| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Формулы Вороного и задача Гаусса Д. А. Попов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии им. А. Н. Белозерского
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10162e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПусть $A(x)$ – число целых точек в круге радиуса $\sqrt{x}$ . Величина $P(x)$ (остаточный член в проблеме круга) определяется равенством Проблема круга (проблема Гаусса) состоит в доказательстве оценки
$$
\begin{equation}
P(x)=O(x^{1/4+\varepsilon})\quad \forall\,\varepsilon>0\quad (x \to \infty).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Под задачей Гаусса ниже понимается общая задача исследования свойств величины $P(x)$ при $x \to \infty$. Величину $A(x)$ можно записать в виде где $r(n)$ – число представлений целого числа $n$ в виде суммы квадратов двух целых чисел. Таким образом, $P(x)$ – кусочно линейная функция, имеющая разрывы первого рода при $x=n$, где $n$ таково, что $r(n) \ne 0$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, r(n) \leqslant \overline{r}(n)\quad (n \geqslant n_0),\qquad \overline{r}(x)=\exp\biggl\{\frac{\ln x}{\ln_2 x}\biggr\}, \\ \ln_k(n)=\underbrace{\ln\ln \ldots\ln}_k(n). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4}
$$
В работах по аналитической теории чисел задача Гаусса, как правило, рассматривается вместе с задачей Дирихле и задачей исследования свойств величины $E(T)$. В задаче Дирихле речь идет о свойствах величины $\Delta(x)$, определяемой из соотношения где $\gamma$ – постоянная Эйлера и
$$
\begin{equation}
D(x)=\sum_{n \leqslant x} d(n)\qquad (d(n)-\text{ число делителей } n).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Величина $E(T)$ определяется из соотношения
$$
\begin{equation*}
\int_0^T\biggl|\zeta\biggl(\frac{1}{2}+it\biggr)\biggr|^2\,dt= T\ln\frac{T}{2\pi}+(2\gamma-1)T+E(T),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\zeta(\,\cdot\,)$ – дзета-функция Римана. Между тремя указанными задачами имеется глубокая связь, благодаря которой большинство результатов, полученных в одной из них, без труда переносятся на две другие. Проблема Дирихле (проблема делителей) и соответствующая проблема для $E(T)$ состоят в доказательстве оценок
$$
\begin{equation}
\Delta(x)=O(x^{1/4+\varepsilon}),\quad E(T)=O(T^{1/4+\varepsilon})\qquad (T \to \infty).
\end{equation}
\tag{7}
$$
В настоящей работе рассматривается величина $P(x)$. Это объясняется тем, что задача Гаусса тесно связана с рядом других задач, включая следующие:
В исследованиях о задаче Гаусса можно выделить два направления. Основной целью работ первого направления является последовательное усиление оценок вида
$$
\begin{equation}
P(x)=O(x^{\theta+\varepsilon})\quad \forall\,\varepsilon>0\quad (x \to \infty).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Рассмотрим кратко общую схему этих работ. На первом этапе задача сводится к оценке тригонометрических сумм. Это делается с помощью формул Вороного, Ландау (см. главу I) или элементарных формул вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P(x)&=-8\sum_{1\leqslant j\leqslant \sqrt{x/2}} \psi(\sqrt{x-j^2}\,)+O(1), \\ \Delta(x)&=-2\sum_{n\leqslant \sqrt{x}}\psi\biggl(\frac{x}{n}\biggr)+O(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi(x)=x-[x]-1/2$ ($[x]$ – целая часть $x$). Далее используется оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sum_{a\leqslant n\leqslant b}\psi(f(n)) \ll NJ^{-1}+ \sum_{1\leqslant j\leqslant J}j^{-1}\biggl|\,\sum_{a\leqslant n\leqslant b} e^{2\pi ij f(n)}\biggr| \\ (N \leqslant a<b\leqslant 2N) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и величина $J$ выбирается в зависимости от $N$ и вида функции $f$. Полученные тригонометрические суммы оцениваются с помощью различных вариантов метода Ван дер Корпута или метода Бомбьери–Иванца. Исследования, относящиеся к первому направлению, имеют длинную историю. К 1986 г. с помощью двумерного варианта метода Ван дер Корпута оценка (8) была доказана при В 1986 г. был предложен новый метод оценок тригонометрических сумм (метод Бомбьери–Иванца). В 1988 г. с помощью этого метода оценка (8) была доказана при Дальнейшее развитие метода Бомбьери–Иванца позволило немного улучшить эту оценку, и в 2023 г. оценка (8) была доказана при Нижней границей метода Бомбьери–Иванца, по-видимому, являетсяЦелью работ, которые мы относим ко второму направлению, является исследование различных свойств величины $P(x)$ с помощью формул Вороного. Сложные методы оценок тригонометрических сумм при этом не используются. Получаемые результаты позволяют установить связь оценок величины $|P(x)|$ с различными характеристиками поведения этой величины при $x \to \infty$, что может послужить источником новых подходов к проблеме Гаусса. Кроме того, эти результаты могут найти применение в указанных выше задачах теории чисел и спектральной теории. Из усеченной формулы Вороного легко следует оценка (8) при $\theta=1/3$. Оценки (8) при $\theta\geqslant 1/3$ будем называть тривиальными. Вопрос о возможности доказательства нетривиальной оценки (8) (при $\theta \leqslant 1/3-\delta$, $\delta>0$) без использования оценок тригонометрических сумм остается открытым. А. А. Карацуба считал, что это невозможно. Все известные результаты подтверждают это утверждение. Цель настоящей работы – дать замкнутое и достаточно полное изложение результатов, касающихся различных свойств величины $P(x)$. Таким образом, представленные ниже результаты относятся ко второму направлению. Все эти результаты получены с помощью формул Вороного. Доказательству формул Вороного посвящена глава I. Остановимся подробнее на ее содержании. Формула Вороного
$$
\begin{equation}
P(x)=\sqrt{x}\,\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{\sqrt{j}}\, J_1(2\pi \sqrt{jx}\,)
\end{equation}
\tag{9}
$$
($x$ отлично от целого $n$ такого, что $r(n) \ne 0$, и $J_\nu(\,\cdot\,)$ – функция Бесселя) была открыта в 1905 г. Рассуждения, приведшие Вороного к этой формуле, не являются строгими, и сам автор отмечал, что для строгого обоснования нужны новые идеи. Нетрудно доказать, что для любой достаточно гладкой и быстро убывающей функции $g(x)$ ($x \in \mathbb{R}_+$) имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{n=0}^\infty r(n)g(n)=\pi\sum_{n=0}^\infty r(n)\int_0^\infty g(t) J_0(2\pi \sqrt{nt}\,)\,dt.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Эту формулу мы будем называть регуляризованной формулой Вороного. Если формально применить (10) в случае
$$
\begin{equation*}
g(t)=\begin{cases} 1, & t \leqslant x, \\ 0, & t>x, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
то получится формула Вороного. Первое строгое доказательство формулы Вороного (9) было получено Г. Харди в 1916 г. Это доказательство не является простым и включает ссылку на тонкую теорему Рисса об аналитических свойствах некоторых рядов Дирихле. С тех пор появилось несколько различных доказательств формулы Вороного, и все они непростые. Приведенное в разделе 4 доказательство лежит целиком в рамках действительного анализа и основано на формуле Ландау (раздел 2) и тождестве Ландау–Харди (раздел 3). Это доказательство позволяет исследовать характер сходимости ряда в правой части (9) и описать явления Гиббса, возникающие при $x=n$, где $n$ таково, что $r(n) \ne 0$. Для приложений в формуле Вороного (9) необходимо заменить ряд конечной суммой. Это можно сделать с помощью формулы Перрона. Обозначим через $\zeta_k(s)$ производящий ряд Дирихле для последовательности величин $r(n)$:
$$
\begin{equation}
\zeta_k(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{r(n)}{n^s}\,,\qquad s=\sigma+it,\quad \sigma>1.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Согласно формуле Перрона
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{1}{2}\bigl(A(x+0)+A(x-0)\bigr)=\frac{1}{2\pi i} \int_{b-i\infty}^{b+i\infty}\zeta_k(s)x^s\,\frac{ds}{s}\,, \\ \notag b>1,\quad s=\sigma+it. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Нужный нам вариант усеченной формулы Перрона доказан в приложении A. В этой формуле интеграл по прямой $\sigma=b$ в (12) заменяется на интеграл по отрезку $\sigma=b$, $|t|<T$. Обозначение $\zeta_k(s)$ для суммы в правой части (11) связано с тем, что $\zeta_k(s)$ – дзета-функция Дедекинда поля (напомним, что $z \in \mathbb{Q}(i)$, если $z=x+iy$, $x,y \in \mathbb{Q})$. Кольцо целых $\mathbb{Z}(i) \subset \mathbb{Q}(i)$ (кольцо гауссовых целых чисел $z \in \mathbb{Z}(i)$, $z=x+iy$, $x,y \in \mathbb{Z}$) является кольцом главных идеалов. Целые идеалы $\mathfrak u$ поля $\mathbb{Q}(i)$ взаимно однозначно связаны с элементами $z \in \mathbb{Z}(i)$ такими, что $x^2+y^2=n$, $r(n) \ne 0$. Так как норма $N(\mathfrak u)$ идеала $\mathfrak u=\mathfrak u(z)$ равна $x^2+y^2$, то Согласно арифметике кольца $\mathbb{Z}(i)$
$$
\begin{equation}
r(n)=4\sum_{d|n}\chi_4(d)=4\bigl(d_1(4k+1)-d_1(4k+3)\bigr),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $d_1(4k+1)$ – число делителей $n$ вида $4k+1$, а $d_1(4k+3)$ – число делителей $n$ вида $4k+3$ и
$$
\begin{equation}
\chi_4(d)=\begin{cases} 1, & d \equiv 1\!\!\!\pmod{4}, \\ -1, & d \equiv 3\!\!\!\pmod{4}, \\ 0, & d-\text{ четное}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{15}
$$
– нетривиальный характер Дирихле по модулю 4. Из (14) и (11) следует, что
$$
\begin{equation}
\zeta_k(s)=4\zeta(s)L(s|\chi_4)\qquad (k=\mathbb{Q}(i)).
\end{equation}
\tag{16}
$$
В этой формуле $\zeta(\,\cdot\,)$ – это дзета-функция Римана, а $L(s|\chi_4)$ – это $L$-функция Дирихле, отвечающая характеру $\chi_4$, т. е.
$$
\begin{equation}
L(s|\chi_4)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_4(s)}{n^s}\,,\qquad s=\sigma+it,\quad \sigma>1.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Заметим, что оценка (4) величины $r(n)$ следует из равенства (14). С помощью формулы Перрона доказывается усеченная формула Вороного, согласно которой
$$
\begin{equation}
P(x)=-\frac{x^{1/4}}{\pi}\sum_{n=1}^N \frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{nx}+\frac{\pi}{4}\biggr)+\Delta_NP(x),
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_NP(x) \ll \frac{x^{1/2+\varepsilon}}{\sqrt{N}}+N^\varepsilon\quad \forall\,\varepsilon>0.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Подчеркнем, что именно усеченная формула Вороного является основой для исследования свойств величины $P(x)$. Доказательство усеченной формулы Вороного (18) приведено в разделе 5. При этом будет получено уточнение оценки (19). Производящий ряд Дирихле для величины $d(n)$ – это квадрат дзета-функции Римана:
$$
\begin{equation*}
\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s}\,,\qquad s=\sigma+it,\quad \sigma>1.
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с формулой Перрона имеем
$$
\begin{equation*}
\frac12(D(x+0)+D(x-0))=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-i\infty}^{b+i\infty} \zeta^2(s)x^s\,\frac{ds}{s}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и усеченная формула Вороного для величины $\Delta(x)$ (5) имеет вид
$$
\begin{equation}
\Delta(x)=\frac{x^{1/4}}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=1}^N \frac{d(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(4\pi\sqrt{nx}-\frac{\pi}{4}\biggr)+\Delta_N(\Delta(x)),
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_N(\Delta(x)) \ll \frac{x^{1/2+\varepsilon}}{\sqrt{N}}+N^\varepsilon\quad \forall\,\varepsilon>0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Сравнение формул (18) и (20) показывает, что все результаты, полученные на основе усеченной формулы Вороного для $\Delta(x)$, переносятся на $P(x)$, и наоборот. Остановимся кратко на содержании глав II и III. В главе II рассматриваются оценки некоторых величин, характеризующих поведение $P(x)$ на длинных интервалах. Интервал $I \subset [0,2T]$ называется длинным, если его длина $|I|$ удовлетворяет условию $|I|>CT$. В разделе 6 рассматривается асимптотика при $T \to \infty$ моментов Подробно рассмотрены только первый и второй моменты. Результаты о высших моментах приведены без доказательств.В разделе 7 доказана классическая $\Omega$-оценка, согласно которой Более сильные, современные результаты приведены без доказательств.В разделе 8 речь идет о переменах знака величины $P(x) \pm ax^{1/4}$ ($a>0$). В разделе 9 без доказательств приведены современные результаты о распределении значений величины $x^{-1/4}P(x)$. В главе III рассматриваются величины, связанные с поведением $P(x)$ на коротких интервалах. Интервал $I \subset [0,2T]$ называется коротким, если верна двусторонняя оценка $|I|\asymp CT^\beta$, $\beta<1$. Наибольший интерес представляет случай $\beta=1/2$. Результаты, изложенные в главе III, касаются связи оценок рассматриваемых величин с интересующими нас оценками $|P(x)|$. В разделе 10 рассматриваются локальные средние $E_k(T,H)$ величин $P^k(x)$, а именно при $k=1,2,4,6$.В разделе 11 доказывается теорема, позволяющая (при некоторых предположениях) получить оценки величины $|P(x)|$, если известны подходящие оценки величин $E_k(T,H)$. В разделе 12 рассматриваются свойства интеграла Ютилы при различных ограничениях на величины $U$, $H$. Представленные результаты являются обобщением и уточнением классического результата Ютилы.В разделе 13 рассматривается модифицированный интеграл Ютилы
$$
\begin{equation*}
Q_{\rm M}(T,U,H)=\int_{T}^{T+H}\max_{0\leqslant v\leqslant U} \bigl(P(x+v)-P(x)\bigr)^2\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В разделе 14 содержится ряд результатов, связывающих оценки величин $|P(x)-P(x)|$ ($0<x<U$) с оценкой величины $|P(T)|$. В заключительном разделе 15 представлены современные результаты о поведении $P(x)$ на длинном интервале $[T,2T]$. Эти результаты дают решение проблемы Гаусса на некотором множестве $V \subset [T,2T]$ полной меры $\mu\{V\}>CT$ ($C<1$). На основе этих результатов сформулирована гипотеза о структуре множества $S$, на котором $|P(x)|>CT^{1/4}$ ($S \subset [T,2T]$). Проведенный численный эксперимент (см. замечания в конце главы III) подтверждает эту гипотезу. В конце работы сформулирован ряд задач и гипотез, а также приведены два приложения. В приложении A доказывается нужный нам вариант усеченной формулы Перрона. В приложении B доказывается общая теорема, позволяющая получить (при определенных условиях) поточечную оценку функции, если известны подходящие оценки ее локальных моментов. В тексте используются стандартные обозначения. Формулы вида $f(x)\ll q(x)$ или $f(x)=O(q(x))$ ($q(x)>0$) означают, что $|f(x)|<Cq(x)$ при $x>x_0$ и величины $C$, $x_0$ могут быть явно указаны. Через $\varepsilon$ обозначается любая величина $\varepsilon>0$, которую можно выбрать сколь угодно малой. Оценка вида $f(x)=O(x^{\alpha+\varepsilon})$ ($f(x) \ll x^{\alpha+\varepsilon}$) означает, что $|f(x)|<C(\varepsilon)x^{\alpha+\varepsilon}$. Введение и каждая глава заканчиваются замечаниями. Все ссылки на литературу с короткими комментариями вынесены в эти замечания. Замечания1. Литературными источниками, в которых рассматриваются задачи Гаусса и Дирихле, могут служить книги [1]–[5]. С более современными результатами можно ознакомиться по обзорам [6], [7]. 2. Оценка (4) следует из доказанной в [8] асимптотической оценки
$$
\begin{equation*}
r(n) \leqslant \exp\biggl\{\ln 2\,\frac{\ln n}{\ln\ln n}+ O\biggl(\frac{\ln n \ln_3 n}{(\ln_2 n)^2}\biggr)\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Метод Бомбьери–Иванца был предложен в работе [9]. Современное изложение методов Ван дер Корпута и Бомбьери–Иванца содержится в книге [10]. Метод Бомбьери–Иванца изложен также в книге [11], где рассмотрено его применение в задачах о числе целых точек внутри выпуклых контуров в $\mathbb{R}^2$. 4. Оценкам (8) посвящено большое количество работ. Приведенные выше оценки доказаны в [12]–[14]. 5. Формула Вороного (в ее обобщенном варианте) опубликована в работе [15] (см. там же комментарий Ю. В. Линника к этой работе). Г. Харди доказал формулу Вороного в работе [16]. 6. Доказательство усеченной формулы Вороного для величины $\Delta(x)$ содержится в работах [2], [3]. 7. Все нужные сведения о кольцах целых алгебраических чисел и дзета-функциях Дедекинда можно найти в книгах [17], [18]. Выражаю глубокую благодарность М. А. Королеву за помощь и поддержку. Глава I. Формулы Вороного1. Регуляризованная формула ВороногоВ этом разделе доказывается формула (10) и рассматриваются ее связи с формулой Вороного (9) и спектральной теорией. Теорема 1. Пусть функция $g$, определенная на $[0,\infty]$, непрерывна, ограничена и Тогда имеет место регуляризованная формула Вороного при условии, что ряд в правой части этого равенства сходится. Доказательство. Запишем двумерную формулу Пуассона в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S_1=S_2, \\ \notag S_1:=\sum_{n\in \mathbb{Z}^2}f(n),\qquad S_2:=\sum_{n\in \mathbb{Z}^2}\widehat{f}(2\pi n),\qquad n=(n_1,n_2),\quad n_i\in \mathbb{Z}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat{f}(\omega)=\int_{\mathbb{R}^2} e^{i\langle \omega,x\rangle}f(x)\,dx, \\ \notag x=(x_1,x_2),\quad \omega=(\omega_1,\omega_2),\quad \langle \omega,x\rangle=\omega_1 x_1+\omega_2 x_2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Для справедливости формулы (1.3) достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) функция $f$ ограничена и непрерывна; 2) $|f(x)|=O(|x|^{-1-\delta})$ ($\delta>0$, $|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ ); 3) ряд $S_2$ сходится. Рассмотрим случай $f(x)=g(|x|^2)$. Тогда $S_1=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty g(n)r(n)$ и этот ряд сходится в силу (1.1). Переходя к полярным координатам $x=s\eta$, $s=|x|$, $\eta=(\cos\varphi,\sin\varphi)$ и используя равенство
$$
\begin{equation*}
\int_0^{2\pi}e^{i\langle a,\eta\rangle}\,d\varphi=2\pi J_0(|a|),\qquad a=(a_1,a_2),
\end{equation*}
\notag
$$
получим, что $\widehat{f}(2\pi n)= \pi\displaystyle\int_0^\infty g(t^2)J_0(2\pi nt)t\,dt$ и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
S_2=\sum_{j=0}^\infty r(j)\int_0^\infty g(t) J_0(2\pi\sqrt{jt}\,)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условия 3) ряд $S_2$ сходится, и равенство (1.2) следует из (1.3), если положить $f(x)=g(|x|^2)$. Теорема 1 доказана. На формальном уровне формула Вороного (9) прямо следует из (1.2). Достаточно выбрать
$$
\begin{equation*}
g(r)=\begin{cases} 1, & r \leqslant \sqrt{x}\,, \\ 0, & r > \sqrt{x}\,, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
и учесть, что Наводящим соображением для строгого доказательства формулы Вороного послужило равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty r(n)e^{-s\sqrt{n}}=2\pi s \sum_{j=0}^\infty \frac{r(j)}{(s^2+4\pi^2 j)^{3/2}}\,,\qquad s=\sigma+it,\quad \sigma>0,
\end{equation*}
\notag
$$
следующее из (1.2) при $g(x)=e^{-s\sqrt{x}}$. Используем формулу Перрона, согласно которой если
$$
\begin{equation}
f(s)=\sum_n a_n e^{-\lambda_ns}\quad\text{и}\quad \lambda_n<\omega<\lambda_{n+1},\quad s=\sigma+it,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
то
$$
\begin{equation}
\sum_{\lambda_n<\omega}a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} f(s)e^{\omega s}\,\frac{ds}{s}\qquad (\sigma>c>0).
