\begin{equation*}
B(\mathring{U},\mathring{\Phi}):=J(\mathring{\Phi})^\top \widetilde{A}_1(\mathring{U},\mathring{\Phi})J(\mathring{\Phi})
\end{equation*}
\notag
$$
линейной симметрической системы для вектора неизвестных
$$
\begin{equation}
W=(\dot{p},\dot{v}\cdot\mathring{N},\dot{v}_2,\dot{v}_3,\dot{S})^\top= \bigl(J(\mathring{\Phi})\bigr)^{-1}\dot{V},
\end{equation}
\tag{53}
$$
вычисленная на границах $\Sigma_T$ и $\Sigma_T^+$, совпадает с постоянной матрицей в (48), где матрица $J(\mathring{\Phi})$ легко выписывается. В силу граничных условий (52) квадратичная форма с матрицей $B(\mathring{U},\mathring{\Phi})$ на границе $\Sigma_T^+$ равна нулю, а на “распрямленной” свободной границе справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q&=(\widetilde{A}_1(\mathring{U},\mathring{\Phi})\dot{V}\cdot \dot{V})\big|_{\Sigma_T}= (B(\mathring{U},\mathring{\Phi})W\cdot W)\big|_{\Sigma_T} \\ &=2\dot{p}(\dot{v}\cdot\mathring{N})\big|_{\Sigma_T}= -2\mathring{b}_2\psi(\partial_t+\mathring{v}' \cdot \mathrm{D}_{x'}+ \mathring{b}_1)\psi\big|_{\Sigma_T}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае квадратичная форма $Q$ не имеет знака и мы не можем замкнуть априорную оценку в $L^2$. Однако, так как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber -Q\big|_{\Sigma_T}&= \partial_t\bigl(\mathring{b}_2\big|_{\Sigma_T}\psi^2\bigr)+ \partial_2\bigl((\widehat{v}_2\mathring{b}_2)\big|_{\Sigma_T}\psi^2\bigr)+ \partial_3\bigl((\widehat{v}_3\mathring{b}_2)\big|_{\Sigma_T}\psi^2\bigr) \\ &\qquad-\bigl(\partial_t\mathring{b}_2+ \partial_2(\widehat{v}_2\mathring{b}_2)+ \partial_3(\widehat{v}_3\mathring{b}_2)+ 2\mathring{b}_1\mathring{b}_2\bigr)\big|_{\Sigma_T}\psi^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{54}
$$
то из энергетического неравенства
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega^+}A_0\dot{V}\cdot\dot{V}-\int_{\Sigma_t}Q\lesssim_{K} \|f\|^2_{L^2(\Omega_T^+)}+\|\dot{V}\|^2_{L^2(\Omega_t^+)}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega^+}A_0\dot{V}\cdot\dot{V}+ \int_{\Sigma}\mathring{b}_2\psi^2 \lesssim_{K}\| f\|^2_{L^2(\Omega_T^+)} +\| \dot{V}\|^2_{L^2(\Omega_t^+)}+ \| \psi\|^2_{L^2(\Sigma_t)},
\end{equation}
\tag{55}
$$
где положительная константа $K$ ограничивает $W^2_{\infty}$-нормы коэффициентов задачи, т. е. компонент основного состояния $(\mathring{U},\mathring{\varphi})$. Далее естественным образом возникает физическое условие $\mathring{b}_2\big|_{\Sigma}>0$, а именно условие выписанное для невозмущенного давления $\mathring{p}$, где $\varepsilon$ – фиксированная постоянная. Условие (56) есть не что иное, как известное условие Рэлея–Тейлора $(\partial p /\partial N )|_{\Sigma (t)}\leqslant -\varepsilon <0 $, записанное в “распрямленных” переменных для основного состояния. Если $\mathring{U}$ удовлетворяет (56), а также условиям гиперболичности (13) (т. е. неравенству $A_0(\mathring{U})\big|_{\Omega_T^+}>0$), то, применяя лемму Гронуолла, из (55) выводим априорную оценку
$$
\begin{equation}
\|\dot{V}\|_{L^2(\Omega^+_T)}+\|\psi\|_{L^2(\Sigma_T)}\lesssim_K \|f\|_{L^2(\Omega^+_T)}.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Заметим, что, предполагая выполнение вплоть до свободной границы условий гиперболичности (13), мы исключаем из рассмотрения случай сжимаемого газа, когда $p\big|_{\Sigma (t)}=0$ влечет $\rho\big|_{\Sigma (t)}=0$. Таким образом, считается, что сжимаемая среда является именно жидкостью, но не газом. Локальная корректность задачи со свободной границей для случая сжимаемого газа ($\rho\big|_{\Sigma (t)}=0$) доказана в [10], [22], [29] при выполнении условия физического вакуума $(\partial c^2/\partial N)\big|_{\Sigma(t)}\leqslant -\varepsilon <0$. Существование решений линеаризованной задачи доказывается в [50] с помощью принципа двойственности, который, в частности, включает в себя вывод для сопряженной задачи априорной $L^2$-оценки, аналогичной оценке (51). С помощью оценки (51) доказывается также и единственность решения исходной нелинейной задачи. Существование же решений задачи со свободной границей (12), (16), (17), точнее ее эквивалентной переформулировки вида (36a), (36c), (36d), доказывается в [50] с помощью итераций Нэша–Мозера. Приведем здесь формулировку доказанной в [50] теоремы о локальном существовании и единственности гладких решений этой задачи, адаптированную к рассматриваемым здесь дополнительным граничным условиям, а именно условию непротекания на твердой стенке (33) и условиям периодичности в тангенциальных направлениях. Теорема 3.1. Пусть $m\in\mathbb{N}$ и $m\geqslant 6$. Пусть начальные данные (36d) с $(U_0,\varphi_0)\in H^{m+7}(\Omega^+)\times H^{m+7}(\Sigma)$ удовлетворяют условиям гиперболичности (13), условию Рэлея–Тейлора (56), условию (35), а также соответствующим условиям согласования вплоть до порядка $m+7$ (см. [50]). Тогда существует такое достаточно малое время $T > 0$, что задача (36a), (36c), (36d) имеет единственное решение $(U,\varphi )\in H^m([0,T]\times\Omega^+)\times H^m ([0,T]\times\Sigma)$. Результат, аналогичный результату теоремы 3.1, получен в [28] для изоэнтропических уравнений Эйлера с помощью перехода к лагранжевым координатам в предположении, что начальная область течения диффеоморфна шару. В [28], как и в [50], существование решений нелинейной задачи также доказывается методом Нэша–Мозера, следствием чего является потеря производных от начальных данных. Необходимость применения метода Нэша–Мозера вызвана потерей производных в априорных оценках линеаризованной задачи, что является следствием нарушения равномерного условия Лопатинского–Крайса [24] для этой задачи. Априорные оценки решений линеаризованной задачи необходимы для доказательства сходимости итераций Нэша–Мозера. Однако иногда удается доказать существование решений нелинейной задачи без рассмотрения ее линеаризации, что может позволить избежать явления потери производных от начальных данных этой задачи. Так, недавно в [30] результаты работ [28], [50] были значительно улучшены (правда, пока для изоэнтропического случая) в том смысле, что в [30] доказана локальная корректность без потери производных от начальных данных. Это удалось сделать с помощью перехода к лагранжевым координатам и метода тангенциального сглаживания [9], связанного с рассмотрением некоторой аппроксимационной (регуляризованной) задачи [30] и выводом априорных оценок для нее, равномерных по параметру регуляризации. Важно отметить, что условие Рэлея–Тейлора является не только достаточным, но и необходимым условием локальной корректности задачи, поскольку, как показано в [20], исходная нелинейная задача со свободной границей является некорректной при нарушении этого условия. Наконец, заметим, что, как и в [28], в задаче (36a), (36c), (36d) мы пренебрегаем влиянием гравитации, что, казалось бы, является странным, когда речь идет о возможной неустойчивости Рэлея–Тейлора. Однако учет гравитации в уравнениях Эйлера связан с младшими (недифференциальными) членами, которые играют решающую роль в вопросе устойчивости решений, но не оказывают никакого влияния на локальную корректность задачи и поэтому могут быть опущены. Учет же гравитационного поля в работах [30], [50] связан исключительно c тем, что рассматриваемая там область течения является неограниченной. (Благодаря соответствующим “гравитационным” младшим членам во втором уравнении в (12) не возникает противоречия между неравенством (56) и тем фактом, что компоненты скорости $v$ из $H^m$ стремятся к нулю на бесконечности.) Другим примером задачи с неэллиптическим символом свободной границы является задача (6), (7), (23) для магнитогидродинамического контактного разрыва. Мы не будем обсуждать здесь вывод априорной оценки для соответствующей линеаризованной задачи. Заметим лишь, что в процессе получения этой оценки в [34] естественным образом возникает условие Рэлея–Тейлора
