| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Краткие сообщения Чебышёвские множества, являющиеся объединением плоскостей А. Р. Алимовabc, И. Г. Царьковa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10167e 
Реферативные базы данных:
     Множество называется чебышёвским, если оно есть множество существования и единственности, т. е. любая точка имеет единственную ближайшую точку во множестве. Изучаются свойства чебышёвских множеств, представляющих собой конечное или счетное объединение плоскостей, т. е. замкнутых аффинных подпространств, возможно, вырожденных в точки. Наряду с обычными нормированными пространствами мы также рассматриваем пространства с несимметричной нормой. Несимметричная норма $\|\cdot|$ на линейном действительном пространстве $X$ определяется следующими аксиомами: 1) $\|\alpha x|=\alpha\| x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\|x+y|\leqslant \|x|+\|y|$ для всех $x,y\in X$; 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$, $\|x|=0\Leftrightarrow x=0$. Мы предполагаем, что объединение плоскостей $\bigcup_{i\in A} L_i$ всегда является неприводимым, т. е. для любого $j\in A$, $\operatorname{card}A\geqslant 2$, множество $L_j\setminus \bigcup_{i\in A, \, i\ne j} L_i$ всюду плотно в $L_j$ относительно нормы симметризации $\|x\|_{\rm sym}=\max\{\|x|,\|-x|\}$. По теореме Бэра неприводимым является не более чем счетное объединение плоскостей $\bigcup_iL_i$, $L_i\not\subset L_j$, $i\ne j$, в банаховом пространстве. Если объединение плоскостей $\bigcup_{i\in A} L_i$ неприводимо, то никакая плоскость из объединения не содержит другую. В настоящее время агрегаты, состоящие из неприводимого объединения плоскостей, активно изучаются и имеют ряд приложений, например, в задачах восстановления сигналов (про которые, к примеру, известно, что они лежат на некотором объединении подпространств), задачах представления сигналов через разреженный набор базовых сигналов, а также в задачах математической экономики и связанных с ней задачах минимизации рисков и задачах минимизации “$\ell_0$-нормы”. Задачи приближения объединением плоскостей тесно связаны с приближением ридж-функциями и классическими вариантами задачи $n$-членного приближения. Чебышёвские множества, представляющие собой не более чем счетное объединение аппроксимативно компактных множеств, были изучены И. Г. Царьковым [4; § 3]. В частности, им показано, что если $X$ – равномерно выпуклое банахово пространство, $M\subset X$ – чебышёвское множество, являющееся не более чем счетным объединением аппроксимативно компактных множеств, то $M$ – чебышёвское солнце. Если, дополнительно, $X$ – гладкое пространство, то $M$ выпукло. Полученные результаты продолжают и развивают исследования о приближении множествами, составленными из объединения плоскостей, начатые в [3] и [4]. Мы следуем определениям из [1]–[3]. Множество $M\ne\varnothing$ называется унимодальным (или $\mathrm{LG}$-множеством), если для любого $x\notin M$ каждый локальный минимум функции $\|y-x|$, $y\in M$, является глобальным. Множество $B$-связно, если его пересечение с любым замкнутым шаром связно. Множество $M$ $\mathring{B}$-полно, если для любых $x\in X$, $r>0$ условие $M_0:=(\mathring{B}(x,r)\cap M) \ne\varnothing$ влечет, что $\overline{M}_0\supset (M\cap B(x,r))$ (здесь $\mathring{B}(x,r)=\{y\in X \mid \|y-x| < r\}$ – открытый шар, $B(x,r)=\{y\in X \mid \|y-x|\leqslant r\}$). Теорема 1. Пусть имеет место один из следующих двух случаев. (i) $X$ – лево-полное несимметрично нормированное пространство, в котором единичный шар $B(0,1)$ замкнут, и $M$ – неприводимое объединение счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. (ii) $X$ – право-полное несимметрично нормированное пространство, и $M$ – право-замкнутое множество, являющееся неприводимым объединением счетного числа плоскостей $L_i$ в $X$. Пусть, далее, выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) $M$ $B$-связно; 2) $M$ $\mathring{B}$-полно; 3) $M$ право регулярно аппроксимативно компактно (см. [2]); 4) $M$ унимодально. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством в $X$. Пусть $X$ – симметризуемое несимметричное пространство. Мы говорим, что $X\in (\mathrm{CLUR})$, если из соотношений $x\in S:=\{s\mid \|s\,|=1\}$, $y_n\in S$, $\|x+y_n\,|\to 2$ следует, что $(y_n)$ имеет сходящуюся подпоследовательность. Рефлексивное (CLUR)-пространство является пространством Ефимова–Стечкина. Класс (CLUR) включает в себя равномерно выпуклые пространства и локально равномерно выпуклые нормированные пространства (в частности, гильбертовы пространства и пространства $L^p$, $1<p<\infty$). Следующий результат дает частичный ответ на известную проблему Ефимова–Стечкина–Кли о выпуклости чебышёвских множеств в случае, если множество составлено из не более чем счетного объединения плоскостей. Теорема 2. Пусть $X$ – рефлексивное $ (\mathrm{CLUR})$-пространство и $M \subset X$ – не более чем счетное неприводимое объединение плоскостей. Тогда $M$ не является чебышёвским множеством в $X$. Для случая чебышёвского множества, составленного из конечного числа плоскостей, ответ получен в самом общем случае без ограничений на пространство или на множество. Что особенно важно, полнота пространства не предполагается. Теорема 3. Пусть $X$ – линейное несимметрично нормированное пространство. Конечное объединение плоскостей $M $ в $X$ является чебышёвским множеством тогда и только тогда, когда $M$ – чебышёвская плоскость. Отметим одно приложение полученных выше результатов: в $L^1(\Omega,\sigma,\mu)$ с неатомарной $\sigma$-конечной мерой $\mu$ не более чем счетное неприводимое объединение плоскостей конечной размерности или коразмерности не является чебышёвским множеством. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AliTsa24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|