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Полагаем $f(s)=\displaystyle\sum_n r(n)e^{-s\sqrt{n}}$ и формально меняем порядок интегрирования и суммирования. После этого достаточно заметить, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{e^{\mu s}}{(s^2+1)^{3/2}}\,ds=J_1(\mu),
\end{equation*}
\notag
$$
чтобы получить формулу Вороного. Рассмотрим $f(s)=\displaystyle\sum_n r(n)e^{-sn}$. Используя равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty e^{-\alpha x}J_0(\beta x)\,dx&= \alpha^{-1}e^{-\beta^2/(4\alpha)}, \\ \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}s^{-\nu} e^{X s-y^2/(4s)}\,\frac{ds}{s}&=\frac{2^\nu X^{\nu/2}}{y^\nu}\, J_\nu(y\sqrt{x}\,) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и рассуждая так же, как выше, снова получим формулу Вороного. Регуляризованная формула Вороного и задача Гаусса имеют естественную интерпретацию в рамках спектральной теории. Рассмотрим замкнутое двумерное многообразие $M$ с римановой метрикой $g$. Оператор Лапласа $D=D(g)$ отрицательно определен и имеет чисто дискретный спектр ($D\varphi_n=-\lambda_n \varphi_n$, $\lambda_n \geqslant 0$). Обозначим через $N(x)$ число собственных значений $\lambda_n$ таких, что $\lambda_n \leqslant x$, и рассмотрим формулу Вейля Пусть $M$ – плоский тор $\mathbb{T}^2$ (квадрат со стороной $2\pi$, отождествленными противоположными сторонами и евклидовой метрикой). Тогда $D=\partial_x^2+\partial_y^2$, $\lambda_n=l^2+m^2$ ($l,m \in \mathbb{Z}$), $\varphi_n(x,y)=e^{i(lx+my)}$ и $r(n)$ – кратность собственного значения $\lambda_n$. В этом случае в формуле Вейля (1.7) Оператор $D$ не является ядерным и не имеет следа. Ядерным является оператор $f(D)$, если функция $f(x)$ достаточно быстро убывает при $x \to \infty$, и тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(D)\varphi(x)&=\int_{\mathbb{T}^2}K(x,w)\varphi(w)\,d\mu(w), \\ f(D)\varphi_n&=f(\lambda_n)\varphi_n\quad (\mu- \text{ инвариантная мера на $\mathbb{T}^2$}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Оператор $f(D)$ имеет след
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr}f(D)=\sum_{n=0}^\infty f(\lambda_n),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
и справедлива формула следа
$$
\begin{equation}
\operatorname{Tr}f(D)=\sum_{n=0}^\infty r(n)f(n)= \int_{\mathbb{T}^2}K(z,z)\,d\mu(z).
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Можно показать, что
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{T}^2}K(z,z)\,d\mu(z)=\pi\sum_{n=0}^\infty r(n) \int_0^\infty g(t)J_0(2\pi \sqrt{nt}\,)\,dt.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Таким образом, регуляризованная формула Вороного – это формула следа (1.11) для оператора $f(D)$ на $\mathbb{T}^2$. Теперь становится очевидной аналогия регуляризованной формулы Вороного с формулой Сельберга, которая следует из формулы следа для оператора Лапласа на $\Gamma \setminus H$, где $\Gamma$ – кокомпактная группа движений плоскости Лобачевского $H$. Эта аналогия заходит достаточно далеко. В частности, существует аналог формулы Вороного для второго члена в формуле Вейля (1.7). 2. Формула ЛандауФормула Ландау получается, если формально проинтегрировать от 0 до $x$ почленно ряд в правой части формулы Вороного (9). В этом разделе будет дано независимое от формулы Вороного доказательство формулы Ландау, исходным пунктом для которого является следующий вариант формулы Пуассона:
$$
\begin{equation}
\sum_{-\beta \leqslant n \leqslant \beta}f(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \int_{-\beta}^\beta f(t)\cos(2\pi kt)\,dt.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Предполагается, что заданная на $[-\beta,\beta]$ функция $f$ – четная, имеет ограниченную вариацию и непрерывна в точках $t=n \in \mathbb{Z}$. Введем обозначение Теорема 2. Имеет место формула Ландау, согласно которой и ряд в правой части этого равенства сходится абсолютно и равномерно при $x>1$. Доказательство. Рассмотрим величину и определим величину $\Phi(x,u)$ равенством Тогда
К сумме (2.5) применим формулу (2.1). Получим, что
$$
\begin{equation*}
\Phi(x,u)=\sum_{b=-\infty}^{+\infty}\int_{\sqrt{x-u^2}}^{\sqrt{x+u^2}} \cos(2\pi bv)\cos(x-u^2-v^2)\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим это выражение в равенство (2.6) и еще раз применим (2.1). Тогда где
$$
\begin{equation*}
Q(x,a,b)=\int_{u^2+v^2 \leqslant x}\cos(2\pi au) \cos(2\pi bv)(x-u^2-v^2)\,du\,dv.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что и докажем, что
$$
\begin{equation}
Q(x,a,b)=\frac{x}{\pi}\, \frac{J_2(2\pi \sqrt{x}\,\sqrt{a^2+b^2}\,)}{a^2+b^2}\,.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Для этого запишем величину $Q(x,a,b)$ в виде где
$$
\begin{equation}
P(u,a,b)=\int_{u^2+v^2 \leqslant y} \cos\bigl(2\pi (au+bv)\bigr)\,dy\,dv.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Перейдем в интеграле (2.11) от переменных $(u,v)$ к переменным $(\xi,\eta)$:
$$
\begin{equation*}
\xi=\frac{au+bv}{\sqrt{a^2+b^2}}\,,\qquad \eta=\frac{-bu+av}{\sqrt{a^2+b^2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
J_1(z)=\frac{2z}{\pi}\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,\cos(zy)\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
получим равенство
$$
\begin{equation}
P(x,a,b)=\sqrt{\frac{x}{a^2+b^2}}\,J_1(2\pi \sqrt{x}\, \sqrt{a^2+b^2}\,),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
Q(x,a,b)=\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\int_0^{\sqrt{x}} t^2J_1(2\pi t\,\sqrt{a^2+b^2}\,)\,dt.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Равенство (2.9) вытекает из (2.13), так как Подставляя (2.9) в (2.7) и учитывая равенство (2.8), имеем
$$
\begin{equation}
Q(x)=\frac{\pi}{2}\,x^2+\frac{x}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n}\, J_2(2\pi\sqrt{nx}\,).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Нужный результат (2.3) следует из (2.14), так как Абсолютная и равномерная при $x>1$ сходимость ряда в правой части (2.3) следует из оценок
$$
\begin{equation}
J_1(t) \leqslant \frac{C}{\sqrt{t}}\,,\quad t>1;\qquad r(n)=O(n^\varepsilon).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Теорема 2 доказана. 3. Тождество Ландау–ХардиВ этом разделе будет доказано, что величина $P(x)$ удовлетворяет соотношению, которое ниже называется тождеством Ландау–Харди. Наряду с формулой Ландау, это тождество является основой приведенного в разделе 4 доказательства формулы Вороного. Введем величины $\overline{A}(x)$, $\overline{P}(x)$ и $P_X(x)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overline{A}(x)&=\frac{1}{2}\bigl(A(x+0)+A(x-0)\bigr), \\ \overline{P}(x)&=\overline{A}(x)-\pi x, \\ P_X(x)&=\sqrt{x}\,\sum_{1 \leqslant n \leqslant X} \frac{r(n)}{\sqrt{n}}\,J_1(2\pi \sqrt{nx}\,). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Теорема 3 (тождество Ландау–Харди). Для любых $x>0$ и $X>0$ имеет место тождество Доказательство. Рассмотрим сумму
$$
\begin{equation}
S_X(x):=\sqrt{x}\,\sum_{0\leqslant n \leqslant X} \frac{r(n)}{\sqrt{n}}\,J_1(2\pi \sqrt{nx}\,)=\pi x+P_X(x).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Последнее равенство следует из того, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n \to 0}\frac{J_1(2\pi\sqrt{nx}\,)}{\sqrt{n}}=\pi\sqrt{x}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Применим формулу Абеля (формулу частичного суммирования), согласно которой
$$
\begin{equation}
S_X(x)=\sum_{0\leqslant n \leqslant X}r(n)f(n)=A(X)f(X)- \int_0^XA(\xi)\, \frac{d}{d\xi}\,f(\xi)\,d\xi.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В рассматриваемом случае
$$
\begin{equation*}
f(\xi)=\sqrt{\frac{x}{\xi}}\,J_1(2\pi \sqrt{n\xi}\,),
\end{equation*}
\notag
$$
используя равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dz}\,\frac{J_1(z)}{z}=-\frac{1}{z}\,J_2(z),\quad J_1(z)=-\frac{d}{dz}\,J_0(z),\quad zJ_2(z)=J_1(z)-z\,\frac{d}{dz}\,J_1(z),
\end{equation*}
\notag
$$
получим, что
$$
\begin{equation}
S_X(x)=1-J_0(2\pi\sqrt{Xx}\,)+P(X)\sqrt{\frac{x}{X}}\,J_1(2\pi \sqrt{Xx}\,)+ B(x,X),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
B(x,X)=\pi x\int_0^X P(\xi)\, \frac{1}{\xi}\,J_2(2\pi \sqrt{\xi x}\,)\,d\xi.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим величину $B(x,X)$. Так как $P(\xi)=dP_1(\xi)/d\xi$, то, интегрируя по частям и используя формулу Ландау (2.3), имеем
$$
\begin{equation}
B(x,X)=\frac{\pi x}{X}\,J_2(\pi\sqrt{Xx}\,)P_1(X)- x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j}\int_0^X \xi J_2(2\pi \sqrt{j\xi}\,)\, \frac{d}{d\xi}\,\frac{J_2(2\pi \sqrt{\xi x}\,)}{\xi}\,d\xi.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dz}\,\frac{J_2(z)}{z^2}=-\frac{1}{z^2}\,J_3(z),
\end{equation*}
\notag
$$
то интеграл в правой части (3.6) можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\int_0^X \xi J_2(2\pi \sqrt{j\xi}\,)\,\frac{d}{d\xi}\, \frac{J_2(2\pi \sqrt{\xi x}\,)}{\xi}\,d\xi= -\int_0^{2\pi \sqrt{Xx}} J_2\biggl(z\sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Это позволяет заключить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_X(x)&=1-J_0(2\pi \sqrt{Xx}\,)+ P(X)J_1(2\pi \sqrt{Xx}\,)\sqrt{\frac{x}{X}} \\ &\qquad+\frac{\pi x}{X}\,J_2(2\pi \sqrt{Xx}\,)P_1(X)+\Sigma(X,x) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
и в этой формуле
$$
\begin{equation*}
\Sigma(X,x)=x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j}\int_0^{2\pi\sqrt{Xx}} J_2\biggl(z\sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty J_2\biggl(z\sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz=\begin{cases} j/x, & j<x, \\ 1/2, & j=x, \\ 0, & j>x. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma(X,x)&=x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j}\int_0^\infty J_2\biggl(z\sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz \\ &\qquad-x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j}\int_{2\pi \sqrt{Xx}}^\infty J_2\biggl(z\sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Sigma(X,x)&=x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j}\begin{cases} j/x, & j<x, \\ 1/2, & j=x, \\ 0, & j>x, \end{cases} \\ &\qquad-x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j} \int_{2\pi\sqrt{Xx}}^\infty J_2\biggl(z\sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Подставляя (3.8) в (3.7), получим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \overline{A}(x)&=\pi x+P_X(x) +J_0(2\pi \sqrt{Xx}\,) \\ \notag &\qquad+P(X)\sqrt{\frac{x}{X}}\,J_1(2\pi \sqrt{Xx}\,)+ \frac{\pi x}{X}\,P_1(X)J_2(2\pi \sqrt{Xx}\,) \\ &\qquad-x\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j}\int_{2\pi \sqrt{Xx}}^\infty\, J_2\biggl(2\pi \sqrt{\frac{j}{x}}\,\biggr)J_3(z)\,dz, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
и тождество Ландау–Харди (3.2) теперь следует из определения (3.1) величины $\overline{P}(x)$. Теорема 3 доказана. 4. Формула ВороногоВ этом разделе будет доказана формула Вороного (9) (см. введение) и указан характер сходимости ряда в правой части этой формулы. Теорема 4 (формула Вороного). Для любого $x>1$ имеет место равенство Если
$$
\begin{equation}
P(x)=O(x^\gamma),\qquad \frac{1}{4}<\gamma \leqslant \frac{1}{2}\,,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
то для всех $N \geqslant 3$ и $x \geqslant 3$
$$
\begin{equation}
\overline{P}(x)=\sqrt{x}\,\sum_{j=1}^N\frac{r(j)}{\sqrt{j}}\, J_1(2\pi \sqrt{jx}\,)+\Delta(N,x)
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
и при этом
$$
\begin{equation}
\Delta(N,x)\ll\frac{1}{N^{1/4}x^{1/4}}+\frac{x^{3/4}}{N^{3/4-\gamma}}+ \begin{cases} 0, & x=n, \\ \overline{r}(x) \min\biggl\{1,\dfrac{\sqrt{x}}{\delta\sqrt{N}}\biggr\}, & x \ne n, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где величина $\overline{r}(x)$ определена в (4) и $\delta=\|x\|$ – расстояние от $x$ до ближайшего целого $n$ такого, что $r(n) \ne 0$. Доказательство. Из тождества Ландау–Харди (3.2) при $X=N$ следует, что
$$
\begin{equation}
\overline{P}(x)=\sqrt{x}\sum_{1 \leqslant n \leqslant N}\frac{r(n)}{\sqrt{n}}\, J_1(2\pi \sqrt{nx}\,)+\Delta(N,x),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta(N,x)&=J_0(2\pi \sqrt{Nx}\,)- \sqrt{\frac{x}{N}}\,P(N)J_1(2\pi \sqrt{N x}\,)- \frac{\pi x}{N}\,P_1(N)J_2(2\pi\sqrt{Nx}\,) \\ &\qquad+x\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n}\int_{2\pi \sqrt{Nx}}^\infty J_3(t)J_2\biggl(t\,\sqrt{\frac{n}{x}}\,\biggr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\operatorname{sgn}x=\begin{cases} 1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x<0; \end{cases}\qquad g(x) -\text{ ближайшее к $x$ целое число}.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
При $\lambda>1$, $x>1$ справедливы следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl|J_2(\lambda x)-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, \frac{\cos(\lambda x-\pi/4)}{\sqrt{\lambda x}}\biggr|&\leqslant \frac{C}{\lambda^{3/2}x^{3/2}}\,, \\ \biggl|J_3(x)-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, \frac{\cos(x+\pi/4)}{\sqrt{x}}\biggr|&\leqslant \frac{C}{x^{3/2}}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Эти оценки следуют из того, что при $x>1$ асимптотические ряды для $J_\nu(x)$ являются обертывающими. Используя (4.8), имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_\omega^\infty J_2(\lambda x)J_3(x)\,dx+ \frac{\operatorname{sgn}(\lambda-1)}{\pi\sqrt{\lambda}} \int_{|\lambda-1|\omega}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt\biggr|\leqslant \frac{C}{\omega\sqrt{\lambda}}\biggl(1+\frac{1}{\lambda}\biggr)
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
при $\lambda>1$. Из формулы Ландау (2.3) при условии (4.2) следует, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{x}{N}\,P_1(N)J_2(2\pi \sqrt{Nx}\,)\,\biggr|\leqslant C\frac{x^{3/4}}{N^{3/4-\gamma}}\,.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Так как
$$
\begin{equation}
\biggl|J_0(2\pi \sqrt{Nx}\,)-\frac{2}{\pi}\, \frac{\cos(2\pi \sqrt{Nx}-\pi/4)} {(2\pi \sqrt{Nx})^{1/2}}\biggr|\leqslant \frac{C}{N^{3/4}x^{3/4}}\,,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
то при условии (4.2) выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\sqrt{\frac{x}{N}}\,P(N)J_1(2\pi \sqrt{Nx}\,)\biggr|\leqslant C\frac{x^{3/4}}{N^{3/4-\gamma}}\,.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Используя эти оценки в равенстве (4.6), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta(N,x)&=\frac{1}{\pi x^{1/4}}\, \frac{\cos(2\pi \sqrt{Nx}-\pi/4)}{N^{1/4}} \\ \notag &\qquad+r(g(x))\,\frac{x}{g(x)}\operatorname{sgn} \bigl(g(x)-x\bigr)\operatorname{si}\bigl(2\pi (\sqrt{g(x)}-\sqrt{x}\,)\sqrt{N}\,\bigr) \\ &\qquad +O\biggl(\frac{x^{3/4}}{N^{3/4-\gamma}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Здесь использовано стандартное обозначение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{si}x=-\int_x^\infty \frac{\sin t}{t}\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
и величина $g(x)$ определена в (4.7). Формула (4.13) описывает явление Гиббса для ряда (4.1) в точках $r=n$. Напомним, что
$$
\begin{equation}
|\!\operatorname{si}x|<\frac{\pi}{2}\,,\qquad \operatorname{si}x=-\frac{\cos x}{x}+O\biggl(\frac{1}{x^2}\biggr)\quad (x \to \infty).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
С учетом (4.14) оценка (4.4) непосредственно следует из (4.13). Переходя к пределу при $N \to \infty$, получим формулу Вороного (4.1). Равномерная сходимость ряда (4.1) при $x \ne n$ ($r(n) \ne 0$) следует из оценки (4.4). Теорема 4 доказана. Так как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_1(x)=\biggl(\frac{2}{\pi x}\biggr)^{1/2} \cos\biggl(x-\frac{3\pi}{4}\biggr)+\Delta J_1(x), \\ |\Delta J_1(x)| \leqslant \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}\,8}\, \frac{1}{x^{3/2}}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
то из (4.3) следует, что
$$
\begin{equation}
\overline{P}(x)=-\frac{x^{1/4}}{\pi}\sum_{j=1}^N\frac{r(j)}{j^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{jx}+\frac{\pi}{4}\biggr)+ \Delta_N P(x),
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Delta_N P(x)\ll \frac{1}{x^{1/4}N^{1/4}}+\frac{x^{3/4}}{N^{3/4-\gamma}}+ \overline{r}(x)\min\biggl\{1,\frac{\sqrt{x}}{\delta\sqrt{N}}\biggr\},
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
и при $x=n$ третий член в этой формуле можно опустить. Формулы (4.16), (4.17) представляют собой вариант усеченной формулы Вороного (см. следующий раздел 5). 5. Усеченная формула ВороногоВ этом разделе будет доказана усеченная формула Вороного. Именно эта формула является основной при исследовании свойств величины $P(x)$. Теорема 5 (усеченная формула Вороного). Для любых $N \geqslant 3$ и $x \geqslant 3$ имеет место равенство Доказательство теоремы 5. Рассмотрим функцию $F(s)=\zeta_k(s)$ (см. формулы (16), (11) во введении). Эта функция допускает аналитическое продолжение на всю плоскость $s=\sigma+it$, как мероморфная функция с единственным полюсом в точке $s=1$, и удовлетворяет функциональному уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F(s)=\varphi(s)F(1-s),\qquad \varphi(s)=\pi^{2s-2}\sin\biggl(\frac{\pi s}{2}\biggr)\, \bigl(\Gamma(1-s)\bigr)^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $\Gamma(\,\cdot\,)$ – гамма-функция. Согласно усеченной формуле Перрона (A.35), (A.36) и имеет место оценка
Предполагается, что Рассмотрим прямоугольник $D$ на плоскости $s=\sigma+it$ с вершинами в точках Внутри этого прямоугольника функция имеет полюсы в точках $s_1=0$ и $s_2=1$, при этом По теореме о вычетах из (5.5) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag P(x)=A(x)-\pi x&=\frac{1}{2\pi i}\int_{-a-iT}^{-a+iT}f(s)\,ds \\ &\qquad+\frac{1}{2\pi i}\int_{-a+iT}^{b+iT}f(s)\,ds- \frac{1}{2\pi i}\int_{-a-iT}^{a-iT}f(s)\,ds+R_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Так как $F(s)=4\zeta(s)L(s|\chi_4)$ (см. (16)), то по теореме Фрагмена–Линделёфа при $t\gg 1$ и $s=\sigma+it$ имеем
$$
\begin{equation}
|\zeta(s)L(s|\chi_4)| \ll \bigl(\zeta(b)+\zeta(a+1)\bigr) t^{(2a+1)(b-\sigma)/(a+b)}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
и, таким образом, второй интеграл в правой части равенства (5.9) допускает оценку
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{1}{2\pi i}\int_{-a+iT}^{b+iT}f(s)\,ds\biggr|\ll \bigl(\zeta(b)+\zeta(a+1)\bigr)\biggl(\frac{x^b}{T}+\frac{T^{2a}}{x^a}\biggr) =:\overline{R}_2.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Третий интеграл в правой части (5.9) оценивается так же, как второй, и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-a-iT}^{-a+iT}f(s)\,ds+ R_1+R_2, \\ R_1 \ll \overline{R}_1,\quad R_2 \ll \overline{R}_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где величины $\overline{R}_1$, $\overline{R}_2$ определены в (5.6), (5.11).
Рассмотрим интеграл в правой части (5.12). Используя формулу (11) из введения и функциональное уравнение (5.4), получим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{1}{2\pi i}\int_{-a-iT}^{-a+iT}f(s)\,ds=\sum_{n=1}^\infty r(n)I_n, \\ I_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{-a-iT}^{-a+iT} \frac{\varphi(s)}{n^{1-s}}\,s^s\,\frac{ds}{s}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
и, следовательно, где Оценим величину $R_3$. Запишем интеграл $I_n$ (5.13) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag I_n&=\frac{1}{2\pi i}\,\frac{1}{n^{1+ax^a}}\biggl[\,\int_{-1}^{+1}+ \int_{+1}^T+\int_{-T}^{-1}\biggr]\varphi(-a+it) \frac{(xn)^{it}}{-a+it}\,dt \\ &=: I_n^{(1)}+I_n^{(2)}+I_n^{(3)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Так как $|\Gamma(x+iy)| \leqslant |\Gamma(x)|$, то, учитывая явный вид (5.4) функции $\varphi(s)$, получим оценку
$$
\begin{equation}
|I_n^{(1)}|\leqslant \frac{C}{n^{1+a}x^a}\,|\!\ln a|.