$$
\begin{equation}
[\partial_1{p}]\big|_{\Sigma}\geqslant \varepsilon >0,
\end{equation}
\tag{58}
$$
выписанное для скачка нормальной производной невозмущенного давления $\mathring{p}$. При этом рассуждения по выводу априорной оценки в [34] не такие простые, как в (54), (55). Это связано с наличием дополнительных слагаемых в граничном интеграле, зависящих от магнитного поля. В [34] базовую априорную оценку для линеаризованной задачи удается замкнуть только в $H^1$ и для двумерной постановки задачи ($x=(x_1,x_2)$), а именно, для двумерного варианта задачи (45), выписанной для магнитогидродинамического контактного разрыва в случае плоской симметрии $v=(v_1,v_2)$, $H=(H_1,H_2)$, получена априорная оценка
$$
\begin{equation}
\sum_{\pm}\|\dot{V}^\pm \|_{H^{1}(\Omega_T^\pm)}+\|\psi\|_{H^1(\Sigma_T)} \lesssim_{K,\varepsilon,T}\sum_{\pm}\|f^\pm \|_{H^{1}(\Omega_T^\pm)}+ \|g\|_{H^{3/2}(\Sigma_T)},
\end{equation}
\tag{59}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\|\mathring{U}^+\|_{W^2_{\infty}(\Omega_T^+)}+ \|\mathring{U}^-\|_{W^2_{\infty}(\Omega_T^-)} +\|\mathring{\varphi}\|_{W^3_{\infty}(\Sigma_T)} \leqslant K<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В оценке (59) имеет место потеря производных от $g$. Поэтому локальное существование и единственность решений исходной нелинейной задачи (для двумерного случая) доказывается в [35] с помощью метода Нэша–Мозера в предположении, что условие Рэлея–Тейлора (58) выполняется на начальном контактном разрыве (условие (58) является условием Рэлея–Тейлора $[\partial p/\partial N]\big|_{\Sigma(t)}\leqslant -\varepsilon <0$, записанным в “распрямленных” переменных). Заметим, однако, что совсем недавно локальная корректность задачи со свободной границей для магнитогидродинамического контактного разрыва была доказана в [60] для общего трехмерного случая и без предположения о выполнении условия Рэлея–Тейлора в начальный момент времени. Этот результат получен с помощью перехода к лагранжевым координатам и использования подходящей “вязкой” аппроксимации задачи. Может показаться странным, что локальная корректность доказана в [60] без предположения выполнения условия Рэлея–Тейлора, в то время как в [34] это физическое условие естественным образом возникает при анализе линеаризованной задачи. Вместе с тем следует учитывать тот факт, что существование решений нелинейной задачи устанавливается в [60] без рассмотрения ее линеаризации. В то же время если нашей целью является исследование устойчивости решений задачи со свободной границей по отношению к малым возмущениям, то доказательство корректности линеаризованной задачи должно предварять это исследование. Таким образом, результат работы [34], где требуется выполнение условия Рэлея–Тейлора для невозмущенного контактного разрыва, согласуется с возможной линейной и нелинейной неустойчивостью Рэлея–Тейлора, которая для магнитогидродинамических контактных разрывов действительно обнаруживается в астрофизических расчетах (см., например, [11]) и связана с “пальцевыми” структурами неустойчивости Рэлея–Тейлора, наблюдаемыми вдоль границ различных туманностей. 4. Потеря контроля над нормальными производными и весовые анизотропные пространства СоболеваКак уже отмечалось выше, у линеаризованной задачи со свободной границей для уравнений Эйлера, выписанной для вектора неизвестных (53), граничная матрица на “распрямленной” свободной границе совпадает с матрицей (48). Так как $\det B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T}=0$, то граница $\Sigma_T$ является характеристической. Как следствие, производная $\partial_1W$ по нормальному к границе направлению (будем далее ее называть нормальной производной) не выражается из линеаризованной системы Эйлера через тангенциальные производные $\partial_tW$, $\partial_2W$ и $\partial_3W$. Дифференцируя линейную задачу по $t$, $x_2$ и $x_3$, мы получаем для тангенциальных производных (продолженную) задачу, аналогичную исходной задаче для $W$. Для этой продолженной задачи применимы те же самые рассуждения по выводу априорной $L^2$-оценки, что и для исходной задачи. Однако мы не можем замкнуть оценку для неизвестного $Y=(W,\partial_tW,\partial_2W,\partial_3W)$ в силу присутствия в продолженной системе слагаемых вида $\partial_\ell B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\,\partial_1W$, где $\ell=0,2,3$, а $\partial_0:=\partial_t$. Таким образом, ввиду потери контроля над нормальными производными для задач с характеристической границей в общем случае нельзя из $L^2$-оценки вывести априорные оценки в $H^m$. Однако для линеаризованной задачи со свободной границей для уравнений Эйлера, несмотря на то, что эта граница формально является характеристической, это сделать можно. Во-первых, благодаря структуре граничной матрицы в энергетическое неравенство для $Y$ можно включить $H^m$-норму для нехарактеристического неизвестного $(\dot{p},\dot{v}\cdot\mathring{N})$ (см. (53)). Во-вторых, недостающие нормальные производные от характеристических неизвестных $\dot{v}_2$, $\dot{v}_3$ и $\dot{S}$ оцениваются из последнего уравнения линейной системы для $\dot{S}$ и уравнения, которое можно вывести для линейной завихренности $\xi =\nabla \tilde{v}$, где $\tilde{v}=(\dot{v}_1,\dot{v}_2\cdot \mathring{\tau}_2,\dot{v}_3\cdot\mathring{\tau}_3)$. Тут важно отметить, что дифференциальные операторы (без учета младших членов) в уравнениях для $\dot{S}$ и $\xi$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\partial_t + \frac{1}{\partial_1\mathring{\Phi}} \bigl((\mathring{v}\cdot\mathring{N}-\partial_t\mathring{\Phi})\partial_1+ \mathring{v}_2\partial_2+\mathring{v}_3\partial_3\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
а так как в силу предположений для основного состояния справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
(\mathring{v}\cdot\mathring{N}-\partial_t\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T}=0 \quad \text{и} \quad \big(\mathring{v}\cdot\mathring{N}- \partial_t\mathring{\Phi}\big)\big|_{\Sigma_T^+}= \mathring{v_1}\big|_{\Sigma_T^+}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то эти уравнения не требуют граничных условий на $\Sigma_T$ и $\Sigma_T^+$. С учетом указанной компенсации потери контроля над нормальными производными в [50] была доказана следующая теорема об априорной оценке решений линейной задачи в обычных пространствах Соболева. Теорема 4.1. Пусть $T>0$, $m\in \mathbb{N}$ и $m\geqslant 3$. Пусть основное состояние $(\mathring{U} ,\mathring{\varphi})\in H^{m+3}(\Omega_T^+ )\times H^{m+3}(\Sigma_T)$ удовлетворяет всем указанным выше предположениям (в частности, условию Рэлея–Тейлора (56) и Априорные оценки вида (61) называются ручными (tame estimates). Они имеют решающее значение для доказательства сходимости итераций Нэша–Мозера, с помощью которых установлено существование решений нелинейной задачи (см. теорему 3.1). Еще одним примером задачи с характеристической свободной границей, для которой можно компенсировать