| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О продолжаемости и качественных свойствах решений уравнения Риккати И. В. Асташоваab, В. А. Никишовa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10160e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеУравнением Риккати называется уравнение вида где $R\not\equiv 0$. Уравнение (1.1) находит применение во многих областях, в частности в физике (в теории гравитационных волн [1], квантовой механике [2], механике сплошных сред [3]), в финансовой математике [4], в приборостроении [5] и машиностроении [6], а также служит инструментом для решения задач в самых разнообразных областях математики, например в дифференциальной геометрии [7], [8]. В книге [8] подробно описываются геометрические подходы к исследованию интегрируемости уравнения Риккати (в том числе матричного), а также описывается применение уравнения Риккати к задачам вариационного исчисления. В работах [9] и [10] уравнение вида (1.1) используется для установления границ применимости теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах к линейному уравнению второго порядка. В статье [11] рассматривается четырехпараметрическое семейство дифференциальных уравнений, заданных на торе. Функция, характеризующая в пространстве параметров кривые, вдоль которых число вращения уравнения не меняется, удовлетворяет 3-му уравнению Пенлеве. Показано, что у последнего уравнения есть семейство решений, являющихся решениями определённого уравнения Риккати, которое получается из уравнения Бесселя при помощи замены неизвестной функции. Техника, использующая уравнение Риккати, применялась в [12] для исследования колеблемости решений некоторых квазилинейных уравнений. О других приложениях уравнения Риккати можно узнать из библиографий к цитируемым работам.Напомним некоторые известные факты из истории уравнения Риккати. Впервые уравнение такого типа упоминается в статье [13] Иоганна Бернулли в 1694 г. А именно, рассматривается частный случай уравнения (1.1) – уравнение где $a\in\mathbb{R}$, $a\ne 0$. Позднее, в письмах к Г. Лейбницу (см. [14]), И. Бернулли представил решение уравнения (1.2) при $a=1$ в виде частного сумм двух рядов, однако выразить его в квадратурах не сумел. В 1724 г. Я. Риккати рассмотрел [15] уравнение называемое сейчас специальным уравнением Риккати. В своей заметке к статье [15] Даниил Бернулли предъявил [16] (см. также [17; гл. I, § 8]) бесконечную последовательность значений $\alpha$, при которых уравнение (1.3) интегрируемо в квадратурах: Позднее Ж. Лиувилль [18] (1841 г.) показал, что других таких значений $\alpha$ нет. В XVIII–XIX вв. были получены различные представления решений (1.3) с помощью рядов и интегралов (см., например, [19]–[22]).Уравнение Риккати общего вида (1.1) было исследовано Л. Эйлером. Он показал [19], что если известно одно частное решение $y_1$ уравнения (1.1), то общее решение может быть получено двумя квадратурами: сначала заменой $y=y_1+\theta$ уравнение (1.1) приводится к уравнению затем уравнение (1.4) сводится к линейному заменой $\theta=1/v$. Если же известны два частных решения уравнения (1.1), то, согласно Эйлеру, общее решение может быть получено с помощью одной квадратуры. Позднее Э. Вейр [23] и Э. Пикар [24] показали, что общее решение уравнения (1.1) есть дробно-линейная функция произвольной постоянной, откуда вывели, что для любых четырёх различных частных решений $y_1$, $y_2$, $y_3$, $y_4$ уравнения (1.1) ангармоническое отношение
$$
\begin{equation*}
\frac{(y_1-y_2)}{(y_1-y_4)}:\frac{(y_3-y_2)}{(y_3-y_4)}
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от $x$. Таким образом, при трёх известных частных решениях общее решение уравнения (1.1) может быть получено без квадратур. Представляют интерес результаты, содержащие некоторые соотношения, которым удовлетворяют решения уравнения (1.1) как функции своих начальных значений [25], [26]. Известно [27], что уравнение Риккати с непрерывными периодическими коэффициентами не может иметь более двух периодических решений. Для уравнения Риккати специального вида доказаны [28] теоремы, уточняющие классическую теорему (см., например, [29; гл. 7, теорема 6]) о непрерывной зависимости решений от правой части и начальных условий. Стоит также упомянуть о некоторых обобщениях скалярного дифференциального уравнения (1.1). К таким обобщениям относится, например, матричное дифференциальное уравнение Риккати в котором $R,A,B,P\colon X\subset\mathbb{R}\to M_n(\mathbb{R})$, где $M_n(\mathbb{R})$ – пространство матриц размера $n \times n$ над $\mathbb{R}$, а $Y(\cdot)$ – искомая $n$-квадратная матрица. Достаточно широкий обзор имеющихся результатов, относящихся к матричным дифференциальным уравнениям Риккати, приведён в [30]. Ещё одним обобщением уравнения (1.1) является уравнение
$$
\begin{equation}
y'=P_0(x)y^n+P_1(x)y^{n-1}+\cdots+P_{n-1}(x)y+P_n(x).
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Оно было исследовано, например, в [31]–[33]. Так, в работе [31] было, в частности, доказано, что если $n\ne 1$, $P_0\equiv 1$, а функции $P_i(\cdot)$, $i=1,\dots,n$, непрерывны и ограничены в окрестности $+\infty$, то уравнение (1.6) не может иметь решений $y(\cdot)$ со свойством $\lim_{x\to+\infty} y(x)=+\infty$. Как можно будет видеть далее, для уравнения (1.1) с неотрицательным дискриминантом правой части этот результат следует из теоремы 3.1.3. Многие известные результаты, относящиеся к различным аналогам и обобщениям уравнения (1.1), приведены в [34]. Так как не только общее, но даже специальное уравнение Риккати не всегда интегрируемо в квадратурах (о случаях интегрируемости уравнения (1.1) см. также [35]–[37]), целесообразно изучение качественных свойств решений (1.1). Качественные и асимптотические свойства решений уравнения Риккати с непрерывными коэффициентами изучались во многих работах, в частности в [38; гл. XI, § 7], [34], [39]–[42].Пусть $Q^{2}(x)-4P(x)\geqslant 0,\,x\in\mathbb{R}$, тогда квадратное уравнение имеет непрерывные вещественные корни
$$
\begin{equation}
\alpha_{1,2}(x)=\frac{1}{2}\bigl(-Q(x) \mp \sqrt{Q^2(x)-4P(x)}\,\bigr),\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
таким образом, уравнение (1.7) можно записать в виде Случай, когда функция $\alpha_2(x)$ не является ограниченной при $x\geqslant x_0$, был рассмотрен в работах [40] и [41]. Теорема A [40; с. 18]. Пусть при $x\geqslant x_0$ функция $\alpha_1(x)$ ограничена, функция $\alpha_2(x)$ неограничена, монотонно возрастает и $\alpha_1 (x)<\alpha_2(x)$. Если существует такая функция $\beta\colon[x_0,+\infty)\to\mathbb{R}$, что при $x\geqslant x_0$ выполняются неравенства Теорема B [41; с. 239]. Если функции $\alpha_1$ и $\alpha_2$ положительны и не убывают на $[x_0,+\infty)$, причём $\alpha_1$ ограничена на $[x_0,+\infty)$, а $\lim_{x\to+\infty}\alpha_2(x)=+\infty$, то всякое решение уравнения (1.10), определённое в точке $x_0$, продолжается на $[x_0,+\infty)$. Кроме того, если $y(\cdot)$ – положительное на полуинтервале $[x_0,+\infty)$ решение уравнения (1.10), то либо либоАвтором теоремы A также изучалось уравнение типа (1.10), но с бо́льшим числом сомножителей в правой части, а именно уравнение где $n\geqslant 3$. Так, в [43] исследуется существование решений уравнения (1.11), удовлетворяющих определённым условиям, в случае, когда $f_i\in C[x_0,+\infty)$, $f_1(x)<\cdots<f_n(x)$ при $x\geqslant x_0$ и $f_n(x)\to +\infty$ при $x\to +\infty$.Теоремы о качественных свойствах решений уравнения (1.10) в случае, когда функции $\alpha_1(\cdot)$ и $\alpha_2(\cdot)$ ограничены на всей числовой прямой, приведены в [42], [34]. Поведение решений уравнения (1.10) при условии, что функции $\alpha_1(\cdot)$ и $\alpha_2(\cdot)$, $\alpha_1(x)<\alpha_2(x)$, непрерывно дифференцируемы и ограничены при $x\in\mathbb{R}$ и монотонно стремятся к пределам $\alpha_1^{\pm}\in\mathbb{R}$ и $\alpha_2^{\pm}\in\mathbb{R}$ при $x\to\pm\infty$ соответственно, исследовано в [39]. В этой работе доказано, что при указанных условиях все ограниченные решения уравнения (1.10) имеют пределы при $x\to\pm\infty$ и по их возможным значениям разбиваются на следующие четыре типа:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \text{I тип:}&&\quad y_{-}&=\alpha_1^-,&\quad y_{+}&=\alpha_1^+; \\ \text{II тип:}&&\quad y_{-}&=\alpha_2^-,&\quad y_{+}&=\alpha_1^+; \\ \text{III тип:}&&\quad y_{-}&=\alpha_2^-,&\quad y_{+}&=\alpha_2^+; \\ \text{IV тип:}&&\quad y_{-}&=\alpha_1^-,&\quad y_{+}&=\alpha_2^+, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $y_{\pm}:=\lim_{x\to\pm\infty}y(x)\in \mathbb{R}$. Также было установлено, что
В настоящей статье продолжено исследование качественных и асимптотических свойств решений уравнения (1.10). Во многих результатах работы будет дополнительно предполагаться, что
$$
\begin{equation}