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Оценим интеграл $I_n^{(2)}$. По формуле Стирлинга
$$
\begin{equation*}
\bigl(\Gamma(a+it)\bigr)^2=Ct^{1+2a}e^{-\pi t}\, e^{-2it\ln t+2it} \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно (см. определение (5.4) функции $\varphi(s)$),
$$
\begin{equation}
I_n^{(2)}=\frac{C}{n^{1+a}x^a}\int_1^T t^{2a}e^{iS(t)} \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\biggr)\,dt,
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
где Интеграл в правой части (5.18) оценивается с помощью следующей формулы:
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_a^b f(x)e^{iS(x)}\,dx\biggr| \leqslant C\,\frac{\overline{f}}{A}\,m[(S^{(1)})^{-1}]\,m[f],
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
которая справедлива при
$$
\begin{equation*}
|S^{(1)}(x)| \geqslant A,\quad |f(x)|\leqslant \overline{f}\qquad (x \in [a,b]);
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $m[g]$ – число участков монотонности функции $g$ на интервале $[a,b]$. В рассматриваемом случае выполнено неравенство и, используя (5.19), получим оценку
$$
\begin{equation}
|I_n^{(2)}|\leqslant C\frac{1}{n^{1+a}x^a}\, \frac{T^{2a}}{|\!\ln(xn/T^2)|}\,.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Интеграл $I_n^{(3)}$ оценивается так же, как интеграл $I_n^{(2)}$, и, таким образом (см. соотношения (5.20), (5.17), (5.16)), приходим к оценке
$$
\begin{equation}
|I_n| \leqslant C\biggl[\frac{|\!\ln a|}{n^{1+a}}+\frac{T^{2a}}{n^{1+a}x^a}\, \frac{1}{|\!\ln(xn/T^2)|}\biggr].
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Выбираем $T$ из условия Из (5.21), (5.15) следует, что
$$
\begin{equation}
|R_3| \leqslant C\biggl[\frac{|\!\ln a|}{x^aaN^a}+\frac{T^{2a}}{x^aN^a} \overline{r}(N)\ln N\biggr]=:\overline{R}_3.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Возвращаемся к формуле (5.14). Остается рассмотреть интеграл $I_n$ (5.13) при $n \leqslant N$. Так как $\Gamma(1-s)=(1-s)\Gamma(-s)$, то
$$
\begin{equation*}
I_n=\frac{(-1)}{\pi^2 n}\int_{-a-iT}^{-a+iT}(\pi^{2}nx)^s \sin(\pi s)\Gamma(1-s)\Gamma(-s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к переменной $w=1-s$ и учитывая, что получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I_n=(-1)\,\frac{\pi x}{2}\,\frac{1}{2\pi i} \int_{2+2a-iT}^{2+2a+iT} g(s)\,ds, \\ g(s)=(\pi \sqrt{nx}\,)^s\, \frac{\Gamma(s/2-1)}{\Gamma(1-s/2)}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Замечаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty x^{-1}J_1(x)x^s\,\frac{dx}{x}= -2^{s-2}\,\frac{\Gamma(s/2-1)}{\Gamma(1-s/2)}\,,\quad\text{если}\ \ 0<\sigma<\frac{5}{2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы обращения преобразования Меллина следует равенство
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty}(-1)\,2^{s-2}\, \frac{\Gamma(s/2-1)}{\Gamma(1-s/2)}\,x^{-s}\,ds= x^{-1}J_1(x)
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
при условии, что $0<\sigma_0<3/2$. Так как в (5.24) $\sigma_0=2a+2>3/2$, то непосредственно использовать (5.25) не удается.
Так как функция $g(s)$ (5.24) голоморфна в прямоугольнике $D$ с вершинами в точках
$$
\begin{equation*}
s=2+2a-2iT,\quad s=2+2a+2iT,\quad s=\sigma_0+2iT,\quad s=\sigma_0-2iT,
\end{equation*}
\notag
$$
то, используя (5.25), получим, что
$$
\begin{equation}
I_n=\sqrt{\frac{x}{n}}\,J_1(2\pi \sqrt{nx}\,)+\Delta I_n
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
и в этой формуле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta I_n&=\frac{\pi n}{2}\,\frac{1}{2\pi i} \biggl(\int_{2T}^\infty g(\sigma_0+it)\,dt+ \int_{-2T}^{-\infty} g(\sigma_0+it)\,dt \\ \notag &\qquad+\int_{\sigma_0}^{2+2a}g(\sigma+2iT)\,d\sigma- \int_{\sigma_0}^{2+2a}g(\sigma-2iT)\,d\sigma\biggr) \\ &=: \sum_{\alpha=1}^4 \Delta I_n^{(\alpha)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Из (5.14) следует, что
$$
\begin{equation}
P(x)=\sum_{n=1}^N r(n)\sqrt{\frac{x}{n}}\,J_1(2\pi \sqrt{nx}\,)+ R_1+R_2+R_3+R_4
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
и в этой формуле Оценим величину $R_4$. Заметим, что во всех четырех интегралах $\Delta I_n^{(\alpha)}$ в равенстве (5.27) Используя формулу Стирлинга, получим, что в этих интегралах
$$
\begin{equation}
g(s)=C(nx)^{-\sigma/2}\exp\{it\ln(\pi \sqrt{nx}\,)+f(s)\} \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{s}\biggr)\biggr),
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
где функция $f(s)$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
f(s)=\begin{cases} (\sigma-2)\ln t-\pi t+i[t\ln t-t(1+\ln2\,)],& t>0, \\ (\sigma-2)\ln|t|+i[t\ln|t|-t(\ln 1+\ln2\,)],& t<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Отсюда сразу следует, что
$$
\begin{equation}
|\Delta I_n^{(1)}|\ll x(\pi x)^{-\sigma_0/2}\, \frac{e^{-2\pi T}}{T^{2-\sigma_0}}\,.
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Для $\Delta I_n^{(2)}$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|\Delta I_n^{(2)}|\ll \frac{x}{(nx)^{\sigma_0/2}} \biggl|\int_{2T}^\infty \frac{1}{t^{2-\sigma_0}}\, e^{iS(t)}\,dt\biggr|,
\end{equation*}
\notag
$$
где Так как то, используя (5.19), получим, что при $\sigma_0<1$
$$
\begin{equation}
|\Delta I_n^{(2)}|\ll \frac{x}{(nx)^{\sigma_0/2}}\,\frac{1}{T^{2-\sigma_0}} \, \frac{1}{\ln(T/\sqrt{nx}\,)}\,.
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
Из (5.30), (5.31) следует, что
$$
\begin{equation}
|\Delta I_n^{(3)}|\ll \frac{x}{(nx)^{\sigma_0/2}}\, T^{2a}e^{-2\pi T}.
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
Чтобы оценить $\Delta I_n^{(4)}$, заметим, что во всей рассматриваемой области изменения $s$ (см. (5.24))
$$
\begin{equation*}
|g(s)| \leqslant Cn^{-\sigma/2}\,\frac{1}{|t|^{2-\sigma}}
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\Delta I_n^{(4)}| \ll \frac{x}{T^2}\int_{\sigma_0}^{2+2a} (nx)^{-\sigma/2}T^\sigma\,d\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $T$ определяется равенством (5.22), то
$$
\begin{equation}
|\Delta I_n^{(4)}| \ll \frac{x}{T^2}\, N^{1+a}\frac{1}{n^{1+a}}\, \frac{1}{\ln((N+1/2)/n)}\,.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
Оценки величин $\Delta I_n^{(1)}$, $\Delta I_n^{(3)}$ содержат множитель $e^{-2\pi T}\sim e^{-2\pi \sqrt{Nx}\,}$, таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\Delta I_n| &\ll |\Delta I_n^{(2)}|+|\Delta I_n^{(4)}| \\ &\ll \frac{x}{(nx)^{\sigma_0/2}}\,\frac{1}{T^{2-\sigma_0}}\, \frac{1}{\ln((N+1/2)/n)}+\frac{x}{T^2}\,N^{1+a} \frac{1}{\ln((N+1/2)/n)}\,\frac{1}{n^{1+a}}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
и из (5.29) следует, что
$$
\begin{equation}
|R_4| \ll N^a(\ln N)\overline{r}(x) =: \overline{R}_4.
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
Выбираем Из (5.36), (5.23), (5.12) следует, что в формуле (5.28)
$$
\begin{equation}
\biggl|\,\sum_{i=1}^4 R_i\biggr| \ll \sum_{i=1}^4 \overline{R}_i \ll \sqrt{\frac{x}{N}}\,\overline{r}(x)+\overline{r}(N)\ln N
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation}
P(x)=\sum_{n=1}^N r(n)\sqrt{\frac{x}{n}}\,J_1(2\pi \sqrt{nx}\,)+ \widetilde{\Delta}_N P(x),
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
где
$$
\begin{equation}
|\widetilde{\Delta}_N P(x)| \ll \sqrt{\frac{x}{N}}\,\overline{r}(x)+ \overline{r}(N)\ln N.
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
Для завершения доказательства теперь достаточно использовать (4.15). Теорема 5 доказана. Докажем приведенное после теоремы 5 следствие; т. е. оценку (5.3). В соответствии с (5.1)
$$
\begin{equation*}
|P(x)| \leqslant Cx^{1/4}\sum_{n \leqslant N}\frac{r(n)}{n^{3/4}}+ |\Delta_N P(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{n \leqslant N}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \leqslant CN^{1/4},
\end{equation*}
\notag
$$
то, выбирая $N$ из условия $N^{1/4} x^{1/4}=\sqrt{x/N}\,\overline{r}(x)$, т. е. полагая получим нужный результат. Следствие доказано. В силу (5.3) мы можем в (4.2) взять $\gamma=1/3+\varepsilon$, тогда оценки (4.4) приобретают вид
$$
\begin{equation}
\Delta(N,x) \ll \frac{x^{3/4}}{N^{5/2-\varepsilon}}+\overline{r}(x) \min\biggl\{1,\frac{\sqrt{x}}{\delta\sqrt{N}}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
Полученная выше оценка (5.2) сильнее оценки (5.42) (кроме того случая, когда $x=n$, $N>x^{1/2}$). Замечания к главе I1. Регуляризованная формула Вороного (1.2) была доказана в работе [15]. 2. Доказательство многомерной формулы Пуассона приведено в [19]. 3. Нужные результаты о функциях Бесселя содержатся в [1], [20]. 4. О формуле Перрона см. [21], [22]. 5. Спектральная интерпретация регуляризованной формулы Вороного и ее связи с формулой Сельберга рассмотрены в [23]. 6. При доказательстве формулы Ландау (2.3) мы следовали работе [1]. Другое доказательство приведено в [5]. Тождество Ландау–Харди было доказано в [24]. В разделе 3 мы следовали работам [1], [5]. 7. При доказательстве формулы Вороного в разделе 4 мы следовали работам [1], [5]. 8. Нужные результаты теории $L$-функций Дирихле, включая вывод функционального уравнения (5.4), содержатся в работах [4], [25], [26]. 9. При доказательстве усеченной формулы Вороного (5.1) мы следовали схеме доказательства усеченной формулы Вороного для величины $\Delta(x)$ в работах [2], [3]. 10. Усеченная формула Перрона рассматривалась в целом ряде работ (см., например, [4], [25], [26]). Нужный нам вариант этой формулы доказан в приложении A. 11. Используемые здесь и ниже свойства специальных функций содержатся в книгах [27]–[29], а значения различных интегралов можно найти в [29]. Глава II. Поведение $P(x)$ на длинных интервалахНапомним, что интервал $I \subset [0,2T]$ ($T\gg 1$) называется длинным, если его длина $|I|$ удовлетворяет условию $|I|>CT$. В этой главе рассмотрены некоторые величины, характеризующие поведение величины $P(x)$ на длинных интервалах. 6. МоментыМоменты $M_k(T)$ величины $P(x)$ определяются равенствами Первый момент $M_1(T)$ уже был рассмотрен в разделе 2, и согласно (2.3)
$$
\begin{equation*}
M_1(T)=P_1(T)=\frac{T}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{r(n)}{n}\, J_2(2\pi \sqrt{nT}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (4.8), получим, что
$$
\begin{equation}
M_1(T)=\frac{T^{3/4}}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{r(n)}{n^{5/4}} \cos\biggl(2\pi \sqrt{nT}-\frac{\pi}{4}\biggr)+O(T^{-1/4}),
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{1}{T}\int_0^T P(x)\,dx=\frac{1}{T}\,M_1(T) \leqslant CT^{-1/4}, \\ C=\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty \frac{r(n)}{n^{5/4}}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, величина $P(x)$ на интервале $[0,T]$ достаточно часто меняет знак. Рассмотрим второй момент $M_2(T)$. Это равенство означает, что существует последовательность $x_n \to \infty$ такая, что $|P(x_n)|>Cx_n^{1/4}$ (см. раздел 7). Доказательство теоремы 6. Введем величину
$$
\begin{equation}
P_N(x)=-\frac{x^{1/4}}{\pi}\sum_{j=1}^N \frac{r(j)}{j^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{jx}+\frac{\pi}{4}\biggr)
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
и запишем равенство (4.16) в виде где величина $\Delta_N P(x)$ оценена в (4.17).
Таким образом, и в этой формуле в силу неравенства Коши
$$
\begin{equation}
\Delta_1 M_2(T) \ll \biggl[\,\int_0^T P_N^2(x)\,dx\biggr]^{1/2} \biggl[\,\int_0^T(\Delta_N P(x))^2\,dx\biggr]^{1/2}+\int_0^T(\Delta_N P(x))^2\,dx.
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
Оценим величину $\displaystyle\int_0^T(\Delta_N P(x))^2\,dx$. Из (4.17) следует, что
$$
\begin{equation}
\int_0^T(\Delta_N P(x))^2\,dx \ll T^{1/2}+\frac{T^{3/2}}{N^{3/2-2\gamma}}+ \int_0^T \overline{r}^2(x) \biggl[\min\biggl\{1,\frac{\sqrt{x}}{\|x\|\sqrt{N}}\biggr\}\biggr]^2\,dx.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^T \overline{r}^2(x) \biggl[\min\biggl\{1,\frac{\sqrt{x}}{\|x\|\sqrt{N}}\biggr\}\biggr]^2\,dx \\ &\qquad\ll \sum_{n=0}^N\biggl[\,\int_{|x-n|<\delta_n} \overline{r}^2(x)\,dx+ \int_{|x-n|>\delta_n} \overline{r}^2(x)\,\frac{x}{\delta_n^2N}\,dx\biggr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то, выбирая $\delta_n$ из условия получим, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^T \overline{r}^2(x) \biggl[\min\biggl\{1,\frac{\sqrt{x}}{\|x\|\sqrt{N}}\biggr\}\biggr]^2\,dx\ll \frac{T^2\overline{r}^2(T)}{N^{1/3}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как в силу (5.3) в (6.10) можно взять $\gamma=1/3+\varepsilon$, то имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
\int_0^T(\Delta_N P(x))^2\,dx \ll T^{1/2}+\frac{T^{5/2}}{N^{5/6}}+ \frac{T^2\overline{r}^2(N)}{N^{1/3}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $N=T^a$, где $a<C$ достаточно велико, имеем
$$
\begin{equation}
\int_0^T(\Delta_N P(x))^2\,dx \ll T^{1/2},\qquad N=T^a,\quad a \gg 1.
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Запишем интеграл $\displaystyle\int_0^T P_N^2(x)\,dx$ в виде
$$
\begin{equation}
\int_0^T P^2_N(x)\,dx=\frac{2T}{\pi^2}\int_0^{\sqrt{T}}F_N(t)\,dt- \frac{4}{\pi^2}\int_0^T s\biggl[\,\int_0^sF_N(t)\,dt\biggr]\,ds.
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
В этой формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_N(t)&=\biggl[\,\sum_{n=1}^N \frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,t+\frac{\pi}{4}\biggr)\biggr]^2 \\ &=\biggl[\,\sum_{n=1}^N \alpha_n^+ e^{i\lambda_n^+ t}+ \sum_{n=1}^N \alpha_n^- e^{-i\lambda_n^- t}\biggr]^2, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а величины $\lambda_n^\pm$ и $\alpha_n^\pm$ определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
\lambda_n^\pm=\pm 2\pi\sqrt{n}\,,\qquad \alpha_n^\pm=\frac{r(n)}{n^{3/4}}\,\frac{1}{2\sqrt2}(1+i).
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки интеграла $\displaystyle\int_0^s F_N(s)\,ds$ используем теорему Монтгомери–Воона, согласно которой
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^X\biggl[\,\sum_{n=1}^Na_n e^{i\lambda_n t}\biggr]^2\,dt= \sum_{n=1}^N |a_n|^2X+\Delta_X, \\ |\Delta_X| \leqslant 3\pi\sum_{n=1}^N\frac{|a_n|^2}{\delta_n}\,,\qquad \delta_n=\min_{(n,m)\colon n \ne m}|\lambda_n-\lambda_m|. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
В интересующем нас случае
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_n=\alpha_n^+,\alpha_n^-,\qquad \lambda_n=\lambda_n^+,\lambda_n^-, \\ |\lambda_n-\lambda_m|>\frac{C}{\sqrt{n}}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation}
\sum_{n=1}^N \frac{r^2(n)}{n} \leqslant C(\ln N)^2,
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
получим равенство
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^s F_N(t)\,dt=sA_N+O\bigl((\ln N)^2\bigr), \\ A_N=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.15}
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^{\sqrt{T}}\biggl(\int_0^s F_N(t)\,dt\biggr)\,ds= \frac{A_N}{3}\,T^{3/2}+O\bigl(T(\ln N)^2\bigr), \\ N=T^a, \qquad 1 \ll a \leqslant C,\quad C \gg 1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.16}
$$
Используя (6.12), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \int_0^T P_N^2(x)\,dx=\frac{2}{3}\,T^{3/2}A_N+O\bigl(T(\ln T)^2\bigr), \\ A_N=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}+O(N^{-1/2}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.17}
$$
Оценка следует из (6.9), (6.11), (6.17). Теорема 6 доказана. Заметим, что если использовать усеченную формулу Вороного (5.1), (5.2), то легко доказать, что
$$
\begin{equation}
\int_0^T P^2(x)\,dx=BT^{3/2}+O(T^{5/4+\varepsilon}).
\end{equation}
\tag{6.19}
$$
Приведенное выше доказательство теоремы 6 – единственное место в настоящей работе, где усеченная формула Вороного использовалась в форме (4.16), (4.17). Все остальные результаты основаны на теореме 5. Кроме $M_2(T)$ точные формулы в настоящее время получены для $M_k(T)$, $k=3,4,5$. Доказано, что
$$
\begin{equation}
M_3(T) =-A_3T^{7/4}+O(T^{3/2+\varepsilon}), \quad A_3>0,
\end{equation}
\tag{6.20}
$$
$$
\begin{equation}
M_4(T) =A_4T^2+O(T^{2-2/41+\varepsilon}), \quad A_4>0,
\end{equation}
\tag{6.21}
$$
$$
\begin{equation}
M_5(T) =-A_5T^{5/4}+O(T^{2-3/28+\varepsilon}), \quad A_5>0,
\end{equation}
\tag{6.22}
$$
и известны значения констант $A_k$, $k=3,4,5$. Обратим внимание на то, что нечетные моменты отрицательны. Что касается абсолютных моментов доказано, что
$$
\begin{equation}
\overline{M}_k(T) \ll T^{1+k/4+\varepsilon}, \quad k \leqslant 9,
\end{equation}
\tag{6.24}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{M}_k(T) \ll T^{(35k+38+\varepsilon)/108}, \quad k \geqslant \frac{35}{4}\,.
\end{equation}
\tag{6.25}
$$
Однако эти результаты получены с помощью нетривиальных оценок вида
$$
\begin{equation}
|P(x)| \ll x^{35/108+\varepsilon},\qquad |P(x)| \ll x^{7/22+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{6.26}
$$
Рассмотрим связь оценок абсолютных моментов $\overline{M}_k(T)$ при больших $k$ с интересующими нас оценками величин $|P(x)|$. Заметим, что если то
$$
\begin{equation}
|P(x)| \gg T^{1/4+\sigma}\quad\text{при}\ \ |x-x_0| < \Delta(x_0),\ \ \Delta(x_0)=T^{1/4+\sigma-\varepsilon},
\end{equation}
\tag{6.28}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\overline{M}_k(T) \gg \int_{|x-x_0|<\Delta(x_0)}|P(x)|^k\,dx \gg T^{(1/4+\sigma)(k+1)-\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{6.29}
$$
Таким образом, из оценки следует, что
$$
\begin{equation}
|P(x)| \ll T^{1/4+\sigma},\qquad \sigma \leqslant \frac{3}{4}\,\frac{1}{k+1}+\varepsilon.
\end{equation}
\tag{6.31}
$$
Эта оценка нетривиальна, если
$$
\begin{equation}
\frac{3}{4}\,\frac{1}{k+1}<\frac{1}{12},\quad\text{т. е.}\quad k>8.
\end{equation}
\tag{6.32}
$$
Из (6.31) следует, что для решения проблемы круга достаточно доказать (6.30) для сколь угодно больших $k$. 7. $\Omega$-оценкиНапомним определение символов Харди $\Omega$, $\Omega_\pm$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(x)=\Omega(g(x))\quad &\Longleftrightarrow \quad \limsup_{x \to \infty} \frac{|f(x)|}{g(x)}>0, \\ f(x)=\Omega_+(g(x))\quad &\Longleftrightarrow \quad \limsup_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}>0, \\ f(x)=\Omega_-(g(x))\quad &\Longleftrightarrow \quad \liminf_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}<0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Приведем некоторые имеющиеся результаты. В 1916 г. Г. Харди доказал, что
$$
\begin{equation}
P(x)=\begin{cases} \Omega_-\bigl((x\ln x)^{1/4}\ln_2 x\bigr), \\ \Omega_+(x^{1/4}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
В 1961 г. была доказана оценка
$$
\begin{equation}
P(x)=\Omega_+\bigl(x^{1/4}(\ln_2 x)^{1/4}(\ln_3 x)^{1/4}\bigr),
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
а в 2003 г. – оценка
$$
\begin{equation}
P(x)=\Omega\bigl((x\ln x)^{1/4}(\ln_2 x)^{3(2^{1/3}-1)/4} (\ln_3 x)^{-5/4}\bigr).