потерю контроля над нормальными производными, является задача для магнитогидродинамического контактного разрыва. Как видим, базовая априорная оценка (59) решений линеаризованной задачи выведена в [34] в нормах обычных пространств Соболева. В [35] получена также соответствующая ручная оценка вида (61) (точнее, ручные оценки в $H^m$ при $m\geqslant 3$). Однако в общем случае задачи с характеристической границей нельзя компенсировать потерю контроля над нормальными производными. Так, например, в [36] показано, что линеаризованная задача для системы МГД (18) в ограниченной области с фиксированной границей и стандартными граничными условиями непротекания и бесконечной проводимости границы, будучи корректной в $H^1$, не является корректной в $H^m$ при $m\geqslant 2$. В то же время эта задача является примером задачи для линейной симметрической гиперболической системы с характеристической границей, корректность которой доказана в [40] в весовых анизотропных пространствах Соболева $H^m_*$ при $m\geqslant 1$. Пространства $H^m_*$ были впервые введены в рассмотрение в [5] (см. также [33], [41] и ссылки в этих работах). Дадим здесь их определение для областей $I\times\Omega^{\pm}$, где $I\subset \mathbb{R}$ (в нашем случае $I=[0,T]$ или $I=(-\infty,T)$). Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathrm{D}_*^{\alpha}:=\partial_t^{\alpha_0}(\sigma \partial_1)^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \partial_3^{\alpha_3} \partial_1^{\alpha_{4}} \quad\text{при}\ \ \alpha:=(\alpha_0,\dots,\alpha_{4})\in\mathbb{N}^{5}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
где $\sigma=\sigma(x_1):=x_1(1-x_1)(1+x_1)$. Весовое анизотропное пространство Соболева $H_*^{m}(I\times \Omega^{\pm})$ для $m\in\mathbb{N}$ определяется так:
$$
\begin{equation*}
H_*^m(I\times\Omega^{\pm}):=\{u\in L^2(I\times\Omega^{\pm}): \mathrm{D}_*^{\alpha} u\in L^2(I\times\Omega^{\pm})\ \text{при}\ \langle \alpha \rangle\leqslant m\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\langle\alpha\rangle:=\displaystyle\sum_{i=0}^3\alpha_i+2\alpha_{4}$. Это пространство снабжено нормой
$$
\begin{equation*}
\|\cdot\|_{H^m_*(I\times \Omega^{\pm})}^2:=\|{u}\|_{m,*,t}^2:= \sum_{\langle \alpha\rangle\leqslant m} \|\mathrm{D}_*^{\alpha}(\cdot)\|_{L^2(I \times\Omega^{\pm})}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Из определения следуют очевидные вложения
$$
\begin{equation*}
H^m(I\times \Omega^{\pm})\hookrightarrow H_*^m(I\times \Omega^{\pm}) \hookrightarrow H^{\lfloor m/2\rfloor}(I\times \Omega^{\pm}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lfloor m \rfloor$ – функция “пол” (наибольшее целое, меньшее или равное $m$). Грубо говоря, по сравнению с обычным пространством $H^m$ в норме пространства $H^m_*$ мы теряем половину производных по $x_1$. Рассмотрим теперь задачу со свободной границей плазма–вакуум (20), (24), (17), дополненную граничными условиями (32) на твердой стенке $\Sigma^+$. Для соответствующей линеаризованной задачи, переписанной для вектора неизвестных
$$
\begin{equation*}
W=(\dot{q},\dot{v}\cdot\mathring{N},\dot{v}_2,\dot{v}_3,\dot{H},\dot{S})^\top
\end{equation*}
\notag
$$
($\dot{q}=\dot{p} +\mathring{H}\cdot\dot{H}$), граничная матрица $B(\mathring{U},\mathring{\Phi})$, вычисленная на границах $\Sigma_T$ и $\Sigma_T^+$, имеет ту же самую структуру, что и постоянная матрица (48) (эта граничная матрица отличается от матрицы (48) только наличием трех дополнительных – шестых, седьмых и восьмых – нулевых строк и столбцов). Поэтому рассуждения при выводе априорной $L^2$-оценки аналогичны рассуждениям в (54), (55). Тогда естественным образом возникает модифицированное условие Рэлея–Тейлора при выполнении которого для невозмущенного полного давления $\mathring{q}$ для линеаризованной задачи получается априорная оценка (57). Для того чтобы из оценки (57) вывести оценку в старших нормах, необходимо рассмотреть продолженную задачу для тангенциальных производных неизвестного $W$. Как отмечалось выше, уже у продолженной линейной системы для тангенциальных производных первого порядка имеются “проблемные” младшие члены вида $\partial_\ell B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\,\partial_1W$ ($\ell=0,2,3$). Так как
$$
\begin{equation*}
B(\mathring{U},\mathring{\Phi})=\mathring{B}+ B_0(\mathring{U},\mathring{\Phi}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathring{B}:=B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T}= B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T^+}$ – постоянная матрица (ср. (48)), а
$$
\begin{equation*}
B_0(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T}= B_0(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T^+}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\partial_\ell B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T}= \partial_\ell B(\mathring{U},\mathring{\Phi})\big|_{\Sigma_T^+}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно доказать (см. [37], [41]), что для любой матрицы $A$, равной нулю на границах, в частности для $\partial_\ell B(\mathring{U},\mathring{\Phi})$, имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\|A\partial_1W\|_{L^2(\Omega_T^+)} \lesssim \|A\|_{W^1_{\infty}(\Omega_T^+)}\|\sigma \partial_1W\|_{L^2(\Omega_T^+)} \lesssim\|A\|_{H^s_*(\Omega_T^+)}\|\sigma \partial_1W\|_{L^2(\Omega_T^+)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $s=2\lfloor n/2\rfloor+4$, а $\sigma=\sigma (x_1)$ – весовая функция, фигурирующая в определении (62). Таким образом, естественными пространствами, в которых можно замкнуть априорную оценку в старших нормах, являются пространства $H^m_*(\Omega_T^+)$. (Для линеаризации задачи (20), (24), (32), (17), как и для линейной задачи из [36], нельзя компенсировать потерю контроля над нормальными производными.) Для линеаризации задачи со свободной границей плазма–вакуум (20), (24), (17), (32) в [55] получена следующая ручная априорная оценка в $H^m_*(\Omega_T^+)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\|\dot{V}\|_{m,*,T} +\|\psi\|_{H^{m}(\Sigma_T)} \lesssim_{K_0} \|f\|_{m,*,T} +\|g\|_{H^{m+1}(\Sigma_T)} \nonumber \\ &\qquad+(\|f\|_{6,*,T}+\|g\|_{H^{7}(\Sigma_T)}) (\|\mathring{U}\|_{{m+4},*,T}+\|\mathring{\varphi}\|_{H^{m+4} (\Sigma_T)}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{64}
$$
где $m\in\mathbb{N}$, $m\geqslant 6$ и основное состояние $(\mathring{U} ,\mathring{\varphi})\in H^{m+4}_*(\Omega_T^+ ) \times H^{m+4}(\Sigma_T)$ удовлетворяет соответствующим предположениям [55], в частности условию Рэлея–Тейлора (63). Существование решений исходной нелинейной задачи (20), (24), (17), (32) доказано в [55] итерациями Нэша–Мозера, сходимость которых как раз устанавливается с помощью оценки (64). Заметим, что благодаря упомянутому очевидному вложению $H_*^m([0,T]\times \Omega^+) \hookrightarrow H^{\lfloor m/2\rfloor}([0,T]\times\Omega^+)$ локальная теорема существования и единственности для этой задачи сформулирована в [55] в обычных пространствах Соболева, а именно,
$$
\begin{equation*}
(U,\varphi)\in H^{{\lfloor (m-9)/2\rfloor}}([0,T]\times\Omega^+)\times H^{m-{9}}([0,T]\times\Sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что начальные данные $(U_0,\varphi_0)$ входят в $H^{m+3/2}(\Omega^+)\times H^{m+2}(\Sigma)$ для целых $m\geqslant 20$ и удовлетворяют условию Рэлея–Тейлора (63) (а также условию (35), условиям гиперболичности и соответствующим условиям согласования [55]).
