| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Когомологии алгебр Хопфа и произведения Масси В. М. Бухштаберa, Ф. Ю. Попеленскийbc a Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10172e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеАлгебры Хопфа – фундаментальный объект современной математики, который нашел важные приложения в математической физике. Теория и приложения алгебр Хопфа были в центре внимания Сергея Петровича Новикова начиная с его первой публикации [1] в 1959 г. Алгебра Ландвебера–Новикова является одной из самых известных алгебр Хопфа. Когомологии этой алгебры задают начальный член спектральной последовательности Адамса–Новикова. В когомологиях алгебр Хопфа помимо умножения существует ряд других важных операций. В работах [1], [2] были введены и нашли важные приложения операции Стинрода $\text{mod } p$ в когомологиях кокоммутативных алгебр Хопфа. Кольцо когомологий $H^*(\Omega X,\Bbbk)$, где $\Bbbk$ – поле и $\Omega X$ – пространство петель, является классическим примером алгебры Хопфа. Спектральная последовательность Милнора [3], [4], вычисляющая когомологии пространства $X$ по когомологиям пространства $\Omega X$, привела к задачам о структуре когомологий алгебры Хопфа $H^*(\Omega X,\Bbbk)$; более подробно см. [5]. В [6] была введена спектральная последовательность для вычисления когомологий алгебр Хопфа над полем конечной характеристики. Теория квантовых групп (см. [7], [8]) привела к новым задачам о когомологиях алгебр Хопфа (уже над произвольными полями), в том числе к задаче о деформациях (см., например, [9]). Ряд результатов по современным задачам о когомологиях алгебр Хопфа см. в материалах конференции [10]. В когомологиях дифференциальных алгебр определены операции Масси (см. [11]–[14]). Важной оказалась связь этих операций с дифференциалами соответствующих спектральных последовательностей (см. [15]–[17]). В центре внимания нашей работы следующие задачи: 1) реализация классов когомологий алгебр Хопфа произведениями Масси; 2) спектральные последовательности, дифференциалы которых реализуются операциями Масси; 3) эффективизация конструкции определенного класса произведений Масси, реализуемых в виде дифференциалов спектральной последовательности. Мы описываем результаты по задачам 1)–3), используя подход, в основе которого лежит аппарат спектральной последовательности Бухштабера ($\operatorname{Bss}$). В качестве примеров мы рассматриваем две серии алгебр Хопфа, возникающих как универсальные обертывающие широко известных алгебр Ли: $\bullet$ алгебры Ли $\mathcal{G}L^n$ группы $L^n$ полиномиальных преобразований прямой; $\bullet$ алгебры Гейзенберга–Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$. Когомологиям алгебр Гейзенберга–Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$ посвящен ряд работ – см., например, [18]–[24]. Используя и обобщая результаты этих работ, мы приводим полное решение задач 1), 2) и 3) в случае алгебр Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}_H$ (см. раздел 8). Более того, в этом разделе описана структура кольца когомологий $\mathcal{GH}^{2n+1}$ как модуля над кольцом когомологий тора $T^{2n}$. Отметим, что нильмногообразия $M_H^{2n+1}$ обладают контактными структурами. Задача: описать структуру многообразия $M_H^{2n+1}$ как пространства расслоения $M_H^{2n+1}\to V^n$ над $n$-мерным абелевым многообразием $V^n$. Cпектральная последовательность Бухштабера была введена в [25] в связи с алгебраической проблемой вычисления члена $E_2(AN)$ спектральной последовательности Адамса–Новикова для стабильных гомотопических групп сфер. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
E_2(AN)=\operatorname{Ext}_S^{s,t}(\mathbb{Z},\Omega_U^*),\qquad s\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S$ – алгебра Хопфа стабильных когомологических операций Ландвебера–Новикова в комплексных кобордизмах $U^*(-)$, а $\Omega_U^*$ – кольцо скаляров теории $U^*(-)$, которое согласно теореме Милнора–Новикова изоморфно кольцу полиномов $\mathbb{Z}[y_1,y_2,\ldots]$, $|y_i|=-2i$ (см. [26]–[29]). Здесь и далее через $|x|$ обозначается степень элемента $x$. Мы развиваем теорию спектральной последовательности Бухштабера (в дальнейшем для краткости $\operatorname{Bss}$) на случай общих алгебр Хопфа. В результате получаем новую структуру в кольце когомологий алгебры Хопфа, которая определяется дифференциалами в $\operatorname{Bss}$. Доказано, что эти дифференциалы задают возрастающую исчерпывающую фильтрацию на когомологиях алгебры Хопфа и что для алгебры Хопфа, заданной над полем, любой класс когомологий фильтрации $k$ является представителем нетривиального $(k+1)$-местного специального итерированного матричного произведения Масси от классов размерности 1. Мы вводим новые $\operatorname{Bss}$-операции на когомологиях алгебр Хопфа. Эти операции определяются с помощью дифференциалов в $\operatorname{Bss}$ и являются составной частью новой структуры на когомологиях алгебр Хопфа. Область определения $\operatorname{Bss}$-операции – тензорная алгебра одномерных когомологий алгебры Хопфа, а ее значения лежат в когомологиях этой алгебры. $\operatorname{Bss}$-операции, как и многоместные произведения Масси, частично определены и многозначны. $\operatorname{Bss}$-операция называется нетривиальной, если множество ее значений не содержит нуля. Важное преимущество $\operatorname{Bss}$-операций перед произведениями Масси состоит в том, что, как показано в этой работе, любой класс когомологий алгебры Хопфа над полем реализуется в точности одной, причем нетривиальной, $\operatorname{Bss}$-операцией. Как известно, понятие алгебры Хопфа возникло в связи с задачей о существовании умножения в топологических пространствах (см. [30]). Большое влияние на развитие теории алгебр Хопфа оказали другие задачи алгебраической топологии и гомологической алгебры, возникшие в связи со спектральными последовательностями. В работах В. Г. Дринфельда (см., например, [7]) под именем “квантовых групп” был введен новый класс алгебр Хопфа вида $A\otimes A_*$ с деформированным умножением, где $A$ – некоторая алгебра Хопфа, а $A_*$ – алгебра Хопфа, двойственная к $A$. Квантовые группы были использованы при решении известного в физике уравнения Янга–Бакстера (см., например, [8]). Работы В. Г. Дринфельда и М. Джимбо легли в основу теории квантовых групп как новой области исследований. Опираясь на конструкцию квантовых групп, С. П. Новиков ввел понятие удвоений алгебр Хопфа и в качестве базового примера рассмотрел различные удвоения алгебры Ландвебера–Новикова (см. [31]). Широкое внимание к этим работам привело к новым направлениям исследований и построению важных примеров алгебр Хопфа, в том числе в задачах функционального анализа, теории графов и перечислительной комбинаторики. Оригинальная идея построения спектральной последовательности Бухштабера (см. [25]) состоит в следующем. Обозначим через $S_*$ алгебру Хопфа, двойственную над $\mathbb{Z}$ алгебре Ландвебера–Новикова $S$. Алгебра $S$ стандартным образом действует на кольце $\Omega_U^*$. Это действие продолжается на $\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$. В работе [25] каноническое вложение $\Omega_U^*\subset \Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$ было разложено в композицию $\Omega_U^*\subset\Omega_U^*(\mathbb{Z})\subset\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$ вложений $S$-модулей. Кольцо $\Omega^U_*(\mathbb{Z})$ состоит из элементов $\Omega^U_*\otimes \mathbb{Q}$, у которых все характеристические числа Черна целые. Действие $S$ на $\Omega_U^*(\mathbb{Z})$ определяется действием $S$ на $\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$. В [25] введен и использован замечательный изоморфизм $\Omega_U^*(\mathbb{Z})=S_*$, согласованный с этим действием $S$ на $\Omega_U^*(\mathbb{Z})$ и с каноническим действием $S$ на $S_*$. В работах [25], [32] была построена фильтрация $S$-подмодулями в $\Omega_U^*(\mathbb{Z})$, начинающаяся с $\Omega_U^*\subset \Omega_U^*(\mathbb{Z})$, у которой последовательные факторы – тривиальные $S$-модули:
$$
\begin{equation}
\Omega_U^*=N_0\subset N_1\subset \cdots \subset \Omega_U^*(\mathbb{Z}).