-\infty<m\leqslant \alpha_1(x)\leqslant\alpha_2(x)\leqslant M<+\infty,\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $m$ и $M$ – постоянные. В первой части работы (см. п. 3.1, 4.1) изучается зависимость качественных и асимптотических свойств решений уравнения (1.10) от расположения начального значения $y(x_0)$. Дополнены либо уточнены некоторые результаты из [42], [34], дополнен результат теоремы, приведенной в [40; c. 17], и усилен результат следствия из [41; c. 240]. Во второй части работы (см. п. 3.2, 4.2) получены результаты, раскрывающие структуру множества определённых в окрестности $+\infty$ решений уравнения (1.10). В частности, доказано, что если уравнение (1.10) с ограниченными $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такими, что $(\alpha_1+\alpha_2)/2\in C^1 [x_0,+\infty)$, имеет два определённых на $[x_0,+\infty)$ решения, которые обладают различными конечными пределами при $x\to +\infty$, то всякое другое решение, определённое на $[x_0,+\infty)$, имеет конечный предел при $x\to +\infty$, равный пределу меньшего из этих двух решений. В третьей части работы (см. п. 3.3, 4.3) полученные в первых двух частях результаты применяются для исследования структуры множества ограниченных решений уравнения в случае, когда $\alpha_1(\cdot)$ и $\alpha_2(\cdot)$ непрерывно дифференцируемы, различны на всей области определения, имеют конечные пределы при $x\to\pm\infty$ и стремятся к ним монотонно. Полученные результаты дополняют результаты статьи [39]. Некоторые из полученных авторами результатов приведены в [44]–[46]. 2. Основные определения и обозначенияВ работе предполагается, что в уравнении (1.7)
$$
\begin{equation*}
P,Q\in C(\mathbb{R}),\quad Q^{2}(x)-4P(x)\geqslant 0,\quad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае уравнение (1.7) можно записать в виде (1.10) с непрерывными вещественными корнями (1.9). Обозначим
$$
\begin{equation}
\alpha(x):=\frac{\alpha_1(x)+\alpha_2(x)}{2}\,,\qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
В каждой точке $x\in\mathbb{R}$, в которой функция $\alpha=-Q/2$ дифференцируема, определим функции $U_0(x)$ и $Y_0(x)$ следующим образом: где и (см. [39; § 3, п. 4])
$$
\begin{equation}
Y_0(x):=\frac{(\alpha_1(x)-\alpha_2(x))^2}{4}+\alpha'(x).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Заметим, что если $Q(x)=-(\alpha_1(x)+\alpha_2(x))$ является непрерывно дифференцируемой функцией при $x\in\Delta\subset\mathbb{R}$, то функции $U_0(x)$ и $Y_0(x)$ непрерывны при $x\in\Delta$. Когда в тексте работы говорится, что решение $y(\cdot)$ определено на промежутке $\Delta\subset\mathbb{R}$, подразумевается, что $y(\cdot)$ определено в каждой точке промежутка $\Delta$ (при этом $\Delta$ не обязательно является максимальным интервалом существования решения $y(\cdot)$). В соответствии с принятой терминологией будем называть функцию $f(\cdot)$ монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке $\Delta\subset\mathbb{R}$, если для любых таких $x_1,x_2\in \Delta$, что $x_1< x_2$, выполнено неравенство $f(x_1)\leqslant\!(\geqslant)\,\, f(x_2)$. Функцию $f(\cdot)$ будем называть строго монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке $\Delta\subset\mathbb{R}$, если для любых таких $x_1,x_2\in \Delta$, что $x_1<x_2$, выполнено неравенство $f(x_1)<\!(>)\,\, f(x_2)$. Лемма 2.1 (следствие из [47; лемма 4.1]). Если $x_0<\omega\leqslant+\infty$, $Q\in C^1 [x_0,\omega)$ и существует решение уравнения (1.10), определённое на интервале $(\delta,\omega)$ для некоторого $\delta<\omega$, то существуют такие $S_*\in [x_0,\omega)$ и решение $y_*(\cdot)$ этого уравнения, определённое на $(S_*,\omega)$, что для любого решения $y(\cdot)$ уравнения (1.10), определённого на $(S,\omega)$, где $S\geqslant x_0$, выполнены соотношения Решение $y_*(x)$ из последней леммы будем называть главным решением на интервале $(x_0,\omega)$. Определение 1 [39]. Решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) называется стабилизирующимся, если 3. Основные результаты3.1. Продолжаемость и асимптотика решений в зависимости от расположения их начальных значений относительно корней правой части уравненияСформулируем теорему, которая дополняет основную теорему о дифференциальных неравенствах [10] для уравнения первого порядка и обобщает теорему 7.3 в [42] (или, что то же самое, первое утверждение теоремы 5.7 в [34]). Теорема 3.1.1. Рассмотрим уравнение где $f$ непрерывна на своей области определения, содержащей полуось $[x_0,+\infty)$. Если существует такая дифференцируемая функция $\beta\colon[x_0,+\infty)\to\mathbb{R}$, что для любого $x\geqslant x_0$ выполнено неравенство то любое решение $y(\cdot)$ уравнения (3.1), удовлетворяющее условию $y(x_0)\leqslant\beta(x_0)$, удовлетворяет условию $y(x)<\beta(x)$ при $x\in(x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$ – правый конец максимального интервала существования решения $y(\cdot)$. Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1. Тогда если $\beta(x)$ ограничено сверху при $x\geqslant x_0$, то любое решение $y(x)$, удовлетворяющее условию $y(x_0)\leqslant\beta(x_0)$, ограничено сверху при $x\in(x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Теперь в качестве $f(x,y)$ возьмём а в качестве $\beta$ рассмотрим $\beta=(\alpha_1+\alpha_2)/2$. Тогда получаем следующий результат.Следствие 2. Если функция $Q(\cdot)$ дифференцируема на $[x_0,+\infty)$, $Q'(x)<Q^2(x)/2-2P(x)$ при $x\geqslant x_0$, а решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) удовлетворяет условию $y(x_0)\leqslant-Q(x_0)/2$, то $y(x)<-Q(x)/2$ при $x\in(x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Замечание 1. Второе условие в следствии 2 можно записать в следующем виде: для всякого $x\geqslant x_0$. Имеет место равенство $U_0(x)=-2Y_0(x)$, поэтому условие (3.2) есть не что иное, как условие B из [39; § 3, п. 3] в точке $x$. Следствие 3. Если $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)$ при $x\geqslant x_0$, функция $\alpha_1$ дифференцируема на $[x_0,+\infty)$ и $\alpha'_1(x)>0$ при $x\geqslant x_0$, а решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) удовлетворяет условию $y(x_0)\leqslant\alpha_1(x_0)$, то $y(x)<\alpha_1(x)$ при $x\in(x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Теорема 3.1.2. Пусть $x_0\in\mathbb{R}$ и выполнено условие (1.12). Тогда для любого решения $y(\cdot)$ уравнения (1.10), определённого в точке $x_0$, справедливо неравенство $y(x)\geqslant\min(y(x_0),m)$ при $x\in[x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Заметим, что из этой теоремы и следствия 3.2 [38] вытекает, что в приведённых выше следствиях 2 и 3 правый конец $b$ максимального интервала существования решения равен $+\infty$. Теорема 3.1.3. Пусть $M_1,M_2\in\mathbb{R}$ таковы, что $\alpha_1(x)\leqslant M_1$, $\alpha_2(x)\leqslant M_2$ при $x\geqslant x_0$. Тогда если решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) удовлетворяет условиям $y(x_0)>M_1$, $y(x_0)>M_2$, то существует такое $x^*\in\mathbb{R}$, $x^*>x_0$, что $y(\cdot)$ строго возрастает на $(x_0,x^*)$ и Замечание 2. Можно оценить значение $x^*$ сверху. Обозначим $y_0:=y(x_0)$. Имеют место следующие соотношения: Теорема 3.1.3 обобщает утверждение теоремы 7.1 [42] о поведении решения уравнения (1.10) справа от точки $x_0$ (или, что то же самое, утверждение теоремы 5.5 [34] о поведении решения справа от точки $t_0$) на случай, когда $\alpha_1\not\equiv\alpha_2$. Утверждение теоремы 5.5 [34] о поведении решения слева от точки $t_0$ следует дополнить условием $\alpha'(t)>0$, $t\leqslant t_0$. А именно, имеет место Теорема 3.1.4. Если выполнено условие (1.12), $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$ при $x\in\mathbb{R}$, функция $\alpha$ дифференцируема на $(-\infty, x_0)$ и $\alpha'(x)>0$ при $x\leqslant x_0$, то все решения $y(\cdot)$ уравнения (1.10), подчинённые условию $y(x_0)>M$, обладают свойством где $m_1\in\mathbb{R}$. Следующий пример показывает, что условие $\alpha'(x)>0$, $x\leqslant x_0$ в теореме 3.1.4 существенно. Пример 1. Рассмотрим решение $y(\cdot)$ уравнения с начальным значением $y(0)=0$. Имеем Теорема 3.1.3'. Пусть $m_1,m_2\in\mathbb{R}$ таковы, что $\alpha_1(x)\geqslant m_1$, $\alpha_2(x)\geqslant m_2$ при $x\leqslant x_0$. Тогда если решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) удовлетворяет условиям $y(x_0)<m_1$, $y(x_0)<m_2$, то существует такое $x_*\in\mathbb{R}$, $x_*<x_0$, что $y(\cdot)$ строго убывает на $(x_*,x_0)$ и Замечание 2'. Можно оценить значение $x_*$ снизу. Обозначим $y_0:=y(x_0)$. Имеют место следующие соотношения: Теорема 3.1.3' обобщает утверждение теоремы 7.2 в книге [42] (она же – теорема 5.6 в [34]) о поведении решения уравнения (1.10) слева от точки $x_0$ на случай, когда $\alpha_1$ и $\alpha_2$ не совпадают. Утверждение теоремы 7.2 [42] о поведении решения справа от точки $x_0$ следует дополнить условием существования конечного предела $\lim_{x\to +\infty}\alpha(x)=:\alpha_+\in\mathbb{R}$. А именно, имеет место следующая теорема. Теорема 3.1.5. Если выполнено условие (1.12), $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$ при $x\in\mathbb{R}$, существует конечный предел $\lim_{x\to +\infty}\alpha(x)=:\alpha_+\in\mathbb{R}$ и решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) удовлетворяет условию $y(x_0)<m$, то либо его график пересекает график функции $\alpha(\cdot)$, либо $\alpha(x)-y(x)\to +0$ при $x\to+\infty$. Приводимый ниже пример показывает, что условие существования конечного предела $\lim_{x\to +\infty}\alpha(x)=:\alpha_+\in\mathbb{R}$ в теореме 3.1.5 существенно. Пример 2. Рассмотрим функцию Следующий пример показывает, что утверждение теоремы 5.8 [34] об ограниченности решения слева от точки $t_0$ верно не для любых непрерывных и ограниченных функций $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Пример 3. Рассмотрим уравнение (1.10), где Функции $\alpha_{1,2}(\cdot)$ ограничены, а значит, удовлетворяют условию (1.12) для некоторых постоянных $m,M\in\mathbb{R}$. Согласно [31; с. 244–245] ни одно решение уравнения (1.10) не определено на полуинтервале $[1,+\infty)$. Аналогично, при помощи замены $u(x)=-y(-x)$ доказывается, что ни одно решение не определено на полуинтервале $(-\infty,-1]$. Таким образом, для всякого решения $y(\cdot)$ существуют такие $x^*$, $x_*\in\mathbb{R}$, $x^*>x_*$, что $\lim_{x\to x^*} y(x)=+\infty$, $\lim_{x\to x_*} y(x)=-\infty$, значит, $y(x_0)>M$ для некоторого $x_0\in(x_*,x^*)$, при этом решение $y(x)$ не является ограниченным при $x\leqslant x_0$. Теорема 3.1.6. 