5. Недиссипативные граничные условия и вторичная симметризация системы законов сохранения5.1. Вторичная симметризация системы магнитной гидродинамикиДля случая постоянных коэффициентов линеаризация задачи со свободной границей (12), (16), (17), (33) имеет диссипативные граничные условия (см. (50)), что свидетельствует о том, что условие Лопатинского–Крайса всегда выполнено. Возможная некорректность линеаризованной задачи возникает на уровне переменных коэффициентов и связана с нарушением условия Рэлея–Тейлора (56). Однако в общем случае, с одной стороны, условие Лопатинского–Крайса может нарушаться, но, с другой стороны, даже если оно выполнено в некоторой области параметров задачи с постоянными коэффициентами, то граничные условия не обязаны быть диссипативными. При этом недиссипативность граничных условий не означает, что линейная задача является некорректной. Она либо действительно является таковой, либо просто энергетический метод вывода априорных оценок не работает в чистом виде. В случае если граничные условия не являются диссипативными, иногда удается адаптировать энергетический метод для вывода априорной оценки конкретной задачи. Для ударных волн примером такой задачи является задача с граничными условиями на ударной волне в газовой динамике. Для соответствующей линеаризованной задачи А. М. Блохину [2] удалось сделать граничные условия строго диссипативными во всей области выполнения равномерного условия Лопатинского–Крайса [24] путем удачного построения продолженной (до вторых производных) задачи. Что касается задач с характеристическими свободными границами, то здесь мы обсудим примеры задач, для которых трудность, связанная с недиссипативностью граничных условий, преодолевается с помощью так называемой вторичной симметризации исходной квазилинейной гиперболической системы. Впервые вторичная симметризация была предложена в [48] для уравнений МГД идеальной сжимаемой жидкости. Система МГД, записанная в неконсервативном виде (20), уже является симметрической. При этом она является гиперболической при выполнении условий (13). Идея вторичной симметризации, предложенная в [48], состоит в умножении системы (20) слева на такую невырожденную матрицу, что в результате мы опять получаем симметрическую систему. Условия гиперболичности новой системы оказываются более ограничительными, чем условия (13). В этом смысле такая вторичная симметризация является бесполезной для задачи Коши для системы МГД. Она однако позволяет сделать диссипативными граничные условия линеаризованной задачи для магнитогидродинамического тангенциального разрыва (при определенных условиях на основное состояние $(\mathring{U}^+,\mathring{U}^-,\mathring{\varphi})$). Возникает естественный вопрос о том, как найти упомянутую невырожденную матрицу, при умножении на которую система МГД остается симметрической. Рассмотрим систему (20), записанную в симметрическом виде (2) и линеаризованную относительно ее постоянного решения $\mathring{U}=(\mathring{p},\mathring{v},\mathring{H},\mathring{S})^\top$:
$$
\begin{equation}
A_0(\mathring{U})\,\partial_t U+\sum_{j=1}^nA_j(\mathring{U})\,\partial_jU=0.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Система магнитоакустики (65) имеет очевидный сохраняющийся интеграл
$$
\begin{equation*}
I(t)=\int_{\mathbb{R}^3}A_0(\mathring{U})U\cdot U = \int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{1}{\mathring{\rho}\mathring{c}^2}p^2+ \mathring{\rho}|v |^2 +|H |^2 +S^2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. где $\mathring{\rho} =\rho (\mathring{p},\mathring{S})$ и $1/\mathring{c}^2=(\partial\rho /\partial p)(\mathring{p},\mathring{S})$. С другой стороны, принимая в расчет дивергентное ограничение (19), можно показать, что существует дополнительный сохраняющийся интеграл
$$
\begin{equation*}
J(t)=\int_{\mathbb{R}^3}\biggl(\frac{1}{\mathring{c}^2}(\mathring{H}\cdot v) p-\mathring{\rho}v \cdot H\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Этот интеграл является аналогом интеграла перекрестной спиральности который сохраняется для системы МГД идеальной несжимаемой жидкости. (В отличие от рассматриваемого нами случая сжимаемой жидкости, сохранение интеграла перекрестной спиральности имеет место даже для исходной квазилинейной системы МГД идеальной несжимаемой жидкости.) Линейная комбинация интегралов $I(t)$ и $J(t)$ дает
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\bigl(I(t)+2\mathring{\lambda}J(t)\bigr)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}^3}{B}_0(\mathring{U})U\cdot U=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где симметрическая матрица $B_0={B}_0({U})$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
B_0= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\rho c^2} & \dfrac{\lambda }{c^2}H^\top & 0 &0 \\ \dfrac{\lambda}{c^2}H & \rho I_3 & -\rho\lambda I_3 & 0 \\ 0 &-\rho\lambda I_3 & I_3 &0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
а $\mathring{\lambda}$ – произвольная постоянная и можно считать, что $\mathring{\lambda}=\lambda (\mathring{U})$ и $\lambda =\lambda (U)$ – произвольная функция. Тогда нетрудно вычислить такую матрицу $\mathcal{S}=\mathcal{S}(U)$, что $B_0=\mathcal{S}A_0$:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal S}=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{\lambda }{\rho c^2}H^\top & 0 &0 \\ \lambda \rho H & I_3 & -\rho\lambda I_3 & 0 \\ 0 &-\lambda I_3 & I_3 &0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножая исходную квазилинейную симметрическую систему МГД (2) слева на невырожденную матрицу $\mathcal{S}(U)$, получаем систему, которая пока не является симметрической. Однако, используя дивергентное ограничение (19), ее можно немного “подправить” так, чтобы в результате получилась симметрическая система
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &{\mathcal S}(U )A_0(U )\,\partial_t{U}+ \sum_{j=1}^{3}{\mathcal S}(U )A_j(U )\,\partial_j{U} + {R}(U )\operatorname{div}{H} \\ &\qquad=B_0(U)\,\partial_t{U}+\sum_{j=1}^{3}B_j(U)\,\partial_j{U}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
где вектор $R=R(U)$ и симметрические матрицы $B_j=B_j(U)$ легко вычисляются:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R=-\lambda\,(1 ,0,0,0,H_1,H_2,H_3,0)^{\textsf{T}}, \\ B_j=\begin{pmatrix} \dfrac{h_j}{\rho c^2} & \mathbf{e}_j^\top+\dfrac{\lambda v_j}{c^2}H^\top & -\lambda \mathbf{e}_j^\top & 0 \\ \mathbf{e}_j+\dfrac{\lambda v_j}{c^2}H \; & \rho h_jI_3 & \mathbf{e}_j\otimes H +m_jI_3 & 0 \vphantom{\biggl\}^2} \\ -\lambda \mathbf{e}_j & H \otimes\mathbf{e}_j +m_jI_3 & h_jI_3 -\lambda (\mathbf{e}_j\otimes H + H \otimes\mathbf{e}_j) & 0 \\ 0& 0 & 0 & v_j \end{pmatrix}, \\ h_j=v_j+\lambda H_j,\quad m_j = -\rho\lambda v_j -H_j, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\mathbf{e}_j=(\delta_{1j},\delta_{2j},\delta_{3j})^\top$ – единичные векторы ($j=1,2,3$), а $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. Очевидно, что при $\lambda =0$ симметрические системы (2) и (66) совпадают. Симметрическая система (66) является гиперболической, если $B_0>0$, что справедливо при выполнении неравенств (13) и дополнительном условии где $c_{\rm A}=|{H} |/\sqrt{\rho}\,$ – альфвеновская скорость. Таким образом, как было отмечено выше, условия гиперболичности системы (66) являются более ограничительными, чем условия (13).Обсудим теперь, как вторичная симметризация системы МГД используется в [48] для задачи со свободной границей (6), (7), (22), (32). (Задача для магнитогидродинамического тангенциального разрыва на самом деле формулируется в [48] во всем пространстве $\mathbb{R}^3$, но здесь для единообразия изложения мы рассматриваем ее в области (28), дополняя условиями (32).) Рассмотрим соответствующую линеаризованную задачу с постоянными коэффициентами. Эта задача есть задача для систем магнитоакустики (65) справа и слева от невозмущенного плоского разрыва $x_1=0$. Она выписывается в виде задачи (45) в предположении, что основное состояние (40) есть постоянный вектор $(\mathring{U}^+,\mathring{U}^-,0)$, удовлетворяющий граничным условиям (22):