\end{equation}
\tag{1}
$$
Эта фильтрация задает триградуированную спектральную последовательность $E_r^{p,q,t}$, которая сходится к $\operatorname{Ext}^{s,t}_S(\mathbb{Z},\Omega^*_U(\mathbb{Z}))= \operatorname{Ext}^{s,t}_S(\mathbb{Z},S_*)$. Принципиально важно, что $\operatorname{Ext}^{s,t}_S(\mathbb{Z},S_*)=0$ при $(s,t)\ne (0,0)$; отметим, что $\operatorname{Ext}^{0,0}_S(\mathbb{Z},S_*)=\mathbb{Z}$. Теперь обратим внимание, что
$$
\begin{equation*}
E_1^{p,q,t}= \operatorname{Ext}_S^{-(p+q),t}(\mathbb{Z},{N_p}/{N_{p-1}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $N_p$ – члены фильтрации (1), причем при $p>0$ на группе коэффициентов $N_p/N_{p-1}$ алгебра $S$ действует тривиально. Значит, при $p>0$ группа $E_1^{p,q,t}$ выражается через $\operatorname{Ext}_S^{*,*}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ и $N_p/N_{p-1}$ с помощью короткой точной последовательности Кюннета. С другой стороны, $E^{0,-s,t}_1=\operatorname{Ext}^{s,t}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$. Как отмечено выше, спектральная последовательность Бухштабера сходится к нулю за исключением $E_\infty^{0,0,0}= \mathbb{Z}$, поэтому образы ее дифференциалов должны исчерпать $E^{0,*,*}_1= \operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$. Это дает новую структуру на $E^{0,-s,t}_1=\operatorname{Ext}^{s,t}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$, которая рекуррентно связывает группы $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$ с группами $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ и $N_p/N_{p-1}$. С другой стороны, отмеченный алгебраический механизм, связывающий последовательные факторы фильтрации $N_p/N_{p-1}$ с группами $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$ и $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$, дает важные топологические приложения (см. [33]–[35]). В п. 2.1 раздела 2 описаны результаты работ [32]–[36] о триградуированной спектральной последовательности для $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$ и приведен ряд известных топологических приложений. В работе [34] была открыта связь алгебры Ландвебера–Новикова $S\otimes \mathbb{Q}$ с универсальной обертывающей алгебры Ли $L_1$ формальных векторных полей на прямой, обращающихся в нуль вместе с первой производной в начале координат. Это привело к вычислению когомологий алгебры $S\otimes \mathbb{Q}$ на основе теоремы Гончаровой о когомологиях алгебры $L_1$ (см. [37], [38]). В п. 2.2 мы приводим формулировку теоремы Гончаровой и следствие из нее, которое привело к гипотезе Бухштабера о произведениях Масси в этих когомологиях. В пп. 2.3 и 2.4 мы обсуждаем две важные серии нильмногообразий $M^n$ и $M^{2k+1}_H$, которым посвящены разделы 7 и 8. Многообразия первой серии относятся к классу нильмногообразий, введенных в [39]. В этой работе была рассмотрена серия нильпотентных алгебр Ли $V_n$ с базисом $e_1,\dots,e_n$ и соотношениями $[e_i,e_j]=(j-i)e_{i+j}$ при $i+j\leqslant n$, $[e_i,e_j]=0$ при $i+j> n$. По теореме Мальцева соответствующая односвязная группа Ли $V_n$ обладает семейством кокомпактных решеток; однако среди них, в отличие от коммутативного случая, имеются не изоморфные решетки. У нильмногообразий, возникающих как факторы группы Ли $V_n$ по этим кокомпактным решеткам, согласно теореме Номидзу кольца вещественных когомологий естественно изоморфны кольцу когомологий алгебры Ли $V_n$. Однако фундаментальные группы этих нильмногообразий могут быть не изоморфны. В [40] была введена группа $L^n$ полиномиальных преобразований прямой, тесно связанная с алгеброй Ландвебера–Новикова. Эта группа является односвязной нильпотентной группой Ли и содержит решетку, состоящую из преобразований с целыми коэффициентами. Алгебра Ли ${\mathcal G} L^n$ изоморфна $V_n$. В [40] обсуждалась соответствующая серия нильмногообразий $M^n$, которые являются факторами групп $L^n$ по подгруппам преобразований с целыми коэффициентами. Многообразия $M^n$ связаны последовательностью расслоений
$$
\begin{equation*}
\cdots \to M^{n+1}\to M^n\to \cdots \to M^3 \to M^2=T^2 \to M^1=S^1
\end{equation*}
\notag
$$
со слоем окружность. Отметим, что согласно теореме Номидзу (см. [41]) вещественные когомологии нильмногообразия $L^n/\Gamma$ не зависят от конкретного выбора решетки $\Gamma$. Кроме того, каждый согласованный выбор решеток $\Gamma_n\subset L^n$ приводит к соответствующей башне расслоений. В разделе 8 рассматривается $(2n+1)$-мерная обобщенная группа Гейзенберга $\mathcal{H}^{2n+1}$ (группа Гейзенберга $\mathcal{H}^{3}$ для $n=1$), реализованная как подгруппа специального вида в $\mathrm{GL}_{n+2}(\mathbb{R})$. Она является односвязной нильпотентной группой Ли, обладающей бесконечным семейством решеток. Для каждого $n$ вводится многообразие $M_H^{2n+1}$ как фактор обобщенной группы Гейзенберга $\mathcal{H}^{2n+1}$ по подгруппе $\mathcal{H}^{2n+1}\cap \mathrm{GL}_{n+2}(\mathbb{Z})$. Серия многообразий $M^{2k+1}_H$ связана последовательностью вложений коразмерности 2:
$$
\begin{equation*}
S^1\to M^3_H\to\cdots\to M^{2k-1}_H\to M^{2k+1}_H\to \cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так определенные многообразия $M^3$ и $M^3_H$ диффеоморфны, причем диффеоморфизм индуцирован алгебраическим изоморфизмом соответствующих нильпотентных групп Ли. При $k>1$ многообразия $M^{2k+1}$ и $M^{2k+1}_H$ различаются. Многообразия $M^{2n}$ имеют каноническую симплектическую структуру, а многообразия $M^{2n+1}$ и $M^{2n+1}_H$ являются контактными. Отметим, что $M_H^{2n+1}$ обладает дополнительными структурами, среди которых необходимо выделить структуру пространства расслоения $M^{2n+1}_H \to \mathcal{V}^n$, ассоциированного с канонической кэлеровой формой $n$-мерного абелева многообразия $\mathcal{V}^n$. Раздел 3 посвящен развитию теории триградуированной спектральной последовательности Бухштабера $\operatorname{Bss}$. В п. 3.1 дана конструкция $\operatorname{Bss}$ для произвольной градуированной алгебры. В п. 3.2 рассматривается $\operatorname{Bss}$ для общей градуированной алгебры Хопфа $A$ над кольцом $R$ и ее когомологий $\operatorname{Ext}_A^{*,*}(M,N)$ с произвольными $A$-модулями $M$ и $N$. В этом случае $\operatorname{Bss}$ представлена как новая функториальная структура на когомологиях $\operatorname{Ext}_A^{*,*}(M,N)$. В п. 3.3 показано, что при $M=N=R$ новая структура задает возрастающую фильтрацию в когомологиях $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(R,R)$. В п. 3.4, с использованием того, что для алгебр Хопфа над полем $\Bbbk$ группы в первом члене $\operatorname{Bss}$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
E_1^{p,-(p+s),*}=(N_p/N_{p-1})\otimes\operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk),
\end{equation*}
\notag
$$
получена явная формула для дифференциала $d_1$. Для $R=\Bbbk$ в п. 3.5 построен инъективный гомоморфизм алгебры $\bigoplus\limits_p N_{p}/N_{p-1}$ в тензорную алгебру $T(s\operatorname{Ext}^{1,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk))$ надстройки над градуированным векторным пространством $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ с шафл-умножением (см. теорему 14). На основе этого результата мы вводим понятие частично определенной и многозначной $\operatorname{Bss}$-операции на тензорной алгебре $T(s \operatorname{Ext}^{1,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk))$ со значениями в $\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. В п. 3.6 показано, что каждый элемент алгебры когомологий $\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ лежит в образе нетривиальной $\operatorname{Bss}$-операции. Пункт 3.7 посвящен $\operatorname{Bss}$ в случае универсальных обертывающих конечномерных нильпотентных алгебр Ли. Обратим внимание на то, что Bss универсальной обертывающей алгебры для неградуированной алгебры Ли определена и обладает всеми нужными свойствами, но является биградуированной, а не триградуированной. В разделе 4 детально разобран простой пример: алгебра многочленов от конечного числа образующих, рассматриваемая как алгебра Хопфа с коумножением, заданным условием, что образующие примитивны. Показано, что в этом примере новая структура полностью описывается классической резольвентой Кошуля (см. теорему 6). В разделе 5 полностью вычислены фильтрации Бухштабера в алгебре Хопфа $UL_1$ и в $S$-модуле $\Omega_*(\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Q}=S_*\otimes \mathbb{Q}$ (см. теоремы 7 и 10). Вместе с теоремой Гончаровой это дает полное вычисление члена $E_1^{*,*,*}$ соответствующей $\operatorname{Bss}$. В п. 6.1 приведены необходимые сведения о многоместных матричных произведениях Масси, введенных в [13]; мы следуем соглашению о знаках из [14]. Перед тем как перейти к содержанию пп. 6.2 и 6.3, сделаем небольшое отступление, объясняющее их связь с темой нашей статьи. Почти сразу после публикации работ [12], [11], в которых было введено понятие произведения Масси в когомологиях $H^*(A,d_A)$ дифференциальной градуированной алгебры $A$ с дифференциалом $d_A$, было замечено, что эти операции, а также операции близкой природы имеют непосредственное отношение к дифференциалам некоторых спектральных последовательностей. По-видимому, первой публикацией на эту тему была работа [42]. В ней была определена бар-конструкция $A(n)$-алгебры $A$: $\widetilde{\mathcal{B}}(A)= \bigoplus\limits_{i=0}^n\bar{A}^{\otimes i}$, и построена спектральная последовательность по фильтрации $F^p\widetilde{\mathcal{B}}(A)= \bigoplus\limits_{i\leqslant p}\bar{A}^{\otimes i}$. Ее дифференциалы были интерпретированы как операции (Дж. Сташеф назвал их Yessam-operations) в когомологиях алгебры $A$ относительно дифференциала $\partial=m_1$; заинтересованный читатель найдет все нужные определения и обозначения в [42]. К настоящему времени список работ, в которых те или иные операции в когомологиях алгебр связываются с дифференциалами подходящих спектральных последовательностей, стал весьма большим, и обзор результатов по этой теме не является целью нашей работы. Выделим важную книгу [17], в которой показано, что дифференциалы спектральной последовательности Эйленберга–Мура (EMss) выражаются через так называемые матричные произведения Масси. Этот результат был сформулирован в работе [43] (за 6 лет до публикации [17]), с обещанием дать подробные доказательства в статье “The structure and applications of the Eilenberg–Moore spectral sequences”, которая, однако, не была опубликована. Доказательство появилось в книге [17; разд. 5]. В ней же было введено понятие канонического произведения Масси и доказано, что любой класс когомологий размерности больше 1 связной градуированной алгебры над полем выражается в виде итерированного матричного произведения Масси от одномерных классов когомологий. В связи с этим обратим внимание на построенный в работе [44] пример связного и односвязного пространства $X$. В его когомологиях имеются нетривиальные высшие произведения Масси, которые не определяются дифференциалами $\operatorname{EMss}$ соответствующего расслоения $\Omega X\to PX\to X$. В п. 6.2 мы напоминаем алгебраическую конструкцию $\operatorname{EMss}$, а в п. 6.3 описываем известные решения задач 1) и 2) с помощью $\operatorname{EMss}$. В ряде работ нашли приложения операции в когомологиях алгебр, определяемые в терминах высших структур, таких как $A_\infty$-структуры. В заключение отметим, что задачи 1), 2) и 3) важны не только для произведений Масси, но и для других типов высших структур в когомологиях алгебр. В разделах 7 и 8 мы обращаемся к алгебрам Хопфа, кольца когомологий которых изоморфны кольцам когомологий нильмногообразий $M^n$ и $M_H^{2n+1}$. Структура алгебр Хопфа из разделов 7 и 8 относительно проста, но задача вычисления соответствующих колец оказалась нетривиальной. Например, даже задача вычисления чисел Бетти нильмногообразий $M^n$ для всех $n$ до сих пор не решена. В разделе 7 полностью вычислена $\operatorname{Bss}$ когомологий алгебр Ли $\mathcal{G}L^3=\mathcal{GH}^3$ и $\mathcal{G}L^4$. Показано, что в $\operatorname{Bss}$ алгебры Ли $\mathcal{G}L^n$ имеется ненулевой дифференциал $d_n$, а дифференциалы с боĭьшими номерами тривиальны. Показано также, что 2-форма $\Omega_{n}$, задающая симплектическую структуру на $M^n$ в случае четных $n$, принадлежит образу дифференциала $d_n$. В разделе 8 дается обзор результатов о когомологиях алгебр Гейзенберга–Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$, т. е. алгебр Ли обобщенных групп Гейзенберга ${\mathcal{H}}^{2n+1}$. Их числа Бетти вычислены в работе [18]. Следуя работам [45] и [46], мы даем описание аддитивных образующих в когомологиях $H^*(M_H^{2n+1})$ в терминах $\mathfrak{sl}_2$-представления на когомологиях тора $T^{2n}$, снабженного симплектической структурой. Приведен ряд структурных результатов о $\operatorname{Bss}$ для алгебр Гейзенберга–Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$, а также вычислены $\operatorname{Bss}$ для $\mathcal{GH}^5$ и $\mathcal{GH}^7$. Показано, что для $\operatorname{Bss}$ во всех примерах из разделов 7 и 8 любой элемент группы когомологий, лежащий в образе дифференциала $d_k$, представляется $(k+1)$-местным нетривиальным матричным произведением Масси. В разделе 9 обсуждаются следующие задачи: 1) реализовать в виде произведений Масси классы когомологий алгебр Хопфа; 2) реализовать дифференциалы $\operatorname{Bss}$ операциями Масси; 3) эффективизировать конструкцию некоторых специальных произведений Масси в виде дифференциалов $\operatorname{Bss}$. Решение задачи 1) опирается на решение задачи 2). Мы доказываем, что элемент в когомологиях алгебры Хопфа, имеющий строгую фильтрацию $k$, т. е. лежащий в образе дифференциала $d_k$ по модулю дифференциалов с меньшими номерами, представляется в виде нетривиального матричного $(k+1)$-местного произведения Масси специального вида (см. теорему 21). Наша конструкция позволяет выписать это матричное произведение Масси вместе с его определяющей системой, если известен коцикл бар-конструкции, представляющий данный класс когомологий. Перед доказательством общего случая оказалось полезным отдельно рассмотреть случаи $k=1,2,3$, чтобы показать в деталях механизм построения специального произведения Масси, реализующего дифференциал $d_k$. Напомним, что $\operatorname{Bss}$ сходится к тривиальному модулю и это гарантирует, что наша фильтрация исчерпывает когомологии алгебры Хопфа. В результате в качестве простого следствия теоремы 21 мы получаем новое доказательство известного результата о том, что любой класс когомологий градуированной алгебры Хопфа, размерности выше 1, представляется нетривиальным итерированным матричным произведением Масси от одномерных классов. В отличие от подхода, основанного на $\operatorname{EMss}$ (см. п. 6.3), для этого не требуется дополнительных рассуждений. Тот же подход позволил нам доказать аналогичное утверждение для некоторых неградуированных алгебр Хопфа, в том числе для универсальных обертывающих конечномерных нильпотентных алгебр Ли – для них $\operatorname{Bss}$ биградуирована и сходится к нулевому модулю, поскольку фильтрация Бухштабера двойственной к универсальной обертывающей в этом случае является исчерпывающей. 2. Задачи и приложения спектральной последовательности Бухштабера ($\operatorname{Bss}$)2.1. Комплексные кобордизмыРассматриваемая триградуированная спектральная последовательность была построена в работах [25], [32] для вычисления второго члена спектральной последовательности Адамса–Новикова $\operatorname{Ext}^{s,t}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$. Имеют место вложения колец $\Omega^*_U\subset\Omega_U^*(\mathbb{Z})\subset\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$, согласованные с действием алгебры Ландвебера–Новикова; кроме того, имеет место изоморфизм $S_*=\Omega_U^*(\mathbb{Z})$, также согласованный с действием $S$. В работе [25] рассматривалась фильтрация в $S_*=\Omega_U^*(\mathbb{Z})$, которая начинается с $N_0= \Omega_U^*$, а также был построен изоморфизм $\operatorname{Ext}^{1,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)=N_1/N_0$, который влечет точность последовательности абелевых групп
$$
\begin{equation*}
0\to \Omega_{2n}^U\to(N_1)_{2n}\to \operatorname{Ext}^{1,2n}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $(N_1)_{2n}$ обозначает однородную компоненту степени $2n$. Из действия алгебры $A_U$ стабильных операций в комплексных кобордизмах следует, что определен гомоморфизм $\lambda\colon\Omega^{U,\rm fr}_*\to N_1$, где $\Omega^{U,\rm fr}_*$ – группы бордизмов квазикомплексных многообразий со стабильно оснащенными границами, введенные П. Коннером и Э. Флойдом (см. [47]). Напомним, что для элементов стабильных гомотопических групп сфер определен инвариант Адамса $e_2$. В [47] дана конструкция инварианта Адамса в терминах группы $\Omega^{U,\rm fr}_*$. В работе [25] вычислены факторы $(N_1)_{4n}/\operatorname{im} \lambda$. Дальнейшее развитие эти идеи получили в работе Н. В. Панова [33]. Главный результат этой работы состоит в явном построении базиса в группе $(N_1)_{2n}/\Omega^U_{2n}$ для всех $n$ и вычислении элементов $\Omega_U^*(\mathbb{Z})$, которые принадлежат $\operatorname{im}\lambda$. В качестве следствия в [33] получено решение известной задачи о соотношениях между числами Чженя $(U,\rm fr)$-многообразий. Впервые вычисление групп $\operatorname{Ext}^{1,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)= \operatorname{Ext}_{A^U}^{1,*}(\Omega_U^*,\Omega_U^*)$ было получено С. П. Новиковым в работе [29]. Для полноты изложения кратко напомним его подход в обозначениях и терминологии работы [29]. Он использовал функторы $\lambda\colon U^*(-)\to k^*(-)$ (преобразование Римана–Роха) и $\nu\colon U^*(-)\to H^*(-,\mathbb{Z}/p)$ (преобразование аугментации). Здесь $k^*(-)$ – это связная комплексная $K$-теория, представленная спектром $(k_n)$, где $\Omega^{2n}k_{2n}=BU\times\mathbb{Z}$. Затем он показал, что $\lambda$ и $\nu$ согласованы с действием соответствующих алгебр стабильных когомологических операций, а именно алгебры $A^U=U^*(MU)$ для комплексных кобордизмов, алгебры Стинрода $A_p$ для $\mathbb{Z}/p$-когомологий и алгебры $A_\Psi^k$, порожденной операциями Адамса–Новикова в $K$-теории. В результате Новиков построил гомоморфизмы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\lambda\colon \operatorname{Ext}_{A^U}^{1,t}(\Omega_U^*,\Omega_U^*) &\to\operatorname{Ext}_{A_\Psi^k}^{1,t}(k^*(\rm pt),k^*(\rm pt)), \\ \widetilde\nu\colon \operatorname{Ext}_{A^U}^{1,t}(\Omega_U^*,\Omega_U^*)&\to \operatorname{Ext}_{A_p}^{1,t}(\mathbb{Z}/p,\mathbb{Z}/p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Затем в работе [29] (следствие 9.1) было доказано, что $\widetilde\lambda$ – мономорфизм. Далее, комбинируя различные методы, Новиков доказал, что для всех $t\ne 4$ гомоморфизм $\widetilde\lambda$ является изоморфизмом, а при $t=4$ коядро $\widetilde\lambda$ имеет порядок 2 [29; § 9–11], и вычислил $\operatorname{Ext}_{A^U}^{1,t}(\Omega_U^*,\Omega_U^*)$ в явном виде. В работе [36] был вычислен следующий член фильтрации $N_2$. Ответ дан в двух вариантах. Во-первых, для каждого простого $p$ предъявлены элементы из $\Omega_U^*(\mathbb{Z})$, представляющие классы из $N_2\otimes\mathbb{Z}_{(p)}$. Оказалось, что $p=2$ и $p=3$ являются исключениями из общей закономерности, которой подчиняются все $p\geqslant 5$. Во-вторых, для группы $N_2$ получен аналог известной теоремы Стонга–Хаттори для $\Omega_*^U$, т. е. элементы $N_2$ охарактеризованы требованием целочисленности некоторых характеристических чисел в $K$-теории. Методами работы [25] получается точная последовательность
$$
\begin{equation}