1. Пусть функции $\alpha_1$, $\alpha_2$ и решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) таковы, что выполнено условие (1.12), функция $\alpha_1$ монотонно возрастает на $[x_0,+\infty)$, $\alpha_1(x)<\alpha_2(x)$ при $x\geqslant x_0$ и $y_0=y(x_0)<\alpha_1(x_0)$. Тогда 2. Пусть $\alpha_2$ монотонно убывает на $[x_0,+\infty)$ и $y(\cdot)$ – такое решение уравнения (1.10), что $y_0=y(x_0)>\alpha_2(x_0)$. Тогда существует такое $x^*\in\mathbb{R}$, $x^*>x_0$, что
3. Пусть функции $\alpha_1$, $\alpha_2$ и решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10) таковы, что выполнено условие (1.12), функция $\alpha_1$ монотонно убывает на $[x_0,+\infty)$, функция $\alpha_2$ монотонно возрастает на $[x_0,+\infty)$ и $\alpha_1(x_0)<y_0=y(x_0)<\alpha_2(x_0)$. Тогда Заметим, что теорема 3.1.6 дополняет теорему из [40; с. 17]. Приведём пример, иллюстрирующий существенность условия “$\alpha_1$ монотонно возрастает на $[x_0,+\infty)$” в пункте 1 теоремы 3.1.6. Пример 4. Рассмотрим уравнение где и $\varepsilon\in(0,1)$, $\delta\in(0,+\infty)$. Для любых $\varepsilon\in(0,1)$, $\delta\in(0,+\infty)$ существуют такие $\xi_\varepsilon^\delta\in (\delta/2,\delta)$ и решение $y_\varepsilon^\delta$ последнего уравнения, определённое на $[0,+\infty)$, что Теорема 3.1.7. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$. I. Пусть $U_0(x)\geqslant 0$ на полуинтервале $[x_0,+\infty)$, $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx=\infty$ и $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое в точке $x_0$. Тогда $y(\cdot)$ не продолжается на $[x_0,+\infty)$ и если выполнено условие (1.12), то существует такое $x^*>x_0$, что $\lim_{x\to x^*-0}y(x)=+\infty$. II. Пусть $U_0(x)\geqslant 0$ на $[x_0,+\infty)$, $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx<\infty$, выполнено условие (1.12) и $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nonumber \min(y_0,m)\leqslant y(x)\leqslant\alpha(x),\qquad x\geqslant x_0, \\ y(x)-\alpha(x)\to 0\quad\textit{при}\ \ x\to+\infty \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и, более того, III. Пусть $U_0(x)< 0$ на $[x_0,+\infty)$, выполнено условие (1.12) и $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое в точке $x_0$. Тогда справедливы следующие утверждения: Заметим, что пункт I теоремы 3.1.7 усиливает утверждение следствия 1 [41; с. 240]. Приведём пример, иллюстрирующий существенность условия $U_0(x)\geqslant 0$, $x\geqslant x_0$ в пункте I теоремы 3.1.7. Пример 5. Рассмотрим уравнение на полуоси $[0,+\infty)$. Для этого уравнения $U_0(x)=-1/2<0$, $x\geqslant x_0$, интеграл $\displaystyle\int_{0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ расходится. При этом если для решения $y(\cdot)$ выполнено неравенство $y(0)\leqslant 1$, то $y(\cdot)$ продолжается на $[0,+\infty)$. Замечание 3. Пусть выполнено условие (1.12), $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$ при $x\geqslant x_0$. Тогда при $x\geqslant x_0$ условие $U_0(x)\,\mathop{\geqslant\!(<)}\,0$ равносильно условию $\alpha'(x)\,\mathop{\leqslant\!(>)}\,0$. Если $U_0(x)\geqslant 0$ для всех $x\geqslant x_0$, то условие $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\!\!\!U_0(x)\,dx=\infty$ равносильно условию $\lim_{x\to+\infty}\alpha(x)=-\infty$, а условие $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\!\!\!U_0(x)\,dx\kern-1pt < \kern-1pt \infty$ равносильно существованию конечного предела $\lim_{x\to+\infty}\alpha(x)$. Значит, в силу ограниченности $\alpha$, при $U_0(x)\geqslant 0$, $x\geqslant x_0$ выполнено условие $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\!\!\!U_0(x)\,dx <\infty$ и случай I теоремы 3.1.7 не реализуется. Теорема 3.1.8. Если $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое в окрестности $+\infty$, то сходимость (3.3) имеет место тогда и только тогда, когда Следствие 4. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $y(\cdot)$ – определённое в окрестности $+\infty$ решение уравнения (1.10). Тогда если для $y(\cdot)$ выполнено условие (3.3), то данное условие выполнено и для всех решений, определённых в окрестности $+\infty$. Следствие 5. Если $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$, $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$ при $x\geqslant x_0$ и $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое в окрестности $+\infty$, то сходимость (3.3) имеет место тогда и только тогда, когда Теорема 3.1.9. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $y(x)$ – решение уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: Приведём пример, иллюстрирующий существенность условия (3.3) в последней теореме. Пример 6. Рассмотрим функцию В таком случае $y(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}(r'(t)+r^2(t)-1)\,dt-r(x)$ – решение уравнения (1.10), определённое на $(-\infty,+\infty)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_{0}^{\infty}(y(x)-\alpha(x))^2\,dx=\int_{0}^{\infty}r^2(x)\,dx<\infty, \\ \alpha(x)-y(x)=r(x) \not\to 0\quad\text{при}\ \ x\to+\infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по теореме 3.1.9 получаем, что интеграл $\displaystyle\int_{0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ расходится. Следующая теорема дает критерии того, что соотношение (3.4) выполнено для некоторого решения $y(x)$ уравнения (1.10), определённого на $[x_0,+\infty)$, при условии, что $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$. Теорема 3.1.10. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $y(x)$ – решение уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: Следствие 6. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$. Если интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ расходится, причём существует конечный предел Следствие 7. Пусть выполнено условие (1.12), $x_0\in\mathbb{R}$ и $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$, $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$, $x\geqslant x_0$. 1. Если не существует такого $a\in\mathbb{R}$, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}|\alpha(t)-a|^2\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
то у уравнения (1.10) нет решений, определённых на $[x_0,+\infty)$. 2. Если существует такое $a\in\mathbb{R}$, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}|\alpha(t)-a|^2\,dt=0,
\end{equation*}
\notag
$$
и $y(x)$ – решение уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$, то и выполнено соотношение (3.4). Теорема 3.1.11. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и уравнение (1.10) имеет решения, определённые в окрестности $+\infty$. Тогда не более одного решения $y(\cdot)$, определённого на $[x_1,+\infty)$ для некоторого $x_1\geqslant x_0$, удовлетворяет условию В частности, не более одного решения $y(\cdot)$, определённого на $[x_1,+\infty)$ для некоторого $x_1\geqslant x_0$, удовлетворяет условию Приведём пример, показывающий, что первое “не более одного” в формулировке теоремы 3.1.11 нельзя заменить на “ровно одно” или “ни одного”. Также этот пример иллюстрирует существенность условия расходимости интеграла $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ в пункте I теоремы 3.1.7 и условия $U_0(x)\geqslant 0$, $x\geqslant x_0$, в пункте II той же теоремы. Пример 7. Рассмотрим уравнение где $k>1$. Имеем $\alpha(x)=\dfrac{k}{2x}$ , интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ сходится, у уравнения есть решения, определённые на $[x_0,+\infty)$, причём $y_*(x)=\dfrac{k-1}{x}$ – главное решение на $(x_0,+\infty)$, и справедливы следующие утверждения: 1) если $1<k<2$, то $U_0(x)>0$, $x\geqslant x_0$, $y_*(x)<k/(2x)=\alpha(x)$, $x\geqslant x_0$, и для любого решения $y$, определённого на $[x_1,+\infty)$, где $x_1\geqslant x_0$, интеграл $\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}(y(x)-\alpha(x))\,dx$ расходится; 2) если $k=2$, то $U_0(x)=0$, $x\geqslant x_0$, $y_*(x)=k/(2x)=\alpha(x)$, $x\geqslant x_0$, и 3) если $k>2$, то $U_0(x)<0$, $x\geqslant x_0$, $y_*(x)>k/(2x)=\alpha(x)$, $x\geqslant x_0$, при этом для любого решения $y$, определённого на $[x_1,+\infty)$, где $x_1\geqslant x_0$, интеграл $\displaystyle\int_{x_1}^{\infty}(y(x)-\alpha(x))\,dx$ расходится. Теорема 3.1.12. Пусть выполнено (1.12), $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$, $\alpha_1(x)<\alpha_2(x)$ при $x\geqslant x_0$, функция $\alpha_1(x)$ монотонно возрастает на $[x_0,+\infty)$ и $U_0(x)\geqslant 0$, $x\geqslant x_0$. Тогда интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ сходится и для всякого определённого на $[x_0,+\infty)$ решения $y(\cdot)$ уравнения (1.10) выполняется соотношение (3.4). Теорема 3.1.13. Пусть выполнено (1.12), $Q\kern-0.5pt\in\kern-0.5pt C^1 [x_0,+\infty)$, $\alpha_1(x_0)\kern-1pt<\alpha_2(x_0)$, функция $\alpha_1(x)$ монотонно убывает на $[x_0,+\infty)$, функция $\alpha_2(x)$ монотонно возрастает на $[x_0,+\infty)$ и $U_0(x)\geqslant 0$, $x\geqslant x_0$. Тогда интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ сходится и для всякого определённого на $[x_0,+\infty)$ решения $y(\cdot)$ уравнения (1.10) выполняется соотношение (3.4). 3.2. О структуре множества определённых в окрестности $+\infty$ решенийТеорема 3.2.1. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$. Если решения $y_3<y_2<y_1$ уравнения (1.10) определены в точке $x_0$, а решение $y_1$ определено на $[x_0,+\infty)$, то решения $y_3$, $y_2$ продолжаются на тот же промежуток, причём на нём функция $\dfrac{y_1(x)-y_3(x)}{y_1(x)-y_2(x)}\geqslant 1$ убывает и имеет при $x\to+\infty$ конечный предел, который в случае, когда $y_1$ – главное решение на $(x_0,+\infty)$, равен 1. Теорема 3.2.2. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и выполнено условие (1.12). Если решения $y_2<y_1$ уравнения (1.10) определены на $[x_0,+\infty)$ и имеют разные конечные пределы при $x\to+\infty$, то $y_1$ – главное решение на $(x_0,+\infty)$ и всякое решение $y$, определённое на $[x_0,+\infty)$ и отличное от $y_1$, имеет при $x\to+\infty$ тот же предел, что и $y_2$. Приведём пример, показывающий, что условие несовпадения пределов решений в теореме 3.2.2 является существенным. Пример 8. Пусть Теорема 3.2.3. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и выполнено условие (1.12). Если решения $y_2<y_1$ уравнения (1.10) определены на $[x_0,+\infty)$ и имеют конечные (возможно, совпадающие) пределы при $x\to+\infty$, то любое решение $y(\cdot)$ со значением $y(x_0)<y_1(x_0)$ продолжается на $[x_0,+\infty)$ и имеет при $x\to+\infty$ тот же предел, что и $y_2$. Замечание 4. Заметим, что в случае $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$ утверждения теорем 3.2.2 и 3.2.3 вытекают из следствия 7. 3.3. Асимптотика на $\pm\infty$ решений уравнения в условиях монотонного стремления к конечным пределам корней правой частиВ этой части (п. 3.3) будем предполагать, что
$$
\begin{equation*}
P,Q\in C^1(\mathbb{R}),\qquad \alpha_1 (x)<\alpha_2 (x),\quad x\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
существуют конечные пределы
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to\pm\infty}\alpha_j(x)=:\alpha_j^{\pm}\in\mathbb{R},\qquad j=1,2,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \text{найдется такое } A>0, \text{ что для любого } x\notin[-A,A] \\ \text{выполнены соотношения } \alpha'_1(x)\ne 0, \alpha'_2(x)\ne 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Как показано в работе [39], в таком случае все ограниченные решения являются стабилизирующимися, все стабилизирующиеся решения в окрестности $\infty$ имеют не обращающуюся в нуль производную и разбиваются на четыре типа (см. обсуждение после теоремы B в разделе 1 настоящей статьи). Теорема 3.3.1. Пусть $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$. Тогда существует такое решение $y_{\rm I}$ уравнения (1.10), что и существует не более одного такого решения $y$, что Теорема 3.3.1'. Пусть $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$. Тогда существует такое решение $y_{\rm II}$ уравнения (1.10), что и существует не более одного такого решения $y$, что Теорема 3.3.2. Пусть у уравнения (1.10) существует стабилизирующееся решение II типа. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Существует стабилизирующееся решение III типа $y_{\rm III}$. Причём если $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$, то такое решение единственно. Если $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$ и $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое в точке $x_0\in\mathbb{R}$, то
2. Существует стабилизирующееся решение I типа $y_{\rm I}$. Причём если $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$, то такое решение единственно. Если $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$ и $y(\cdot)$ – решение уравнения, определённое в точке $x_0\in\mathbb{R}$, то Заметим, что последняя теорема является усилением теоремы 2.1 [39]. Важным следствием теоремы 3.3.2 является следующая теорема. Теорема 3.3.3 (см. рис. 1). Если выполнены условия $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$, $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$, причём уравнение (1.10) имеет стабилизирующееся решение II типа, то существуют и единственны решения $y_{\rm I}$ и $y_{\rm III}$ соответственно I и III типов, причём для любого решения $y(\cdot)$ имеем: 1) если $y_{\rm I}<y<y_{\rm III}$, то $y(\cdot)$ – стабилизирующееся решение II типа; 2) если $y>y_{\rm III}$, то существует такое $x^*\in\mathbb{R}$, что $y(\cdot)$ продолжается на интервал $(-\infty,x^*)$ и 3) если $y<y_{\rm I}$, то существует такое $x_*\in\mathbb{R}$, что $y(\cdot)$ продолжается на интервал $(x_*,+\infty)$ и Теорема 3.3.4. Пусть $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$ и у уравнения (1.10) существует решение I типа. Тогда существует решение II типа. Заметим, что теорема 3.3.4 дополняет теорему 2.2 [39]. Теорема 3.3.4'. Пусть $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$ и у уравнения (1.10) существует решение III типа. Тогда существует решение II типа. Теорема 3.3.5. Пусть у уравнения (1.10) существуют стабилизирующиеся решения I и III типа. Тогда существует стабилизирующееся решение II типа. Последняя теорема усиливает теорему 2.3 [39]. Теорема 3.3.6. При условиях $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$, $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$ уравнение (1.10) имеет стабилизирующееся решение II типа тогда и только тогда, когда оно имеет стабилизирующиеся решения I и III типов. Теорема 3.3.7. При условиях $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$, $\alpha_1^-\ne \alpha_2^-$ для уравнения (1.10) верно ровно одно из следующих утверждений: Следующий пример показывает, что множество уравнений, для которых выполняется (a), непусто. Пример 9. Пусть $c_1,c_2\in\mathbb{R}$, $c_2>c_1$. Тогда при $0<\varepsilon<\dfrac{\sqrt{2e}}{8}(c_2-c_1)^2$ уравнение В следующем примере приводятся классы уравнений со свойствами (b) и (c). Пример 10. Пусть $k_0\in(0,16)$, $n_0\in\mathbb{N}$. Положим 1) существуют такие $k_0\in(0,16)$, $n_0\in\mathbb{N}$, что при $0<\varepsilon<\dfrac{\sqrt{2e}}{8}\biggl(1-\dfrac{k_0}{16}\biggr)^2$ функции
$$
\begin{equation*}
\alpha_{1,2}(x)=h_{k_0}^{n_0}(x)+\varepsilon e^{-x^2}\mp \frac{\sqrt{(g_{k_0}^{n_0}(x)-f_{k_0}^{n_0}(x))^2+8\varepsilon x e^{-x^2}}}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют условию $\alpha_1(x)<\alpha_2(x)$, $x\in\mathbb{R}$, и условиям (3.6) и (3.7), а уравнение (1.10) с соответствующими $\alpha_{1,2}$ реализует случай (b); 2) существуют такие $k_0\in(0,16)$, $n_0\in\mathbb{N}$, что при $0<\varepsilon<\dfrac{\sqrt{2e}}{8}\biggl(1-\dfrac{k_0}{16}\biggr)^2$ функции
$$
\begin{equation*}
\alpha_{1,2}(x)=h_{k_0}^{n_0}(x)+\varepsilon e^{-x^2}\mp \frac{\sqrt{(g_{k_0}^{n_0}(x)-f_{k_0}^{n_0}(x))^2+8\varepsilon x e^{-x^2}}}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют условию $\alpha_1(x)<\alpha_2(x)$, $x\in\mathbb{R}$, и условиям (3.6) и (3.7), а уравнение (1.10) с соответствующими $\alpha_{1,2}$ реализует случай (c). Замечание 5. Рассмотрим случай, когда в уравнении (1.10) 4. Доказательство основных результатов4.1. Продолжаемость и асимптотика решений в зависимости от расположения их начальных значений относительно корней правой части уравнения Доказательство теоремы 3.1.1. Случай 1: $y(x_0)<\beta(x_0)$. Предположим, что найдется такое $x_1>x_0$, что $y(x_1)\geqslant\beta(x_1)$. Тогда существует такое $c\in (x_0,x_1]$, что $y(c)=\beta(c)$. Не ограничивая общности, будем считать, что $c$ – самая левая из таких точек, значит, $y(x)<\beta(x)$ при $x\in[x_0,c)$. Тогда $y'(c)\geqslant\beta'(c)$. С другой стороны, из условия теоремы следует, что Получаем противоречие, которое доказывает теорему.
