О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками”, УМН, 78:6(474) (2023), 185–186; Russian Math. Surveys, 78:6 (2023), 1164

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	21-11-00131
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-11-00131) в МГУ им. М. В. Ломоносова.

Представлено: В. В. Козлов
Принято редколлегией: 22.09.2023

Дата публикации: 30.11.2023

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 6, Pages 1164–1166
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10152e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 30C55

Пусть $\mathscr B$ – совокупность голоморфных отображений единичного круга $\mathbb D=\{z\in \mathbb C\colon |z|<1\}$ в себя. При изучении функций $f$ из $\mathscr B$ важную роль играют их неподвижные точки. Внутренняя точка $a\in\mathbb D$ называется неподвижной точкой для $f\in \mathscr B$, если $f(a)=a$. Граничная точка $a\in \mathbb T$, $\mathbb T=\{z\in \mathbb C\colon |z|=1\}$, называется неподвижной точкой для $f\in \mathscr B$, если $\angle \lim_{z\to a}f(z)=a$. В последнем случае существует конечный или бесконечный угловой предел $f'(a)=\angle \lim_{z\to a}(f(z)-a)/(z-a)$, называемый угловой производной функции $f$ в точке $a$, при этом конечное значение угловой производной положительно. Множество всех неподвижных точек функции $f\in \mathscr B$ не пусто. Более того, если $f$ не является дробно-линейной функцией, найдется, и притом единственная, неподвижная точка, обладающая свойством притяжения. Эту точку принято называть точкой Данжуа–Вольфа функции $f$ (более подробно см. [1; гл. VI, § 43]). Точка Данжуа–Вольфа $q$ может располагаться как внутри круга $\mathbb D$ (тогда $|f'(q)|\leqslant 1$), так и на его границе $\mathbb T$ (тогда $0<f'(q)\leqslant 1$). Остальные неподвижные точки, если они есть, расположены на $\mathbb T$ и являются отталкивающими неподвижными точками.

Обозначим через $\mathscr B[q]$, $q\in \overline{\mathbb D}$, совокупность функций $f$ из $\mathscr B$, для которых $q$ является точкой Данжуа–Вольфа. Если $f\in \mathscr B[q]$, $q\in {\mathbb D}$, и $f'(q)\neq 0$, то $f$ однолистна в некоторой окрестности точки $q$, причем размер этой окрестности, как оказалось, может быть выбран в зависимости лишь от значения $f'(q)$. Например, в случае, когда $q=0$ и $|f'(0)|=\beta$, $\beta\in(0,1)$, функция $f$ однолистна в круге $\{z\in \mathbb D\colon |z|<\beta/(1+\sqrt{1-\beta^2}\,)\}$ (см. [2]).

Обозначим через $\mathscr B\{1\}$ совокупность функций $f$ из $\mathscr B$ с граничной неподвижной точкой $a=1$: $\mathscr B\{1\}= \{f\in \mathscr B\colon \angle\lim_{z\to 1}f(z)=1\}$. Валирон [1] показал, что если $f\in \mathscr B\{1\}$ и $f'(1)<+\infty$, то $f$ однолистна в некотором секторе с центром в единице, раствор которого может быть выбран сколь угодно близким к $\pi$, а радиус зависит от угла раствора и самой функции. Беккеру и Поммеренке [3] удалось оценить размер этого сектора: в зависимости от функции они нашли ее область однолистности, которая содержит любой сектор, указанный Валироном.

Для произвольного $\alpha>1$ выделим в классе $\mathscr B\{1\}$ подкласс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, состоящий из функций, имеющих ограничение на значение угловой производной в неподвижной точке: $\mathscr B_{\alpha}\{1\}=\bigl\{f\in \mathscr B\{1\}\colon f'(1)\leqslant \alpha \bigr\}$. В [4] показано, что ни при каком $\alpha>1$ на классе $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ нет непустых областей однолистности. Тем самым класс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, в отличие от случая внутренней неподвижной точки, слишком обширен с точки зрения поиска областей однолистности, и для продвижения в указанном вопросе необходимо рассматривать более узкие классы. Поскольку любая функция из класса $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ наряду с отталкивающей неподвижной точкой $a=1$ обязательно имеет притягивающую неподвижную точку (точку Данжуа–Вольфа), то естественно представить класс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ в виде объединения непересекающихся подклассов, выделяемых условием расположения точки Данжуа–Вольфа (внутри или на границе круга $\mathbb D$): $\mathscr B_{\alpha}\{1\}= \bigcup_{q\in\overline{D}}\mathscr B_{\alpha}[q,1]$, где $\mathscr B_{\alpha}[q,1]=\mathscr B_{\alpha}\{1\}\cap \mathscr B[q]$.