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Заметим, что не известно, верна ли оценка
$$
\begin{equation*}
P(x)=\Omega_+\bigl(x(\ln x)^\lambda\bigr),\qquad \lambda>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом разделе будет доказана следующая теорема. Доказательство. Оценка (7.6) является следствием оценки (7.5). Чтобы доказать (7.5), необходимо построить последовательность $x_N$ ($x_N \to \infty$ при $N \to \infty$) такую, что
$$
\begin{equation}
P(x_N) \leqslant -Cx_N^{1/4}(\ln x_N)^{1/4},\qquad C>0,\quad x_N>\overline{x}.
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
Из формулы Вороного (4.1) следует, что
Харди доказал, что ряд в правой части (7.8) ограниченно сходится при $x < C$ (для любого $C$). Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
F(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n^{3/4}} \exp\biggl\{-2\pi i\sqrt{n}\,s+\frac{\pi}{4}\,i\biggr\},\qquad s=\sigma+it.
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
В соответствии с указанным результатом Харди
$$
\begin{equation}
P(x)=\lim_{\sigma \to \infty}\biggl(-\frac{x^{1/4}}{\pi} \operatorname{Re}F(s)\biggr)+O(x^{-1/4}),
\end{equation}
\tag{7.10}
$$
и, таким образом, достаточно доказать, что существуют последовательности $t_N$ и $\sigma_N$ ($t_N \to \infty$, $\sigma_N \to \infty$ при $N \to \infty$) такие, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}F(s_N)\geqslant C(\ln t_N)^{1/4},\qquad s_N=\sigma_N+it_N.
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
Запишем величину $\operatorname{Re}F(s)$ в виде где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_1(s)&=\sum_{n \leqslant N}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\, e^{-2\pi\sigma\sqrt{n}}\cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,t+ \frac{\pi }{4}\biggr), \\ S_2(s)&=\sum_{n > N}\frac{r(n)}{n^{3/4}}\, e^{-2\pi\sigma\sqrt{n}}\cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,t+ \frac{\pi }{4}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
Величина $S_2(s)$ оценивается с помощью формулы Абеля, согласно которой если $\biggl(\,\displaystyle\sum_{a<n<\xi}a_n\biggr)\Big/f(\xi) \to 0$ при $\xi \to \infty$, то
$$
\begin{equation}
\sum_{n>a}a_n f(n)=-\int_a^\infty\biggl(\,\sum_{n<\xi}a_n\biggr)\, \frac{d}{d\xi}\,f(\xi)\,d\xi.
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
При этом предполагается, что функция $f$ непрерывно дифференцируема. Так как то имеет место оценка
$$
\begin{equation}
|S_2(s)|\ll \frac{1}{\sigma^{1/2}}(\sigma\sqrt{N}\,)^{-1/2} e^{-2\pi \sigma\sqrt{N}}.
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Если
$$
\begin{equation}
\sigma=\sigma_N,\qquad 2\pi\sigma\sqrt{N}=H\quad (H \gg 1),
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
то
$$
\begin{equation}
|S_2(s)| \ll \frac{1}{(\sigma_N)^{1/2}}\, H^{-1/2}e^{-H}.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Оценим снизу величину $S_1(s_N)$. Такая оценка получается с помощью теоремы Дирихле о диофантовых приближениях. Согласно этой теореме для любого $\eta < 1$ и любого $N> 1$ существует $t=t_N$ такое, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 1< t_N < \biggl(\frac{1}{\eta}\biggr)^N, \\ \{t_N\sqrt{n}\,\}<\eta \qquad (n=1,\dots,N), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
где $\{x\}$ – дробная часть $x$. Выбираем $\eta=1/16$. Тогда из (7.19) следует, что
$$
\begin{equation}
\cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,t_N+\frac{\pi}{4}\biggr)>C\qquad (n<N),
\end{equation}
\tag{7.20}
$$
и, таким образом, используя формулу Абеля (3.4), получим
$$
\begin{equation}
S_2(s_N) \geqslant C\sum_{n \geqslant 1}^N \frac{r(n)}{n^{3/4}}\, e^{-2\pi\sigma_N\sqrt{n}}\geqslant \frac{C}{\sigma_N^{1/2}}\,.
\end{equation}
\tag{7.21}
$$
Если $H \leqslant C$ достаточно велико, то из (7.12), (7.21) и (7.16) следует, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}F(s_N) \geqslant \frac{C}{\sigma_N^{1/2}}= C\frac{1}{\sqrt{H}}\,N^{1/4}.
\end{equation}
\tag{7.22}
$$
В силу (7.19)
$$
\begin{equation}
\ln t_N<N\biggl|\ln\frac{1}{\eta}\biggr|,\quad\text{т. е.}\quad N \geqslant C\ln t_N,
\end{equation}
\tag{7.23}
$$
что и доказывает (7.11) (см. (7.22), (7.11)). Теорема 7 доказана. 8. Перемены знака с выходом за барьерВ этом разделе будет доказана следующая теорема. Теорема 8. Функция $P(x)\pm f(x)$, где $f(x)=ax^{1/4}$, при $x \geqslant x_0$, $a>0$ по крайней мере один раз меняет знак на любом интервале $[x,x \in \Delta x]$ при $\Delta x \geqslant 2b\sqrt{x}$ для любых $a$, $b$ таких, что Заметим, что так как $S=13.02876\ldots$ , то условие (8.1) выполняется, например, при Доказательство. Введем величину и рассмотрим интеграл в котором Так как то имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I(t)=I_P(t)+\Delta I, \\ |\Delta I| \leqslant 4a, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
и величина $I_P(t)$ определяется равенством
$$
\begin{equation}
I_P(t)=\int_{-1}^1\frac{P((t+au)^2)}{\sqrt{t+au}}\,K_\pm(u)\,du.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Используем усеченную формулу Вороного (5.1), в которой
$$
\begin{equation*}
\Delta_N P(x) \ll \frac{x^{1/2+\varepsilon}}{\sqrt{N}}+N^\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
и выберем Из (5.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I_P(t)=-\frac{1}{\pi}\sum_{j=1}^N\frac{r(j)}{j^{3/4}}\, I_j(t)+\Delta I_P, \\ |\Delta I_P| \ll \frac{t^\varepsilon}{\sqrt{t}}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
и в равенстве (8.9)
$$
\begin{equation}
I_j(t)=\int_{-1}^1 \cos\bigl(2\pi \sqrt{j}\,(t+au)\bigr) (1+|u|)\bigl(1\pm \sin(2\pi au)\bigr)\,du.
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Интеграл $I_j(t)$ вычисляется точно, и при $j=1$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I_1(t)=-\frac{T}{2}\sin\biggl(2\pi t+\frac{\pi}{4}\biggr)+\Delta I_1, \\ |\Delta I_1| \leqslant \frac{1}{\pi^2 a^2}\,\frac{9}{8}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
а при $j \geqslant 2$
$$
\begin{equation}
|I_j(t)| \leqslant \frac{1}{\pi^2 a^2}\biggl(\frac{1}{j}+ \frac{1}{2(\sqrt{j}-1)^2}+\frac{1}{2(\sqrt{j}+1)^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Так как $r(1)=4$, то из (8.6), (8.9), (8.11), (8.12) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I(t)=I_0(t)+\Delta I, \\ I_0(t)=\frac{2}{\pi}\,T\sin\biggl(2\pi t+\frac{\pi}{4}\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
а для $\Delta I$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\Delta I \leqslant 4A+\frac{Ct^\varepsilon}{\sqrt{t}}+ \frac{1}{\pi^2 a^2}\,S,
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
где величина $S$ определена в (8.2). В силу условия (8.1) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, I(t)=\frac{2}{\pi}\biggl(T\sin\biggl(2\pi t+ \frac{\pi}{4}\biggr)+\varphi(t)\biggr), \\ |\varphi(t)|<1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
Таким образом, интеграл $I(t)$ (8.4) меняет знак на любом интервале ширины $\Delta t>1/2$. Так как $K_\pm(u) \geqslant 0$ и $x=t^2$, то отсюда следует нужный результат. Теорема 8 доказана. 9. Распределение значений величины $P(x)x^{-1/4}$Пусть $A \subset \mathbb{R}_+$ – некоторое множество. Говорят, что $A$ имеет относительную меру $\mu_{\rm R}(A)$, если существует предел
$$
\begin{equation}
\mu_{\rm R}(A)=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\,\mu\{(0,T)\cap A\},
\end{equation}
\tag{9.1}
$$
где $\mu\{U\}$ – мера Лебега множества $U$. Относительная мера не является счетно-аддитивной, и к ней неприменимы результаты теории вероятностей, в которых речь идет о сходимости почти всюду. Теорема 9. Функция $P(x)x^{-1/4}$ имеет функцию распределения $D(s)$ с плотностью $\rho(\xi)$ относительно меры (9.1): Это означает, что Мы не приводим доказательство этой теоремы (см. замечания в конце главы). Это связано с тем, что равенство (9.3) не содержит информации о локальном поведении $P(x)$, так как левая часть этого равенства не изменится при замене $P(x)$ на $P(x)+f(x)$, где
$$
\begin{equation*}
f(x)=\begin{cases} x_0^{1/4+\beta}, & x \in [x_0,x_0+\Delta x], \\ 0, & x \notin [x_0,x_0+\Delta x]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место и “локальный” вариант теоремы 9, т. е. справедливо равенство
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lim_{T \to \infty}\frac{1}{\Delta T}\,\mu\bigl\{x \in [T,T+\Delta T]\colon P(x)x^{-1/4}\in [a,b]\bigr\}=\int_a^b \rho(\xi)\,d\xi \\ (\Delta T>CT^{1/2+\varepsilon}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.4}
$$
Приведем известные свойства величин $\rho(\xi)$ и $D(s)$. Функция $\rho(\xi)$ имеет единственный максимум в точке $\xi_0\approx 0.341\ldots$ , причем $\rho(\xi_0) \approx 0.25$, и верна оценка
$$
\begin{equation}
\rho(\xi) \ll \exp\{-|\xi|^{4-\varepsilon}\}\qquad (|\xi| \to \infty).
\end{equation}
\tag{9.5}
$$
Если
$$
\begin{equation}
\widetilde{D}(s):=\begin{cases} D(s), & s>0, \\ 1-D(s), & s<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{9.6}
$$
то имеет место двусторонняя оценка
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \exp\biggl\{-C_1\frac{|s|^4}{(\ln|s|)^\beta}\biggr\} \ll \widetilde{D}(s) \ll \exp\biggl\{-C_2\frac{|s|^4}{(\ln|s|)^\beta}\biggr\}, \\ \beta=3(2^{3/4}-1)=4.5595\ldots\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{9.7}
$$
Замечания к главе II1. При доказательстве теоремы 6 мы в основном следовали работе [30], где получена более сильная оценка Эта оценка усилена в работе [31], согласно которой Равенство (6.13) доказано в [32].2. Оценки высших моментов рассматривались в работах [33], [34]. Приведенные формулы для $M_k(T)$, $k=3,4,5$, доказаны в работе [34]. Оценки (6.24), (6.25) абсолютных моментов получены в работах [35], [36]. 3. Первые $\Omega$-оценки были получены в работе [37], где доказаны оценки (7.2) (см. также работу [38]). Оценка (7.3) доказана в [39], оценка (7.4) – в [40]. При доказательстве теоремы 7 мы следовали книге [1]. 4. Доказательство теоремы 8 (в менее точном варианте) было дано в работе [41]. Мы следовали методу этой работы. Другой подход к рассматриваемой задаче был ранее предложен Э. Ландау (см. [1]). 5. О применении относительной меры в теории чисел см. книгу [42]. Теорема 9 была доказана в работе [36], а равенство (9.4) – в [43]. Доказательство оценки (9.5) содержится в [44]. Двусторонняя оценка (9.7) доказана в [45]. Глава III. Поведение $P(x)$ на коротких интервалахВ этой главе рассматриваются оценки различных величин, характеризующих локальное поведение величины $P(x)$. Везде ниже предполагается, что $T \leqslant x \leqslant T+H$, $H \leqslant T/2$. 10. Локальные средние величин $P^k(x)$В этом разделе рассматриваются оценки величин Теорема 10. Справедливы следующие утверждения I– IV. I. Имеет место оценка
$$
\begin{equation}
E_1(T,H)\leqslant \begin{cases} C_1\sqrt{\dfrac{T}{H}}\,, &\textit{если}\ H\leqslant C\sqrt{T}\,, \vphantom{\Biggr\}} \\ C_2\dfrac{T^{3/4}}{H}\,, &\textit{если}\ H \leqslant \dfrac{1}{2}T. \end{cases}
\end{equation}
\tag{10.2}
$$
II. Имеет место оценка
$$
\begin{equation}
E_2(T,H) \leqslant C\biggl(\sqrt{T}+\frac{T(\ln T)^2}{H}\biggr),\quad \textit{если}\ \ H \leqslant \frac{1}{2}\,T.
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
III. Имеет место оценка
$$
\begin{equation}
E_4(T,H) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{5/3+\varepsilon}}{H}\,, \quad \textit{если}\ \ T^{1/2} \leqslant H \leqslant \frac{1}{2}\,T.
\end{equation}
\tag{10.4}
$$
IV. Имеет место оценка Доказательство. I. Докажем первое утверждение теоремы. Так как
$$
\begin{equation*}
E_1(T,H)=\frac{1}{2H}\int_0^{T+H}P(x)\,dx-\frac{1}{2H}\int_0^{T-H}P(x)\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
то из формулы Ландау (2.3) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_1(T,H)&=\frac{T^{3/4}}{2H\pi^2}\sum_{j=1}^\infty\frac{r(j)}{j^{5/4}} \bigl[\cos\bigl(2\pi \sqrt{j(T-H)}\,\bigr)- \cos \bigl(2\pi \sqrt{j(T+H)}\,\bigr)\bigr] \\ &\qquad+O\biggl(\frac{T^{1/4}}{H}+\frac{1}{T^{1/4}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |E_1(T,H)|&\leqslant \frac{T^{3/4}}{H\pi^2}\sum_{j=1}^\infty \frac{r(j)}{j^{5/4}}\,\bigl|\sin\bigl(2\pi \sqrt{j}\,(\sqrt{T+H}- \sqrt{T-H}\,)\bigr)\bigr| \\ &\qquad+O\biggl(\frac{T^{1/4}}{H}+\frac{1}{T^{1/4}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.6}
$$
Оценка (10.2) непосредственно следует из (10.5), если использовать очевидные неравенства и заметить, что II. Утверждение II (неравенство (10.3)) является следствием теоремы 6, так как в соответствии с теоремой 6
$$
\begin{equation*}
E_2(T,H)=\frac{1}{2H}\,[B(T+H)^{3/2}-B(T-H)^{3/2}]+O(T(\ln T)^2)
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, при $H \ll T$
$$
\begin{equation}
E_2(T,H)=\frac{3}{2}\, BT^{1/2}+O\biggl(\frac{T(\ln T)^2}{H}+ \frac{H}{\sqrt{T}}\biggr).
\end{equation}
\tag{10.7}
$$
III. Докажем третье утверждение теоремы. Везде ниже в этом разделе Запишем усеченную формулу Вороного (5.1) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P(x)=P_{N}(x)+\Delta_{N}(P(x)), \\ \Delta_{N}(P(x)) \ll \frac{x^{1/2+\varepsilon}}{\sqrt{N}}+N^\varepsilon, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и выберем В этом случае Из неравенства Гёльдера следует, что
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\sum_{i=1}^k x_i\biggr)^p \leqslant k^{p-1}\sum_{j=1}^k|x_j|^p,\qquad p>1.
\end{equation}
\tag{10.11}
$$
Таким образом, и согласно (5.1)
$$
\begin{equation}
P_{N}(x)=-\frac{x^{1/4}}{\pi}\sum_{j=1}^N \frac{r(j)}{j^{3/4}} \cos\biggl(2\pi\sqrt{jx}+\frac{\pi}{4}\biggr).
\end{equation}
\tag{10.13}
$$
Введем величины
$$
\begin{equation}
P_{N'N''}(x)=-\frac{x^{1/4}}{\pi} \sum_{N'<j\leqslant N''} \frac{r(j)}{j^{3/4}}\cos\biggl(2\pi\sqrt{jx}+\frac{\pi}{4}\biggr).
\end{equation}
\tag{10.14}
$$
Запишем величину $P_{N}(x)$ в виде и будем использовать оценку
$$
\begin{equation}
E(P^4) \ll E(P_{N_0}^4)+E(P_{N_0N_1}^4)+E(P_{N_1N}^4)+T^\varepsilon.
\end{equation}
\tag{10.16}
$$
Величина $N_1$ будет выбрана ниже. Так как
$$
\begin{equation}
P_{N_0}(x) \ll x^{1/4}\sum_{j=1}^{N_0} \frac{r(j)}{j^{3/4}} \ll x^{1/4} N_0^{1/4},
\end{equation}
\tag{10.17}
$$
то, выбирая получим, что и, следовательно,
$$
\begin{equation}
E(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+E(P_{N_0N_1}^4)+E(P_{N_1N}^4).
\end{equation}
\tag{10.20}
$$
Оценим величину $E(P_{N_0N_1}^4)$. Для этого запишем $P_{N_0N_1}(x)$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_{N_0N_1}(x)=\sum_{q=0}^{Q-1}P_{M(q),2M(q)}(x),\qquad M(q)=\biggl[\frac{N_1}{2^{q+1}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.21}
$$
Выберем $Q$ таким образом, что Тогда
$$
\begin{equation}
Q=\biggl[\frac{1}{\ln 2}\ln\frac{N_1}{N_0}\biggr] \ll \ln N_1.
\end{equation}
\tag{10.22}
$$
Используя (10.11), имеем
$$
\begin{equation*}
P_{N_0N_1}^4(x) \ll (\ln N_1)^3\sum_{q=0}^{Q-1}P^4_{M(q),2M(q)}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
E(P_{N_0N_1}^4) \ll (\ln N_1)^4\max_{N_0<M \leqslant N_1}E(P^4_{M,2M}).
\end{equation}
\tag{10.23}
$$
Оценим величину $E(P^4_{M,2M})$. Рассмотрим функцию $\varphi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ такую, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 0 \leqslant \varphi(x) \leqslant 1, \\ \begin{aligned} \, \varphi(x)&=1, \quad\text{если}\ \ |x-T|\leqslant H, \\ \varphi(x)&=0, \quad\text{если}\ \ |x-T|\geqslant 2H, \end{aligned} \\ |\varphi^{(p)}(x)|\leqslant C(p)H^{-p}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.24}
$$
Такая функция существует (см. замечания в конце настоящей главы), и Учитывая свойства функции $\varphi(x)$, имеем
$$
\begin{equation}
E(P_{M,2M}^4) \ll \frac{1}{H}\int_{T-2H}^{T+2H}\varphi(x)P^4_{M,2M}(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{10.26}
$$
Введем обозначение
$$
\begin{equation}
a_4(j)=\prod_{\alpha=1}^4 \frac{r(j_\alpha)}{j_\alpha^{3/4}}\,,\qquad j=(j_1,j_2,j_3,j_4),
\end{equation}
\tag{10.27}
$$
и запишем величину $P^4_{M,2M}(x)$ в виде
$$
\begin{equation}
P^4_{M,2M}(x)=\frac{x}{\pi^4}\sum_{M<j_\alpha \leqslant 2M} a_4(j)\prod_{\alpha=1}^4 \cos\biggl(2\pi\sqrt{j_\alpha x}+ \frac{\pi}{4}\biggr).
\end{equation}
\tag{10.28}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{\alpha=1}^4 \cos\biggl(2\pi\sqrt{j_\alpha x}+\frac{\pi}{4}\biggr)&= -\frac{1}{8}\cos\bigl(2\pi\lambda_1(j)\sqrt{x}\,\bigr)- \frac{1}{2}\sin\bigl(2\pi\lambda_2(j)\sqrt{x}\,\bigr) \\ &\qquad+\frac{3}{8}\cos\bigl(2\pi\lambda_3(j)\sqrt{x}\,\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где величины $\lambda_k(j)$, $k=1,2,3$, определяются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_1(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}+\sqrt{j_3}+\sqrt{j_4}\,, \\ \lambda_2(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}+\sqrt{j_3}-\sqrt{j_4}\,, \\ \lambda_3(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}-\sqrt{j_3}-\sqrt{j_4}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.29}
$$
Тогда из (10.26) следует, что
$$
\begin{equation}
E(P_{M,2M}^4) \ll |E^{(1)}(M)|+|E^{(2)}(M)|+|E^{(3)}(M)|,
\end{equation}
\tag{10.30}
$$
где
$$
\begin{equation}
E^{(k)}(M)=\sum_{M<j_\alpha \leqslant 2M}\frac{a_4(j)}{H} \int_{T-2H}^{T+2H}x\varphi(x)e^{2\pi i\lambda_k(j)\sqrt{x}}\,dx,\quad k=1,2,3.