Случай 2: $y(x_0)=\beta(x_0)$. Имеем $y'(x_0)<\beta'(x_0)$. Следовательно, в некоторой правой полуокрестности точки $x_0$ выполнено неравенство $y(x)<\beta(x)$. Далее доказательство сводится к предыдущему случаю. Теорема доказана. Доказательство следствия 2. Положим
$$
\begin{equation*}
f(x,y):=y^2+Q(x)y+P(x)\quad\text{и}\quad \beta:=\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем По теореме Виета $\beta(x)=-Q(x)/2$. Тогда С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
f(x,\beta(x))=(\beta(x)-\alpha_1(x))(\beta(x)-\alpha_2(x))= -\frac{(\alpha_1(x)-\alpha_2(x))^2}{4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, неравенство $\beta'(x)>f(x,\beta(x))$ выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
-\frac{Q'(x)}{2}>-\frac{(\alpha_1(x)-\alpha_2(x))^2}{4}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно
$$
\begin{equation*}
Q'(x)<\frac{(\alpha_1(x)-\alpha_2(x))^2}{2}=\frac{D(x)}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, получилось, что свойство
$$
\begin{equation*}
Q'(x)<\frac{Q^2(x)}{2}-2P(x)\quad\text{ для всех } x\geqslant x_0
\end{equation*}
\notag
$$
имеет место тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\beta' (x)>f(x,\beta(x))\quad\text{ для всех } x\geqslant x_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Также имеем Итак, все условия теоремы 3.1.1 выполнены. Значит, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Следствие 2 доказано. Доказательство следствия 3. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U_0(x)=-2Y_0(x)&=-2\biggl[\frac{(\alpha_1(x)-\alpha_1(x))^2}{4}+ \frac{(\alpha_1(x)+\alpha_1(x))'}{2}\biggr] \\ &=-2\bigl[0+\alpha'_1(x)\bigr]=-2\alpha_1'(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, Также имеем
$$
\begin{equation*}
y(x_0)<\alpha_1(x_0)=\frac{\alpha_1(x_0)+\alpha_1(x_0)}{2}= -\frac{Q(x_0)}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, все условия следствия 2 выполнены. Значит, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Следствие 3 доказано. Обоснование замечания 1. Имеем Доказательство теоремы 3.1.2. Предположим, что существует такое $x_1>x_0$, что $y(x_1)<\min(y_0,m)$. Имеем таким образом, Тогда $y'(x)>0$ в некоторой окрестности точки $x_1$. В этой окрестности $y(x)$ строго убывает с уменьшением $x$.
Выберем такое $\widetilde{m}<m$, что $y(x_1)< \widetilde{m}$. Для всех $x\in \mathbb{R}$ имеем $\alpha_1(x)> \widetilde{m}$. Предположим, что существует такое $x_2\in [x_0,x_1)$, что $y(x_2)\geqslant\alpha_1(x_2)$. Получаем, что $y(x_2)>\widetilde{m}$, $y(x_1)<\widetilde{m}$. Тогда существует такое $\xi\in(x_2, x_1)$, что $y(\xi)=\widetilde{m}$. Выбрав самую правую такую точку, получаем $y'(\xi)\leqslant 0$. С другой стороны, из вида дифференциального уравнения имеем Получаем противоречие. Следовательно, наше предположение не является верным и $y(x)<\alpha_1(x)$ для всех $x\in [x_0,x_1]$. Тогда $y'(x)>0$ для всех $x\in [x_0, x_1]$. Таким образом, $y(x)$ строго монотонно возрастает на $[x_0, x_1]$. Отсюда получаем, что $y_0<y(x_1)$, что противоречит условию $y(x_1)<\min(y_0,m)$. Теорема доказана. Доказательство теоремы 3.1.3. Рассуждая как в доказательстве теоремы 3.1.2, легко показать, что в нашем случае выполнено неравенство $y'(x)>0$ при $x\in[x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Таким образом, $y(x)$ строго возрастает и $y(x) > M_1$, $y(x) > M_2$ при $x\in[x_0,b)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(y(x) - M_1)(y(x) - M_2)} \geqslant \frac{1}{(y(x)-\alpha_1(x))(y(x) - \alpha_2(x))}
\end{equation*}
\notag
$$
для $x\in[x_0,b)$. Так как $y'(x)>0$ при $x\in[x_0,b)$, то при таких $x$
$$
\begin{equation*}
\frac{y'(x)}{(y(x) - M_1)(y(x) - M_2)} \geqslant \frac{y'(x)}{(y(x) - \alpha_1(x))(y(x) - \alpha_2(x))}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, при $x\in[x_0,b)$, интегрируя неравенство от $x_0$ до $x$, получим
$$
\begin{equation*}
\psi(y):=\int_{y_0}^{y}{\frac{ds}{(s-M_1)(s-M_2)}} \geqslant x-x_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\psi(y)\leqslant \displaystyle\int_{y_0}^{\infty}\dfrac{ds}{(s-M_1)(s-M_2)}<\infty$, то решение нельзя продолжить вправо дальше точки $x_0+\displaystyle\int_{y_0}^{\infty}\dfrac{ds}{(s-M_1)(s-M_2)}$ . Таким образом, учитывая [38; следствие 3.1], получаем, что решение уходит на $+\infty$ не дальше, чем в этой точке. Теорема доказана. Доказательство теоремы 3.1.4. Действительно, решение $y(\cdot)$ является монотонно возрастающей функцией на своей области определения. Так как $y(x_0)>M\geqslant\alpha(x_0)$, то из следствия 3 и приводимого ниже замечания 6 вытекает, что $y(x)>\alpha(x)\geqslant m$ для $x\leqslant x_0$. Отсюда по теореме Вейерштрасса получаем, что $y\to m_1\geqslant m$ при $x\to -\infty$. Доказательство теоремы 3.1.5. Действительно, если $y(x_0)<\alpha(x_0)$ и решение $y(x)$ не пересекает кривую $y=\alpha(x)$ при $x\geqslant x_0$, то $y(x)<\alpha(x)$ при $x\geqslant x_0$. Тогда, в силу монотонности $y(\cdot)$, по теореме Вейерштрасса существует предел $\lim_{x\to +\infty}y(x)=:y_+\in\mathbb{R}$, откуда следует, что Если $y_+<\alpha_+$, то последний интеграл расходится, значит, $y_+=\alpha_+$ и Теорема доказана. Доказательство теоремы 3.1.6. Докажем пункт 1) теоремы. Покажем сначала, что $y(x)\leqslant \alpha_1(x)$, $x\in[x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Предположим противное, т. е. что существует такое $x_1>x_0$, что $y(x_1)>\alpha_1(x_1)$. Тогда существует такое $x_2\in(x_0,x_1)$, что $y(x_2)=\alpha_1(x_2)$. Можно в качестве $x_2$ выбрать самую правую такую точку и, не ограничивая общности, считать, что $y(x)>\alpha_1(x)$ при $x\in(x_2,x_1]$ и $y(x)<\alpha_2(x)$ при $x\in[x_2,x_1]$. Итак, при $x\in (x_2,x_1]$ имеем Отсюда, принимая во внимание вид исходного дифференциального уравнения, получаем, что $y'(x)<0$ при $x\in(x_2,x_1]$, а следовательно, $y(x)$ строго убывает на $[x_2,x_1]$. Тогда получаем, что $y(x_1)<y(x_2)$. Имеем Таким образом, мы пришли к неравенству $\alpha_1(x_1)<\alpha_1(x_2)$, что противоречит монотонности функции $\alpha_1(x)$. Следовательно, наше предположение неверно и $y(x)\leqslant \alpha_1(x)$, $x\in[x_0,b)$. Из последнего утверждения следует, что $y'(x)\geqslant 0$, $x\in[x_0,b)$, и $y(x)$ монотонно возрастает на $[x_0,b)$.
Теперь покажем, что $\lim_{x\to+\infty}y(x)=\lim_{x\to+\infty}\alpha_1(x)$. Согласно доказанному функция $y(x)$ при $x\in[x_0,b)$ ограничена сверху: $y(x)\leqslant\alpha_1(x)\leqslant M$, и возрастает. Следовательно, она имеет конечный предел Тогда $b=+\infty$. В силу монотонности и ограниченности $\alpha_1(x)$ существует конечный предел $\lim_{x\to+\infty}\alpha_1(x)=\alpha_1^+\geqslant a$.Имеем
$$
\begin{equation*}
y(x)=y_0+\int_{x_0}^x y'(x)\,dx,\qquad x\geqslant x_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, Далее,
$$
\begin{equation*}
(\alpha_1(x)-y(x))^2\leqslant (\alpha_1(x)-y(x))(\alpha_2(x)-y(x))=y'(x),\qquad x\geqslant x_0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}(\alpha_1(x)-y(x))^2\,dx<\infty$. Значит, $a=\alpha_1^+$.
Докажем пункт 2). В силу монотонности $\alpha_2$ имеем $\alpha_2(x)\leqslant \alpha_2(x_0)$ для всех $x\geqslant x_0$. Значит, учитывая, что $y(x_0)>\alpha_2(x_0)$, по теореме 3.1.3 получаем, что существует такое $x^*>x_0$, что $y(\cdot)$ строго монотонно возрастает на $[x_0,x^*)$ и Также из монотонности $y(\cdot)$ получаем $y(x)\geqslant y(x_0)>\alpha_2(x_0)\geqslant\alpha_2(x)$, $x>x_0$.Докажем пункт 3). Сначала покажем, что $y(x)<\alpha_2(x)$, $x\in[x_0,b)$, где $b=\sup\operatorname{dom}y$. Выберем такое число $c$, что $c\in(y_0,\alpha_2(x_0))$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\alpha_2(x)\geqslant\alpha_2(x_0)>c>y_0,\qquad x\in[x_0,b).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что существует такое $x_1>x_0$, что $y(x_1)\geqslant \alpha_2(x_1)>c$. Имеем $y(x_0)<c$, $y(x_1)>c$. Значит, существует такое $\xi\in(x_0,x_1)$, что $y(\xi)=c<\alpha_2(\xi)$. Не ограничивая общности, выберем самое левое такое $\xi$. Тогда $y'(\xi)\geqslant 0$. С другой стороны, $y'(\xi)=(c-\alpha_1(\xi))(c-\alpha_2(\xi))<0$. Получаем противоречие. Следовательно, $y(x)<\alpha_2(x)$, $x\in[x_0,b)$.