0\to N_2/N_1 \to \operatorname{Ext}^{1,*}_S(\mathbb{Z},N_1/\Omega_U^*) \to \operatorname{Ext}^{2,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Доказательство по сути состоит в анализе $(-2)$-й строки $\operatorname{Bss}$ для $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$. Эта точная последовательность, в частности, приведена в [36]. С ее помощью была установлена нетривиальность ряда элементов в стабильных гомотопических группах сфер, используя произведения Масси и элементы с нетривиальным Арф-инвариантом и дифференциалом $d_2$ спектральной последовательности Бухштабера. Работы [25], [32], [33], [36], [35] являются первыми шагами в решении открытой проблемы геометрической реализации элементов групп $\operatorname{Ext}^{*,*}_S(\mathbb{Z},\Omega_U^*)$. Эта проблема тесно связана с известной проблемой реализации фильтрации Адамса–Новикова для спектра сфер в терминах пространств Тома, классифицирующих классы кобордизмов многообразий с углами. Результаты в этом направлении см. в [48]. 2.2. Когомологии алгебры Ли $L_1$ формальных векторных полей на прямойСледующий пример важен в силу связи алгебры Ландвебера–Новикова с теорией бесконечномерных алгебр Ли (см. [34]). Рассмотрим алгебру Ли $L_1$ формальных векторных полей на прямой, которые в начале координат обращаются в нуль вместе с первой производной. В качестве базиса в этой алгебре Ли можно взять векторные поля $e_i= t^{i+1}\,\dfrac{d}{dt}$ , $i\geqslant 1$. Легко проверить, что $[e_i,e_j]=(j-i) e_{i+j}$. Универсальная обертывающая $UL_1$ над полем $\mathbb{Q}$ – это ассоциативная алгебра с единицей, порожденная символами $e_i$, $i\geqslant 1$, и соотношениями $e_ie_j -e_j e_i=(j-i) e_{i+j}$ для всевозможных $i\ne j$. В работах [37], [38] Л. В. Гончарова опубликовала теорему, согласно которой в каждой положительной (первой) градуировке когомологии $L_1$ двумерны. Кроме того, если первая градуировка равна $s$, то соответствующие образующие имеют вторую градуировку, равную так называемым пентагональным числам Эйлера $(3s^2\pm s)/2$. Доказательство этой теоремы неоднократно улучшалось на основе разных подходов (см. работы [49]–[54]). Обозначим через $x^s_\pm$ образующую группы $\operatorname{Ext}_{UL_1}^{s,(3s^2\pm s)/2}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$. Сумма двух пентагональных чисел не является пентагональным числом, откуда следует, что умножение в когомологиях алгебры $L_1$ тривиально. В начале 1970-х годов В. М. Бухштабер высказал гипотезу, что вся алгебра когомологий $\operatorname{Ext}_{UL_1}^{*,*}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$ порождается нетривиальными (т. е. не содержащими нуля) итерированными произведениями Масси двух образующих $x^1_\pm\in \operatorname{Ext}_{UL_1}^{1,*}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$. В этом направлении разными авторами был получен ряд результатов. Техника, развитая в работе [55], позволила доказать, что
$$
\begin{equation*}
x^s_-\in\langle x^{s-1}_+,\underbrace{ x^1_-,\dots,x^1_-}_{2s-1}\,\rangle \quad\text{и}\quad x^s_+\in\langle x^{s-1}_+,\underbrace{ x^1_-,\dots,x^1_-}_{3s-1}\,\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако вскоре было замечено, что все эти произведения содержат нуль. В заметке И. В. Артельных [56] утверждается, что $x^s_-$ и $x^{2s+1}_+$ реализуются в виде нетривиальных произведений Масси:
$$
\begin{equation*}
x^s_-\in\langle \underbrace{ x^1_+,\dots,x^1_+}_{s-1},x^{s-2}_+, x^1_-\rangle \quad\text{и}\quad x^{2s+1}_+\in\langle \underbrace{ x^1_+,\dots,x^1_+}_{3s+1}, x_+^{2s}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Метод работы [56] использует связь модулей специального вида с нетривиальными высшими дифференциалами $\operatorname{Bss}$. К сожалению, подробные доказательства результатов работы [56] до сих пор не опубликованы. Окончательно гипотеза Бухштабера была доказана Д. В. Миллионщиковым (см. [57]) лишь в 2009 г. Он показал, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x^{s+1}_-&\in \langle\underbrace{ x^1_-,\dots,x^1_-}_{m}, x^1_+, \underbrace{ x^1_-,\dots,x^1_-}_{n}, x^{s}_+\rangle, \\ x^{s+1}_+&\in \langle \underbrace{ x^1_-,\dots,x^1_-}_{s}, x^1_+, \underbrace{ x^1_-,\dots,x^1_-}_{2s}, x^{s}_+ \rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $n$, $m$ – произвольные натуральные числа, $m+n=2s-1$, причем все эти произведения Масси нетривиальны. Отметим, что в полученных Миллионщиковым представлениях элементов $x_{\pm}^{s+1}$ произведения Масси являются специальными, но его результат сильнее общей теоремы 21 и следствия 11 нашей работы, поскольку в [57] он использует только скалярные произведения Масси, а не матричные. Поэтому возникает естественная задача дать описание классов алгебр Хопфа и алгебр Ли, для которых теорема 21 и следствие 11 могут быть усилены использованием только скалярных произведений Масси. 2.3. Нильмногообразия полиномиальных преобразований прямойВ связи с произведениями Масси уместно упомянуть башню нильмногообразий, введенных в [39], о которой пойдет речь в разделе 7, где мы приведем все необходимые определения. В работе [34] было показано следующее. Рассмотрим группу $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{R})$ формальных диффеоморфизмов прямой, оставляющих на месте нуль и имеющих производную, равную единице в нуле. В этой группе имеется подгруппа $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{Z})$ всех диффеоморфизмов с целочисленными коэффициентами. Оказывается, алгебра Ландвебера–Новикова $S$ изоморфна алгебре левоинвариантных дифференциальных операторов на группе $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{Z})$. В свою очередь, тензорное произведение алгебры Ландвебера–Новикова на вещественные числа изоморфно универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли формальных векторных полей на прямой, обращающихся в нуле в нуль вместе с первой производной. Доказательство этих фактов использует общий подход теории операторов обобщенного сдвига (см. [58]). В случае некоторой группы $G$ в кольце функций на ней фиксируется подкольцо $\mathcal F$, замкнутое относительно оператора сдвига Получаем кольцевой гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
T_x^y\colon \mathcal F\to\mathcal F\mathbin{\widehat\otimes}\mathcal F,\quad T_x^y (f(x))=F(x,y),\quad\text{где}\ \ f(x)\in \mathcal F\ \ \text{и}\ \ F(x,y)\in\mathcal F\mathbin{\mathbin{\widehat\otimes}} \mathcal F,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющий уравнению ассоциативности $T_y^zT_x^y f(x)=T_x^yT_x^z f(x)$. В случае группы $G=\mathbb{R}^n$ по сложению мы получаем сдвиг $T^y_x f(x)=f(x+y)$, который приводит к ряду Тейлора по $y$. В случае произвольной группы получаем аналог ряда Тейлора, при помощи которого строятся левоинвариантные операторы на кольце $\mathcal F$, т. е. линейные операторы $L_x$, удовлетворяющие тождеству доказывается, что они порождают все кольцо левоинвариантных операторов на $\mathcal F$.Отметим, что в теории операторов обобщенного сдвига (ООС) требуется, чтобы оператор $T^y_x$ был линейным, но не обязательно кольцевым. Остальные свойства этого оператора принимаются в качестве аксиом теории ООС. Например, в работе [59] показано, что каждая $n$-значная группа определяет ООС на кольце функций этой $n$-значной группы. Множество $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{Z})$ образует подгруппу относительно умножения в группе $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{R})$. В качестве колец функций на $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{R})$ и $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{Z})$ мы берем соответственно кольца полиномов $P(\mathbb{R})$ и $P(\mathbb{Z})$ над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{Z}$ от бесконечного числа переменных. В этом случае линейные операторы $L_x$ оказываются дифференциальными операторами на этих кольцах. Тот факт, что алгебра Ландвебера–Новикова $S$ изоморфна алгебре левоинвариантных дифференциальных операторов на кольце $P(\mathbb{Z})$, проверяется непосредственно, если использовать изоморфизм кольца $P(\mathbb{Z})$ с кольцом $\Omega^*_U(\mathbb{Z})$ и тот замечательный факт, что множество всех мультипликативных операций в теории комплексных кобордизмов изоморфно группе $\operatorname{Diff}^1(\mathbb{Z})$. Оказывается, если среди элементов группы $\operatorname{Diff}^1$ рассмотреть только полиномиальные преобразования степени не выше $n+1$ и рассматривать их композиции по модулю $t^{n+2}$, то получится интересная нильпотентная группа Ли $L^n$ (см. [39], [40], [14]). Ее алгебра Ли $\mathcal{G}L^n$ изоморфна фактору алгебры $L_1$ по идеалу, порожденному элементами $e_k=t^{k+1}\,\dfrac{d}{dt}$ , $k\geqslant n+1$. Среди всех решеток, содержащихся в $L^n$, нам интересна решетка, состоящая из полиномиальных преобразований с целочисленными коэффициентами. Через $M^n$ мы обозначаем нильмногообразие, полученное как фактор группы $L^n$ по такой решетке. Многообразия $M^n$ образуют башню расслоений нильмногообразий
$$
\begin{equation}
\cdots \to M^n\to M^{n-1}\to \cdots \to M^2\to M^1=S^1
\end{equation}
\tag{4}
$$
со слоем $S^1$. Нильмногообразия $M^n$ обладают замечательными свойствами, которые нашли приложения в разных задачах. В частности, в их кольцах вещественных когомологий имеется дополнительная вторая градуировка, естественная по отношению к проекциям башни (4). Это позволило определить полиномиальную эйлерову характеристику многообразий $M^n$ и доказать ее мультипликативность для расслоений из башни (4) (см. [60]). Заметим, что обычная эйлерова характеристика любого многообразия $M^n$ равна нулю. Далее, в работах [61], [62] была решена известная задача построения явных примеров неформальных односвязных симплектических многообразий. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работе [14] тех же авторов, где было показано, что для сколь угодно большого $n$ существуют односвязные симплектические многообразия с нетривиальными $2n$-местными произведениями Масси. Доказательство опирается на тот факт, что многообразие $M^{2n}$ допускает симплектическую структуру, которая задается 2-формой
$$
\begin{equation*}
\Omega_{2n}=\sum_{i<n}(2n-2i)\omega_{2n-i}\wedge \omega_i
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [39], [40], [14]), причем класс когомологий $[\Omega_{2n}]\in H^2(M^{2n})$ является представителем нетривиального $2n$-местного произведения Масси и не является представителем никакого $m$-местного произведения Масси для $m<2n$; доказательство последнего утверждения использует биградуировку и вспомогательную фильтрацию (см. [14]). 2.4. Нильмногообразия ГейзенбергаЕще одна важная серия нильмногообразий возникает при обобщении группы Гейзенберга ${\mathcal H}^3$ на более высокие размерности. Рассмотрим группу ${\mathcal H}^{2n+1}$ матриц вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \dots & x_n & z \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & y_1 \\ &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots &\vdots \\ && \ddots&1 & 0& y_{n-1} \\ &{\large\textbf{0}} & & 0 & 1& y_n \\ &&& & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
с вещественными $x_j$, $y_j$ и $z$. Как пространство она гомеоморфна $\mathbb{R}^{2n+1}$. В этой группе имеется решетка $\Gamma_H^{2n+1}$, состоящая из матриц с целочисленными $x_j$, $y_j$ и $z$. Соответствующая алгебра Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$ нильпотентна; значит, фактор $M_H^{2n+1}={\mathcal H}^{2n+1}/\Gamma_H^{2n+1}$ является нильмногообразием. В размерности 3 имеются только две нильпотентные алгебры Ли, одна из которых абелева, поэтому по очевидным соображениям группы Ли $L^3$ и $\mathcal{H}^3$ изоморфны. Мы предъявим такой изоморфизм $F\colon L^3\to \mathcal{H}^3$ этих групп, который задает изоморфизм выбранных нами решеток в этих группах, а следовательно, задает диффеоморфизм $M^3\cong M_H^3$. Как пространство $\mathcal{H}^3$ диффеоморфно $\mathbb{R}^3$ с координатами $(u_1,u_2,u_3)$: такой тройке чисел соответствует матрица $\begin{pmatrix}1& u_1 & u_3\\ 0&1&u_2\\0&0&1\end{pmatrix}$. Произведение двух матриц $\begin{pmatrix}1& u_1 & u_3\\ 0&1&u_2\\0&0&1\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1& v_1 & v_3\\ 0&1&v_2\\0&0&1\end{pmatrix}$ из $\mathcal{H}^3$ является матрицей такого же вида $\begin{pmatrix}1& w_1 & w_3\\ 0&1&w_2\\0&0&1\end{pmatrix}$, где