\end{equation}
\tag{10.31}
$$
Рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation*}
J(\lambda)=\int_{T-2H}^{T+2H}x\varphi(x)e^{i\lambda\sqrt{x}}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя по частям, получим, что для любого $p \geqslant 1$
$$
\begin{equation}
|J(\lambda)|\leqslant \frac{2^p}{|\lambda|^p}\int_{T-2H}^{T+2H} |\varphi_p(x)|\,dx,
\end{equation}
\tag{10.32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varphi_p(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\,\varphi_{p-1}(x)\bigr)\quad (p \geqslant 2),\qquad \varphi_1(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\varphi(x)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (10.24), имеем оценку
$$
\begin{equation}
|\varphi_p(x)|\leqslant CT\cdot\biggl(\frac{T^{1/2}}{H}\biggr)^p C(p) p,
\end{equation}
\tag{10.33}
$$
и, следовательно, для любого $p \geqslant 1$
$$
\begin{equation}
|J(\lambda)|\leqslant CH\cdot\biggl(\frac{2}{\lambda}\biggr)^p p\, C(p)\, T\cdot\biggl(\frac{T^{1/2}}{H}\biggr)^p.
\end{equation}
\tag{10.34}
$$
Так как то, используя (10.34), получаем, что при $k=1,2$
$$
\begin{equation}
E^{(k)}(M)\leqslant \sum_{M<j_\alpha \leqslant 2M}a_4(j) C\,\frac{pC(p)}{\pi^p}\,T\cdot \biggl(\frac{T^{1/2}}{H\sqrt{M}}\biggr)^p
\end{equation}
\tag{10.36}
$$
для любого $p \geqslant 1$. В силу (10.27) В интересующем нас случае Предположим, что Тогда из (10.36) получаем
$$
\begin{equation}
E^{(k)}(M)\ll \sum_{M<j_\alpha \leqslant 2M}\frac{M^{\varepsilon}}{M^3}\, \frac{pC(p)}{\pi^p}\,T\cdot T^{-\varepsilon p},\qquad k=1,2.
\end{equation}
\tag{10.40}
$$
Выбирая $p=q\varepsilon^{-1}$, где $q$ достаточно велико, имеем Таким образом, в (10.30) остается оценить $E^{(3)}(M)$. Запишем эту величину в виде полагая (см. равенство (10.31))
$$
\begin{equation}
E_0^{(3)}(M) =\sum_{\substack{M<j_\alpha\leqslant 2M \\ |\lambda_3(j)|\leqslant\Delta}}\frac{a_4(j)}{H}\int_{T-2H}^{T+2H} x\varphi(x)e^{2\pi i\lambda_3(j)\sqrt{x}}\,dx,
\end{equation}
\tag{10.43}
$$
$$
\begin{equation}
E_1^{(3)}(M) =\sum_{\substack{M<j_\alpha\leqslant 2M \\ |\lambda_3(j)|>\Delta}}\frac{a_4(j)}{H}\int_{T-2H}^{T+2H} x\varphi(x)e^{2\pi i\lambda_3(j)\sqrt{x}}\,dx.
\end{equation}
\tag{10.44}
$$
Величина $E_1^{(3)}(M)$ оценивается так же, как $E^{(k)}(M)$, $k=1,2$. Выбирая имеем Оценим $E_0^{(3)}(M)$. Интеграл в правой части равенства (10.43) оценим тривиально:
$$
\begin{equation}
\biggl|\int_{T-2H}^{T+2H}x\varphi(x)e^{2\pi i\lambda_3(j)\sqrt{x}}\,dx\biggr| \leqslant CTH.
\end{equation}
\tag{10.47}
$$
Используя оценку (10.37), получим, что
$$
\begin{equation}
E_0^{(3)}(M) \ll \frac{TM^\varepsilon}{M^3}\mathcal{N}_4(M,\Delta),
\end{equation}
\tag{10.48}
$$
где $\mathcal{N}_4(M,\Delta)$ – число решений неравенства
$$
\begin{equation}
\bigl|\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}-\sqrt{j_3}-\sqrt{j_4}\,\bigr|\leqslant\Delta
\end{equation}
\tag{10.49}
$$
таких, что $M<j_\alpha\leqslant 2M$, $j_\alpha \in \mathbb{Z}$. Известно, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}_4(M,\Delta) \ll M^{3+\varepsilon}+\Delta M^{7/2+\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{10.50}
$$
Эта оценка неулучшаема, и, таким образом,
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}_4(M,\Delta) \ll \Delta M^{7/2+\varepsilon}\qquad (\Delta \gg M^{-3/2}).
\end{equation}
\tag{10.51}
$$
Эту оценку при $\Delta \geqslant M^{-1/2}$ легко доказать. Пусть и, следовательно, Таким образом, если $|\lambda_3(j)|=|A-\sqrt{j_4}\,|\leqslant\Delta$, то
$$
\begin{equation*}
A^2-2A\Delta+\Delta^2 \leqslant j_4 \leqslant A^2+2A\Delta+\Delta^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при $A\Delta \gg 1$ и фиксированных значениях $j_1$, $j_2$, $j_3$ неравенство $|\lambda_3(j)| \leqslant \Delta$ имеет $\mathcal{N}_1 \asymp \Delta\sqrt{M}$ решений. Так как $\mathcal{N}_2$ (число возможных значений величины $A$) не превосходит $CM^3$, то
$$
\begin{equation}
\mathcal{N}_4(M,\Delta) \leqslant C\mathcal{N}_1\mathcal{N}_2 \leqslant C\Delta M^{7/2}\qquad (\Delta \geqslant CM^{-1/2})
\end{equation}
\tag{10.52}
$$
и из (10.45), (10.48) следует, что
$$
\begin{equation}
E_0^{(3)}(M) \ll TM^{1/2+\varepsilon}\Delta \ll \frac{T^{3/2+\varepsilon}}{H}\,M^{1/2}.
\end{equation}
\tag{10.53}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
E^{(3)}(M) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{3/2+\varepsilon}}{H}\,M^{1/2},
\end{equation}
\tag{10.54}
$$
и в силу (10.30)
$$
\begin{equation}
E(P_{M,2M}^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{3/2+\varepsilon}}{H}\,M^{1/2}\qquad (H \geqslant T^{1/2}).
\end{equation}
\tag{10.55}
$$
Используя эту оценку в (10.23) и учитывая, что $M \leqslant N_1$, имеем
$$
\begin{equation}
E(P_{N_0N_1}^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{3/2+\varepsilon}}{H}\,N_1^{1/2}.
\end{equation}
\tag{10.56}
$$
Чтобы получить оценку для $E(P^4)$, остается (см. (10.20)) оценить $E(P_{N_1N}^4)$ и выбрать $N_1$. Оценим величину $E(P_{N_1N}^4)$. Прежде всего заметим, что
$$
\begin{equation}
P_{N_1N}(x)=P_N(x)-P_{N_1}(x)=\Delta_{N_1}(P(x))+\Delta_{N}(P(x))
\end{equation}
\tag{10.57}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
P_{N_1N}(x) \ll \frac{x^{1/2+\varepsilon}}{\sqrt{N_1}}\qquad (N_1<N).
\end{equation}
\tag{10.58}
$$
Будем использовать оценки
$$
\begin{equation}
E(P_{N_1N}^4) \ll \frac{T^{1+\varepsilon}}{N_1}\,E(P_{N_1N}^2).
\end{equation}
\tag{10.59}
$$
Так как
$$
\begin{equation}
E(P_{N_1N}^2) \ll (\ln N)^2\max_{N_1<M \leqslant N} E(P_{M,2M}^2),
\end{equation}
\tag{10.60}
$$
то надо оценить $E(P_{M,2M}^2)$. Запишем эту величину в виде где
$$
\begin{equation*}
E_{\rm d}(M)=\frac{1}{\pi^2}\sum_{M < j \leqslant 2M}\frac{r^2(j)}{j^{3/2}}\, \frac{1}{2H}\int_{T-H}^{T+H}x^{1/2}\cos^2\biggl(2\pi\sqrt{jx}+ \frac{\pi}{n}\biggr)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя величина легко оценивается:
$$
\begin{equation}
E_{\rm d}(M) \leqslant C\,\frac{\overline{r}^2(2M)}{M^{3/2}}\, T^{1/2}M\leqslant C\overline{r}^2(M)\frac{T^{1/2}}{M^{1/2}}\,.
\end{equation}
\tag{10.62}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
E_{\rm nd}(M)=\frac{2}{H\pi^2}\sum_{M < j \leqslant 2M} \frac{r(j)}{j^{3/4}}\sum_{\substack{M < l \leqslant 2M \\ l>j}} \frac{r(l)}{l^{3/4}}\,J_{jl},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
J_{jl}=\int_{\sqrt{T-H}}^{\sqrt{T+H}} t^2\bigl[\cos\bigl(2\pi(\sqrt{l}-\sqrt{j}\,)t\bigr)- \sin\bigl(2\pi(\sqrt{l}+\sqrt{j}\,)t\bigr)\bigr]\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя вторую теорему о среднем, получим, что Следовательно,
$$
\begin{equation}
E_\mathrm{nd}(M)\leqslant C\,\frac{T}{H}\,r^2(M)\sum_{M < j \leqslant 2M} \frac{1}{j^{3/4}}\,\frac{\ln j}{j^{1/4}} \leqslant C\,\frac{T}{H}\,\overline{r}^2(M)(\ln M)^2.
\end{equation}
\tag{10.63}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
E(P_{M,2M}^2)\leqslant C\biggl(\overline{r}^2(M)\frac{T^{1/2}}{M^{1/2}}+ \overline{r}^2(M)(\ln M)^2\frac{T}{H}\biggr)
\end{equation}
\tag{10.64}
$$
и из (10.59) получаем, что
$$
\begin{equation}
E(P_{N_1N}^4) \ll \frac{T^{1+\varepsilon}}{N_1} \biggl(\frac{T^{1/2}}{N_1^{1/2}}+\frac{T}{H}\biggr).
\end{equation}
\tag{10.65}
$$
Используя эту оценку и оценку (10.56), из (10.20) получаем, что
$$
\begin{equation}
E(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{3/2+\varepsilon}}{H}\,N_1^{1/2}+ \frac{T^{1+\varepsilon}}{N_1}\biggl(\frac{T^{1/2}}{N_1^{1/2}}+ \frac{T}{H}\biggr)
\end{equation}
\tag{10.66}
$$
при $H \geqslant T^{1/2}$. Пусть $TH^{-1} \geqslant T^{1/2}N_1^{-1/2}$, т. е. Тогда
$$
\begin{equation*}
E(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{3/2+\varepsilon}}{H}\,N_1^{1/2}+ \frac{T^{2+\varepsilon}}{N_1H}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, полагая $N_1=T^{1/3}$, приходим к оценке
$$
\begin{equation}
E(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{5/3+\varepsilon}}{H}\qquad (H \leqslant T^{2/3}).
\end{equation}
\tag{10.67}
$$
Если же $N_1 \leqslant H^2 T^{-1}$, то
$$
\begin{equation*}
E(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{2/3+\varepsilon}}{H}\,N_1^{1/2}+ \frac{T^{3/2+\varepsilon}}{N_1^{3/2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $N_1=\sqrt{T}$ , получим
$$
\begin{equation}
E(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{3/2+\varepsilon}}{M^{3/4}}\ll T^{1+\varepsilon}\qquad (H \geqslant T^{2/3}).
\end{equation}
\tag{10.68}
$$
Напомним, что $H \geqslant T^{1/2}$ (см. (10.39)). Требуемый результат (10.4) следует из соотношений (10.68) и (10.67). IV. Докажем утверждение IV. Применим тот же метод, что и при доказательстве утверждения III. Так как $E(P_{N_0}^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}$, то имеет место аналог оценки (10.20):
$$
\begin{equation}
E(P^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}+E(P_{N_0N_1}^6)+E(P_{N_1N}^6),
\end{equation}
\tag{10.69}
$$
при этом (см. (10.23))
$$
\begin{equation}
E(P_{N_0N_1}^6) \ll (\ln N_1)^6\max_{N_0<M\leqslant N_1}E(P_{M,2M}^6).
\end{equation}
\tag{10.70}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
P_{N_0N_1}^6=\frac{x^{3/2}}{\pi^4}\sum_{M<j_\alpha \leqslant 2M} a_6(j)\prod_{\alpha=1}^6 \cos\biggl(2\pi\sqrt{j_\alpha x}+\frac{\pi}{4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и по аналогии с (10.30) имеем При этом
$$
\begin{equation}
E^{(k)}(M)=\sum_{M<j_\alpha \leqslant 2M}\frac{a_6(j)}{H}\int_{T-2H}^{T+2H} x^{3/2}\varphi(x)e^{2\pi i \lambda_k(j)\sqrt{x}}\,dx,
\end{equation}
\tag{10.72}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_1(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}+\sqrt{j_3}+\sqrt{j_4}+\sqrt{j_5}+ \sqrt{j_6}\,, \\ \lambda_2(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}+\sqrt{j_3}+\sqrt{j_4}+\sqrt{j_5}- \sqrt{j_6}\,, \\ \lambda_3(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}+\sqrt{j_3}+\sqrt{j_4}-\sqrt{j_5}- \sqrt{j_6}\,, \\ \lambda_4(j)&=\sqrt{j_1}+\sqrt{j_2}+\sqrt{j_3}-\sqrt{j_4}-\sqrt{j_5}- \sqrt{j_6} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.73}
$$
и
$$
\begin{equation}
a_6(j)=\prod_{\alpha=1}^6 \frac{r(j_\alpha)}{j_\alpha^{3/4}}\,,\qquad j=(j_1,j_2,\dots,j_6).
\end{equation}
\tag{10.74}
$$
Так как то величины $E^{(k)}(M)$, $k=1,2,3$, оцениваются так же, как выше были оценены их аналоги (см. (10.41)), и при $H \geqslant T^{1/2}$ (см. (10.39)) получим, что
$$
\begin{equation}
E^{(k)}(M) \ll T^{3/2+\varepsilon}+|E^{(4)}(M)|,\qquad E^{(4)}(M) = E_0^{(4)}(M)+E_1^{(4)}(M).
\end{equation}
\tag{10.75}
$$
Как и в (10.42), величина $E_0^{(4)}(M)$ – это часть суммы $E^{(4)}(M)$ (10.72), отвечающая $j_\alpha$ таким, что $|\lambda_4(j)| \leqslant \Delta$, тогда как величина $E_1^{(4)}(M)$ отвечает тем $j_\alpha$, для которых $|\lambda_4(j)|>\Delta$. При $\Delta=T^{1/2+\varepsilon}H^{-1}$ (см. (10.45)) имеет место аналог оценки (10.46), т. е. С другой стороны (см. (10.48)),
$$
\begin{equation}
E_0^{(4)}(M) \ll \frac{T^{3/2+\varepsilon}}{M^{9/2}}\,\mathcal{N}_6(M,\Delta),
\end{equation}
\tag{10.77}
$$
здесь $\mathcal{N}_6(M,\Delta)$ – число решений неравенства
$$
\begin{equation*}
|\lambda_4(j)| \leqslant \Delta,\quad\text{где}\ \ \Delta=T^{1/2+\varepsilon}H^{-1},\ \ H \geqslant T^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналог оценки (10.52) имеет вид $\mathcal{N}_6(M,\Delta) \leqslant CM^{11/2}$. Поэтому (см. (10.53)) и, соответственно (см. (10.56)),
$$
\begin{equation}
E(P_{N_0N_1}^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}+\frac{T^{2+\varepsilon}N_1}{H}\,.
\end{equation}
\tag{10.79}
$$
Остается в (10.69) оценить $E(P_{N_1N}^6)$. Будем исходить из оценки
$$
\begin{equation}
E(P_{N_1N}^6) \ll \frac{T^{1+\varepsilon}}{N_1}\,E_{N_1N}(P^4).
\end{equation}
\tag{10.80}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation*}
E_{N_1N}(P^4) \ll T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{5/3+\varepsilon}}{H}
\end{equation*}
\notag
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation}
E(P_{N_1N}^6) \ll \frac{T^{2+\varepsilon}}{N_1}+ \frac{T^{8/3+\varepsilon}}{N_1H}\,.
\end{equation}
\tag{10.81}
$$
С учетом (10.81) и (10.79) оценка (10.69) принимает вид
$$
\begin{equation}
E(P^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}+\frac{T^{2+\varepsilon}N_1}{H}+ \frac{T^{2+\varepsilon}}{N_1}+\frac{T^{8/3+\varepsilon}}{N_1H}\,.
\end{equation}
\tag{10.82}
$$
Если $H \leqslant T^{2/3}$, то, выбирая $N_1=T^{1/3}$, получим, что
$$
\begin{equation}
E(P^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}+\frac{T^{7/3+\varepsilon}}{H}\,.
\end{equation}
\tag{10.83}
$$
В случае $H \geqslant T^{2/3}$, выбирая $N_1=\sqrt{H}$ , имеем
$$
\begin{equation}
E(P^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}+\frac{T^{2+\varepsilon}}{\sqrt{H}} \ll \frac{T^{2+\varepsilon}}{\sqrt{H}}\,.
\end{equation}
\tag{10.84}
$$
Оценка (10.5) доказана, что и завершает доказательство теоремы 10. Отметим, что оценка $E(P^6) \ll T^{3/2+\varepsilon}$ при $H \geqslant T^{1-\beta}$, $\beta>0$, пока остается недоказанной. 11. Локальные средние величины $|P(x)|^m$ и оценки величины $|P(x)|$Абсолютные локальные средние функции $|f(x)|^m$ определяются равенствами
$$
\begin{equation}
E(|f|^m):=\frac{1}{2H}\int_{T-H}^{T+H} |f(x)|^m\,dx.
\end{equation}
\tag{11.1}
$$
В этом разделе будет установлена связь оценок величин $E(|P|^m)$ с оценками величины $|P(x)|$ при $|x-T|<H$ ($H<T $). Введем несколько определений. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}=\{n \in \mathbb{Z}_+\colon n \geqslant n_0,\, r(n) \ne 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем по определению считать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P(n)=P(n+0), \quad n\in\mathcal{K}, \quad\text{если }\ P(n)>0, \\ |P(n)|=P(n-1-\pi), \quad n\in\mathcal{K}, \quad\text{если }\ P(n-1)<0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как при $x\not\in\mathcal{K}$ верно равенство $P^{(1)}(x)=-\pi$, то максимумы $|P(x)|$ принадлежат $\mathcal{K}$. Пусть (см. (6.6), (6.7))
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P(n)=P_N(n)+\Delta_N P(n), \\ |\Delta_N P(n)| \ll \Delta_N(n),\qquad \Delta_N(n)=\sqrt{\frac{n}{N}}+\overline{r}(N)\ln N. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
Будем говорить, что величина $f(x)$ медленно меняется при $x \geqslant x_0$, если
$$
\begin{equation*}
\biggl|f\biggl(x+\frac{1}{2}\,x\biggr)\biggr|<2|f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что величины $\overline{r}(x)$ и $\Delta_N(n)$ медленно меняются. Теорема 11. Пусть $P(T) \gg \overline{r}(T)$, имеет место оценка и выполняются условия Тогда и константы $C_m$, $C_m^1$, $C_m^2$ могут быть явно указаны. Доказательство. Введем величину $s(T)$, характеризующую поведение величины $P(x)$ в окрестности точки $x=T$. По определению где $s_0=s_0(T)$ – наибольшее положительное число такое, что при условии, что
$$
\begin{equation}
|x-T| \leqslant C_1\,\frac{|P(T)|^{s_0(T)}}{\overline{r}(T)}=:\delta.
\end{equation}
\tag{11.9}
$$
Из теоремы B.1 (см. приложение B) при $A(x)=P(x)$, $\lambda(T)=1/2$, $a(T)=\overline{r}(T)$ следует, что если выполняются условия
$$
\begin{equation}
F_m \leqslant C_2(m,s)\bigl(H\overline{r}(T)\bigr)^{m/s},
\end{equation}
\tag{11.10}
$$
$$
\begin{equation}
|P(T)| \leqslant C_3(m,s)\bigl(H\overline{r}(T)\bigr)^{1/s},
\end{equation}
\tag{11.11}
$$
то при любом $0<s\leqslant s(T)$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
|P(T)|\leqslant C_4(m,s)\bigl(F_m H\overline{r}(T)\bigr)^{1/(m+s)}.
\end{equation}
\tag{11.12}
$$
Так как $P(x)=\displaystyle\sum_{n \leqslant x}r(n)-\pi x$ и $\delta \gg 1$, то
$$
\begin{equation}
|P(x)-P(T)| \leqslant \bigl(\pi+\overline{r}(T+\delta)\bigr)\delta.
\end{equation}
\tag{11.13}
$$
В силу (11.9) выполнено неравенство $\delta \leqslant C_1|P(T)|^2/\overline{r}(T)$, и, используя оценку $|P(T)|\leqslant CT^{1/3}\overline{r}^{1/3}(T)$, получим, что $\delta \leqslant T$. Величина $\overline{r}(T)$ меняется медленно, и $\pi+\overline{r}(T+\delta) \leqslant 2\overline{r}(T)$. Из (11.13) получаем, что и, следовательно, где
Таким образом, Нужный результат следует из (11.10)–(11.12) при $s=1$. Теорема 11 доказана.Из полученных в разделе 10 результатов вытекает, что
$$
\begin{equation}
F_4 \leqslant T^{1+\varepsilon}+\frac{T^{5/3+\varepsilon}}{H} \qquad (H \geqslant T^{1/2}),
\end{equation}
\tag{11.18}
$$
$$
\begin{equation}
F_6 \leqslant T^{3/2+\varepsilon}+\frac{T^{7/3+\varepsilon}}{H} \qquad (T^{1/2} \leqslant H \leqslant T^{2/3}).