Заметим, что $y(x)\geqslant \alpha_1(x)$ при $x\in[x_0,b)$. Доказательство данного неравенства можно провести аналогично доказательству неравенства $y(x)\leqslant \alpha_1(x)$ при $x\in[x_0,b)$ в пункте 1). Итак, $\alpha_1(x)\leqslant y(x)<\alpha_2(x)$, $x\in[x_0,b)$, т. е. функция $y(x)$ ограничена и монотонно убывает при $x\in[x_0,b)$. Отсюда, рассуждая так же, как в пункте 1), с учетом неравенства $(\alpha_2(x)-y(x))(y(x)-\alpha_1(x)) \geqslant (\alpha_2(x_0)-y_0)(y(x)-\alpha_1(x))$, $x\in[x_0,b)$, получаем, что $b=+\infty$ и Теорема доказана. Замечание 6. Проведем в уравнении (1.10) следующую замену переменной: Тогда уравнение примет вид Лемма 4.1. Пусть выполнено условие (1.12), и пусть $y(\cdot)$ – решение уравнения (1.10), определённое на $(a,b)$. Тогда: Доказательство. Пункт 1) вытекает из следствия 3.1 [38] и теоремы 3.1.2. Пункт 2) следует из пункта 1) и замечания 6. Лемма доказана. Теперь применим некоторые результаты работы [47]. В [47] исследуются дифференциальные уравнения вида где $G(x,r)$ и $q(x)$ – непрерывные функции при $-\infty<r<+\infty$, $0\leqslant x<\omega$ $(\,\leqslant +\infty$). В некоторых результатах работы [47] используется дополнительное предположение о выпуклости функции $G(x,r)$ по переменной $r$. Легко видеть, что во всех рассуждениях и теоремах работы [47] можно заменить начальную точку $0$ на произвольную $x_0$. Нас будет интересовать случай, когда $G(x,r)=r^2$. В этом случае получается уравнение Риккати специального вида: Заметим теперь, что на самом деле уравнение вида (1.10) в случае, когда функция $\alpha$ дифференцируема, может быть приведено к виду (4.3) с помощью последовательности замен
$$
\begin{equation*}
z=y-\frac{1}{2}(\alpha_1(x)+\alpha_2(x)),\qquad r=-z.
\end{equation*}
\notag
$$
Первая замена дает (см. [39]) следующее уравнение: Вторая замена приводит уравнение к виду или, что то же самое, Из предложения 2.2 [47] для уравнения (4.5) вытекает утверждение следующей леммы. Лемма 4.2. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $U_0(x)\geqslant 0$ для всех $x\geqslant x_0$. Более того, пусть выполнено условие Тогда никакое решение $y(\cdot)$ уравнения (1.10), определённое в точке $x_0$, не продолжается на $[x_0,+\infty)$, а если выполнено условие (1.12), то всякое решение $y(\cdot)$ уходит на $+\infty$ в конечной точке $x^*=x^*(y)>x_0$. Доказательство. Возьмём миноранту $m(r)=G(x,r)=r^2$. В случае уравнения (4.5) Если предположить, что у уравнения (1.10) существует решение $y(x)$, определённое на $[x_0,+\infty)$, то для уравнения (4.5) таким решением будет
$$
\begin{equation*}
r(x)=-\biggl(y-\frac{1}{2}(\alpha_1(x)+\alpha_2(x))\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по предложению 2.2 [47] получаем Таким образом, мы пришли к противоречию, что, учитывая лемму 4.1, доказывает нашу лемму. Пусть выполнено условие (1.12), $Q\in C^1[x_0,+\infty)$ и $U_0(x)<0$ для всех $x\geqslant x_0$. Опираясь на следствие 2, проведем исследование поведения решения уравнения (1.10) в зависимости от расположения начального значения. Случай I: $y_0=y(x_0)\leqslant \alpha(x_0)=(\alpha_1(x_0)+\alpha_2(x_0))/2$. По следствию 2 и теореме 3.1.2 решение ограничено при $x\in[x_0,b)$, где $b$ – правый конец максимального интервала существования решения $y(\cdot)$:
$$
\begin{equation*}
\min(y_0,m)\leqslant y(x)<\alpha(x),\qquad x\in[x_0,b).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из леммы 4.1 получаем, что $y(x)$ продолжается на $[x_0,+\infty)$. Случай II: $y_0=y(x_0)>\alpha(x_0)$. Условие $U_0(x)<0$, $x\geqslant x_0$, можно записать следующим образом: $\alpha'(x)>(\alpha(x)-\alpha_1(x))(\alpha(x)-\alpha_2(x))$. Поэтому при $x\geqslant x_0$ имеются две возможности:
Рассмотрим случай II.2b). Оценим значение $x^*$. Обозначим $f(x,y):=(y-\alpha_1(x))(y-\alpha_2(x))$. Имеем $\alpha'(x)>f(x,\alpha(x))$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, y'(x)&=f(x,y(x))=f(x,\alpha(x))+[f(x,y(x))-f(x,\alpha(x))] \\ &=f(x,\alpha(x))+\biggl[f(x,y(x))-\frac{\alpha_2-\alpha_1}{2}\, \frac{\alpha_1-\alpha_2}{2}\biggr] \\ &=f(x,\alpha(x))+\biggl[y^2-(\alpha_1(x)+\alpha_2(x))y+ \alpha_1\alpha_2+\frac{(\alpha_1-\alpha_2)^2}{4}\biggr] \\ &=f(x,y)+\biggl[y^2-(\alpha_1(x)+\alpha_2(x))y+\alpha_1\alpha_2+ \frac{\alpha_1^2}{4}+\frac{\alpha_2^2}{4}-\frac{\alpha_1\alpha_2}{2}\biggr] \\ &=f(x,\alpha)+\biggl[y^2-(\alpha_1(x)+\alpha_2(x))y+ \frac{(\alpha_1+\alpha_2)^2}{4}\biggr] \\ &=f(x,\alpha)+\biggl[y-\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\biggr]^2= f(x,\alpha)+(y(x)-\alpha(x))^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
y'(x)=f(x,\alpha)+(y(x)-\alpha(x))^2<\alpha'(x)+(y(x)-\alpha(x))^2,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. Обозначая $\beta(x):=y(x)-\alpha(x)$, получаем При этом известно, что $\beta(x_0)=y(x_0)-\alpha(x_0)>0$. Пусть $\gamma(x)$ – решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \gamma'(x)=\gamma^2(x), \\ \gamma(x_0)=y(x_0)-\alpha(x_0). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем $\beta(x)<\gamma(x)$. Разделив переменные, проинтегрировав и подставив начальные условия, получим
$$
\begin{equation*}
\gamma(x)=\biggl(\frac{1}{y(x_0)-\alpha(x_0)}-(x-x_0)\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\beta(x)<\gamma(x)=\biggl(\frac{1}{y(x_0)-\alpha(x_0)}- (x-x_0)\biggr)^{-1},\qquad x>x_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, для $x^*$ получаем оценку Обобщая проведённые рассуждения, получаем следующий результат. Лемма 4.3. Пусть выполнено условие (1.12), $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $U_0(x)< 0$ для всех $x\geqslant x_0$, и пусть $y(\cdot)$ – решение уравнения, определённое в точке $x_0$, $y(x_0)=y_0$. Тогда: Из предложения 2.2 [47] и теоремы 3.1.2 вытекает следующая лемма. Лемма 4.4. Пусть выполнено условие (1.12), $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $U_0(x)\geqslant 0$ для всех $x\geqslant x_0$, причём Тогда решения $y(x)$ уравнения (1.10), определённые на $[x_0,+\infty)$ (если такие есть), удовлетворяют соотношениям В частности, если для $y(x)$ выполнено неравенство $y_0=y(x_0)> \alpha(x_0)$, то $y(x)$ уходит на $+\infty$ в конечной точке $x^*>x_0$. Замечание 7. Если $U_0(x)<0$ для всех $x\geqslant x_0$, то решение уравнения (1.10) может иметь с $\alpha(x)$ не более одной точки пересечения при $x\geqslant x_0$. Из предложения 2.3 [47] вытекает утверждение следующей леммы. Лемма 4.5. Пусть $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$, интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\!\!U_0(x)\,dx$ сходится, $y(x)$ – определённое на $[x_0,+\infty)$ решение уравнения (1.10). Тогда выполнены соотношения (3.4) и (3.3). Доказательство. Имеем $r(x)=\alpha(x)-y(x)$ – определённое на $[x_0,+\infty)$ решение уравнения (4.5). Тогда по предложению 2.3 [47] и Лемма доказана. Из лемм 4.2–4.5 следует утверждение теоремы 3.1.7. Обоснование замечания 3. Достаточно заметить, что а интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\alpha'(x)\,dx$, т. е. $\alpha(x)$ имеет конечный предел при $x\to +\infty$. Из предложения 2.4 [47] для уравнения (1.10) вытекает утверждение теоремы 3.1.8. Применяя теорему 3.1.8 при $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$, $x\geqslant x_0$, получим следствие 5. Лемма 4.6. Пусть $Q\in C^1[x_0,+\infty)$. Если существует такое решение $y(x)$ уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$, что выполнены соотношения (3.4) и (3.3), то интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ сходится. Доказательство. Имеем $r(x)=\alpha(x)-y(x)$ – такое определённое на полуинтервале $[x_0,+\infty)$ решение уравнения (4.5), что и Перенесём в (4.5) в правую часть всё, кроме производной, и проинтегрируем от $x_0$ до $x$: откуда следует, что Переходя к пределу при $x\to+\infty$, получаем, что интеграл $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}U_0(x)\,dx$ сходится. Лемма доказана. Из лемм 4.5 и 4.6 следует теорема 3.1.9. Из предложения 2.5 [47] и доказательства леммы 7.1 [38; гл. XI, п. 7] следует теорема 3.1.10. Рассмотрим случай, когда выполнено условие (1.12), $Q\in C^1 [x_0,+\infty)$ и $\alpha_1(x)=\alpha_2(x)=\alpha(x)$ при $x\geqslant x_0$. В этом случае утверждение 4) теоремы 3.1.10 равносильно утверждению
$$
\begin{equation*}
\lim_{T\to+\infty}\,\frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}|\alpha(t)-a|^2\,dt =0\quad\text{для некоторого }a\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}\biggl|c- \frac{1}{2}\int_{x_0}^{t}U_0(s)\,ds\biggr|^2\,dt&= \frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}\biggl|c+ \int_{x_0}^{t}\alpha'(s)\,ds\biggr|^2\,dt \\ &=\frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}|\alpha(t)-(\alpha(x_0)-c)|^2\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}\,dt\biggl(\int_{x_0}^{t}U_0(s)\,ds\biggr)&= \frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}\,dt\biggl(-2\int_{x_0}^{t}\alpha'(s)\,ds\biggr) \\ &=-\frac{2}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}(\alpha(t)-\alpha(x_0))\,dt \\ &=-\frac{2}{T-x_0}\biggl[\int_{x_0}^{T}\alpha(t)\,dt-\alpha(x_0)(T-x_0)\biggr] \\ &=-2\biggl[\frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T}\alpha(t)\,dt-\alpha(x_0)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, утверждение 3) теоремы 3.1.10 равносильно условию
