| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Гауссов мультипликативный хаос для синус-процесса А. И. Буфетовabcd a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук c Санкт-Петербургский государственный университет d CNRS, Institut de Mathématiques de Marseille, Marseille, France
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10156e 
Реферативные базы данных:
     Символом $\mathsf{P}_{\mathcal S}$ обозначим синус-процесс – детерминантную меру на пространстве $\operatorname{Conf}(\mathbb{R})$ локально конечных конфигураций на $\mathbb{R}$, отвечающую синус-ядру Числам $z,w\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ поставим в соответствие мультипликативный функционал
$$
\begin{equation*}
G_X(z,w)=\prod_{x\in X}^{\mathrm{v.p.}}\biggl(\frac{z-x}{w-x}\biggr),\qquad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, далее, $M_\gamma$ – экспонента гауссова случайного поля на отрезке $[0,1]$ с ковариационным ядром $K_\gamma(s,t)=-2\gamma^2\log|s-t|$ (см. [7], [9], [10]).
Теорема. Пусть $\gamma\in(0,1)$. При $R\to\infty$ случайная мера сходится по распределению к мере $M_{\gamma}$. Иными словами, распределение случайной меры (1) слабо сходится к распределению случайной меры $M_{\gamma}$. Обозначим $\mathcal{PW}=\{f\in L_2(\mathbb{R})\colon \operatorname{supp}\hat f\subset [-\pi,\pi]\}$. Следствие. Для $\mathsf{P}_{\mathcal S}$-почти всякой конфигурации $X\in\operatorname{Conf}(\mathbb{R})$ и всякой $p\in X$ если $f\in\mathcal{PW}$ такова, что $f\big|_{X\setminus p}=0$, то $f=0$. Иными словами, множество $X\setminus p$ полно для пространства Пэли–Винера. Полноту самого множества $X$ доказал С. Гош [5] (см. также в дискретном случае [8], в общем случае [3]). С другой стороны, справедливо следующее утверждение. Предложение. Для $\mathsf{P}_{\mathcal S}$-почти всякой конфигурации $X\in\operatorname{Conf}(\mathbb{R})$ и любых различных $p,q\in X$ найдётся ненулевая функция $f\in\mathcal{PW}$ такая, что $f\big|_{X\setminus\{p,q\}}=0$. Таким образом, множество $X\setminus p$ минимально и полно для пространства $\mathcal{PW}$. Рассмотрим гауссов случайный процесс $Y_{zw}$, индексированный точками $z$, $w$ верхней полуплоскости $\mathbb{C}_+=\{z\in\mathbb{C}\colon\operatorname{Im} z>0\}$ и заданный условиями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Y_{zw}+Y_{wu}+Y_{uz}=0,\quad \mathsf{E}Y_{zw}=0,\quad \operatorname{Var}Y_{zw}=\log\biggl(1+\frac{|z-w|^2}{4\operatorname{Im} z\operatorname{Im} w}\biggr),\quad u,z,w\in\mathbb{C}_+. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из центральной предельной теоремы Сошникова [11] (см. также [6]) следует равномерная на компактах сходимость по распределению при $R\to\infty$ случайных величин $\log|G_X(z/R,w/R)|$ к гауссову случайному процессу $Y_{zw}$. Случайный процесс $Y_{zw}$ естественно рассматривать как процесс, индексированный парой точек плоскости Лобачевского; совместные распределения наших случайных величин инвариантны относительно группы изометрий плоскости Лобачевского. Если точку $z$ зафиксировать, а точку $w$ устремить к абсолюту, то случайный процесс $Y_{zw}$ сходится к гауссову случайному полю с логарифмическими корреляциями. Для доказательства сходимости случайных мер (1) применяется теперь скейлинговый предел формулы Бородина–Окунькова–Джеронимо–Кейса [1], [2], [4]: пусть $f\in L_\infty(\mathbb R)$, причём
$$
\begin{equation*}
\|f\|^2_{\dot H_{1/2}}=\iint_{\mathbb{R}^2} \biggl|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\biggr|^2\,dx\,dy<\infty\quad\text{и}\quad \mathrm{(v.p.)}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Представим $f$ в виде $f=f_++f_-$, $\operatorname{supp} \widehat{f_+}\subset [0,+\infty)$, $\operatorname{supp} \widehat{f_-}\subset (-\infty,0]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\det(1+(e^f-1){\mathcal S})=\exp\biggl\{ \frac{1}{4\pi^2}\|f\|^2_{\dot H_{1/2}}\biggr\}\cdot \det\bigl(1-\mathbf{1}_{(1,+\infty)}\mathfrak{H}(h_{-+}) \mathfrak{H}(\widetilde{h_{+-}})\mathbf{1}_{(1,+\infty)}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{\widetilde{h}}(\lambda)=\widehat{h}(-\lambda)$,
$$
\begin{equation*}
h_{-+}=\exp\biggl\{f_-\biggl(\frac{\cdot}{2\pi}\biggr)- f_+\biggl(\frac{\cdot}{2\pi}\biggr)\biggr\},\qquad h_{+-}=\exp\biggl\{f_+\biggl(\frac{\cdot}{2\pi}\biggr)- f_-\biggl(\frac{\cdot}{2\pi}\biggr)\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а символом $\mathfrak{H}(h)$ обозначен ганкелев оператор
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{H}(h)\varphi(s)= \frac{1}{2\pi}\int_0^{+\infty}\hat{h}(s+t)\varphi(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Buf23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|