$$
\begin{equation}
w_1= u_1+v_1,\qquad w_2=u_2+v_2,\qquad w_3=u_3+v_3+u_1v_2.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Группа $L^3$ получается в результате введения на $\mathbb{R}^3$ структуры группы следующим образом (см. работу [40], а также раздел 7). Положим
$$
\begin{equation*}
L^3=\{p_x(t)=t+x_1t^2+x_2 t^3+x_3 t^4\colon x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Произведение двух элементов $L^3$ определено с помощью композиции: откуда легко получить формулы
$$
\begin{equation}
z_1=x_1+y_1, \qquad z_2 =2 x_1 y_1 +x_2 +y_2, \qquad z_3 =x_3+ (x_1^2+2 x_2)\, y_1+3 x_1 y_2+y_3.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Эти формулы заметно отличаются от формул (5). Рассмотрим отображение $F\colon L^3=\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3=\mathcal{H}^3$, заданное формулами
$$
\begin{equation}
u_1=x_1, \qquad u_2=x_2-x_1^2,\qquad u_3=x_3-2x_2x_1+x_1^3.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Легко видеть, что $F$ обратимо, причем обратное отображение тоже задается полиномами. Положим $v=F(y)$ и $w=F(z)$. Непосредственная проверка показывает, что при таком соответствии формулы (5) переходят в (6), т. е. отображение $F$ является гомоморфизмом (см. [60; лемма 3.1]). Наконец, отметим, что при $n\geqslant 2$ группы $L^{2n+1}$ и $\mathcal{H}^{2n+1}$ не изоморфны, так как у их алгебр Ли разная степень нильпотентности. 3. Построение и свойства $\operatorname{Bss}$3.1. Градуированные алгебрыПусть $A$ – градуированная алгебра над основным кольцом $R$ с единицей, предполагается, что $A=\bigoplus\limits_{n\geqslant 0} A^n$, причем каждая однородная компонента является конечно порожденным $R$-модулем и $A^0=R$. Удобно считать, что $R$ тоже градуировано, причем нулевая градуировка совпадает с $R$, а остальные однородные компоненты нулевые. Напомним определение $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N)$, где $M$ и $N$ – левые градуированные $A$-модули (т. е. $A^i M^j \subset M^{i+j}$). Пусть $\cdots \to P_2\to P_1 \to P_0\to M $ – проективная резольвента модуля $M$ над $A$. Применяя к резольвенте функтор $\operatorname{Hom}_A^t(-,N)$ (напомним, что группа $\operatorname{Hom}_A^t(M,N)$ состоит из $A$-линейных гомоморфизмов, повышающих градуировку на $t$), получаем комплекс $\operatorname{Hom}^t_A(P_s,N)$ с дифференциалом $d$, индуцированным дифференциалом резольвенты, который сохраняет градуировку $t$ и увеличивает на $1$ градуировку $s$. Когомологии этого комплекса относительно $d$ по определению называются $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N)$. Определение 1. Пусть $N$ – некоторый $A$-модуль, а $N_0$ – его $A$-инвариантный $R$-подмодуль. Введем в $N$ (возрастающую) фильтрацию Бухштабера по индукции: Основное свойство этой фильтрации состоит в том, что действие элементов из $A^+$ на факторах $N_{p+1}/N_{p}$ тривиально при $p\geqslant 1$, а единица кольца $A$ на $N_{p+1}/N_{p}$ действует тождественно. Фильтрация Бухштабера индуцирует на комплексе $(\operatorname{Hom}^t_A(P_s,N),d)$ возрастающую фильтрацию подкомплексами $\operatorname{Hom}^t_A(P_s,N_p)$. Поскольку она согласована с дифференциалом, то возникает триградуированная спектральная последовательность $\operatorname{Bss}$ со следующими основными свойствами. 1. $E_1^{p,q,t} \!\! =\operatorname{Ext}_A^{-(p+q),t}(M,N_p/N_{p-1})$. Более того, теорема об универсальных коэффициентах связывает группы $\operatorname{Ext}_A^{-(p+q),t}(M,N_p/N_{p-1})$ с $\operatorname{Ext}_A^{-(p+q),t}(M,R)$ и $N_p/N_{p-1}$. При $p\geqslant 1$ эта связь упрощается, так как тогда действие $A$ на $N_p/N_{p-1}$ тривиально. В частности, если $R$ является полем, то
$$
\begin{equation*}
E_1^{p,q,t} =\bigoplus_{t=t_1+t_2}\operatorname{Ext}_A^{-(p+q),t_1}(M,R) \otimes(N_p/N_{p-1})^{t_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. $E_r^{*,*,*}$ при $r\geqslant 1$ не зависит от выбора проективной резольвенты 3. Дифференциал $d_1$ является связывающим гомоморфизмом длинной точной последовательности тройки комплексов, соответствующей вложениям $N_{p-2}\subset N_{p-1}\subset N_p$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ext}_A^{-(p+q),t}(M,N_p/N_{p-1})\to \operatorname{Ext}_A^{-(p+q)+1,t}(M,N_{p-1}/N_{p-2});
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, $d_1$ уменьшает градуировку $p$ на единицу и сохраняет градуировки $q$ и $t$: 4. Дифференциал $d_r$ меняет градуировки следующим образом: 5. Учитывая ограничения на градуировку в $A$ и фильтрацию в $N$, получаем, что $E_1^{p,q,t}=0$ при $p<0$ или при $p+q>0$. 6. $E^{0,q,t}_1=\operatorname{Ext}^{-q,t}_A(M,N_0)$ (по построению фильтрации). 7. $E^{p,-p,t}_1= \operatorname{Hom}^{t}_A (M,N_p/N_{p-1})$ (по построению фильтрации и из определения $\operatorname{Ext}^{*,*}_A$). 8. Если фильтрация $N_p$ удовлетворяет стандартным условиям (например, исчерпывание любой градуировки за конечное число шагов фильтрации), то спектральная последовательность сходится к $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N)$. Здесь уместно ввести следующую терминологию. Подмодуль $N_0\subset N$ будем называть $\bullet$ тривиальным, если $N_1$, а следовательно, и все $N_p$, $p>1$, совпадают с $N_0$; $\bullet$ полным, если фильтрация $N_p$ исчерпывает $N$. Основная идея спектральной последовательности Бухштабера: требуется вычислить $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N_0)$. Найдем расширение $N$ модуля $N_0$ такое, что $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N)$ известен, например, тривиален. Тогда если $N_0\subset N$ является полным подмодулем, то $\operatorname{Bss}$ сходится к $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N)$, а ее начальный член содержит $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N_0)$ в качестве нулевого столбца. Напротив, если модуль $N_0\subset N$ тривиальный, то соответствующая спектральная последовательность вырождается и не несет информации о связи $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N)$ с $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(M,N_0)$. В рассматриваемом случае градуированных алгебр Хопфа модуль $N_0=R\subset A_*=N$ всегда является полным, это легко проверить, используя градуировку. В контексте алгебр Ли (см. п. 3.7) фильтрация Бухштабера строится на двойственной к универсальной обертывающей алгебре рассматриваемой алгебры Ли. В этом случае $\operatorname{Bss}$ тоже можно построить, но, вообще говоря, она оказывается не триградуированной, а биградуированной, поскольку универсальная обертывающая алгебра является неградуированной алгеброй Хопфа. В этом случае полнота модуля $N_0=R$ равносильна остаточной нильпотентности алгебры Ли. Модуль $N_0=\mathbb{R}$ является тривиальным в нашей терминологии, например, для универсальной обертывающей алгебры Ли $\mathfrak{so}(3)$. 3.2. Градуированные алгебры ХопфаПредположим теперь, что $A$ – биалгебра, и пусть $A_*$ – двойственная ей алгебра. Отметим, что в интересных примерах $A$ является алгеброй Хопфа, поэтому мы регулярно будем говорить об алгебрах Хопфа, хотя в конструкциях этого раздела антиподальное отображение не используется (напомним, что алгебра Хопфа – это биалгебра, снабженная антиподальным отображением; см. например, [8]). Пусть $N_0\subset A_*$ – некоторый $A$-инвариантный подмодуль, содержащий $1\in A_*$. В приложениях часто $N_0=R\subset A_*$. Легко проверить, что из ограничений на градуировки следует, что $N_0$ – полный подмодуль. Рассмотрим фильтрацию Бухштабера $N_0\subset N_1\subset\cdots\subset A_*$. Из определения действия $A$ на $A_*$ следует, что индуктивное определение (8) подмодулей $N_p$ можно переформулировать:
$$
\begin{equation}
N_{p+1}=\Bigl\{x\in A_*\colon x^{(1)}_i\in N_p \text{ для всех }i, \text{ где }\Delta x=x\otimes 1+\sum x^{(1)}_i\otimes x^{(2)}_i\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Напомним (см. [63]), что (приведенная) двухсторонняя бар-конструкция определяется как комплекс $A$-бимодулей $(B_{\small\bullet}(A,A,A),d_B)$, где $B_{s}(A,A,A)=A\otimes (\bar{A})^{\otimes s}\otimes A$, а $\bar{A} =A/R$ – идеал аугментации. Дифференциал $d_B$ задан формулой
$$
\begin{equation*}
d_B(a_0\otimes a_1\otimes \cdots\otimes a_{n+1})= \sum_{k=0}^n (-1)^{\varepsilon_k} a_0\otimes \cdots \otimes a_ka_{k+1} \otimes\cdots\otimes a_{n+1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(-1)^{\varepsilon_k}$ – некоторый знак, который мы уточним позже. Комплекс $(B_{\small\bullet}(A,A,A),d_B)$ является свободной резольвентой $A$-бимодуля $A$. Далее, $B_{\small\bullet}(A,A,M)= B_{\small\bullet}(A,A,A)\otimes_A M $ является свободной $A$-резольвентой $A$-модуля $M$, и, в частности, $B_{\small\bullet}(A,A,R)=B_{\small\bullet}(A,A,A)\otimes_\varepsilon R $ – резольвента основного кольца $R$, на котором структура $A$-модуля задана аугментацией $\varepsilon\colon A\to R$. Пусть $A_*$ – двойственная алгебра Хопфа с диагональю $\Delta$. Определим $\widehat\Delta$ и $\overline\Delta$ следующим образом: $\widehat\Delta(x)=\Delta(x)-x\otimes 1$ и $\overline\Delta(x)=\Delta (x)-x\otimes 1-1\otimes x $. Тогда прямая проверка позволяет установить, что $\operatorname{Hom}^*_{A}(B_{\bullet}(A,A,R),A_*)$ – это односторонняя кобар-конструкция для $A_*$, а именно комплекс модулей $F^s(A_*,A_*,R)= A_*\otimes (\bar{A}_*)^{\otimes s}$ с дифференциалом
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &d_F\colon F^s(A_*,A_*,R)\to F^{s+1}(A_*,A_*,R), \\ &d_F(x_0\otimes x_1\otimes \cdots \otimes x_s)=1\otimes x_0\otimes x_1\otimes \cdots \otimes x_s \\ &\qquad+(-1)^{| x^{(1)}_{0,j}|} x^{(1)}_{0,j}\otimes x^{(2)}_{0,j} \otimes x_1\otimes \cdots \otimes x_s \\ &\qquad+\sum_{k=1}^s \sum_j(-1)^{\varepsilon_k} x_0\otimes \cdots \otimes x^{(1)}_{k,j}\otimes x^{(2)}_{k,j}\otimes \cdots \otimes x_s, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta x_k=x_k\otimes 1+1\otimes x_k + \sum_j x^{(1)}_{k,j}\otimes x^{(2)}_{k,j}\quad\text{и}\quad \varepsilon_k=|x_0|+\cdots+| x_{k-1}|+|x^{(1)}_{k,j}|-k.