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{T\to+\infty}\biggl[\frac{1}{T-x_0} \int_{x_0}^{T}\alpha(t)\,dt\biggr]<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $\alpha(x)$ – ограниченная функция, значит, последнее утверждение о верхнем пределе верно. Таким образом, из теоремы 3.1.10 получаем, что если существует решение $y(x)$ уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$, то утверждения 1)–4) теоремы 3.1.10 являются верными. Значит, условия 1) и 4) являются необходимыми для существования решения $y(x)$, определённого на полуинтервале $[x_0,+\infty)$. Пусть теперь $\displaystyle\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{T-x_0}\int_{x_0}^{T} |\alpha(t)-a|^2\,dt=0$ для некоторого $a\in\mathbb{R}$ и существует решение $y(x)$ уравнения (1.10), определённое на $[x_0,+\infty)$. Тогда утверждение 1) верно и существует конечный предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to+\infty}y(x)=y(x_0)+\int_{x_0}^{\infty}(y(t)-\alpha(t))^2\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая равенство $a=\alpha(x_0)-c$ и формулу для $c$, получаем, что Отсюда вытекает утверждение следствия 7. Предложение 3.2 [47] для уравнения (1.10) доказывает теорему 3.1.11. Замечание 8. Пусть $Q\in C^1[x_0,+\infty)$. Заметим, что при $x_1\geqslant x_0$ Теоремы 3.1.12 и 3.1.13 доказываются посредством совместного применения теорем 3.1.6 и 3.1.7. 4.2. О структуре множества определённых в окрестности $+\infty$ решенийЗамечание 9. Пусть $Q\in C^1[x_0,\omega)$. Если существует решение $y(\cdot)$, определённое на $[x_0,\omega)$, то главное решение на $(x_0,\omega)$ будет определено на всем этом интервале. Так как в случае $y_*(x)\to -\infty$, $x\to x_0+0$, нарушится неравенство $y(x)\leqslant y_*(x)$, $x\in(x_0,\omega)$, то случай $y_*(x)\to -\infty$, $x\to x_0+0$, невозможен. Тогда по лемме 4.1 главное решение $y_*(x)$ продолжается на $[x_0,\omega)$. Таким образом, из леммы 2.1 вытекает следующий результат. Следствие 8. Пусть $x_0<\omega\leqslant\infty$ и $Q\in C^1 [x_0,\omega)$. Будем рассматривать решения уравнения (1.10), определённые в точке $x_0$. Предположим, что среди них существует решение, определённое на $[x_0,\omega)$. Тогда существует такое решение $y_*(x)$ (главное), определённое на $[x_0,\omega)$, что если $y(x)$ – решение, определённое на $(x_0,\omega)$, то $y(x)\leqslant y_*(x)$, $x\in(x_0,\omega)$. Лемма 4.7. Пусть $x_0<\omega\leqslant\infty$, $Q\in C^1 [x_0,\omega)$ и существует хотя бы одно решение уравнения (1.10), определённое на $[x_0,\omega)$. Тогда существует такое решение $y_*(x)$ (главное), определённое на $[x_0,\omega)$, что если $y(x)$ – решение, определённое в точке $x_0$, то Доказательство. Утверждение 2) верно в силу следствия 8. Докажем утверждение 1). Имеем на пересечении области определения $y(x)$ и полуинтервала $[x_0,\omega)$. Тогда для любого $x_0<x^*<\omega$ такого, что $y(x)$ определено на $[x_0, x^*)$, решение $y(x)$ ограничено сверху на $[x_0,x^*)$. Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 3.1.2, можно показать, при $x\in[x_0,x^*)$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
y(x)\geqslant \min\Bigl(y(x_0),\min_{x\in [x_0,x^*]}\alpha_1(x)\Bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $y(x)$ ограничено снизу на $[x_0,x^*)$. Итак, уходить на бесконечность в конечной точке $x^*<\omega$ решение $y(x)$ не может. Тогда, согласно следствию 3.1 [38] решение $y(x)$ продолжается на весь полуинтервал $[x_0,\omega)$. Лемма доказана. Из леммы 4.2 [47] и теоремы 4.2 [47] вытекает утверждение следующей леммы. Лемма 4.8. Пусть $Q\in C^1[x_0,\omega)$, а $y_3(x)<y_2(x)<y_1(x)$ – различные решения уравнения (1.10), определённые на общем интервале $(x_0,\omega)$. Тогда функция $\dfrac{y_1(x)-y_3(x)}{y_1(x)-y_2(x)}$ больше или равна 1 и убывает на указанном интервале. В частности, существует конечный предел Более того, если $y_1(x)=y_*(x)$, то этот предел равен $1$. Доказательство. Имеем $r_1(x)<r_2(x)<r_3(x)$ – решения уравнения (4.5), определённые на общем интервале $(x_0,\omega)$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, r_1(x)&=\alpha(x)-y_1(x), \\ r_2(x)&=\alpha(x)-y_2(x), \\ r_3(x)&=\alpha(x)-y_3(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 4.3 [47] функция $\dfrac{r_3(x)-r_1(x)}{r_2(x)-r_1(x)}$ больше или равна 1 и убывает на указанном интервале. В частности, существует конечный предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to\omega-0}\frac{r_3(x)-r_1(x)}{r_2(x)-r_1(x)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, Если же $y_1(x)=y_*(x)$, то $r_1(x)=r_*(x)$, и по теореме 4.2 получаем Лемма доказана. Из лемм 4.7 и 4.8 следует теорема 3.2.1. Лемма 4.9. Пусть $Q\in C^1[x_0,+\infty)$ и выполнено условие (1.12). Если два решения уравнения (1.10) определены на $[x_0,+\infty)$ и имеют разные конечные пределы при $x\to+\infty$, то любое решение, определённое на $[x_0,+\infty)$, также имеет конечный предел при $x\to+\infty$. Доказательство. Пусть $y_1>y_2$ – два решения уравнения (1.10), определённые на $[x_0,+\infty)$ и имеющие разные конечные пределы при $x\to+\infty$. Пусть $y(\cdot)$ – решение, определённое на $[x_0,+\infty)$ и отличное от $y_1$ и $y_2$. Обозначим
Случай 1: $y(x_0)>y_1(x_0)$. По теореме 3.2.1 функция $(y-y_1)/(y-y_2)$, монотонно возрастая, при $x\to+\infty$ стремится к $d\in\mathbb{R}$, $d\leqslant 1$. Таким образом, где $\beta(x)$ монотонно возрастает при $x\geqslant x_0$ и $\beta(x)=\bar{o}(1)$, $x\to+\infty$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y-y_1=(y-y_2)d+(y-y_2)\beta(x), \\ y-y_1=y d-y_2 d+y\beta(x)-y_2\beta(x), \\ (1-d-\beta(x))y=y_1-y_2(d+\beta(x)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
Если $d<1$, то
$$
\begin{equation*}
y(x)\to\frac{a-bd}{1-d}\in\mathbb{R},\qquad x\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $d=1$, то
$$
\begin{equation*}
y(x)=\frac{y_1(x)-y_2(x)(1+\beta(x))}{-\beta(x)}= \frac{y_1(x)-y_2(x)}{-\beta(x)}+y_2(x)\to+\infty,\qquad x\to+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что невозможно в силу теоремы 3.1.3.
Случай 2: $y_2(x_0)\kern-0.5pt<\kern-0.5pty(x_0)\kern-0.5pt<\kern-0.5pty_1(x_0)$. По теореме 3.2.1 функция $(y_1- y_2)/(y_1- y)$, монотонно убывая, при $x\to+\infty$ стремится к $d\in\mathbb{R}$, $d\geqslant 1$, значит, функция $(y_1-y)/(y_1-y_2)$, монотонно возрастая, при $x\to+\infty$ стремится к $1/d\in\mathbb{R}$, $1/d\leqslant 1$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} y_1-y&=(y_1-y_2)\biggl(\frac{1}{d}+\bar{o}(1)\biggr),&\qquad x&\to+\infty, \\ y&=y_1+(y_2-y_1)\biggl(\frac{1}{d}+\bar{o}(1)\biggr),&\qquad x&\to+\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
y(x)\to a-\frac{a-b}{d}\in\mathbb{R},\qquad x\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 3: $y_1(x_0)<y_2(x_0)$. По теореме 3.2.1 функция $(y_1-y)/(y_1-y_2)$, монотонно убывая, при $x\to+\infty$ стремится к $d\in\mathbb{R}$, $d\geqslant 1$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
y(x)=y_1(x)-(y_1(x)-y_2(x))(d+\bar{o}(1))\to a-(a-b)d\in\mathbb{R},\qquad x\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, во всех возможных случаях решение $y(x)$ имеет конечный предел при $x\to+\infty$. Лемма доказана. Из леммы 4.9 и формул для предела решения $y(\cdot)$ в случаях 2 и 3 при $d=1$ вытекает следующий результат. Лемма 4.10. Пусть $Q\in C^1[x_0,+\infty)$ и выполнено условие (1.12). Если решения $y_2<y_1$ уравнения (1.10) определены на $[x_0,+\infty)$ и имеют разные конечные пределы при $x\to+\infty$, причём $y_1$ – главное решение на $(x_0,+\infty)$, то всякое решение $y$, определённое на $[x_0,+\infty)$ и отличное от $y_1$, имеет при $x\to+\infty$ тот же предел, что и $y_2$. Доказательство теоремы 3.2.2. По лемме 4.9 главное на $(x_0,+\infty)$ решение $y_*(x)$ имеет конечный предел при $x\to+\infty$. Если решение $y_1$ не является главным на $(x_0,+\infty)$, то $y_2(x)<y_1(x)<y_*(x)$ при $x\geqslant x_0$. В таком случае по лемме 4.10 решения $y_1(x)$ и $y_2(x)$ имеют одинаковые пределы при $x\to+\infty$, что противоречит условию теоремы. Значит, решение $y_1$ является главным на $(x_0,+\infty)$. Тогда по лемме 4.10 всякое решение $y$, определённое на $[x_0,+\infty)$ и отличное от $y_1$, имеет при $x\to+\infty$ тот же предел, что и $y_2$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 3.2.3. Если то утверждение теоремы следует из теоремы 3.2.2.