Существование непустых областей однолистности на указанных подклассах класса $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ при некоторых значениях $\alpha$ было установлено в работе [5]. Далее для простоты формулировок будем полагать $q=0$ (случай внутренней точки Данжуа–Вольфа) и $q=-1$ (случай граничной точки Данжуа–Вольфа).

Точная область однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ при $\alpha\in(1,4]$ была найдена в [6]: $\{z\in \mathbb D\colon |1-2z+|z|^2|\,({1-|z|^2})^{-1}< (\alpha-1)^{-1/2}\}$. В [7] получена оценка сверху области однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$. Оказывается, при $\alpha\in (1,4]$ эта оценка точна.

Теорема 1. Пусть $\alpha\in (1,4]$. Если $f\in \mathscr B_{\alpha}[-1,1]$, то $f$ однолистна в области $\mathscr U(\alpha)=\{z\in \mathbb D\colon |1-z^2|\,(1-|z|^2)^{-1}< \alpha^{1/2}(\alpha-1)^{-1/2}\}$. Какова бы ни была область $\mathscr{V}$, $\mathscr U(\alpha)\subset \mathscr{V}\subset\mathbb D$, $\mathscr{V}\ne \mathscr U(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[-1,1]$, не однолистная в $\mathscr{V}$.

Тем самым дан полный ответ на вопрос о точной области однолистности на подклассах $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, $\alpha\in(1,4]$, с фиксированным расположением точки Данжуа–Вольфа.

Доказательство теоремы 1 основано на усилении неравенства, полученного Беккером и Поммеренке (см. [3]), из которого следует неотрицательность величин

Лемма 1. Если $f\in\mathscr B[-1,1]$ и точки $a,b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &4\biggl(f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}- \frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\biggr)\biggl(\frac{1-|c|^2}{|1+c|^2}- \frac{1-|a|^2}{|1+a|^2}-\frac{1-|b|^2}{|1+b|^2}\biggr) \\ &\qquad\geqslant \biggl|1+\frac{1-\overline{c}}{1-c}\, \frac{1+c}{1+\overline{c}}\,\frac{1-a}{1-\overline{a}}\, \frac{1+\overline{a}}{1+a}\,\frac{1-b}{1-\overline{b}}\, \frac{1+\overline{b}}{1+b}\biggr|^2. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

С другой стороны, можно показать, что имеет место противоположное в определенном смысле неравенство.

Лемма 2. Пусть $\alpha\in (1,4]$. Для любых точек $a,b\in \mathscr U(\alpha)$ и $c\in \mathbb D$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &4\biggl(\alpha\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}- \frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\biggr)\biggl(\frac{1-|c|^2}{|1+c|^2}- \frac{1-|a|^2}{|1+a|^2}-\frac{1-|b|^2}{|1+b|^2}\biggr) \\ &\qquad<\biggl|1+\frac{1-\overline{c}}{1-c}\,\frac{1+c}{1+\overline{c}}\, \frac{1-a}{1-\overline{a}}\,\frac{1+\overline{a}}{1+a}\, \frac{1-b}{1-\overline{b}}\,\frac{1+\overline{b}}{1+b}\biggr|^2. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Предполагая неоднолистность функции $f\in\mathscr B_\alpha[-1,1]$ в области $\mathscr U(\alpha)$, с учетом лемм 1 и 2 приходим к противоречию.

Образец цитирования: О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками”, УМН, 78:6(474) (2023), 185–186; Russian Math. Surveys, 78:6 (2023), 1164–1166

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{KudSol23}

\by О.~С.~Кудрявцева, А.~П.~Солодов

\paper Область однолистности на классе голоморфных отображений круга в~себя с~двумя граничными неподвижными точками

\jour УМН

\yr 2023

\vol 78

\issue 6(474)

\pages 185--186

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10152}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10152}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4723263}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1543.30058}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78.1164K}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2023

\vol 78

\issue 6

\pages 1164--1166

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10152e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001202852000006}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85190309924}

Список литературы