\end{equation}
\tag{11.19}
$$
В этом случае из (10.6) следует только тривиальная оценка: $|P(T)|\ll T^{1/3+\varepsilon}$. С другой стороны, любое усиление оценок (11.18), (11.19) приведет к нетривиальной оценке. В частности, если предположить, что
$$
\begin{equation*}
E_4(T,H) \ll T^{1+\varepsilon}\qquad (H \geqslant T^{1/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
то из (10.20) при $H=T^{1/2+\varepsilon}$ будет следовать, что Эта оценка сильнее всех имеющихся в настоящее время. Если предположить, что $|P(x)-P(T)|\leqslant C\overline{r}(T)\sqrt{\delta}$ , то в (11.10)–(11.12) можно взять $s=2$. Если предположить, что при $|P(T)|>CT^{1/4}$ величина $s(T)$ равна 2, и воспользоваться оценкой (11.6) при $m=2$, то получим решение проблемы круга. 12. Интеграл ЮтилыИнтеграл Ютилы – это второй локальный момент величины $P(x+U)-P(x)$, и, таким образом, в этом разделе рассматривается величина Предполагается, что Введем величины
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_0 =\frac{1}{2\pi^2}\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\, \bigl|\exp\{2\pi i\sqrt{n}\,(\sqrt{x+U}-\sqrt{x}\,)\}-1\bigr|^2\,dx,
\end{equation}
\tag{12.3}
$$
$$
\begin{equation}
Q_0 =\frac{1}{2\pi^2}\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\, \biggl|\exp\biggl\{\pi iU\sqrt{\frac{n}{x}}\,\biggr\}-1\biggr|^2\,dx,
\end{equation}
\tag{12.4}
$$
где величина $N$ определена равенством Теорема 12. I. Если $H \gg T^{1/2}(\ln T)^2$, то II. Предположим, что $U \ll T^{1/2}$. Тогда если $H \gg \sqrt{T}\,(\ln T)^2$, то
$$
\begin{equation}
Q=Q_0+O\bigl(T\varphi(T)\ln T+HU^{1/2}\varphi(T)\ln T\bigr),
\end{equation}
\tag{12.8}
$$
а если $H \ll T^{1/2}(\ln T)^2$, то
$$
\begin{equation}
Q=Q_0+O\bigl(T(\ln T)^2+ \sqrt{T H}\,\varphi(T)\ln T\bigr).
\end{equation}
\tag{12.9}
$$
III. Если при $U \ll T^{1/2}$ выполняются условия
$$
\begin{equation}
H \gg \sqrt{T}\,(\ln T)^2,\quad HU \gg T\varphi(T)\ln T,\quad U \gg \varphi^2(T)(\ln T)^2
\end{equation}
\tag{12.10}
$$
или условия то имеет место двусторонняя оценка Доказательство. Будем исходить из усеченной формулы Вороного (5.1), согласно которой при $T \leqslant x \leqslant T+H$
$$
\begin{equation*}
P(x)=-\frac{x^{1/4}}{\pi}\sum_{1 \leqslant n \leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi \sqrt{nx}+\frac{\pi}{4}\biggr)+ O(\varphi(T)).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя эту формулу, запишем величину $P(x+U)-P(x)$ в виде
$$
\begin{equation*}
P(x+U)-P(x)=-\bigl(\mathcal{A}(x)+\mathcal{B}(x)+\mathcal{C}(x)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где величины $\mathcal{A}(x)$, $\mathcal{B}(x)$, $\mathcal{C}(x)$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{A}(x)&=\frac{x^{1/4}}{\pi} \sum_{1 \leqslant n \leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \biggl[\cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,\sqrt{x+U}+ \frac{\pi}{4}\biggr)-\cos\biggl(2\pi \sqrt{nx}+ \frac{\pi}{4}\biggr)\biggr], \\ \mathcal{B}(x)&=\frac{1}{\pi}\bigl((x+U)^{1/4}-x^{1/4}\bigr) \sum_{1 \leqslant n \leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,\sqrt{x+U}+ \frac{\pi}{4}\biggr), \\ \mathcal{C}(x)&=C\varphi(T). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.13}
$$
Таким образом, где величины $Q^{(i)}$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} Q^{(1)}&=\int_T^{T+H}\mathcal{A}^2(x)\,dx,&\qquad Q^{(4)}&=2\int_T^{T+H}\mathcal{A}(x)\mathcal{B}(x)\,dx, \\ Q^{(2)}&=\int_T^{T+H}\mathcal{B}^2(x)\,dx,&\qquad Q^{(5)}&=2\int_T^{T+H}\mathcal{A}(x)\mathcal{C}(x)\,dx, \\ Q^{(3)}&=\int_T^{T+H}\mathcal{C}^2(x)\,dx,&\qquad Q^{(6)}&=2\int_T^{T+H}\mathcal{B}(x)\mathcal{C}(x)\,dx. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{12.15}
$$
Согласно неравенству Коши
$$
\begin{equation}
Q^{(4)} \ll \sqrt{|Q^{(1)}Q^{(2)}|}\,,\quad Q^{(5)} \ll \sqrt{|Q^{(1)}Q^{(3)}|}\,,\quad Q^{(6)} \ll \sqrt{|Q^{(2)}Q^{(3)}|}\,.
\end{equation}
\tag{12.16}
$$
Приведем без доказательств (см. замечания в конце настоящей главы) ряд технических результатов, используемых ниже. В силу (12.16) для оценки величин $|Q^{(i)}|$, $i=4,5,6$, достаточно оценить $Q^{(1)}$, $Q^{(2)}$, $Q^{(3)}$.
Интегралы, входящие в $Q^{(i)}$, могут быть выражены через функции $k_1(\lambda)$, $k_2(\lambda)$, $\omega_1(\lambda,\mu)$, $\omega_2(\lambda,\mu)$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k_1(\lambda)=\int_T^{T+H}\!\!\sqrt{x}\, \exp\{2\pi i\lambda\sqrt{x}\,\}\,dx,\qquad k_2(\lambda)=\int_T^{T+H}\!\!\sqrt{x}\, \exp\bigl\{2\pi i\lambda\sqrt{x+U}\bigr\}\,dx, \\ \omega_1(\lambda,\mu)=\int_T^{T+H}\sqrt{x}\, \exp\bigl\{2\pi i(\sqrt{x+U}+\mu\sqrt{x}\,)\bigr\}\,dx, \\ \omega_2(\lambda,\mu)=\int_T^{T+H}\sqrt{x}\, \exp\bigl\{2\pi i(\lambda\sqrt{x+U}-\mu\sqrt{x}\,)\bigr\}\,dx \\ (\lambda,\mu>0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже используются следующие оценки:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |k_i(\lambda)| \leqslant \frac{4}{5}\,\frac{T}{\lambda}\quad (i=1,2);\qquad |\omega_1(\lambda,\mu)| \leqslant \frac{4}{5}\,\frac{T}{\lambda+\mu}\,; \\ \text{если } m \leqslant N, \, 1 \leqslant m < n\ \text{и}\ (\lambda,\mu)=(\sqrt{m}\,,\sqrt{n}\,)\text{ или} \\ (\lambda,\mu)=(\sqrt{n}\,,\sqrt{m}\,),\ \ \text{то}\ \ \omega_2(\lambda,\mu) \leqslant \frac{8T}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12.17}
$$
Кроме того, нам понадобятся следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{gathered} \, \begin{alignedat}{2} \sum_{n \leqslant X}r^2(n)&=4X\ln X+O(X),&&\qquad \sum_{n>X}\frac{r^2(n)}{n} \ll (\ln X)^2, \\ \sum_{n \leqslant X}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}&= \sum_{n>X}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}} \ll \frac{\ln X}{\sqrt{X}}\,, \\ \sum_{n \leqslant X}\frac{r^2(n)}{\sqrt{n}} &\ll X^{1/2}\ln X,&& \end{alignedat} \\ \begin{aligned} \, \sum_{1 \leqslant n,m \leqslant X}\frac{r(n)r(m)}{n^{3/4}m^{3/4}}\, \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{m}} &\ll \ln X, \\ \sum_{1 \leqslant m<n \leqslant X} \frac{r(n)r(m)}{n^{3/4}m^{3/4}}\,\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}&\ll (\ln X)^2. \end{aligned} \end{gathered} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12.18}
$$
Величина $Q^{(3)}$ оценивается тривиально: Оценим величину $Q^{(2)}$. Так как $(x+U)^{1/4}-x^{1/4} \ll UT^{-3/4}$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q^{(2)} &\ll \frac{U^2}{T^{3/2}}\int_T^{T+H} \biggl|\,\sum_{n \leqslant T}\frac{r(n)}{n^{3/4}} \cos\biggl(2\pi \sqrt{n}\,\sqrt{x+U}+ \frac{\pi}{4}\biggr)\biggr|^2\,dx \\ &\ll \frac{U^2}{T^2}\,M(T+U,U), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.20}
$$
где
$$
\begin{equation}
M(T,U)=\int_T^{T+U}\sqrt{x}\,\biggl|\,\sum_{n \leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}}\,e^{2\pi i\sqrt{nx}}\biggr|^2\,dx.
\end{equation}
\tag{12.21}
$$
Из (12.17) и (12.18) следует, что и, таким образом,
$$
\begin{equation}
Q^{(2)} \ll \frac{U^2}{T^2}\bigl(H\sqrt{T}+T(\ln T)^2\bigr)=: \overline{Q}^{(2)}.
\end{equation}
\tag{12.23}
$$
Чтобы оценить $Q^{(i)}$, $i=4,5,6$, нам достаточно грубой оценки $Q^{(1)}$. Так как то (см. (12.22))
$$
\begin{equation}
Q^{(1)}\ll H\sqrt{T}+T(\ln T)^2=:\overline{Q}^{(1)}.
\end{equation}
\tag{12.24}
$$
Величина $Q^{(1)}$ дает основной вклад в правую часть двусторонней оценки (12.12). Докажем, что
$$
\begin{equation}
Q^{(1)}=\widetilde{Q}_0+O\biggl(T(\ln T)^2+H\sqrt{U}\,\ln\frac{T}{U}\biggr).
\end{equation}
\tag{12.25}
$$
Согласно определениям (12.15)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q^{(1)}&=\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\bigl(\operatorname{Re} W(x)\bigr)^2\,dx, \\ W(x)&=\pi^{-1}e^{i\pi/4}\sum_{n \leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(\exp\{2\pi i\sqrt{n(X+U)}\,\}- \exp\{2\pi i\sqrt{nx}\,\}\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.26}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W(x)&=W_1(x)+W_2(x), \\ W_1(x)&=\pi^{-1}e^{i\pi/4}\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} \frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(\exp\{2\pi i\sqrt{n(X+U)}\,\}- \exp\{2\pi i\sqrt{nx}\,\}\bigr), \\ W_2(x)&=\pi^{-1}e^{i\pi/4}\sum_{N \leqslant n \leqslant T} \frac{r(n)}{n^{3/4}}\bigl(\exp\{2\pi i\sqrt{n(X+U)}\,\}- \exp\{2\pi i\sqrt{nx}\,\}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\operatorname{Re}W)^2&=\frac{1}{2}\,|W_1|^2+ \frac{1}{2}\operatorname{Re}(W_1^2)+\operatorname{Re}(W_1W_2) \\ &\qquad+\operatorname{Re}(W_1\overline{W_2}\,)+(\operatorname{Re} W_2)^2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.27}
$$
то имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q^{(1)}&=\frac{1}{2}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,|W_1|^2\,dx+ \frac{1}{2}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\operatorname{Re}(W_1^2)\,dx \\ \notag &\qquad+\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\operatorname{Re}(W_1W_2)\,dx+ \int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\operatorname{Re}(W_1\overline{W_2}\,)\,dx \\ &\qquad+\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,(\operatorname{Re} W_2)^2\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.28}
$$
Используя (12.17), (12.18), получим, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,|W_1|^2\,dx=\widetilde{Q}_0+ O\bigl(T(\ln T)^2\bigr),
\end{equation}
\tag{12.29}
$$
а также следующие оценки остальных членов в правой части (12.28):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{1}{2}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\operatorname{Re}(W_1^2)\,dx \ll T\ln T,\qquad \int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\operatorname{Re}(W_1W_2)\,dx \ll T\ln T, \\ \int_T^{T+H}\sqrt{x}\,\operatorname{Re}(W_1\overline{W_2})\,dx \ll T(\ln T)^2, \\ \int_T^{T+H}\sqrt{x}\,(\operatorname{Re}W_2)^2\,dx \ll H\sqrt{U}\,\ln \frac{T}{U}+T(\ln T)^2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{12.30}
$$
Равенство (12.25) следует из (12.30), (12.29).
Непосредственно из определений (12.3), (12.4) следует, что
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_0 \ll H\sqrt{T}\,,\qquad Q_0 \ll H\sqrt{T}\,.
\end{equation}
\tag{12.31}
$$
Так как $\sqrt{x+U}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{U}{\sqrt{x}}+ O\biggl(\dfrac{U^2}{x^{3/2}}\biggr)$, то при $U \ll T^{2/3}$
$$
\begin{equation*}
\bigl|\exp\{2\pi i \sqrt{n(x+U)}-2\pi i \sqrt{nx}\,\}\bigr|^2= \biggl|\exp\biggl\{\pi iU\sqrt{\frac{n}{x}}-1\biggr\}\biggr|^2+ O\biggl(\frac{\sqrt{n}\,U^2}{x^{3/2}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_0=Q_0+O\biggl(\frac{HU^2}{T}(\ln N)^2\biggr)\qquad (H \ll T^{2/3}).
\end{equation}
\tag{12.32}
$$
Рассмотрим случай $U \ll T^{1/2}$ и запишем величину $Q_0$ (12.4) в виде где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma_1&=\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n \leqslant T/(4U^2)} \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\, \biggl|\exp\biggl\{\pi iU\sqrt{\frac{n}{x}}\,\biggr\}-1\biggr|^2\,dx, \\ \Sigma_2&=\frac{1}{2\pi^2}\sum_{T/(4U^2) < n \leqslant N} \frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\int_T^{T+H}\sqrt{x}\, \biggl|\exp\biggl\{2\pi iU\sqrt{\frac{n}{x}}\,\biggr\}-1\biggr|^2\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl|\exp\biggl\{\pi iU\sqrt{\frac{n}{x}}\,\biggr\}-1\biggr|^2= 4\sin^2\biggl(\frac{\pi}{2}\,U\sqrt{\frac{n}{x}}\,\biggr)\asymp U\sqrt{\frac{n}{x}}\qquad (n< T(4U^2)^{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
то $\Sigma_1 \asymp HU\ln\dfrac{\sqrt{T}}{U}$ . С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\Sigma_2 \ll \sum_{n> T/U^2}\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}\,H\sqrt{T} \ll UH\ln\frac{\sqrt{T}}{U}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
Q_0 \asymp HU\ln\frac{\sqrt{T}}{U}\qquad (U \ll T^{1/2}).
\end{equation}
\tag{12.33}
$$
Теперь все готово для завершения доказательства теоремы. Из (12.14) и (12.25) следует, что
$$
\begin{equation*}
Q=\widetilde{Q}_0+O\biggl(T(\ln T)^2+H\sqrt{U}\,\ln\frac{T}{U}\biggr)+ \sum_{i=2}^6Q^{(i)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (12.16), имеем где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \Delta Q &\ll T(\ln T)^2+H\sqrt{U}\,\ln\frac{\sqrt{T}}{U}+ |Q^{(2)}|+|Q^{(3)}| \\ &\qquad+|Q^{(1)}Q^{(2)}|^{1/2}+|Q^{(1)}Q^{(3)}|^{1/2}+|Q^{(2)}Q^{(3)}|^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12.35}
$$
Чтобы доказать (12.6) и (12.7), достаточно воспользоваться оценками (12.19), (12.23), (12.24); таким образом, утверждение I теоремы доказано.
При $U \ll T^{1/2}$ из (12.32) следует, что Таким образом, при $U \ll T^{1/2}$ и для величины $\Delta Q$ выполняется оценка (12.35). Равенства (12.8), (12.9) следуют из приведенных выше оценок для величин $Q^{(i)}$, $i=1,2,3$. Двусторонняя оценка (12.12) следует из равенств (12.8), (12.9) и двусторонней оценки (12.33). Теорема 12 доказана.При $H=T$, $U \ll T^{1/2}$ величина $Q(T,U) := Q(T,U,T)$ может быть вычислена точно и имеет место равенство
$$
\begin{equation}
Q(T,U)=\frac{24}{\pi^2}\,UT\ln\frac{\sqrt{T}}{U}+ O\biggl(U^2\sqrt{T}\,(\ln T)^4\ln\frac{\sqrt{T}}{U} +T\sqrt{U}\,\biggl(\ln\frac{\sqrt{T}}{U}\biggr)^2\varphi(T)\biggr).
\end{equation}
\tag{12.38}
$$
Из (12.38) следует, что
$$
\begin{equation}
|P(T+U)-P(T)|=\Omega\biggl(U\ln\frac{\sqrt{T}}{U}\biggr)\qquad \bigl((\ln T)^2 \ll U \ll T^{1/2}\bigr).
\end{equation}
\tag{12.39}
$$
Наряду со вторым моментом $Q=2HE_2(T,H)$ естественно рассмотреть корреляционную функцию
$$
\begin{equation}
\mathscr{K} \equiv \mathscr{K}(T,U,H)=\int_T^{T+H}P(x+U)P(x)\,dx.
\end{equation}
\tag{12.40}
$$
Заметим, что (см. (12.1))
$$
\begin{equation}
Q=\int_T^{T+H}P^2(x)\,dx+\int_T^{T+H}P^2(x+U)\,dx-2\mathscr{K}.
\end{equation}
\tag{12.41}
$$
Из (10.7) следует, что
$$
\begin{equation}
\int_T^{T+H}P^2(x)\,dx=3BH\sqrt{T}+O\biggl(T\bigl(\ln T\bigr)^2+ \frac{H^2}{\sqrt{T}}\biggr),
\end{equation}
\tag{12.42}
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation}
Q=6BH\sqrt{T}-2\mathscr{K}+O\biggl(T\bigl(\ln T\bigr)^2+ \frac{(H+U)^2}{\sqrt{T}}\biggr).
\end{equation}
\tag{12.43}
$$
При $U \ll T^{1/2}$ имеет место двусторонняя оценка (12.12), и так как $Q \ll H\sqrt{T}$ при $U \ll \sqrt{T}\,\biggl(\ln\dfrac{\sqrt{T}}{U}\biggr)^{-1}$, то
$$
\begin{equation}
\mathscr{K}=\int_T^{T+H}P^2(x)\,dx\,\bigl(1+o(1)\bigr).
\end{equation}
\tag{12.44}
$$
Это означает, что при $U \ll T^{1/2}$ величины $P(x)$ и $P(x+U)$ сильно коррелированы. При $U \gg T^{1/2}$ эта корреляция нарушается. Рассмотрим величину $k$, определяемую из соотношения Из (12.42) следует, что
$$
\begin{equation}
-\frac{1}{4}\,A+o(1) \leqslant k \leqslant A+o(1),\qquad A=\sum_{n=1}^\infty\frac{r^2(n)}{n^{3/2}}=50.156\ldots\,.
\end{equation}
\tag{12.46}
$$
Выше было показано, что при $U \ll T^{1/2}$ мы имеем $k\approx A$. При $U \gg T^{1/2}$ поведение величины $k=k(T,U,H)$ становится более сложным. В частности, если $V \gg T^{1/2}$ и $H \gg \sqrt{T}\,(\ln T)^2$, то для любой $\varphi \in \{\varepsilon\}$ при
$$
\begin{equation}
HV \leqslant \frac{T^{3/2}}{2\varphi(T)}\,,\qquad V \leqslant \frac{T}{8\varphi^2(T)}
\end{equation}
\tag{12.47}
$$
существуют постоянная $c=c(\varepsilon)$ и множество $E \subset [V,2V]$ с мерой $\mu(E) \geqslant c(\varepsilon)V$ такие, что для любого $U \in E$ (условие $\varphi\in\{\varepsilon\}$ означает, что $\varphi$ есть неубывающая положительная функция и $\varphi(x)=O(x^\varepsilon)$). С другой стороны, существуют множества $E_1 \subset [V,2V]$, $E_2 \subset [V,2V]$ с мерами $\mu\{E_i\}>c(\varepsilon)V$, $i=1,2$, такие, что для любых $U_1 \subset E_1$ и $U_2 \subset E_2$
$$
\begin{equation}
A-\varepsilon \leqslant k(T,U_1,H) \leqslant A+o(1),
\end{equation}
\tag{12.49}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{3}{4}\,A+o(1) \leqslant k(T,U_2,H) \leqslant -\frac{3}{4}\,A+\varepsilon.
\end{equation}
\tag{12.50}
$$
13. Модифицированный интеграл ЮтилыМодифицированный интеграл Ютилы – это второй локальный момент величины $\max_{v \leqslant U}|P(x+v)-P(x)|$, и, таким образом, ниже рассматривается величина
$$
\begin{equation}
Q_{\rm M} \equiv Q_{\rm M}(T,U,H)= \int_T^{T+H}\max_{0 \leqslant v \leqslant U}|P(x+v)-P(x)|^2\,dx.
