| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Кривизна и изометрии лоренцевой плоскости Лобачевского Ю. Л. Сачковab a Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук b Российский университет дружбы народов
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10154e 
Реферативные базы данных:
     Лоренцева геометрия является математическим основанием теории относительности [1], [2]. Она отличается от римановой тем, что здесь информация может распространяться вдоль кривых с векторами скорости из некоторого острого конуса. Естественной является задача отыскания лоренцевых длиннейших, максимизирующих функционал типа длины вдоль допустимых кривых. Поэтому важным вопросом является описание лоренцевых длиннейших и свойств соответствующей функции лоренцева расстояния, включая кривизну и изометрии. В этой заметке исследуются левоинвариантные лоренцевы структуры на единственной связной односвязной неабелевой двумерной группе Ли. В предыдущей работе [3] для этих структур представлено описание лоренцевых длиннейших, расстояния и сфер. В данной работе показано, что указанные структуры имеют постоянную кривизну, поэтому они локально изометричны модельным пространствам постоянной кривизны (пространству Минковского ${\mathbb R}_1^{2}$, пространству де Ситтера ${\mathbb S}^2_1$ или пространству анти-де Ситтера $\widetilde{{\mathbb H}^2_1}$). В случае нулевой кривизны построено явное изометричное вложение в двумерное пространство Минковского. Также исследованы изометрии указанных лоренцевых структур – как инфинитезимальные, так и глобальные. 1. Постановка задачиПусть $G=\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})= \{(x,y) \in {\mathbb R}^2 \mid y > 0\}$ есть группа собственных аффинных функций на прямой – плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости. Обозначим через $\mathfrak{g}$ алгебру Ли левоинвариантных векторных полей на группе Ли $G$. Рассмотрим левоинвариантный репер $X_1=y\,\partial/\partial x$, $X_2=y\,\partial/\partial y$ в $\mathfrak{g}$. Левоинвариантная лоренцева структура на группе Ли $G$ есть невырожденная квадратичная форма $g$ индекса 1 на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ [1], [2], [4], [5]. Множество таких структур параметризуется матрицами $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $|A| > 0$, такими, что $g(u)=-(au_1+bu_2)^2+(cu_1+du_2)^2$. Обозначим через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ элементы обратной матрицы: $A^{-1}=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$. 2. Кривизна Теорема 1. Связность Леви-Чивиты $D$ левоинвариантной лоренцевой структуры $g$ на группе $G=\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})$ задается следующим образом: Теорема 2. Левоинвариантная лоренцева структура $g$ на группе $G=\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})$ имеет постоянную секционную кривизну $K=g(X_1)/|A|^2$. Следствие 1. Левоинвариантная лоренцева структура $g$ на группе $G=\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})$ локально изометрична пространству Минковского ${\mathbb R}^2_1$ (при $K=0$), пространству де Ситтера ${\mathbb S}^2_1$ (при $K>0$) или пространству анти-де Ситтера $\widetilde{{\mathbb H}^2_1}$ (при $K<0$). 3. ИзометрииВычислим алгебру Ли $i(G)$ векторных полей Киллинга (инфинитезимальных симметрий) для левоинвариантных лоренцевых структур на группе $G=\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})$. По теореме 2 такие лоренцевы структуры имеют постоянную кривизну, поэтому $\dim i(G)=3$. Левые сдвиги на группе Ли $G$ являются очевидными изометриями. Они порождены правоинвариантными векторными полями на $G$: $\widetilde{X}_1(q)=R_{q*}X_1(\operatorname{Id})=\partial/\partial x$, $\widetilde{X}_2(q)=R_{q*}X_2(\operatorname{Id})=x\,\partial/\partial x+ y\,\partial/\partial y$, где $R_q\colon\overline{q}\mapsto\overline{q}q$ – правый сдвиг на $G$. Поэтому $\widetilde{X}_1$, $\widetilde{X}_2$ суть векторные поля Киллинга. Для описания трехмерной алгебры Ли $i(G)$ остается найти только одно векторное поле Киллинга, линейно независимое от $\widetilde{X}_1$, $\widetilde{X}_2$. Теорема 3. Пусть $K \ne 0$. Тогда $i(G)=\operatorname{span}(\widetilde{X}_1,\widetilde{X}_2,X_{\pm})$, где $\pm=\operatorname{sgn} K$ и $X_{\pm}=(y^2+w^2)\,\partial/\partial w+2wy\,\partial/\partial y$, $w=(x \pm \nu(y-1))/\lambda$, $\lambda=(\alpha\delta-\beta\gamma)/\Delta$, $\nu=(\beta\delta-\alpha\gamma)/\Delta$, $\Delta=\pm\gamma^2\mp\delta^2$. Таблица коммутаторов в этой алгебре Ли такова: Теорема 4. Пусть $K=0$. Тогда $i(G)=\operatorname{span}(\widetilde{X}_1,\widetilde{X}_2,X_0)$, где $X_0=w\,\partial/\partial w+y(1-y)\,\partial/\partial y$, $w=(x+g(y-1))/f$, $f=-(\alpha-s_1\beta)/(2\gamma)$, $g=-(\alpha+s_1 \beta)/(2\gamma)$, $s_1=\operatorname{sgn}\gamma$. Таблица коммутаторов в этой алгебре Ли такова: Алгебра Ли $i(G)$ изоморфна алгебре Ли $\mathfrak{sh}(2)$ группы Ли $\operatorname{SH}(2)$ гиперболических движений плоскости. Теорема 5. Алгебра Ли полных полей Киллинга двумерна и порождена векторными полями $\widetilde{X}_1$, $\widetilde{X}_2$. Компонента связности единицы в группе Ли изометрий лоренцевой группы $\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})$ двумерна и состоит из левых сдвигов на этой группе. Теорема 6. Пусть $K=0$. Тогда отображение $i\colon\operatorname{Aff}_+({\mathbb R})\to \Pi \subset {\mathbb R}^2_1$, где $\Pi=\bigl\{(\widetilde{x},\widetilde{y}) \in {\mathbb R}^2_1 \mid s_1 \widetilde{y}+\widetilde{x} < 1/\gamma \bigr\}$, $i(x,y)=(\widetilde{x},\widetilde{y})=\bigl(\bigl((y-1)/y-w/\gamma\bigr)/2, s_1\bigl((y-1)/y+w/\gamma\bigr)/2\bigr)$, есть изометрия. Автор благодарит Л. В. Локуциевского, Д. В. Алексеевского, Н. И. Жукову и Э. Ле Донне за полезные обсуждения рассматриваемых вопросов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sac24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|