Предположим, что Заметим, что при доказательстве теоремы 3.2.2 в случаях 2 и 3 условие $a\ne b$ не использовалось. Тогда, учитывая приведённые там формулы для предела решения $y(x)$ при $x\to+\infty$, получаем утверждение теоремы 3.2.3.4.3. Асимптотика на $\pm\infty$ решений уравнения в условиях монотонного стремления к конечным пределам корней правой частиИз теоремы 3.2.1 вытекает следующий результат. Лемма 4.11. Пусть $\alpha_1^+\ne \alpha_2^+$, и пусть $y_{\rm I}<y_{\rm II}$ – два ограниченных решения уравнения (1.10), определённых в точке $x_0$, причём Пусть $y(x)$ – решение уравнения (1.10). Тогда: Доказательство. Докажем пункт 1). Так как решение $y(x)$ ограничено сверху определённым на $[x_0,+\infty)$ решением, то оно, учитывая лемму 4.1, продолжается на $[x_0,+\infty)$ и ограничено. Значит, оно удовлетворяет условию (2.5) (см. [39; утверждение 2.4]). Следовательно, предел $y(x)$ равен $\alpha_1^+$ или $\alpha_2^+$. Далее рассмотрим по отдельности случаи $y(x_0)>y_{\rm I}(x_0)$ и $y(x_0)<y_{\rm I}(x_0)$.
Если $y(x_0)>y_{\rm I}(x_0)$, то по теореме 3.2.1
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{y_{\rm II}(x)-y_{\rm I}(x)}{y_{\rm II}(x)-y(x)}= d\in\mathbb{R},\qquad d\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\lim_{x\to+\infty}y(x)\ne \alpha_2^+$, так как в противном случае выполнялось бы соотношение $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{y_{\rm II}(x)-y_{\rm I}(x)}{y_{\rm II}(x)-y(x)}=+\infty$. Таким образом, $\lim_{x\to+\infty}y(x)=\alpha_1^+$.
Если $y(x_0)<y_{\rm I}(x_0)$, то $y(x)<y_{\rm I}(x),\:x\geqslant x_0$. Тогда $\lim_{x\to+\infty}y(x)\ne \alpha_2^+$. Таким образом, $\lim_{x\to+\infty}y(x)=\alpha_1^+$. Итак, в любом случае $\lim_{x\to+\infty}y(x)=\alpha_1^+$. Докажем пункт 2). Предположим противное, т. е. что решение $y(x)$ продолжается на $[x_0,+\infty)$. Тогда $y(x)>y_{\rm II}(x)$, $x\geqslant x_0$, значит, $\lim_{x\to+\infty}y(x)\ne \alpha_1^+$. Поэтому $\lim_{x\to+\infty}y(x)=\alpha_2^+$. Получаем, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{y(x)-y_{\rm I}(x)}{y(x)-y_{\rm II}(x)}=+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит теореме 3.2.1. Следовательно, наше предположение было неверным и $y(x)$ уходит на $+\infty$ в конечной точке $x^*\geqslant x_0$. Лемма доказана. Далее, имеет место следующий результат. Лемма 4.12. Пусть $\alpha_{1,+}\ne\alpha_{2,+}$. Тогда у уравнения (1.10) существует такое решение $y_1$, определённое в окрестности $+\infty$, что Доказательство. Фиксируем произвольно $\varepsilon$ такое, что Тогда существует такое $x_0=x_0(\varepsilon)\in\mathbb{R}$, что для всех $x\geqslant x_0$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
|\alpha_1(x)-\alpha_{1,+}|<\varepsilon,\quad |\alpha_2(x)-\alpha_{2,+}|<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим такое решение $y_1$, определённое в точке $x_0$, что Тогда $\alpha_{1,+}+\varepsilon<y_1(x_0)<\alpha_{2,+}-\varepsilon$. Имеем Предположим, что существует $\hat{x}>x_0$, для которого $y_1(\hat{x})\geqslant y_1(x_0)$. Тогда $\hat{x}>x_0+\delta$, так как в противном случае в силу монотонности $y_1$ на $[x_0,x_0+\delta]$ имеем $y_1(\hat{x})< y_1(x_0)$. Пусть $y_1(\hat{x})> y_1(x_0)$. Тогда Значит, существует такое $\xi\in(x_0+\delta,\hat{x})$, что $y_1(\xi)=y_1(x_0)$.
Итак, если существует такое $\hat{x}>x_0$, что $y_1(\hat{x})\geqslant y_1(x_0)$, то существует такое $\xi>x_0$, что $y_1(\xi)=y_1(x_0)$. Не ограничивая общности, будем считать, что $\xi$ – самая левая такая точка. Тогда $y'_1(\xi)\geqslant 0$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\alpha_1(\xi)<\alpha_{1,+}+\varepsilon<y_1(x_0)= y_1(\xi)<\alpha_{2,+}-\varepsilon<\alpha_2(\xi) \quad\Longrightarrow\quad y'_1(\xi)< 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем противоречие. Следовательно, наше предположение неверно и для всякого $x>x_0$, где определено решение $y_1$, выполнено неравенство $y_1(x)<y_1(x_0)$. Значит, $y_1$ – ограниченное при $x\geqslant x_0$ решение. Тогда (см. [39]) $y_1$ удовлетворяет (2.5) и либо $\lim_{x\to+\infty}y_1(x)=\alpha_{1,+}$, либо $\lim_{x\to+\infty}y_1(x)=\alpha_{2,+}$. Последнее невозможно, так как при $x\geqslant x_0$ Значит, и $y_1$ – требуемое решение. Лемма доказана. Из леммы 4.12 и замечания 6 вытекает следующий результат. Лемма 4.12'. Пусть $\alpha_{1,-}\ne\alpha_{2,-}$. Тогда у уравнения (1.10) существует такое решение $y_1$, определённое в окрестности $-\infty$, что Из лемм 4.12 и 4.11 следует теорема 3.3.1. Из теоремы 3.3.1 и замечания 6 вытекает утверждение теоремы 3.3.1'. Из [39; теорема 2.1 и замечание 2.3] и теорем 3.3.1 и 3.3.1' следует усиление теоремы 2.1 работы [39] – теорема 3.3.2. Из последней теоремы, в свою очередь, следует теорема 3.3.3. Доказательство теоремы 3.3.4. Пусть $\alpha_{1,-}=\alpha_{2,-}$. Тогда решение I типа является решением II типа.
Пусть теперь $\alpha_{1,-}\ne\alpha_{2,-}$. По теореме 2.2 работы [39] существует стабилизирующееся решение не I типа. 1. Пусть существует решение II типа. В этом случае утверждение теоремы сразу же доказано. 2. Пусть существует решение III типа. Тогда по теореме 3.3.1 получаем, что решение III типа $y_{\rm III}$ единственно, а решения IV типа нет. Аналогично, по теореме 3.3.1' получаем, что решение I типа $y_{\rm I}$ единственно, а решения IV типа нет. Таким образом, всякое решение $y(x)$ с начальным значением $y(0)$ таким, что $y_{\rm I}(0)<y(0)<y_{\rm III}(0)$, является стабилизирующимся решением II типа. 3. Предположим, что существует решение IV типа $y_{\rm IV}$. Обозначим $y_{\rm I}$ решение I типа. Имеем
$$
\begin{equation*}
y_{\rm I}(x)\to\alpha_{1,-},\quad y_{\rm IV}(x)\to\alpha_{1,-}
\end{equation*}
\notag
$$
при $x\to-\infty$.
С другой стороны, по лемме 4.12' существует такое решение $y_1$, что при $x\to-\infty$. Получаем противоречие с теоремой 3.3.1'. Следовательно, наше предположение неверно и решения IV типа не существует.Теорема доказана. Аналогичным образом при помощи леммы 4.12 доказывается теорема 3.3.4'. Доказательство теоремы 3.3.5. Случай $\alpha_{1,+}\ne \alpha_{2,+}$, $\alpha_{1,-}\ne \alpha_{2,-}$ разобран в пункте 2 доказательства теоремы 3.3.4.
Если $\alpha_{1,-}=\alpha_{2,-}$, то всякое решение I типа есть решение II типа (и наоборот). Если $\alpha_{1,+}=\alpha_{2,+}$, то всякое решение III типа есть решение II типа (и наоборот). Теорема доказана. Непосредственно из теоремы 3.3.3 и пункта 2 доказательства теоремы 3.3.4 вытекает теорема 3.3.6. Доказательство теоремы 3.3.7. Если у уравнения (1.10) есть решение I типа, то, применяя теорему 3.3.4, получаем, что справедливо утверждение (a). Пусть у уравнения нет решений I типа. Тогда по теореме 3.3.6 у него нет решений II типа. Предположим, что при этом у уравнения есть решение III типа. Тогда, применяя теорему 3.3.4', получаем, что существует решение II типа. Имеем противоречие, значит, решений III типа нет. Итак, если стабилизирующееся решение существует, то оно IV типа. В таком случае из теоремы 3.3.1 и леммы 4.12 получаем, что стабилизирующееся решение единственно и справедливо утверждение (b). Если стабилизирующихся решений нет, то получаем утверждение (c). Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AstNik24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|