$$
\begin{equation}
A_0(\mathring{U}^\pm)\,\partial_t \dot{V}^\pm + \sum_{j=1}^nA_j(\mathring{U}^\pm)\,\partial_j\dot{V}^\pm =f^\pm \quad \text{в} \ \ \Omega^\pm_T,
\end{equation}
\tag{68a}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{v}_1^\pm = (\partial_t + \mathring{v}'_\pm \cdot \mathrm{D}_{x'}) \psi,\quad \dot{q}^+=\dot{q}^- \quad \text{на } \Sigma_T,
\end{equation}
\tag{68b}
$$
где $\mathring{v}'_{\pm}=(\mathring{v}_2^{\pm},\mathring{v}_3^{\pm})^\top$ и предполагается, что условия гиперболичности выполнены для
$$
\begin{equation*}
\mathring{U}^\pm = (\mathring{p}^\pm , \mathring{v}^\pm , \mathring{H}^\pm,\mathring{S}^\pm )^\top
\end{equation*}
\notag
$$
с $\mathring{v}^\pm =(0, \mathring{v}_2^{\pm},\mathring{v}_3^{\pm})^\top$ и $\mathring{H}^\pm =(0,\mathring{H}_2^{\pm},\mathring{H}_3^{\pm})^\top$. Здесь для простоты мы рассматриваем однородные граничные условия. Условия
$$
\begin{equation}
\dot{H}_1^\pm =\mathring{H}_2^\pm\partial_2\psi + \mathring{H}_3^\pm\partial_3\psi \quad \text{на } \Sigma_T
\end{equation}
\tag{69a}
$$
не включены в (68b) и (68c), так как они являются ограничениями на начальные данные при $f^\pm =0$ (см. [48]). Если же $f^\pm \ne 0$, исходные граничные условия линейной задачи неоднородные, а начальные данные, как у нас в (68d), нулевые, то в процессе приведения задачи к однородным граничным условиям можно сделать условия (69) автоматически выполненными (см. [49]). То же самое относится и к условию $\operatorname{div}\dot{H}^\pm =0$ в $\Omega^\pm_T$. Граничные условия (68c) на твердых стенках $\Sigma_T^\pm$ являются диссипативными, и с ними проблем не возникает. Что касается граничных условий (68b) на невозмущенном плоском разрыве, то, используя их, видим, что квадратичная форма
$$
\begin{equation*}
Q = [{A}_1(\mathring{U})\dot{V}\cdot\dot{V}]= 2\dot{q}^+\big|_{\Sigma_T}[\dot{v}_1]= 2\dot{q}^+\big|_{\Sigma_T}[\mathring{v}']\cdot \mathrm{D}_{x'}\psi
\end{equation*}
\notag
$$
не имеет знака (здесь и далее используется обычное обозначение для скачка; в частности, $[\dot{v}_1]:=\dot{v}_1^+\big|_{\Sigma_T}- \dot{v}_1^-\big|_{\Sigma_T}$). Поэтому из энергетического неравенства
$$
\begin{equation}
\sum_{\pm}\int_{\Omega^\pm}A_0(\mathring{U}^\pm)\dot{V}^\pm\cdot \dot{V}^\pm- \int_{\Sigma_t}Q \lesssim \sum_{\pm} \bigl(\| f^\pm\|^2_{L^2(\Omega_T^\pm)} + \| \dot{V}^\pm\|^2_{L^2(\Omega_t^\pm)}\bigr),
\end{equation}
\tag{70}
$$
справедливого для задачи (68), мы не можем вывести априорную оценку в $L^2$. В то же время если вместо уравнений магнитоакустики мы используем линейный аналог вторичной симметризации (66), т. е. системы
$$
\begin{equation*}
B_0(\mathring{U}^\pm)\,\partial_t \dot{V}^\pm + \sum_{j=1}^nB_j(\mathring{U}^\pm)\,\partial_j\dot{V}^\pm = {\mathcal S}( \mathring{U}^\pm )f^\pm \quad \text{в } \Omega^\pm_T,
\end{equation*}
\notag
$$
которые, как нетрудно показать, эквивалентны системам (68a) при выполнении неравенств (ср. (67))
$$
\begin{equation}
\mathring{\rho}^\pm(\mathring{\lambda}^\pm)^2< \frac{1}{1+(\mathring{c}_{\rm A}^\pm )^2/\mathring{c}_\pm^2}\,,
\end{equation}
\tag{71}
$$
то в граничном интеграле аналога энергетического неравенства (70) вместо квадратичной формы $Q$ будет стоять форма
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}=[{B}_1(\mathring{U})\dot{V}\cdot\dot{V}]= 2\dot{q}^+\big|_{\Sigma_T}[\dot{v}_1-\mathring{\lambda}\dot{H}_1]= 2\dot{q}^+\big|_{\Sigma_T}[\mathring{v}'-\mathring{\lambda}\mathring{H}'] \cdot\mathrm{D}_{x'}\psi,
\end{equation}
\tag{72}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathring{c}_{\rm A}^\pm = \frac{|\mathring{H}^\pm |}{\sqrt{\mathring{\rho}^\pm}}\,,\quad \frac{1}{\mathring{c}_\pm^2}= \frac{\partial \rho}{\partial p}(\mathring{p}^\pm ,\mathring{S}^\pm ),\quad \mathring{\lambda}^\pm =\lambda (\mathring{U}^\pm),\quad \mathring{H}'_{\pm}=(\mathring{H}_2^{\pm},\mathring{H}_3^{\pm})^\top.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что константы $\mathring{\lambda}^\pm$ полностью в наших руках. Единственное, они должны удовлетворять условиям гиперболичности (71). Предположим, что для постоянных векторов $\mathring{H}^+$ и $\mathring{H}^-$ выполняется условие неколлинеарности
$$
\begin{equation}
\mathring{H}^+_2\mathring{H}^-_3-\mathring{H}^+_3\mathring{H}^-_2 \ne 0,
\end{equation}
\tag{73}
$$
которое с учетом равенства $H_{N}^\pm\big|_{\Sigma}=0$ (см. (22)) для случая переменных коэффициентов и для начальных данных исходной нелинейной задачи записывается в виде
$$
\begin{equation}
\bigl|({H}^+\times {H}^-)\big|_{\Sigma}\bigr| \geqslant \epsilon > 0,
\end{equation}
\tag{74}
$$
где $\epsilon$ – фиксированная постоянная. При выполнении условия неколлинеарности (73) справедливо представление
$$
\begin{equation}
[\mathring{v}']=\mathring{a}^+\mathring{H}'_+-\mathring{a}^-\mathring{H}'_-,
\end{equation}
\tag{75}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathring{a}^{\pm}=-\frac{|[\mathring{v}']| \sin\mathring{\varphi}^{\mp}}{|\mathring{H}'_\pm| \sin (\mathring{\varphi}^+ -\mathring{\varphi}^-)}\,,\quad \mathring{\varphi}^\pm=\varphi^\pm (\mathring{U}^+,\mathring{U}^-), \\ \varphi^{\pm}=\varphi^{\pm}(U^+,U^-),\quad \cos\varphi^{\pm}=\frac{([{v}'],{H}'_\pm)}{ |[{v}']|\,|{H}'_\pm|}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $\mathring{\lambda}^\pm =\mathring{a}^{\pm}$, из (72) и (75) получаем $\mathcal{Q}=0$, т. е. при таком выборе граничные условия являются диссипативными. Тогда из аналога энергетического неравенства (70) для вторичной симметризации мы выводим априорную $L^2$-оценку, если выполняются условия гиперболичности (71), которые для выбранных $\mathring{\lambda}^\pm$ имеют вид где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G(U^+,U^-)=|\!\sin({\varphi}^+-{\varphi}^-)| \min\biggl\{\frac{{\gamma}^+}{|\!\sin{{\varphi}^-}|}\,, \frac{{\gamma}^-}{|\!\sin{{\varphi}^+}|}\biggr\}-|[{v}']|, \\ {\gamma}^{\pm}=\gamma ({U}^\pm ), \quad \gamma=\gamma(U)=\frac{{c}_{\rm A}c}{\sqrt{c^2+{c}_{\rm A}^2}}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Найденное в [48] условие (76) имеет самостоятельное значение, так как в астрофизике оно может трактоваться как достаточное условие макроскопической устойчивости гелиопаузы [39]. В работе [49] доказана локальная теорема существования и единственности в $H^m_*$ для задачи со свободной границей (6), (7), (22), (32) в предположении, что условия (73), (76) выполняются в каждой точке начальной поверхности тангенциального разрыва, точнее, если начальные данные (7) удовлетворяют условию неколлинеарности (74) вместе с условием устойчивости где $\varepsilon$ – фиксированная постоянная.