\end{equation*}
\notag
$$
Комплекс $F^{\small\bullet}(R,A_*,R)$, вычисляющий группы $\operatorname{Ext}^{*,*}_A(R,R)$, вкладывается в $F^{\small\bullet}(A_*,A_*,R)$ как подкомплекс, при этом элементу $x_1\otimes\cdots\otimes x_s \in F^{s}(R,A_*,R)$ соответствует $1\otimes x_1\otimes\cdots\otimes x_s \in F^{s}(A_*,A_*,R)$. Также нетрудно проверить, что комплекс
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Hom}^*_{A}(B_{\small\bullet}(A,A,R),N_p) \subset \operatorname{Hom}^*_{A}(B_{\small\bullet}(A,A,R),A_*)
\end{equation*}
\notag
$$
изоморфен подкомплексу
$$
\begin{equation*}
F^{\small\bullet}(N_p,A_*,R)\subset F^{\small\bullet}(A_*,A_*,R).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, фильтрацию и соответствующую триградуированную спектральную последовательность Бухштабера можно строить также и с помощью кобар-резольвенты. Лемма 1. Предположим, что основное кольцо $R$ является полем $\Bbbk$. Тогда для триградуированной спектральной последовательности, ассоциированной с фильтрацией $N_0\subset N_1\subset \cdots\subset A_*$, первый лист изоморфен когомологиям комплекса $\bigoplus\limits_p N_p/N_{p-1} \otimes F(\Bbbk, A_*,\Bbbk)$ относительно дифференциала $d_F$ в $F(\Bbbk, A_*,\Bbbk)$. Доказательство. В самом деле, первый лист триградуированной спектральной последовательности – это не что иное, как когомологии факторкомплекса $F(N_p, A_*,\Bbbk)/F(N_{p-1},A_*,\Bbbk)$. Остается заметить, что по определению фильтрации Бухштабера первое слагаемое в формуле (10) для $d_F$ на факторкомплексе равно $0$. Лемма доказана. Пусть $A$ – биалгебра над произвольным кольцом $R$ и $N_0\subset A_*$ – некоторый $A$-инвариантный подмодуль, $1\in N_0$. Рассмотрим фильтрацию Бухштабера $N_p$ в $A_*$, начинающуюся с выбранного $N_0$. Лемма 2. Предположим, что $N_0$ является подкольцом в $A_*$. Тогда фильтрация $N_p$ мультипликативна, т. е. если $x\in N_i$ и $y\in N_j$, то $xy\in N_{i+j}$. Доказательство. Воспользуемся индукцией по $p+q$. База индукции $N_0\cdot N_0\subset N_0$ верна по условию леммы. Предположим, что $y\in N_p$ и $x\in N_q$. Пусть Тогда Остается заметить, что у всех слагаемых, кроме первого, первый сомножитель в тензорном произведении по предположению индукции имеет фильтрацию не выше $p+q-1$. Лемма доказана. Теперь предположим, что $R$ – некоторое поле, обозначаемое $\Bbbk$. Обозначим через $I$ идеал аугментации алгебры $A$. Рассмотрим в $A$ фильтрацию степенями идеала $I$. А именно, положим Легко видеть, что $F^0/F^1=\Bbbk$. Модуль $F^1/F^2$ называется модулем неразложимых элементов алгебры $A$. Фильтрация степенями идеала аугментации в алгебрах Хопфа была введена в [64].Лемма 3. Рассмотрим фильтрацию Бухштабера в $A_*$, которая начинается с модуля $N_0=\Bbbk\subset A_*$. Фильтрация $N_p(A_*)$ двойственна фильтрации $F^p(A)$ в следующем смысле: $N_p(A_*)$ состоит в точности из тех линейных функционалов на $A$, которые принимают нулевое значение на всех элементах $I^{p+1}= F^{p+1}(A)$. В частности, Доказательство. $N_0(A_*)=\Bbbk$, и это в точности такие функционалы на $A$, которые принимают нулевое значение на $I$. Далее применим индукцию, а именно, $\phi\in N_{p+1}(A_*)$ тогда и только тогда, когда для всех $u\in I$ функционал $u\cdot \phi$ принадлежит $N_{p}(A_*)$. Это в точности означает, что $x\mapsto \phi(xu)$ обращается в нуль для любого $x\in I^{p+1}$, иными словами, $\phi(I^{p+2})=0$. Лемма доказана. 3.3. Фильтрация в группах когомологий $\operatorname{Ext}_A^{*,*}(R,R)$Пусть $A$ – алгебра Хопфа над кольцом $R$. В нулевом столбце $E_1^{0,-q,*}$ расположены группы $\operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)$, при этом по соображениям размерности все дифференциалы на группах $E_r^{0,-q,*}$ тривиальные. Но поскольку $E_\infty^{0,-q,*}=0$, $q\geqslant 1$, то нулевой столбец триградуированной спектральной последовательности должен исчерпываться образами дифференциалов $d_r$, $r\geqslant 1$, в следующем смысле: на $\operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)=E_1^{0,-q,*}$ имеется возрастающая фильтрация $\Phi^r=\Phi^r \operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)$ такая, что (i) $\Phi^0=R=E^{0,0,0}_\infty$; (ii) фактор $\Phi^r/\Phi^{r-1} \subset \operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)/\Phi^{r-1}$ совпадает с образом дифференциала $d_r\colon E_r^{r,*-r+1,*}\to E_r^{0,*,*}$; (iii) $\operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)/\Phi^{r-1}=E_r^{0,-q,*}$. Пусть $R$ – поле $\Bbbk$, тогда формула для дифференциала $d_1$ из теоремы 2, примененная к
$$
\begin{equation*}
N_1/N_0\otimes \operatorname{Ext}^{q-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk) \xrightarrow{d_1} \operatorname{Ext}^{q,*}_A(\Bbbk,\Bbbk),
\end{equation*}
\notag
$$
показывает, что $\Phi^2 \operatorname{Ext}_A^{q,*}(\Bbbk,\Bbbk)$ в точности состоит из элементов, представимых в виде $\displaystyle\sum a_i b_i$, где $a_i\in \operatorname{Ext}_A^{1,*}(\Bbbk,\Bbbk)$, $b_i\in \operatorname{Ext}_A^{q-1,*}(\Bbbk,\Bbbk)$. Фильтрация $\Phi^r$ функториальна в следующем смысле. Теорема 1. Пусть $f\colon A\to A'$ – гомоморфизм биалгебр, $f^*\colon A'_*\to A_*$ – двойственный гомоморфизм. Пусть также $N_0\subset A_*$ – $A$-инвариантный подмодуль, $N'_0\subset A'_*$ – $A'$-инвариантный подмодуль, причем $f^*(N'_0)\subset N_0$. Тогда гомоморфизм $f^*$ согласован с фильтрациями Бухштабера в $A_*$ и $A'_*$, начинающимися с $N_0$ и $N'_0$ соответственно, а именно, $f^*(N'_p)\subset N_p$. Следовательно, определен гомоморфизм соответствующих триградуированных спектральных последовательностей, в частности, Доказательство. Включение $f^*(N'_p)\subset N_p$ легко доказывается индукцией по $p$. В самом деле, пусть $x\in N'_p$, это в точности означает, что в равенстве $\overline\Delta(x)=\displaystyle\sum_i x_i^{(1)}\otimes x_i^{(2)}$ все элементы $x_1^{(i)}$ принадлежат $N'_{p-1}$. Тогда и для элементов в этой сумме по предположению индукции имеем $f^*(x_i^{(1)})\in N_{p-1}$ для всех $i$, а значит, $ f^*(x) \in N_p$. Теорема доказана. 3.4. Дифференциал $d_1$Ненадолго откажемся от предположения, что $R$ – поле. Напомним, что дифференциал $d_1\colon E_1^{p,q,*}\to E_1^{p-1,q,*}$ является связывающим гомоморфизмом длинной точной последовательности тройки комплексов
$$
\begin{equation*}
F(N_{p-2}, A_*,R)\subset F(N_{p-1}, A_*,R)\subset F(N_p, A_*,R).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $q=-1$ нетривиальным может быть только $d_1\colon E_1^{1,-1,*}\to E_1^{0,-1,*}$, и он легко описывается. Лемма 4. Дифференциал $d_1\colon E_1^{1,-1,*}\to E_1^{0,-1,*}$ совпадает со стандартным изоморфизмом $\delta\colon P(A_*)\to \operatorname{Ext}_A^{1,*}(R,R)$. Доказательство. В самом деле, $E_1^{1,-1,*}=N_1/N_0$, и по определению фильтрации этот модуль естественно отождествляется с модулем примитивных элементов Далее, $E_1^{0,-1,*}=\operatorname{Ext}_A^{1,*}(R,R)$, а этот модуль изоморфен модулю $P(A_*)$. Легко проверить, что на уровне представляющих коциклов $d_1$ отображает $x\in N_1/N_0$ в $1\otimes x \in F(R, A_*,R)$, так что $d_1$ является изоморфизмом. Лемма доказана. Следствие 1 (см. [25], [36]). Дифференциал $d_1\colon N_2/N_1=E_1^{2,-2,*}\to E_1^{1,-2,*}$ является вложением. Доказательство. Единственными нетривиальными дифференциалами $d_r\colon E_{r}^{2,-2,*}\to E_{r}^{2-r,-3+r,*}$ по соображениям размерности могут быть только $d_1$ и $d_2$. Из леммы 4 следует, что $d_2\colon E_{2}^{2,-2,*} \to E_{2}^{0,-1,*}$ принимает значения в нулевой группе, поэтому $E_{2}^{2,-2,*}=E_{\infty}^{2,-2,*}=0$, а значит, $d_1\colon N_2/N_1=E_1^{2,-2,*}\to E_1^{1,-2,*}$ является вложением. Следствие доказано. Далее будем предполагать, что $R$ – поле $\Bbbk$. Тогда по лемме 1 имеет место изоморфизм
$$
\begin{equation}
E_1^{p,-(p+s),*}=(N_p/N_{p-1})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk),
\end{equation}
\tag{11}
$$
а значит, дифференциал $d_1$ можно рассматривать как отображение
$$
\begin{equation}
d_1\colon(N_p/N_{p-1})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk)\to (N_{p-1}/N_{p-2})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s+1,*}(\Bbbk,\Bbbk).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из определения фильтрации Бухштабера следует, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{im} \widehat\Delta\subset N_{p-1}\otimes A_*, \quad\text{где}\ \ \widehat\Delta=\Delta - 1\otimes \operatorname{id} - \operatorname{id}\mathrel{\otimes} 1\colon N_p\to A_*\otimes A_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому $\widehat\Delta$ индуцирует отображение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D \colon N_p/N_{p-1} \to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes A_*, \\ (x\text{ mod } N_{p-1}) \mapsto \sum_j(-1)^{|x^{(1)}_j|}(x^{(1)}_j\text{ mod } N_{p-2})\otimes x^{(2)}_j. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Теорема 2. (a) Образ отображения $D\colon N_p/N_{p-1}\to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes A_*$ содержится в $N_{p-1}/N_{p-2}\otimes P(A_*)$. (b) Дифференциал
$$
\begin{equation*}
d_1\colon(N_p/N_{p-1})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk)\to (N_{p-1}/N_{p-2})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s+1,*}(\Bbbk,\Bbbk)
\end{equation*}
\notag
$$
раскладывается в композицию
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (N_p/N_{p-1})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk) &\xrightarrow{D\otimes 1}(N_{p-1}/N_{p-2})\otimes P(A_*)\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk) \\ &\xrightarrow{1\otimes \delta\otimes 1}(N_{p-1}/N_{p-2})\otimes \operatorname{Ext}_A^{1,*}(\Bbbk,\Bbbk)\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk) \\ &\xrightarrow{1\otimes m}(N_{p-1}/N_{p-2})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s+1,*}(\Bbbk,\Bbbk), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $m$ – умножение в $\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, которое определяется в терминах стандартной $B$-резольвенты $B(\Bbbk,A_*,\Bbbk)$ [63]. (c) Дифференциал является вложением. Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент
$$
\begin{equation*}
a\otimes b \in (N_p/N_{p-1})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk)
\end{equation*}
\notag
$$
и его представителя Отметим, что $y$ является циклом кобар-конструкции $F(\Bbbk, A_*,\Bbbk)$. Тогда элемент $d_1(a\otimes b)$ в $(N_{p-1}/N_{p-2})\otimes \operatorname{Ext}_A^{s+1,*}(\Bbbk,\Bbbk)$ представлен коцепью
Теперь нам нужно в последнем выражении отбросить элементы, которые заведомо имеют фильтрацию меньше, чем $p-1$. Для этого построим в $\bar{A}_*$ аддитивный базис (для простоты можно считать, что его элементы однородны) по индукции: сначала выберем базис в $N_1$, затем дополним его до базиса $N_2$ и т. д. Тогда $\widehat \Delta x$ можно записать в виде $\displaystyle\sum_i e_i\otimes z_i$, где $e_i$ попарно различны и принадлежат множеству элементов выбранного базиса, $z_i\in \bar{A}_*$. По построению фильтрации в этом разложении все $e_i$ принадлежат $N_{p-1}$. Выделим среди них элементы $e_{i_k}$, не принадлежащие $N_{p-2}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
D (x \text{ mod } N_{p-1})=\sum_k e_{i_k}\otimes z_{i_k}\in (N_{p-1}/N_{p-2}) \otimes \bar{A}_*.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь легко видеть, что $d_1(a\otimes b)$ представлен коцепью
$$
\begin{equation*}
\sum_k e_{i_k}\otimes z_{i_k}\otimes y \in N_{p-1}\otimes \bar{A}_*^{\otimes s+1}\subset F(N_{p-1},\bar{A}_*,\Bbbk) \mod F(N_{p-2},\bar{A}_*,\Bbbk).