\end{equation}
\tag{13.1}
$$
Как и в разделе 12, предполагается, что
$$
\begin{equation*}
H \leqslant T,\quad 1 \ll U \ll T,\quad T \gg 1,\quad T<x<T+U.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 13. Пусть $U \ll T^{1/2}$ и $U \gg T^{1/4}(\ln T)^{-1}$, если $H \gg T^{1/2}(\ln T)^2$. Для любых таких $T$, $U$, $H$ справедлива оценка и при $H=T$, $U \gg \overline{r}^6(T)(\ln T)^{-9}$ имеет место неравенство Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation}
\max_{0 \leqslant v \leqslant U}|P(x+v)-P(x)|=|P(x+v_0(x))-P(x)|.
\end{equation}
\tag{13.4}
$$
Введем величины $\lambda$, $b$ такие, что
$$
\begin{equation}
U=2^\lambda b,\quad b \geqslant 1,\quad \lambda \in \mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{13.5}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
j_0 b \leqslant v_0 \leqslant (j_0+1)b,\qquad v_0 \equiv v_0(x) \in \mathbb{Z},\quad j_0 \equiv j_0(x) \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{13.6}
$$
Запишем величину $j_0$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, j_0=2^{\lambda-\mu_1}+2^{\lambda-\mu_2}+\cdots+2^{\lambda-\mu_l}, \\ 0 \leqslant \mu_1 < \mu_2 <\cdots< \mu_l \leqslant \lambda,\qquad \mu_k \equiv\mu_k(x). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13.7}
$$
Так как $\overline{r}(x)$ меняется медленно, то
$$
\begin{equation}
\max_{0 \leqslant v \leqslant U}|P(x+v)-P(x)|^2\ll |P(x+j_0b)-P(x)|^2+\overline{r}^2(T)b^2.
\end{equation}
\tag{13.8}
$$
Введем обозначение
$$
\begin{equation}
\sum_{\mu \in S}g(\mu) =: g(\mu_1)+g(\mu_2)+\cdots+g(\mu_l)
\end{equation}
\tag{13.9}
$$
и определим величины $n_{\mu_1},n_{\mu_2},\dots,n_{\mu_l}$ равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, n_{\mu_1}=0,\quad n_{\mu_2}=2^{\mu_2-\mu_1},\quad n_{\mu_3}=2^{\mu_3-\mu_1}+2^{\mu_3-\mu_2},\quad\ldots\,, \\ n_{\mu_l}=2^{\mu_l-\mu_1}+2^{\mu_l-\mu_2}+\cdots+2^{\mu_l-\mu_{l-1}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13.10}
$$
Тогда для любой функции $g$ справедливо разложение
$$
\begin{equation}
g(x+j_0b)-g(x)=\sum_{\mu \in S} \bigl[g\bigl(x+(n_\mu+1)\,2^{\lambda-\mu}b\bigr)- g(x+n_\mu\,2^{\lambda-\mu}b)\bigr].
\end{equation}
\tag{13.11}
$$
Для доказательства равенства (13.11) достаточно заметить, что в силу (13.9)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, j_0=2^{\lambda-\mu_l}(n_{\mu_l}+1), \\ 2^{\lambda-\mu_l}n_l=2^{\lambda-\mu_{l-1}}(n_{l-1}+1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и записать величину $g(j_0)$ в виде
$$
\begin{equation*}
g(j_0)=\bigl[g\bigl(2^{\lambda-\mu_l}(n_{l}+1)\bigr)- g(2^{\lambda-\mu_l}n_l)\bigr]+g(2^{\lambda-\mu_l}n_l).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этого представления равенство (13.11) доказывается индукцией по $l$. Применяя (13.11), имеем
$$
\begin{equation}
|P(x+j_0b)-P(x)|=\sum_{\mu \in S} \bigl|P\bigl(x+(n_\mu+1)\, 2^{\lambda-\mu}b\bigr)- P(x+n_\mu\, 2^{\lambda-\mu}b)\bigr|.
\end{equation}
\tag{13.12}
$$
Используя неравенство Коши
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^N x_j \leqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^N x_i^2\biggr)^{1/2}N^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
получим, что
$$
\begin{equation}
|P(x+j_0b)-P(x)|^2 \leqslant \lambda\sum_{\mu \in S} \bigl|P\bigl(x+(n_\mu+1)\, 2^{\lambda-\mu}b\bigr)- P(x+n_\mu\, 2^{\lambda-\mu}b)\bigr|^2,\;
\end{equation}
\tag{13.13}
$$
и, таким образом,
$$
\begin{equation}
Q_{\rm M}< \lambda\sum_{\mu \in S}\int_T^{T+H} \bigl|P\bigl(x+(n_\mu+1)\,2^{\lambda-\mu}b\bigr)- P(x+n_\mu\,2^{\lambda-\mu}b)\bigr|^2\,dx+Hb^2\overline{r}^2(T).
\end{equation}
\tag{13.14}
$$
Из этой оценки следует, что
$$
\begin{equation}
Q_{\rm M} \ll \lambda\sum_{0 \leqslant \mu \leqslant \lambda}\, \sum_{n \leqslant 2^{\lambda+1}}Q_{n\mu}+H b^2\overline{r}^2(T),
\end{equation}
\tag{13.15}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q_{n\mu}=Q(T_1,U_1,H), \\ T_1=T+n\, 2^{\lambda-\mu}b,\qquad U_1=2^{\lambda-\mu}b, \\ Q(T_1,U_1,H)=\int_T^{T+H}[P(x+U_1)-P(x)]^2\,dx. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13.16}
$$
Так как $T_1 \leqslant T+2U$, $U_1 \leqslant U$, то можно воспользоваться оценкой (12.8).
При выполнении условий имеем Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{0\leqslant \mu \leqslant \lambda}\, \sum_{0 \leqslant n \leqslant 2^{\mu+1}}1 &\ll \frac{U}{b}\,, \\ \sum_{0\leqslant \mu \leqslant \lambda}\, \sum_{0 \leqslant n \leqslant 2^{\mu+1}}U_1 &\ll \lambda U, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то из (13.16), (13.18) следует, что
$$
\begin{equation}
Q_{\rm M} \ll \lambda^2 (\ln T)HU+T(\ln T)^2\,\frac{U}{b}+ Hb^2\overline{r}^2(T).
\end{equation}
\tag{13.19}
$$
Выбираем $b$ из условия $TUb^{-1}=Hb^2$: Так как $U \gg T^{1/4}(\ln T)^{-1}$, то $b>\varphi^2(T)$, $Ub^{-1} \gg 1$ и получаем, что
$$
\begin{equation}
Q_{\rm M} \ll \ln T(\ln U)^2HU+\overline{r}^2(T)H^{2/3}(TU)^{1/3},
\end{equation}
\tag{13.21}
$$
если $T^{1/4}(\ln T)^{-1} \ll U \ll T^{1/2}$ и $H \gg T^{1/2}(\ln T)^2$. Если же $H \ll T^{1/2}(\ln T)^2$, то, снова выбирая $b$ из условия (13.17) и используя (12.9), получим ту же оценку (13.21). Теорема 13 доказана. 14. Оценки величин $|P(T)-P(x)|$ и $|P(x)|$Связь оценок указанных величин уже рассматривалась в разделе 11. В настоящем разделе будет доказана следующая теорема. Теорема 14. I. Пусть при $T \leqslant x \leqslant T+U$ ($U \ll T$) верна оценка II. Если при $T \leqslant x \leqslant T+U$, $U \geqslant T^{1/2-\gamma}$ ($\gamma=\gamma(T)>0$) выполнено неравенство то Если условие (14.4) выполняется при $U=T^{1/2}/\psi(T)$ ($\psi \in \{\varepsilon\}$), то Доказательство. Рассмотрим тождество
$$
\begin{equation}
P(T)=\frac{1}{U}\int_T^{T+U}P(x)\,dx+\frac{1}{U}\int_T^{T+U}[P(T)-P(x)]\,dx.
\end{equation}
\tag{14.7}
$$
Из (10.2) следует, что (см. (14.11))
$$
\begin{equation}
|P(T)| \leqslant C_1\sqrt{\frac{T}{U}}+T^\alpha U^\beta \qquad (U \ll T^{1/2}),
\end{equation}
\tag{14.8}
$$
$$
\begin{equation}
|P(T)| \leqslant C_2\,\frac{T^{3/4}}{U}+T^\alpha U^\beta \qquad (U \ll T).
\end{equation}
\tag{14.9}
$$
Выбираем $U$ из условия $T^{3/4}U^{-1}=T^\alpha U^\beta$:
$$
\begin{equation*}
U=T^{(3/4-\alpha)/(1+\beta)}\qquad (\alpha<\frac{3}{4}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценка (14.2) следует из (14.9). Эта оценка нетривиальна, если
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha+3\beta/4}{1+\beta}<\frac{1}{3}\,,\quad\text{т. е.}\quad 3\alpha+\frac{5}{12}\,\beta<\frac{1}{3}\,.
\end{equation}
\tag{14.10}
$$
Рассмотрим случай $U \ll T^{1/2}$. Выбирая $U$ из условия $T^{1/2}U^{-1/2}=T^\alpha U^\beta$, имеем Заметим, что $(1-2\alpha)/(1+2\beta)< 1/2$, так как $4\alpha+2\beta>1$. Оценка (14.3) теперь следует из (14.7), и эта оценка нетривиальна, если
$$
\begin{equation}
\frac{\alpha+\beta}{1+2\beta}<\frac{1}{3}\,,\quad\text{т. е.}\quad 3\alpha+\beta<1.
\end{equation}
\tag{14.12}
$$
Согласно гипотезе Ютилы, если $T<x<T+U$, то
$$
\begin{equation}
|P(T)-P(x)| \ll T^\varepsilon U^{1/2},\qquad T^\varepsilon<U< T^{1/2-\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{14.13}
$$
Из (14.3) следует, что в этом случае $|P(T)|\ll T^{1/4+\varepsilon}$, т. е. решение проблемы круга следует из гипотезы Ютилы.
Докажем утверждение II. Так как $U \ll T^{1/2}$, то из (14.7) и (10.2) следует, что
$$
\begin{equation}
|P(T)| \ll \sqrt{\frac{T}{U}}+\frac{1}{U}\int_T^{T+U}|P(x)-P(T)|\,dx,
\end{equation}
\tag{14.14}
$$
и с учетом (14.4) имеем Оценки (14.5), (14.6) непосредственно следуют из (14.15). Теорема 14 доказана. В настоящее время оценка (14.1) с $\alpha$, $\beta$, для которых выполнялось бы условие (14.10) или (14.12), не доказана. Докажем, что при $U \ll T^{3/5}$
$$
\begin{equation}
|P(T+U)-P(T)| \ll U^{1/4}T^{1/4}\psi(T),\qquad \psi \in \{\varepsilon\}.
\end{equation}
\tag{14.16}
$$
Заметим, что в этом случае выполнено неравенство $3\alpha+\beta \geqslant 1+\varepsilon$ и вытекающая из (14.16) оценка величины $|P(x)|$ тривиальна. Из усеченной формулы Вороного (5.1) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P(T+U)-P(T)&=-\frac{1}{\pi}\sum_{j=1}^N\frac{r(j)}{j^{3/4}} \int_T^{T+U}\frac{d}{dy}\biggl(y^{1/4}\cos\biggl(2\pi \sqrt{jy}+ \frac{\pi }{4}\biggr)\biggr)\,dy \\ &\qquad+\Delta_NP(T,U), \\ \Delta_NP(T,U)&=\Delta_NP(T+U)-\Delta_NP(T). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.17}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dy}\biggl(y^{1/4}\cos\biggl(2\pi \sqrt{jy}+ \frac{\pi}{4}\biggr)\biggr)=\frac{1}{4}\,y^{-3/4} \cos\biggl(2\pi \sqrt{jy}+\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-\pi y^{-1/4}\sqrt{j}\,\sin\biggl(2\pi \sqrt{jy}+ \frac{\pi }{4}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\sum_{j \leqslant N}\frac{r(j)}{j^{3/4}}\int_T^{T+U}y^{-3/4} \cos\biggl(2\pi \sqrt{jy}+\frac{\pi }{4}\biggr)\,dy\ll \frac{U}{T^{3/4}}\,N^{1/4},
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P(T+U)-P(T)=\int_T^{T+U}y^{-1/4}f(y)\,dy+ O\biggl(\frac{U}{T^{3/4}}\,N^{1/4}\biggr)+\Delta_N P(T,U), \\ f(y)=\sum_{j=1}^N\frac{r(j)}{j^{1/4}}\sin \biggl(2\pi\sqrt{jy}+ \frac{\pi }{4}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.18}
$$
В силу неравенства Коши из (14.18) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |P(T+U)-P(T)| \ll \frac{U^{1/2}}{T^{1/4}}\,R_1^{1/2}+ \frac{UN^{1/4}}{T^{3/4}}+\Delta_N P(T,U), \\ R_1=\int_T^{T+U} f^2(y)\,dy. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{14.19}
$$
Величину $R_1$ запишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R_1&=\sum_{j=1}^N\frac{r^2(j)}{\sqrt{j}}\int_T^{T+U} \sin^2\biggl(2\pi \sqrt{jy}+\frac{\pi }{4}\biggr)\,dy \\ &\qquad+2\sum_{1 \leqslant j<l \leqslant N}\frac{r(j)r(l)}{j^{1/4}\,l^{1/4}} \int_T^{T+U}\sin\biggl(2\pi \sqrt{ly}+\frac{\pi }{4}\biggr) \sin\biggl(2\pi \sqrt{jy}+\frac{\pi }{4}\biggr)\,dy. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14.20}
$$
Так как
$$
\begin{equation}
\int_T^{T+U}\sin\biggl(2\pi \sqrt{jy}+\frac{\pi }{4}\biggr) \sin\biggl(2\pi \sqrt{ly}+\frac{\pi }{4}\biggr)\,dy\ll \frac{\sqrt{T}}{\sqrt{l}-\sqrt{j}}\,,
\end{equation}
\tag{14.21}
$$
то получим, что
$$
\begin{equation}
R_1 \ll U\sum_{j \leqslant N}\frac{r^2(j)}{\sqrt{j}}+\sqrt{T}\, \sum_{1 \leqslant j<l \leqslant N} \frac{r(j)r(\ell)}{(\sqrt{l}-\sqrt{j}\,)j^{1/4}\,l^{1/4}}\,.
\end{equation}
\tag{14.22}
$$
Суммы в правой части (14.22) легко оцениваются:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{j \leqslant N}\frac{r^2(j)}{\sqrt{j}} &\ll N^{1/2}\ln N, \\ \sum_{1 \leqslant j<l \leqslant N} \frac{r(j)r(l)}{(\sqrt{l}-\sqrt{j}\,)j^{1/4}\,l^{1/4}}&= \sum_{1 \leqslant j<l \leqslant N} \frac{r(j)r(\ell)j^{1/2}\,l^{1/2}}{(\sqrt{l}-\sqrt{j}\,)j^{3/4}\,l^{3/4}} \\ &\ll N\sum_{1 \leqslant j<l \leqslant N} \frac{r(j)r(l)}{(\sqrt{l}-\sqrt{j}\,)j^{3/4}l^{3/4}}\ll N(\ln N)^2 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(в последней оценке мы воспользовались последним из соотношений (12.18)). Используя эти результаты, имеем Следовательно, при условии, что Используем оценку (14.24) в (14.19). Тогда
$$
\begin{equation}
|P(T+U)-P(T)| \ll U^{1/2}N^{1/2}\ln N+\frac{UN^{1/4}}{T^{3/4}}+ \Delta_NP(T,U).
\end{equation}
\tag{14.26}
$$
Так как при $U \ll T$ (см. (14.17))
$$
\begin{equation}
\Delta_NP(T,U) \ll \sqrt{\frac{T}{N}}\,\overline{r}(N),
\end{equation}
\tag{14.27}
$$
то, учитывая (14.25), получим
$$
\begin{equation}
|P(T+U)-P(T)| \ll U^{1/2}N^{1/2}\ln N+\sqrt{\frac{T}{N}}\,\overline{r}(N).
\end{equation}
\tag{14.28}
$$
Выбираем $N$ из условия $U^{1/2}N^{1/2}=\sqrt{T/N}$ , тогда Из (14.25) следует, что и из (14.28) получаем, что при $U < T^{3/5}$
$$
\begin{equation}
|P(T+U)-P(T)| \ll U^{1/4}\,T^{1/4}\,\overline{r}(T);
\end{equation}
\tag{14.31}
$$
таким образом, оценка (14.16) доказана. 15. Поведение $P(x)$ вне полосы, где $|P(x)|<Cx^{1/4}$В этом разделе рассматривается поведение $P(x)$ на множестве $S \subset [T,2T]$ таком, что Пусть $x_0 \in S$ – точка локального максимума величины $|P(x)|$. Назовем этот максимум высоким, если $|P(x_0)|> \eta T^{1/4}$ ($\eta>1$), и широким, если неравенство выполняется при Выше (см. теорему 14) было показано, что в этом случае $|P(x)|<CT^{1/4+\varepsilon}$. Везде ниже $|U|$ обозначает длину интервала $U$. Теорема 15. Существуют множества $V^\pm \subset S$ и величины $\delta_0>0$, $\lambda>1$ такие, что Доказательство. Построим множество $V^+$. Введем величину
$$
\begin{equation}
P_+(x)=\begin{cases} P(x), & P(x)>0, \\ 0, & P(x)<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{15.10}
$$
и докажем, что Из результатов раздела 6 следует, что
$$
\begin{equation}
C'_2 T^{3/2} \leqslant \int_T^{2T} P^2(x)\,dx \leqslant C''_2 T^{3/2},\qquad \int_T^{2T} P^4(x)\,dx \leqslant C_4 T^2.
\end{equation}
\tag{15.12}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T^{2T} P^2(x)\,dx &\leqslant \biggl(\int_T^{2T}|P(x)|^3\,dx\biggr)^{1/2} \biggl(\int_T^{2T}|P(x)|\,dx\biggr)^{1/2}, \\ \int_T^{2T}|P(x)|^3 &\leqslant \biggl(\int_T^{2T}P^4(x)\,dx\biggr)^{1/2} \biggl(\int_T^{2T}P^2(x)\,dx\biggr)^{1/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то имеет место оценка В силу равенства (6.2) справедлива оценка С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\int_T^{2T}|P(x)|\,dx=2\int_T^{2T}P_+(x)\,dx-\int_T^{2T}P(x)\,dx
\end{equation}
\tag{15.14}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_T^{2T}P_+(x)\,dx \gg \int_T^{2T}|P(x)|\,dx \gg T^{5/4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\int_T^{2T}|P_+(x)|\,dx \leqslant T^{1/2}\biggl(\int_T^{2T}P_+^2(x)\,dx\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
то оценка (15.11) следует из (15.13).
Рассмотрим величину
$$
\begin{equation}
W_+(x)=P_+^2(x)-\lambda\max_{0 \leqslant v \leqslant U}|P(x+v)-P(x)|^2- \delta x^{1/2},\qquad \lambda>0,
\end{equation}
\tag{15.15}
$$
и множество Если $x \in S_+$, то Оценим величину $|S_+|=\mu\{S_+\}$. Замечаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T^{2T}W_+(x)\,dx&<\int_{S_+}W_+(x)\,dx<\int_{S_+}P_+^2(x)\,dx \\ &<|S_+|^{1/2}\biggl(\,\int_{S_+}P_+^4(x)\,dx\biggr)^{1/2}< |S_+|^{1/2}\biggl(\,\int_T^{2T}P^4(x)\,dx \biggr)^{1/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и так как $\displaystyle\int_T^{2T}P^4(x)\,dx<C_4 T^2$, то
$$
\begin{equation}
\int_T^{2T}W_+(x)\,dx\leqslant |S_+|^{1/2}C_4^{1/2}T.
\end{equation}
\tag{15.17}
$$
Из определения (15.15) величины $W_+(x)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_T^{2T}W_+(x)\,dx=\int_T^{2T}P_+^2(x)\,dx- \lambda\int_T^{2T}\max_{0\leqslant v\leqslant U}|P(x+v)-P(x)|^2\,dx- a\delta T^{3/2}, \\ a=\frac{2}{3}(2^{3/2}-1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя оценки (13.3) и (15.11), имеем (при $U<T^{1/2}$)
$$
\begin{equation}
\int_T^{2T}W_+(x)\,dx>C_+T^{3/2}-\lambda C_{\rm M} TU(\ln T)^3- \delta aT^{3/2}.
\end{equation}
\tag{15.18}
$$
Выбираем $\delta$, $\lambda$ из условий
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda C_{\rm M} TU(\ln T)^3 < \frac{C_+}{4}\,T^{3/2}, \\ \delta \leqslant \delta_0=\frac{1}{4a}\,C_+,\quad \lambda>1,\quad U<T^{1/2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15.19}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
U \leqslant \frac{C_+}{C_{\rm M}}\,\frac{1}{4\lambda}\, \frac{\sqrt{T}}{(\ln T)^3}\,.
\end{equation}
\tag{15.20}
$$
При таком выборе $\delta$, $\lambda$ из (15.17) вытекает, что и нужная оценка следует из (15.16). Множество $V^+$ строится следующим образом. Пусть $x_\alpha^+$ – такая точка из $S_+$, что $x_\alpha^+-0 \notin S_\alpha$ и $|U_\alpha^+|=U$ (см. (15.19)). Покажем, что множество
$$
\begin{equation*}
V^+=\bigcup_\alpha U_\alpha^+,\qquad U_\alpha^+=\bigl[x_\alpha^+,x_\alpha^++|U_\alpha^+|\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет условиям теоремы 15. Действительно, из (15.14) следует, что
$$
\begin{equation}
P(x_\alpha^+)>\sqrt{\lambda}\,|P(x_\alpha^++v)-P(x_\alpha^+)|,\qquad 0 \leqslant v \leqslant |U_\alpha^+|.