Заметим, что условие неколлинеарности (74), выполненное для основного состояния (40), важно не только для того, чтобы добиться диссипативности граничных условий линеаризованной задачи, но и для того, чтобы замкнуть априорную оценку для случая переменных коэффициентов. А именно, если выполнено это условие, то символ границы является эллиптическим. Действительно, используя (74), мы из последних двух условий в (22) определяем $\partial_2\varphi$ и $\partial_3\varphi$ через следы $H_1^\pm\big|_{\Sigma}$, а затем из второго условия в (22) находим $\partial_t\varphi$. Эллиптичность символа свободной границы позволяет из граничных условий (45b) линеаризованной задачи с переменными коэффициентами выразить градиент $(\partial_t\psi,\mathrm{D}_{x'}\psi )$ через следы $(\dot{H}^\pm \cdot\mathring{N})\big|_{\Sigma_T}$, $(\dot{v}^+\cdot\mathring{N})\big|_{\Sigma_T}$ и саму функцию $\psi$. В отличие от задачи с постоянными коэффициентами, априорную оценку для линейной задачи с переменными коэффициентами нельзя замкнуть в $L^2$ ввиду присутствия в граничном интеграле “младших” членов вида $\operatorname{coeff}(\dot{v}^+\cdot\mathring{N})\psi$, $\operatorname{coeff}(\dot{H}^\pm \cdot\mathring{N})\psi$ и т. д., где $\operatorname{coeff}$ – общее обозначение для коэффициента, зависящего от основного состояния. Однако при расширении задачи до первых тангенциальных производных вместо этих членов мы имеем слагаемые вида $\operatorname{coeff} \partial_k(\dot{v}^+\cdot\mathring{N})\,\partial_k\psi$ ($k=2,3$), $\operatorname{coeff} \partial_t(\dot{v}^+\cdot\mathring{N})\,\partial_t\psi$ и т. д. Тогда, используя эллиптичность символа границы, можно привести, например, слагаемое вида $\operatorname{coeff} \partial_2\dot{v}^+_N\partial_2\psi$ к слагаемым вида $\operatorname{coeff} \dot{H}_N^\pm\partial_2\dot{v}^+_N$ и т. д., где $\dot{v}^+_N=\dot{v}^+\cdot\mathring{N}$ и $\dot{H}_N^\pm=\dot{H}^\pm \cdot\mathring{N}$. Например, граничный интеграл от $\operatorname{coeff} \dot{H}_N^+\partial_2\dot{v}^+_N$, возникающий в энергетическом неравенстве для расширенной до первых тангенциальных производных задачи, уже не является препятствием на пути к замыканию априорной оценки в $H^1$ (точнее, в $H^1_*$), так как мы можем адсорбировать его в правую часть этого неравенства путем сведения к объемному интегралу и последующего интегрирования по частям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\Sigma_t}\operatorname{coeff}\dot{H}_N^+\,\partial_2\dot{v}^+_N&= -\int_{\Omega^+_t}\partial_1(\operatorname{coeff}\dot{H}_N^+\, \partial_2\dot{v}^+_N) \\ &=\int_{\Omega^+_t}\bigl(\operatorname{coeff}\partial_2\dot{H}_N^+\, \partial_1\dot{v}^+_N+\operatorname{coeff}\partial_1\dot{H}_N^+\, \partial_2\dot{v}^+_N + \operatorname{coeff}\dot{H}_N^+\, \partial_1\dot{v}^+_N\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(напомним, что $\operatorname{coeff}$ – общее обозначение для коэффициента; в частности, коэффициенты перед слагаемыми, стоящими в последнем интеграле, различные). Сформулируем теперь доказанную в [49] локальную теорему существования и единственности для магнитогидродинамических тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости. Теорема 5.1. Пусть $m\in\mathbb{N}$ и $m\geqslant 12$. Пусть начальные данные (36d) с Заметим, что вопрос о нахождении не только достаточного, но и необходимого условия корректности задачи для магнитогидродинамических тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости остается открытым. Необходимые условия можно найти только спектральным методом (проверкой условия Лопатинского для линейной задачи), что представляется на данный момент технически трудно реализуемой проблемой (см. обсуждение в [48]). Что касается магнитогидродинамических тангенциальных разрывов в идеальной несжимаемой жидкости, то для них необходимое и достаточное условие корректности задачи, которое по существу является условием линейной устойчивости плоского разрыва, выполненным в каждой точке поверхности начального разрыва, можно найти спектральным методом. Оно относительно давно было найдено С. И. Сыроватским [47]. Локальная корректность нелинейной задачи при выполнении этого условия в начальный момент времени недавно доказана в [46]. 5.2. Вторичная симметризация уравнений Максвелла в вакуумеРассмотрим теперь другой пример вторичной симметризации, которая позволяет добиться диссипативности граничных условий линеаризованной задачи. Локальная корректность задачи со свободной границей плазма–вакуум (20), (26), (31), (17) доказана в [44], если начальные данные удовлетворяют условию неколлинеарности (74). Однако граничные условия (45b) (с граничным оператором (44)) линеаризованной задачи не являются диссипативными при выполнении условия неколлинеарности (74) (с $H^+=\mathring{H}$ и $H^-=\mathring{h}$). Указанная трудность преодолевается в [43] с помощью гиперболической $\varepsilon$-регуляризации эллиптической системы для $\dot{h}$, вторичной симметризации регуляризованной системы с последующим переходом к пределу при $\varepsilon \to 0$. Для технической простоты рассмотрим случай постоянных коэффициентов линеаризованной задачи, т. е. случай, когда для основного состояния $\mathring{U}$ и $\mathring{h}$ – постоянные векторы, а $\mathring{\varphi}=0$. Будем также предполагать, что линейная задача уже приведена, следуя [43], к однородной системе в вакууме и однородным граничным условиям. Тогда гиперболическая регуляризация, предложенная в [43], заключается в рассмотрении вместо исходной эллиптической системы
$$
\begin{equation*}
\nabla\times {h}=0,\quad \operatorname{div} {h}=0 \quad \text{в } \Omega^-_T
\end{equation*}
\notag
$$
(здесь и далее точки над неизвестными опущены) ее гиперболической $\varepsilon$-регуляризации в $\Omega^-_T$
$$
\begin{equation}
\varepsilon\,\partial_t{h}+\nabla\times {e}=0,\quad \varepsilon\,\partial_t{e}-\nabla\times {h}=0,
\end{equation}
\tag{78a}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div} {h}=0 ,\quad \operatorname{div} {e}=0,
\end{equation}
\tag{78b}
$$
где $\varepsilon >0$ – малый параметр регуляризации, а ${e}=({e}_1,{e}_2,{e}_3)^\top$ – новое векторное неизвестное, в некотором смысле “искусственное” электрическое поле в вакууме для уравнений Максвелла (78). (Напомним, что настоящее электрическое поле в вакууме является вторичной неизвестной в рамках исходной нерелятивистской постановки предмаксвелловской динамики (25).) Более того, регуляризованные граничные условия на $\Sigma_T$ содержат два дополнительных условия для $e$:
$$
\begin{equation}
{v}_1= (\partial_t + \mathring{v}' \cdot \mathrm{D}_{x'}) \psi,
\end{equation}
\tag{79a}
$$
$$
\begin{equation}
{p}+\mathring{H}\cdot {H}=\mathring{h}\cdot {h}- \varepsilon \mathring{e}\cdot {e},
\end{equation}
\tag{79b}
$$
$$
\begin{equation}
{h}_1 =\mathring{h}_2\,\partial_2\psi+\mathring{h}_3\,\partial_3\psi,
\end{equation}
\tag{79c}
$$
$$
\begin{equation}
{e}_2 =\varepsilon\mathring{h}_3\,\partial_t\psi - \varepsilon\mathring{e}_1\,\partial_2\psi,
\end{equation}
\tag{79d}
$$
$$
\begin{equation}
{e}_3 =\varepsilon\mathring{h}_2\,\partial_t\psi + \varepsilon\mathring{e}_1\,\partial_3\psi,
\end{equation}
\tag{79e}
$$