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствующем факторкомплексе эта коцепь должна быть коциклом, откуда получаем равенство
$$
\begin{equation*}
\sum_k e_{i_k}\otimes \widehat\Delta(z_{i_k})\otimes y = 0\mod F(N_{p-2},\bar{A}_*,\Bbbk).
\end{equation*}
\notag
$$
Из линейной независимости элементов $e_{i_k}$ после проектирования в $N_{p-1}/N_{p-2}$ получаем, что все $\widehat \Delta z_{i_k}$ равны нулю, т. е. все элементы $z_{i_k}$ примитивны в $A_*$. Отсюда немедленно получаем утверждения (a) и (b).
Для доказательства пункта (c) рассмотрим $a\in N_p/N_{p-1}$, представленный элементом $x\in N_p$. Тогда $d_1(a)$ представлен классом элемента Проекции элементов $e_{i_k}$ в $N_{p-1}/N_{p-2}$ линейно независимы, поэтому из равенства нулю этой суммы следует, что все $z_{i_k}$ нулевые. Тем самым, в сумме $\widehat\Delta(x)=\displaystyle\sum e_i\otimes z_i$ все $e_i$ принадлежат $N_{p-2}$, а значит, $x\in N_{p-1}$, следовательно, $a=0$. Теорема доказана.3.5. $\operatorname{Bss}$-операции на когомологиях алгебр ХопфаНапомним, что если $V=\bigoplus\limits_{j\in \mathbb{Z}} V^{j}$ – градуированное векторное пространство, то его надстройкой $sV$ называется градуированное векторное пространство $\bigoplus\limits_{j\in \mathbb{Z}}(sV)^{j}$, где $(sV)^j=V^{j-1}$. Обозначим через $H=H^*$ градуированное векторное пространство $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Тензорная алгебра $T(V)=\bigoplus\limits_{k\geqslant 0} V^{\otimes k}$ градуированного векторного пространства $V$ снабжается так называемым шафл-произведением $ \text{ш}$, относительно которого $T(sH)$ является ассоциативной и градуированно коммутативной алгеброй. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
(x_1\otimes \cdots \otimes x_p) \mathbin{ \text{ш} }(x_{p+1}\otimes \cdots \otimes x_{p+q})=\sum_{\sigma\in S_{p,q}}(-1)^{\varepsilon} x_{\sigma(1)} \otimes x_{\sigma(2)}\otimes \cdots\otimes x_{\sigma(p+q)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_{p,q}$ – множество $(p,q)$-перетасовок, т. е. таких перестановок $\sigma\in S_{p+q}$, для которых
$$
\begin{equation*}
\sigma(1)<\cdots < \sigma(p)\quad\text{и}\quad \sigma(p+1)<\cdots <\sigma (p+q),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\varepsilon=\displaystyle\sum_{(i-j)(\sigma(i)-\sigma(j))<0}|x_i|\cdot |x_j|$. Шафл-произведение допускает индуктивное описание: 1) $x\mathbin{ \text{ш} } 1=1\mathbin{ \text{ш} } x=x$ для любого $x\in V$; 2) $(A\otimes x)\mathbin{ \text{ш} } (B\otimes y)=(-1)^{|x|\cdot (|B| +|y|)} \bigl(A\mathbin{ \text{ш} } (B\otimes y )\bigr) \otimes x+ \bigl((A\otimes x) \mathbin{ \text{ш} } B\bigr)\otimes y$ для любых $A,B\in T(V) $ и $x,y\in V$. Далее, пусть $\operatorname{gr}(A_*)=\bigoplus\limits_p N_p/N_{p-1}$ – градуированная алгебра, присоединенная к фильтрации $\{N_p\}$ в $A_*$. С помощью изоморфизма $\delta\colon P(A_*)\to \operatorname{Ext}_A^{1,*}(R,R)$ можно понимать гомоморфизм $D\colon N_p/N_{p-1}\to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes P(A_*)$ как сохраняющий градуировку гомоморфизм $N_p/N_{p-1}\to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes sH$. Определим гомоморфизм
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{D}\colon N_p/N_{p-1} &\to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes sH, \\ (x\text{ mod } N_{p-1}) &\mapsto \sum_j\bigl(x^{(1)}_j \text{ mod } N_{p-2}\bigr)\otimes x^{(2)}_j, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
который отличается от него знаком в некоторых градуировках (см. также формулу (13)). Теорема 3. (i) Итерированный гомоморфизм $\widetilde{D}$, т. е. (ii) Сумма всех $p$-кратных итераций $\widetilde{D}$ определяет инъективный гомоморфизм алгебр где $ \bigoplus\limits_p N_p/N_{p-1}$ понимается как $\operatorname{gr}(A_*)$, а $\bigoplus\limits_p (sH)^{\otimes p}$ – как $T(V)$ с $\mathbin{ \text{ш} }$-умножением. Доказательство. Чтобы доказать утверждение (i), достаточно почти дословно повторить доказательство пункта (c) теоремы 2.
Утверждение (ii) докажем, используя индуктивное описание $\mathbin{ \text{ш} }$-произведения. Если $x,y\in N_1$ и $x,y\notin N_0$, то $\widehat D(x)=x $, $\widehat D(y) =y$, $\widehat D(1)=1$ и прямой проверкой легко убедиться в том, что
$$
\begin{equation*}
\widehat D(x)\mathbin{ \text{ш} } 1=1 \mathbin{ \text{ш} } \widehat D(x)=\widehat D(x)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\widehat D(xy)=x\otimes y+(-1)^{|x|\cdot|y|} y\otimes x= \widehat D(x)\mathbin{ \text{ш} } \widehat D(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пусть $x\in N_p/N_{p-1}$, $y\in N_q/N_{q-1}$. Проведем индукцию по $p+q$. Для $p+q\leqslant 1$ утверждение, как мы только что убедились, верно. Пусть
$$
\begin{equation*}
\widetilde D (x)=\sum_i x^{(1)}_i\otimes x^{(2)}_i,\qquad \widetilde D (y)=\sum_j y^{(1)}_j\otimes y^{(2)}_j,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
x_i^{(1)}\in N_{p-1}/N_{p-2},\quad y_j^{(1)}\in N_{q-1}/N_{q-2}\quad\text{и}\quad x^{(2)}_i,y^{(2)}_j\in P(A_*)=sH.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что из определения $\widehat D$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat D (x)=\sum_i \widehat D(x^{(1)}_i)\otimes x^{(2)}_i,\qquad \widehat D (y)=\sum_j \widehat D(y^{(1)}_j)\otimes y^{(2)}_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat D(xy)&=\widetilde D_{p+q}(xy)=\sum_j\widetilde D_{p+q-1}(xy_j^{(1)}) \otimes y_j^{(2)}\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad+\sum_i (-1)^{|x_i^{(2)}|\cdot |y|}D_{p+q-1}(x_i^{(1)}y) \otimes x_i^{(2)} \\ &=\sum_j \widehat D(xy_j^{(1)})\otimes y_j^{(2)}+\sum_i (-1)^{ |x_i^{(2)}| \cdot |y|} \widehat D(x_i^{(1)}y)\otimes x_i^{(2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению индукции это равно а это, в свою очередь, равно $\widehat D(x)\mathbin{ \text{ш} } \widehat D(y)$. Теорема доказана. Дифференциалы $\operatorname{Bss}$ задают на $\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ некоторые частично определенные многозначные операции $\operatorname{Bss}_p$, к определению которых мы сейчас переходим. Рассмотрим дифференциал $d_p\colon E_p^{p,-s-p+1,*}\to E^{0,-s,*}_p$, принимающий значение в нулевом столбце. По определению фильтрации $\Phi^p\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ образ $d_p$ совпадает с фактором
$$
\begin{equation*}
\Phi^p\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)/\Phi^{p-1} \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk) \subset \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)/\Phi^{p-1} \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)\subset E^{0,-s,*}_p.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, дифференциал $d_p$ можно понимать как многозначное отображение в $\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, причем многозначность состоит в прибавлении элементов из подгруппы $\Phi^{p-1}\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Область определения дифференциала $d_p$ – группа $E_p^{p,-s-p+1,*}$, вложенная в фактор $E_1^{p,-s-p+1}/K_{p,s}$, где подгруппа $K_{p,s}$ определяется образами дифференциалов $d_1,\dots,d_{p-1}$ в группах $E_r^{p,-s-p+1,*}$. Тогда операция $\operatorname{Bss}_p$ определяется из коммутативной диаграммы, в которой неподписанные стрелки являются очевидными вложениями или эпиморфизмами:  Из диаграммы видно, что операция $\operatorname{Bss}_p$ определена на подгруппе в $(sH)^{\otimes p}\otimes \operatorname{Ext}^{s-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, а ее значения – подмножества в $\Phi^p\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, которые являются смежными классами по подгруппе $\Phi^{p-1}\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Если из контекста ясно, о каком $p$ идет речь, то операции $\operatorname{Bss}_p$ будем называть $\operatorname{Bss}$-операциями. Например, операция $\operatorname{Bss}_1$ определена на всем $sH\otimes \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ и однозначна. Легко проверить, что с точностью до знака она совпадает с умножением или, что то же самое, с двуместной операцией Масси (см. п. 6.1). 3.6. Реализация классов $\operatorname{Ext}_A^{s,*}(\Bbbk,\Bbbk)$ образами $\operatorname{Bss}$-операций на тензорной алгебре $T(s\operatorname{Ext}_A^{1,*}(\Bbbk,\Bbbk))$Будем говорить, что элемент $x\in \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ реализуется нетривиальной операцией $\operatorname{Bss}_p$, если для некоторого $y\in (sH)^{\otimes p}\otimes \operatorname{Ext}^{s-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ выполнено $x\in \operatorname{Bss}_p(y)$ и $0\notin \operatorname{Bss}_p(y)$. Будем говорить, что класс $x$ реализуется единственной $\operatorname{Bss}$-операцией, если из того, что $x\in \operatorname{Bss}_p(y_1)$ и $x\in \operatorname{Bss}_p(y_2)$, следует, что $\operatorname{Bss}_p(y_1)=\operatorname{Bss}_p(y_2)$. Теорема 4. Любой класс когомологий $x\in \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ реализуется единственной, причем нетривиальной, $\operatorname{Bss}$-операцией. Доказательство. Напомним, что образы дифференциалов спектральной последовательности Бухштабера задают возрастающую исчерпывающую фильтрацию $\Phi^p\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ в когомологиях алгебры $A$. Пусть $x\in \Phi^p \operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, но $x\notin\Phi^{p-1} \operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Тогда по построению операции $\operatorname{Bss}_p$ найдется такой $y\in (sH)^{\otimes p}\otimes \operatorname{Ext}^{s-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, что $x\in \operatorname{Bss}_p(y)$, а поскольку $x\notin\Phi^{p-1} \operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, то $x$, а точнее классы, которые он задает в группах $E_r^{0,-s,*}$, не лежат в образах дифференциалов $d_1,\dots,d_{p-1}$, а значит, $0\notin \operatorname{Bss}(y)$.