\end{equation}
\tag{15.23}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
|P(x_\alpha^++v)-P(x_\alpha)|<\lambda^{-1/2}P(x_\alpha^+),\qquad 0 \leqslant v \leqslant |U_\alpha^+|,
\end{equation}
\tag{15.24}
$$
и, следовательно, $x=x_\alpha^++v \in S_+$.
Из (15.14) вытекает, что при $x \in S_+$ выполнено неравенство $P(x)>\sqrt{\delta}\,x^{1/4}$. Так как
$$
\begin{equation}
(1-\lambda^{-1/2})P(x_\alpha)<P(x)<(1+\lambda^{-1/2})P(x_\alpha),\qquad x \in V^+,
\end{equation}
\tag{15.25}
$$
то оценка
$$
\begin{equation}
P(x)<C\,\frac{\sqrt{\lambda}+1}{\sqrt{\lambda}-1}\,T^{1/4}(\ln T)^{3/2},\qquad x \in V^+,
\end{equation}
\tag{15.26}
$$
следует из (14.16). Таким образом, множество $V^+$ построено. Для построения $V^-$ достаточно аналогичным образом рассмотреть $\widetilde{P}(x)=-P(x)$. Теорема 15 доказана. В силу (15.7) все локальные максимумы величины $|P(x)|$ при $x \in V^+ \cup V^-$ широкие и для всех $x \in V^+ \cup V^-$ имеет место оценка (14.6), т. е. на множестве $V^+ \cup V^-$ проблема круга решена. Более того, на этом множестве выполняется оценка (15.9). Результаты теорем 8, 15 позволяют сформулировать гипотезу о поведении величины $P(x)$ при $x \in [T,2T]$. Введем множества $S$, $\overline{S}$ такие, что
$$
\begin{equation}
P(x)\geqslant CT^{1/4}\quad (x \in S),\quad |P(x)|< CT^{1/4}\quad (x \in \overline{S}),\quad S \cup \overline{S}=[T,2T].
\end{equation}
\tag{15.27}
$$
Для определенности предположим, что $P(T) \geqslant CT^{1/4}$. Гипотеза. Множество $S$ может быть представлено в виде Замечания к главе III1. Оценка (10.2) получена в работе [46]. 2. Четвертый локальный момент был рассмотрен в работе [47], где доказана оценка (10.4). В этой работе доказано также, что $E_4(T,H) \ll T^{1+\varepsilon}$ при $H \geqslant T^{2/3}$. При доказательстве оценки (10.4) мы в основном следовали методу работы [47]. Существование функции $\varphi(x)$ (10.24) доказано в работе [48]. Оценка (10.50) доказана в [49]. 3. В разделе 11 изложен результат работы [46]. 4. Интеграл $\displaystyle\int_T^{T+H}[\Delta(x+u)-\Delta(x)]^2\,dx$ был рассмотрен в работе [49]. В этой работе было доказано, что при $1 \ll U \ll T^{1/2} \ll H \leqslant T$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_T^{T+H}[\Delta(x+U)-\Delta(x)]^2\,dx&=\frac{1}{4\pi^2}\int_T^{T+H}x^{1/2} \biggl|\exp\biggl\{2\pi iU\sqrt{\frac{x}{n}}\,\biggr\}-1\biggr|^2\,dx \\ &\qquad+O(T^{1+\varepsilon}+H\sqrt{U}\,T^\varepsilon), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а при $HU \gg T^{1+\varepsilon}$, $T^\varepsilon \ll U \leqslant \sqrt{T}/2$ справедлива двусторонняя оценка
$$
\begin{equation*}
\int_T^{T+H}[\Delta(x+U)-\Delta(x)]^2\,dx \asymp HU\ln\frac{\sqrt{T}}{U}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При доказательстве теоремы 12 мы следовали работе [50]. Оценка (15.17) и соотношение (15.18) доказаны в этой работе. 5. Равенство (12.38) с менее точной оценкой остаточного члена доказано в [51]. 6. Поведение корреляционной функции при $U \gg T^{1/2}$ рассмотрено в работе [52]. 7. Второй локальный момент величины $\max_{v \leqslant U}|\Delta(x+v)-\Delta(x)|$ рассмотрен в работе [41], где доказано, что
$$
\begin{equation*}
\int_T^{2T}\max_{v \leqslant U}|\Delta(x+v)-\Delta(x)|^2\,dx \ll TU(\ln T)^5.
\end{equation*}
\notag
$$
При доказательстве теоремы 13 мы следовали работам [41] и [51]. 8. Результат теоремы 14 по существу содержится в работе [46] (см. также [7]). 9. Оценка $|\Delta(x+U)-\Delta(x)| \ll x^{1/4+\varepsilon}U^{1/4}$ ($1 \ll U \ll x^{3/5}$) доказана в [53]. При доказательстве оценок (14.16), (14.31) мы следовали методу этой работы. 10. В работе [41] доказано, что существуют непересекающиеся интервалы $U_\alpha \subset [T,2T]$ ширины $|U_\alpha| \sim \sqrt{T}\,(\ln T)^{-5}$ такие, что при $x \in U_\alpha$ При доказательстве теоремы 15 мы следовали работам [41], [53]. Заметим, что оценки сверху величины $|\Delta(x)|$ при $x \in U_\alpha$ в этих работах получено не было. На возможность такой оценки указано в [7], [46].11. В работе [54] приведены результаты численного эксперимента, основной целью которого было подтверждение гипотезы, что все достаточно высокие максимумы являются широкими. Пусть $x_\alpha \in [T,2T]$ – локальный максимум величины $|P(x)|$ и $|P(x_\alpha)|=:h_\alpha$. Определим ширину $u_\alpha$ этого максимума тем условием, что
$$
\begin{equation*}
|P(x_\alpha)|>\dfrac{1}{2}h_\alpha\quad\text{при}\ \ |x-x_\alpha|<u_\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 14 следует, что
$$
\begin{equation*}
h_\alpha < CT^{1/4}(\ln T)^{\rho/2}, \quad\text{если}\ \ u_\alpha=T^{1/2}(\ln T)^{-\rho}\ \ (\rho>0).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае максимум $x_\alpha$ будем называть $\rho$-широким. В работе [54] проверялась гипотеза, что все локальные максимумы $x_\alpha$ такие, что $|P(x_\alpha)|>\eta T^{1/4}$ ($\eta>1$), являются $\rho$-широкими. Эта гипотеза была проверена при $x \in I=I_1 \cup I_2$, где $I_1=[10^7,3.2\cdot 10^8]$ и $I_2=[10^7,10^{12}+10^8]$ – некоторое достаточно представительное множество. Численный эксперимент показал, что при $x \in I$, $\eta=3$ все локальные максимумы являются 2-широкими и, таким образом, при $x_\alpha \in I$ верно неравенство В заключение сформулируем ряд гипотез и нерешенных задач, связанных с поведением величины $|P(x)|$ при больших $x$. ГипотезыСамая сильная гипотеза о поведении $P(x)$ на интервале $[T,2T]$ была сформулирована в конце раздела 15. Доказательство любой из приведенных ниже гипотез 1)–4) влечет решение проблемы круга. 1) Существует сколь угодно большая величина $k$ такая, что (величина $\overline{M}_k(T)$ определена в разделе 6).2) Пусть $|P(T)|>CT^{1/4}$. Тогда $s(T)=2$ (величина $s(T)$ определена в разделе 11). 3) Если $|x-T|\ll T^{1/2-\varepsilon} $, то $|P(x-U)-P(x)| \ll T^\varepsilon U^{1/2}$ (гипотеза Ютилы). 4) Если $x_0 \in [T,2T]$ – локальный максимум величины $|P(x)|$ и выполнено неравенство $|P(x_0)|>CT^{1/4}$, то
$$
\begin{equation*}
|P(x)-P(T)| \leqslant \frac{1}{2}\,|P(T)|\quad\textit{при}\ \ |x-T| \ll T^{1/2-\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. все достаточно высокие максимумы являются широкими. ЗадачиРешение любой из сформулированных ниже задач 1)–4) позволит получить нетривиальную оценку величины $|P(x)|$. 1) Доказать, что $\overline{M}_{k}(T) \ll T^{1+k/4+\varepsilon}$ для некоторого $k>9$. 2) Доказать, что если $|P(T)|>CT^{1/4}$, то $s(T)>1$. 3) Усилить приведенные в теореме 10 оценки величин $E_k(T,H)$, $k=4,6$. В частности, доказать, что $E_4(T,H)\ll T^{1+\varepsilon}$ при $H \geqslant T^{1/2}$. 4) Доказать оценку при $\alpha<3/4$, $\alpha+5\beta/12 <1/3$ или при $\alpha<1/2$, $3\alpha+\beta<1$ (см. раздел 14).Приложение A. Усеченная формула Перрона Теорема A.1. Пусть ряд Дирихле Доказательство. Рассмотрим интеграл
$$
\begin{equation}
I(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT}F(s)x^s\,\frac{ds}{s}\,.
\end{equation}
\tag{A.6}
$$
В силу (A.2) ряд $F(s)$ (A.1) можно интегрировать почленно, и, следовательно, где
$$
\begin{equation}
I_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT} \biggl(\frac{x}{n}\biggr)^s\,\frac{ds}{s}\,.
\end{equation}
\tag{A.8}
$$
Введем обозначения и запишем интеграл $I_n(x)$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_n(x)&=\frac{a^b}{2\pi }\int_0^T e^{it\lambda}\,\frac{dt}{b^2+t^2}+ \frac{a^b}{2\pi }\int_0^T e^{-i\lambda t}\,\frac{dt}{b-iT} \\ &=\frac{a^b b}{\pi}\int_0^T \frac{\cos \lambda t}{b^2+t^2}\,dt+ \frac{a^b}{\pi}\int_0^T \frac{t\sin \lambda t}{b^2+t^2}\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, имеет место равенство
$$
\begin{equation}
I_n(x)=\frac{a^b b}{\pi}\int_0^\infty \frac{\cos \lambda t}{b^2+t^2}\,dt+ \frac{a^b}{\pi}\int_0^\infty \frac{t\sin \lambda t}{b^2+t^2}\,dt- \Delta_1I_n(x),
\end{equation}
\tag{A.10}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Delta_1I_n(x)=\frac{a^b b}{\pi}\int_T^\infty \frac{\cos\lambda t}{b^2+t^2}\,dt+\frac{a^b}{\pi}\int_T^\infty \frac{t\sin \lambda t}{b^2+t^2}\,dt.
\end{equation}
\tag{A.11}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty \frac{\cos \lambda t}{b^2+t^2}\,dt= \frac{\pi }{2b}\,e^{-|\lambda|b},\qquad \int_0^\infty \frac{t\sin \lambda t}{b^2+t^2}\,dt= \frac{\pi }{2}\,e^{-|\lambda|b}\operatorname{sgn}\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}\lambda=\begin{cases} 1, & \lambda>0, \\ 0, & \lambda=0, \\ -1, & \lambda<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
то из (A.10) следует, что
$$
\begin{equation}
I_n(x)=\frac{a^b}{2}\,e^{-|\lambda|b}(1+\operatorname{sgn}\lambda)- \Delta_1I_n(x).
\end{equation}
\tag{A.12}
$$
Рассмотрим величину $\Delta_1I_n(x)$, определенную формулой (A.11). Первый интеграл в правой части (A.11) легко оценивается:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_T^\infty \frac{\cos\lambda t}{b^2+t^2}\,dt\biggr|< \int_T^\infty\frac{dt}{t^2}=\frac{C}{T}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Второй интеграл запишем в виде
$$
\begin{equation*}
\int_T^\infty \frac{t\sin\lambda t}{b^2+t^2}\,dt= \int_T^\infty \frac{\sin\lambda t}{t}\,dt- b^2\int_T^\infty \frac{\sin\lambda t}{t(b^2+t^2)}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем использовать стандартные обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{si}x&=-\displaystyle\int_x^\infty \dfrac{\sin t}{t}\,dt= \operatorname{Si}x-\frac{\pi }{2}\,, \\ \operatorname{Si}x&=\displaystyle\int_0^x\dfrac{\sin t}{t}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.13}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_T^\infty\frac{\sin\lambda t}{t(b^2+t^2)}\,dt\biggr|\leqslant \int_T^\infty\frac{dt}{t^3}=\frac{1}{2T^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то получаем, что
$$
\begin{equation}
\Delta_1I_n=-\frac{a^b}{\pi}\operatorname{si}(|\lambda T|) \operatorname{sgn}\lambda+\Delta_2I_n,
\end{equation}
\tag{A.14}
$$
$$
\begin{equation}
|\Delta_2I_n|\leqslant \frac{a^bb}{\pi}\,\frac{1}{T}+ \frac{a^b}{\pi}\,\frac{b^2}{2T^2}
\end{equation}
\tag{A.15}
$$
и (см. (A.12))
$$
\begin{equation}
I_n(x)=\frac{a^b}{2}\,e^{-\lambda|T|}(1+\operatorname{sgn}\lambda)+ \frac{a^b}{\pi}(-\operatorname{si}(|\lambda|T)) \operatorname{sgn}\lambda+\Delta_2I_n.
\end{equation}
\tag{A.16}
$$
Это равенство можно записать в виде
$$
\begin{equation}
I_n(x)=\begin{cases} 1, & x>n, \\ \dfrac{1}{2}\,, & x=n, \\ 0, & x<n, \end{cases}\quad+\Delta I_n,
\end{equation}
\tag{A.17}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Delta I_n=\frac{a^b}{\pi } \biggl(-\operatorname{si}\biggl|\ln\frac{x}{n}\biggr|\biggr) \operatorname{sgn}\biggl(\ln\frac{x}{n}\biggr)+\Delta_2I_n.
\end{equation}
\tag{A.18}
$$
Из (A.17), (A.18) следует, что и в этих формулах
$$
\begin{equation}
|R_i| \leqslant \frac{1}{\pi T}\biggl(\frac{x}{n}\biggr)^b \frac{1}{|\!\ln(x/n)|}\,,\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{A.21}
$$
Запишем величину $I(x)$ (A.7) в виде
$$
\begin{equation}
I(x)=\sum_{n<x-1}a_nI_n+\sum_{n>x+1}a_nI_n+ \sum_{|n-x|\leqslant 1}a_nI_n.
\end{equation}
\tag{A.22}
$$
Первая и вторая суммы в правой части этого равенства оцениваются с помощью (A.19)–(A.21).
Из (A.17), (A.18) следует, что при $0<a<2$
$$
\begin{equation}
I_n(x) \leqslant C\,2^b,\quad\text{если}\ \ |x-n|<1.
\end{equation}
\tag{A.23}
$$
Поэтому имеет место равенство в котором
$$
\begin{equation}
S=\sum_{|x-n|>1}|a_n|\,\frac{1}{\pi T}\biggl(\frac{x}{n}\biggr)^b \frac{1}{|\!\ln(x/n)|}\,.
\end{equation}
\tag{A.26}
$$
Рассмотрим величину $S$, которую запишем в виде где
$$
\begin{equation}
S_1 =\begin{cases} \dfrac{x^b}{\pi T}\displaystyle\sum_{|x-n|<\beta x} \dfrac{|a_n|}{n^b}\,\dfrac{1}{\ln|x/n|}\,,& \beta x > 1, \\ 0, & \beta x \leqslant 1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{A.28}
$$
$$
\begin{equation}
S_2 =\frac{x^b}{\pi T}\sum_{|x-n|>\beta x}\frac{|a_n|}{n^b}\, \frac{1}{\ln|x/n|}\,.
\end{equation}
\tag{A.29}
$$
В сумме $S_1$ номера $n$ таковы, что $(1-\beta)x<n<(1+\beta)x$, а в сумме $S_2$ номера $n$ таковы, что $n<(1-\beta)x$ или $n>(1+\beta)x$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
|S_1| \ll \frac{\beta x}{T(1-\beta)^b} \max_{|x-n|<\beta x}|a_n|\frac{1}{\ln(1+\beta)}\,, \quad\text{если}\ \ \beta <1,
\end{equation}
\tag{A.30}
$$
в то время как
$$
\begin{equation}
|S_2| \ll \frac{x^b}{T}\,\frac{1}{\ln(1+\beta)}\,A(b).
\end{equation}
\tag{A.31}
$$
Нужный результат (A.4), (A.5) теперь следует из (A.24), (A.27), (A.30) и (A.31). Теорема A.1 доказана. Рассмотрим интересующий нас пример Так как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L(b|\chi_4) \leqslant C_1(b), \\ \zeta(s) \leqslant \frac{C_2}{b-1}\qquad (\sigma>b), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{A.33}
$$
то Предполагаем, что $1<b<c$ и $c<\beta<1$, и выбираем, например, $\beta=1/2$. Так как $\overline{r}(\gamma x) \leqslant C(\gamma)\overline{r}(x)$, то из (A.4) получаем, что
$$
\begin{equation}
A(x)=\sum_{n \leqslant x}r(n)=\frac{1}{2\pi i}\int_{b-iT}^{b+iT} F(s)x^s\,\frac{ds}{s}+R_1(x),
\end{equation}
\tag{A.35}
$$
$$
\begin{equation}
|R_1(x)| \ll \frac{x^b}{T}\,\frac{1}{b-1}+\overline{r}(x) \biggl(\frac{x}{T}+1\biggr).
\end{equation}
\tag{A.36}
$$
Заметим, что в силу (5.37) нас будет интересовать случай и, следовательно, $x^b \ll x$.
Приложение B. Одна общая теоремаВ этом приложении будет доказана теорема, позволяющая (при некоторых условиях) получить поточечную оценку величины $|A(x)|$, если известны оценки ее локальных моментов Предполагается, что эта величина существует. Пусть заданы величины $T$, $H$, $p$, $a(T)$, $\lambda(T)$, $s(T)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
T \gg 1, \quad 0<H \leqslant T,\quad p \geqslant 1, \quad a(T) \geqslant 1, \quad 0< \lambda(T) <1,\quad s(T)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема B.1. Пусть определенная при $x \geqslant 0$ величина $A(x)$ такова, что для $x \in \Omega := \{x \geqslant 0\colon |x-T| \leqslant H\}$ выполнено неравенство при условии, что Тогда если то для любого такого $T$ справедливо неравенство и константы $C_i=C_i(C_1,p,s)$, $i=2,3,4$, можно явно указать. Доказательство. Рассмотрим окрестность $V$ точки $x=T$:
$$
\begin{equation}
V=\{x>0 \colon |x-T|<\delta\},\qquad \delta=C_1\,\frac{|A(x)|^s}{a(T)}\,.
\end{equation}
\tag{B.8}
$$
В силу условия (B.6) получаем, что и, следовательно, $V \subset \Omega$.
Из условия (B.2) вытекает, что
$$
\begin{equation}
|A(x)| \geqslant \bigl(1-\lambda(T)\bigr)|A(T)|,\qquad x \in V.
\end{equation}
\tag{B.10}
$$
Рассмотрим множество и выберем $b$ из условия т. е.
$$
\begin{equation}
b=\biggl(\frac{4}{C_1}\biggr)^{1/p}(F_pH)^{1/p}|A(T)|^{-s/p}a^{1/p}(T).
\end{equation}
\tag{B.12}
$$
Рассмотрим множество
$$
\begin{equation}
\overline{L}_b=\Omega\setminus L_b=\{x \in \Omega\colon |A(T)|>b\}.
\end{equation}
\tag{B.13}
$$
На множестве $\mathbb{R}_+$ рассмотрим вероятностную меру $\mathcal{P}=\mathcal{P}(T,H)$, задаваемую плотностью распределения вероятностей
$$
\begin{equation}
\rho(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2H}\,, & |x-T| \leqslant H, \\ 0, & |x-T|>H. \end{cases}
\end{equation}
\tag{B.14}
$$
Тогда В силу неравенства Чебышёва
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}\{\overline{L}_b\} \leqslant \frac{E(|A|^p)}{b^p} \leqslant \frac{F_p}{b^p}=\frac{\delta}{4H}
\end{equation}
\tag{B.16}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}\{L_b\} \geqslant 1-\frac{\delta}{4H}\,,
\end{equation}
\tag{B.17}
$$
а значит,
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}\{V\}+\mathcal{P}\{L_b\} \geqslant 1+\frac{3}{4}\,\frac{\delta}{H}\,.
\end{equation}
\tag{B.18}
$$
Из этого неравенства следует, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}\{V\cap L_b\}\geqslant \frac{3}{4}\,\frac{\delta}{H}\,.
\end{equation}
\tag{B.19}
$$
Таким образом, множество $V\cap L_b$ непусто. Пусть $\widetilde{x} \in V\cap L_b$. Тогда выполнены неравенства (см. (B.10), (B.11))
$$
\begin{equation}
|A(\widetilde{x})| \geqslant (1-\lambda(T))|A(T)|,\qquad |A(\widetilde{x})| \leqslant b,
\end{equation}
\tag{B.20}
$$
и получаем, что
$$
\begin{equation}
(1-\lambda(T))|A(T)| \leqslant b=\biggl(\frac{4}{C_1}\biggr)^{1/p} |A(T)|^{-s/p}a^{1/p}(T).
\end{equation}
\tag{B.21}
$$
Нужная оценка (B.7) следует из (B.21) при $C_4=(4/C_1)^\alpha$. Теорема B.1 доказана. Полученная оценка (B.7) содержательна (см. (B.6)), если $G<C_3(Ha(T))^{1/s}$, т. е. если $C_2 \leqslant C_1^{-1}(C_3/4)^{p+s}$. Все идеи доказательства теоремы B.1 содержатся в работе [46], где был рассмотрен случай $A(x)=P(x)$ и более общий метод задания вероятностных мер на $\mathbb{R}_+$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|