где $\mathring{e}=(\mathring{e}_1,\mathring{e}_2,\mathring{e}_3)^\top$, а $\mathring{e}_j$ – некоторые заданные константы (для случая переменных коэффициентов они функции), которые так определяются после вторичной симметризации системы Максвелла (78), чтобы сделать диссипативными граничные условия (79). Линейная система в области $\Omega^+_T$ остается прежней, т. е. является линеаризованной системой МГД, а именно, для рассматриваемого нами случая постоянных коэффициентов – это система магнитоакустики (65) для $U= (p,v,H,S)^\top$ с правой частью $f^+$, где $\mathring{U}=(\mathring{p}, 0,\mathring{v}_2,\mathring{v}_3,0,\mathring{H}_2,\mathring{H}_3, \mathring{S})^\top$. Заметим также, что для регуляризованной задачи уравнения (78b) и граничное условие (79c) выполняются автоматически (для нулевых начальных данных). Система (78a) для $W=(h,e)^\top$, записываемая в виде является симметрической гиперболической; здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_j=\varepsilon^{-1}\begin{pmatrix} 0 & b_j \\ b_j^\top & 0 \end{pmatrix}, \\ b_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\! \hphantom{-}0 \\ 0 & 0 &\! -1 \\ 0 & 1 &\! \hphantom{-}0 \end{pmatrix},\quad b_2=\begin{pmatrix} \hphantom{-} 0 & 0 & 1 \\ \hphantom{-} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad b_3=\begin{pmatrix} 0 &\! -1 & 0 \\ 1 &\! \hphantom{-}0 & 0 \\ 0 &\! \hphantom{-}0 & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Сама идея гиперболической регуляризации подсказана физической постановкой релятивистской задачи со свободной границей плазма–вакуум, корректность которой исследовалась в [52]. По существу система (78) – это система уравнений Максвелла в вакууме, а $\varepsilon$ – безразмерная величина, равная отношению некоторой характерной скорости задачи к скорости света в вакууме и действительно являющаяся пренебрежимо малой в нерелятивистской постановке. Обсудим теперь предложенную в [52] вторичную симметризацию гиперболической системы (80). Рассмотрим эту систему во всем пространстве $\mathbb{R}^3$. Очевидно, что С другой стороны, используя дивергентные ограничения (78b), для системы (78a) мы выводим дополнительные сохраняющиеся интегралы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{d}{{d}t}\int_{\mathbb{R}^3}(h_2e_3-h_3e_2)=0, \\ \frac{d}{{d}t}\int_{\mathbb{R}^3}(h_3e_1-h_1e_3)=0,\qquad \frac{d}{{d}t}\int_{\mathbb{R}^3}(h_1e_2-h_2e_1)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\frac{d}{{d}t}\int_{\mathbb{R}^3}\big(|W|^2 +\varepsilon\nu_1(h_2e_3-h_3e_2) +\varepsilon\nu_2(h_3e_1-h_1e_3) +\varepsilon\nu_3(h_1e_2-h_2e_1)\big) =0,
\end{equation}
\tag{81}
$$
где $\nu_i$ ($i=1,2,3$) – пока произвольные постоянные. Энергетическое тождество (81) переписывается так:
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{{d}t}\int_{\mathbb{R}^3} \mathcal{B}_0W\cdot W =0,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0 & \varepsilon\nu_3 & -\varepsilon\nu_2 \\ 0 & 1 & 0& -\varepsilon\nu_3 & 0 & \varepsilon\nu_1 \\ 0 & 0 & 1& \varepsilon\nu_2 & -\varepsilon\nu_1 & 0 \\ 0 & -\varepsilon\nu_3 & \varepsilon\nu_2& 1 & 0 & 0 \\ \varepsilon\nu_3 & 0 & -\varepsilon\nu_1& 0 & 1 & 0 \\ -\varepsilon\nu_2 & \varepsilon\nu_1 & 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом дивергентных ограничений (78b) из системы (80) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal{B}_0\partial_tW +\sum_{j=1}^3\mathcal{B}_0B_j\,\partial_jW + R_1\operatorname{div} h+R_2\operatorname{div} e \nonumber \\ &\qquad=\mathcal{B}_0\,\partial_tW +\sum_{j=1}^3\mathcal{B}_j\,\partial_jW=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{82}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mathcal{B}_1&=\begin{pmatrix} \nu_1 & \nu_2 & \nu_3& 0 & 0 & 0 \\ \nu_2 & -\nu_1 & 0& 0 & 0 & -\varepsilon^{-1} \\ \nu_3 & 0 & -\nu_1& 0 & \varepsilon^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0& \nu_1 & \nu_2 & \nu_3 \\ 0 & 0 & \varepsilon^{-1}& \nu_2 & -\nu_1 & 0 \\ 0 & -\varepsilon^{-1} & 0& \nu_3 & 0 & -\nu_1 \end{pmatrix}, \\ \mathcal{B}_2&=\begin{pmatrix} -\nu_2 & \nu_1 & 0& 0 & 0 & \varepsilon^{-1} \\ \nu_1 & \nu_2 & \nu_3& 0 & 0 & 0 \\ 0 & \nu_3 & -\nu_2& -\varepsilon^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\varepsilon^{-1}& -\nu_2 & \nu_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& \nu_1 & \nu_2 & \nu_3 \\ \varepsilon^{-1} & 0 & 0& 0 & \nu_3 & -\nu_2 \end{pmatrix}, \\ \mathcal{B}_3&=\begin{pmatrix} -\nu_3 & 0 & \nu_1& 0 & -\varepsilon^{-1} & 0 \\ 0 & -\nu_3 & \nu_2& \varepsilon^{-1} & 0 & 0 \\ \nu_1 & \nu_2 & \nu_3& 0 & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon^{-1} & 0& -\nu_3 & 0 & \nu_1 \\ -\varepsilon^{-1} & 0 & 0& 0 & -\nu_3 & \nu_2 \\ 0 & 0 & 0& \nu_1 & \nu_2 & \nu_3 \end{pmatrix}, \end{aligned} \\ R_1=\begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \\ \nu_3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\qquad R_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \nu_1 \\ \nu_2 \\ \nu_3 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Симметрическая система (82) является гиперболической, если $\mathcal{B}_0>0$, т. е. что справедливо для заданного $\nu=(\nu_1,\nu_2,\nu_3)^\top$ и малого $\varepsilon$. Заметим, что для линеаризованной задачи с переменными коэффициентами в системе (82) $\nu$ может быть произвольной вектор-функцией $\nu=\nu(t,x)$. В энергетическом неравенстве для систем (65) (с $f^+$ в правой части) и (82) важен вид квадратичной формы
$$
\begin{equation*}
Q=-(A_1(\mathring{U})U\cdot U)\big|_{\Sigma_T}+ (\mathcal{B}_1W\cdot W)\big|_{\Sigma_T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для выбора
$$
\begin{equation*}
\nu = \mathring{v} = (0,\mathring{v}_2,\mathring{v}_3)^\top,
\end{equation*}
\notag
$$
сделанного в [43] (напомним еще раз, что здесь, в отличие от [43], мы для простоты рассматриваем случай постоянных коэффициентов), имеем:
$$
\begin{equation*}
Q=\bigl(-qv_1+\varepsilon^{-1}(h_3e_2-h_2e_3)+(\mathring{v}_2h_2+ \mathring{v}_3h_3)h_1+(\mathring{v}_2e_2+ \mathring{v}_3e_3)e_1\bigr)\big|_{\Sigma_T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, выбирая
$$
\begin{equation*}
\mathring{e} =(\mathring{v}_3\mathring{h}_2- \mathring{v}_2\mathring{h}_3,0,0)^\top
\end{equation*}
\notag
$$
и используя граничные условия (79), получаем $Q=0$. Таким образом, граничные условия для вторичной симметризации являются диссипативными и без труда выводится априорная $L^2$-оценка. Более того, так как матрица $\mathcal{B}_0$ ограничена при $\varepsilon \to 0$, эта оценка является равномерной по $\varepsilon$. Также и в случае переменных коэффициентов априорная оценка, выведенная в [43], является равномерной по $\varepsilon$, но замкнуть ее можно только в $H^1$. Для замыкания этой оценки ключевую роль играет условие неколлинеарности (74), выполнение которого предполагается для $\mathring{H}$ и $\mathring{h}$. Особого внимания требует доказательство существования решений регуляризованной задачи. Мы не обсуждаем здесь этот вопрос и отсылаем читателя к [43]. Далее ввиду равномерности априорной оценки нетрудно сделать переход к пределу при $\varepsilon \to 0$ и получить существование решений исходной линейной задачи. Альтернативное доказательство существования решений линейной задачи (без гиперболической регуляризации эллиптической задачи для возмущения магнитного поля в вакууме) приведено недавно в [45]. Используя результаты работы [43] для линеаризованной задачи, в [44] с помощью метода Нэша–Мозера доказана локальная теорема существования и единственности для исходной задачи со свободной границей плазма–вакуум (20), (26), (31), (17). Мы приведем эту теорему в том виде, в каком она сформулирована в [45]. Теорема 5.2. Пусть $\boldsymbol{j}_{\rm c}\in H^{m+3/2}([0,T_0]\times \Sigma^-)$ для некоторого $T_0>0$. Пусть $m\in\mathbb{N}$ и $m\geqslant 20$. Пусть также начальные данные $(U_0,\varphi_0)$ принадлежат $H^{m+3/2}(\Omega^+)\times H^{m+2}(\mathbb{T}^{2})$ и удовлетворяют условию (35), дивергентному ограничению (19), первому условию в (31b) и второму условию в (31c) (записанным в “распрямленных” переменных, см. (34)), условиям гиперболичности (13) и условию неколлинеарности (74) (с $H^+={H}_0$ и $H^-={h}_0$), а также соответствующим условиям согласования вплоть до порядка $m$ (см. [43], [45]). Тогда существует такое достаточно малое время $T > 0$, что задача (36) (соответствующая исходной постановке (20), (26), (31), (17)) имеет единственное решение Заметим, что вопрос о доказательстве локальной корректности задачи со свободной границей плазма–вакуум (20), (26), (31), (17) при нарушении условия неколлинеарности, но выполнении в начальный момент времени предложенного в [51] альтернативного условия (ср. (58))
$$
\begin{equation}
[\partial_1{q}]\big|_{\Sigma}\geqslant \varepsilon >0
\end{equation}
\tag{84}
$$
для полного давления $q$ остается открытым даже в случае, когда вместо (20) рассматривается система МГД идеальной несжимаемой жидкости. В работе [53] с помощью построения примера некорректности типа примера Адамара для линеаризованной задачи с замороженными коэффициентами2 было показано, что одновременное нарушение обоих условий (84) и (74) приводит к неустойчивости Рэлея–Тейлора. В [53] была сформулирована естественная гипотеза о том, что задача (20), (26), (31), (17) локально корректна тогда и только тогда, когда в каждой точке начальной свободной границы выполняется условие (84) либо условие (74). Доказательство этой гипотезы является еще более сложной проблемой, чем нерешенная проблема о доказательстве локальной корректности при выполнении обобщенного условия Рэлея–Тейлора (84). Возвращаясь к вопросу о вторичной симметризации квазилинейной симметрической гиперболической системы, отметим очевидный факт, что если соответствующая линейная система с постоянными коэффициентами помимо стандартного сохраняющегося интеграла, эквивалентного квадрату $L^2(\mathbb{R}^n)$-нормы решения, имеет другие сохраняющиеся интегралы, то для исходной квазилинейной системы существует вторичная симметризация. Однако кроме приведенных здесь двух примеров таких систем, квазилинейной системы МГД и линейной системы уравнений Максвелла в вакууме, автору известно еще только два физических примера симметрической гиперболической системы, обладающей вторичной симметризацией. Это система релятивистской МГД, а также система МГД мелкой воды, вторичные симметризации которых найдены соответственно в [12] и [54]. Эти вторичные симметризации были использованы в [12], [54] для исследования корректности задач для тангенциальных разрывов в указанных моделях. 6. Заключительные замечанияЕсли для доказательства существования решений используется метод линеаризации, а для линеаризованной задачи удается получить априорные оценки только с потерей производных от коэффициентов и правых частей, то, пожалуй, единственной известной возможностью доказать существование решений исходной нелинейной задачи является применение метода Нэша–Мозера. Так, например, сформулированные выше теоремы 3.1, 5.1 и 5.2 были доказаны с помощью итераций Нэша–Мозера. Как уже было отмечено в разделе 3, в работе [30] удалось предотвратить потерю гладкости решения относительно гладкости начальных данных, имеющую место в доказанной в [50] теореме 3.1, а также в аналогичной теореме, доказанной в [28] для изоэнтропических уравнений Эйлера. Таким образом, даже если линеаризованная задача является только слабо корректной в смысле нарушения равномерного условия Лопатинского–Крайса [24], что влечет потерю производных в априорных оценках решений этой задачи, то это не означает обязательную потерю гладкости в исходной нелинейной задаче. С другой стороны, имеется много примеров задач, существование решений которых доказано с потерей гладкости, но до сих пор непонятно, является ли это существенным свойством задачи или же потери гладкости можно избежать, использовав другой метод доказательства. Это касается, например, задач со свободными границами, для которых были доказаны сформулированные выше теоремы 5.1 и 5.2, т. е. задачи (6), (7), (22), (32) для магнитогидродинамического тангенциального разрыва и задачи со свободной границей плазма–вакуум (20), (26), (31), (17). Что касается метода Нэша–Мозера, то его подробное описание, а также ссылки на оригинальные работы авторов этого метода можно найти в [21], [42]. Если коротко, то идея метода состоит в решении нелинейного уравнения ${\mathcal F}(u )=0$ итерационной схемой
$$
\begin{equation*}
{\mathcal F}'(S_{\theta_n}u_n)(u_{n+1}-u_{n} )=-{\mathcal F}(u_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\mathcal F}'$ – линеаризация (первая вариация) функционала ${\mathcal F}$, а $S_{\theta_n}$ – последовательность сглаживающих операторов со свойством $S_{\theta_n}\to I$ при $n\to \infty$. Эта схема является классической схемой Ньютона, если $S_{\theta_n}= I$. Применение сглаживающего оператора на каждом шаге схемы Нэша–Мозера имеет своей целью компенсировать потерю производных не только от правых частей (как, например, в оценке (51)), но и от коэффициентов линеаризованной задачи, т. е. от основного состояния (40). Ошибками классической схемы Нэша–Мозера являются квадратичная ошибка схемы Ньютона и подстановочная ошибка, вызванная применением сглаживающих операторов $S_{\theta_n}$. Для всех обсуждаемых в этом обзоре задач со свободными границами реализация метода Нэша–Мозера является не совсем стандартной, поскольку необходимо учитывать дополнительную ошибку, вызванную введением некоего промежуточного (модифицированного) состояния $u_{n+1/2}$, удовлетворяющего некоторым нелинейным ограничениям. Основным таким ограничением является, как правило, требование выполнения для коэффициентов линейной задачи, возникающей на каждом шаге итерационной схемы, части граничных условий исходной нелинейной задачи. Так, например, для задачи со свободной границей (12), (16), (17), (33) модифицированное состояние должно удовлетворять второму условию в (16), а также граничному условию (33). Это необходимо для того, чтобы граничная матрица линейной системы имела ту же самую структуру на границах, что и граничная матрица исходной нелинейной задачи. Наконец, отметим, что еще одна дополнительная ошибка итерационной схемы вызвана отбрасыванием последнего слагаемого в левой части уравнения (43). (Это слагаемое равно нулю, если основное состояние удовлетворяет исходной нелинейной задаче. Поэтому если итерационная схема действительно сходится к решению, то упомянутая дополнительная ошибка схемы тоже стремится к нулю.) Для доказательства сходимости итераций Нэша–Мозера недостаточно базовых априорных оценок вида (51) или (59). Требуется вывести некоторые более деликатные априорные оценки решений линеаризованной задачи в старших нормах пространств Соболева, которые учитывают количество “потерянных” производных не только от правых частей, но и от коэффициентов, т. е. от основного состояния (40). Как уже отмечалось выше, такие оценки называют ручными (tame estimates) и основными их свойствами являются линейность по старшим нормам, а также фиксированная потеря производных, т. е. необходимо, чтобы количество “потерянных” производных было одно и то же для любого индекса $m$ пространства Соболева (см. оценки (61) и (64)). Все рассмотренные нами примеры задач со свободными границами для гиперболических систем законов сохранения могут быть сформулированы с модифицированными граничными условиями, учитывающими влияние поверхностного натяжения на эволюцию границы. Поверхностное натяжение обычно играет стабилизирующую роль. В частности, при ненулевом поверхностном натяжении условия (56), (58), (63), а также условие (74) (для задачи со свободной границей плазма–вакуум) становятся ненужными для локальной корректности соответствующих задач. В рамках данного обзора мы не обсуждаем вопрос о доказательстве теорем существования и единственности для этих задач и отсылаем читателя к оригинальным работам [8], [56]–[58] (см. также [45]). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tra24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|