Единственность реализации следует из того, что два смежных класса по одной подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают. Теорема доказана. Иными словами, образами $\operatorname{Bss}$-операций каждая группа $\operatorname{Ext}_A^{*,*}(\Bbbk,\Bbbk)$ разбивается на попарно непересекающиеся и не содержащие нуля смежные классы по подгруппам $\Phi^p\operatorname{Ext}_A^{*,*}(\Bbbk,\Bbbk)$. Следствие 2. Любой класс $x\in \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ реализуется итерированными $\operatorname{Bss}$-операциями от классов из $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. 3.7. Алгебры ЛиПусть $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли над полем $\Bbbk$. Отметим, что известная специфика, возникающая в случае характеристики поля, равной 2 или 3, на дальнейшие рассуждения не влияет. Универсальная обертывающая алгебра $U\mathfrak{g}$ является алгеброй Хопфа. Напомним, что когомологии $H^*(\mathfrak{g},N)$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$ с коэффициентами в $\mathfrak{g}$-модуле $N$ – это $\operatorname{Ext}^{*}_{U\mathfrak{g}}(\Bbbk,N)$. В частности, когомологии $H^*(\mathfrak{g},(U\mathfrak{g})^*)$ тривиальны. К когомологиям алгебры Ли $\mathfrak{g}$ применимы приведенные выше в этом разделе конструкции и результаты. Вместе с тем здесь имеются некоторые тонкости. А именно, в общем случае фильтрация Бухштабера
$$
\begin{equation*}
\Bbbk=N_0\subset N_1 \subset \cdots \subset N_p \subset \cdots \subset(U\mathfrak{g})^*
\end{equation*}
\notag
$$
не обязательно исчерпывает $(U\mathfrak{g})^*$. В самом деле, по лемме 3 условие $\bigcup\limits_p N_p=(U\mathfrak{g})^*$ равносильно условию $\bigcap\limits_p I^p =0$, где $I$ – идеал аугментации алгебры $U\mathfrak{g}$. Условие $\bigcap\limits_p I^p =0$ равносильно остаточной нильпотентности алгебры Ли $\mathfrak{g}$ (см. [65; следствие 3.5]). Напомним, что для любой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ определен нижний центральный ряд
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}\supset \gamma_2(\mathfrak{g})=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \supset\cdots\supset \gamma_p(\mathfrak{g})\supset\cdots,\quad\text{где}\ \ \gamma_{p}(\mathfrak{g})=[\mathfrak{g},\gamma_{p-1}(\mathfrak{g}_n)].
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебра Ли называется нильпотентной, если найдется $p$, для которого выполнено равенство $\gamma_{p}(\mathfrak{g})= 0$, и остаточно нильпотентной, если $\bigcap\limits_p \gamma_{p}(\mathfrak{g})=0$. Конечномерная остаточно нильпотентная алгебра Ли нильпотентна. Таким образом, для остаточно нильпотентных алгебр Ли модуль $N_0=\Bbbk\subset (U\mathfrak{g})^*$ полный, а значит, спектральная последовательность Бухштабера определена корректно и сходится к тривиальному модулю $E_\infty^{*,*}$, но является не триградуированной, а биградуированной. В этом случае все свойства, доказанные выше, для этой биградуированной $\operatorname{Bss}$ выполняются. Если при этом алгебра Ли $\mathfrak{g}$ имеет градуировку положительными целыми числами, то градуировка переносится на $U\mathfrak{g}$ и $(U\mathfrak{g})^*$, и тогда $\operatorname{Bss}$ оказывается триградуированной. Именно такие алгебры Ли будут рассмотрены в разделах 7 и 8. Отметим, что в случае алгебр Ли вместо бар-резольвенты для $U\mathfrak{g}$, вычисляющей $\operatorname{Ext}^*_{U\mathfrak{g}}(\Bbbk,-)$, удобно использовать резольвенту Шевалле–Эйленберга. Напомним, что резольвентой Шевалле–Эйленберга модуля $\Bbbk$ называется комплекс $C_*(\mathfrak{g})$ c дифференциалом $d_{\rm CE}$, где
$$
\begin{equation*}
C_s(\mathfrak{g})=U\mathfrak{g}\otimes \Lambda^s \mathfrak{g},
\end{equation*}
\notag
$$
а дифференциал $d_{\rm CE}\colon C_s(\mathfrak{g})\to C_{s-1}(\mathfrak{g})$ задан формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &d_{\rm CE} (u\otimes g_1\wedge\cdots \wedge g_s)= \sum_{i=1}^s u g_{i} \otimes g_1\wedge\cdots \wedge\widehat{g}_i\wedge\cdots \wedge g_s \\ &\qquad+\sum_{i,j} (-1)^{i+j} u\otimes [g_i,g_j]\wedge g_1\wedge\cdots\wedge \widehat{g}_i\wedge\cdots \wedge\widehat{g}_j\wedge\cdots \wedge g_s. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Для градуированной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ с конечномерными однородными компонентами (таковой, например, является бесконечномерная алгебра Ли $L_1$) двойственный комплекс имеет вид $(U\mathfrak{g})^*\otimes \Lambda^s \mathfrak{g}^*$. Начинающаяся с $N_0=\Bbbk$ фильтрация Бухштабера в $(U\mathfrak{g})^*$ определяет триградуированную спектральную последовательность, для которой верно следующее утверждение. Теорема 5. Пусть $\mathfrak{g}$ – нильпотентная алгебра Ли, для которой $\gamma_n(\mathfrak{g})=0$. Тогда в спектральной последовательности Бухштабера все дифференциалы $d_r$ при $r\geqslant n$ нулевые, в частности, $E^{*,*}_{n}=E^{*,*}_\infty$. Доказательство. Из стандартного описания спектральной последовательности комплекса с фильтрацией (см., например, [63; гл. XI]) видно, что если дифференциал изменяет фильтрацию не более чем на $k$, то спектральная последовательность стабилизируется на $(k+1)$-м члене, т. е. $E_{k+1}=E_{\infty}$.
Рассмотрим гомологический комплекс Шевалле–Эйленберга $C_s(\mathfrak{g})=U\mathfrak{g}\otimes \Lambda^s \mathfrak{g}$ с дифференциалом (15). Степени идеала аугментации задают фильтрацию $F^pC_s(\mathfrak{g})=I^p \otimes \Lambda^s \mathfrak{g}$ в $C_s(\mathfrak{g})$. Покажем, что дифференциал (15) изменяет фильтрацию не более чем на $n-1$. Произвольный элемент $x\in F^pC_s(\mathfrak{g})$ представляется в виде $\displaystyle\sum x_i\otimes y_i,$ где $x_i\in I^p$ и $y_i\in \Lambda^s \mathfrak{g}$. Тогда $d_{\rm CE} x$ имеет вид $\displaystyle\sum x_i g_j \otimes {\widetilde y}_{ij}$, где $g_j\in \mathfrak{g}$, ${\widetilde y}_{ij}\in\Lambda^{s+1}\mathfrak{g}$. По следствию 3.3 из [65] выполняется равенство $\gamma_j(\mathfrak{g})= \mathfrak{g} \cap I^j$, поэтому из условия теоремы следует, что ни один ненулевой элемент алгебры Ли $\mathfrak{g}$ не принадлежит $I^n$. Следовательно, произведения $x_i g_j$ могут принадлежать только $I^{k}$ для $k<n+p$. Тем самым, $d_{\rm CE}$ в гомологическом комплексе изменяет фильтрацию не более чем на $n-1$. По лемме 3 фильтрация Бухштабера в $(U\mathfrak{g})^*$ двойственна фильтрации степенями идеала аугментации, поэтому, переходя к двойственному комплексу, получаем нужное утверждение. Теорема доказана. 4. Пример: алгебра многочленов с примитивными образующимиВ этом разделе в качестве иллюстративного примера мы рассмотрим алгебру многочленов $A=\Bbbk[x_1,\dots,x_n]$, где $|x_i|=2$, $\Bbbk$ – поле. Диагональ определим соотношениями $\Delta x_i=1\otimes x_i+x_i\otimes 1$, т. е. мультипликативные образующие считаются примитивными элементами. Получаем алгебру Хопфа, которая изоморфна универсальной обертывающей алгебре вещественной абелевой алгебры Ли размерности $n$, т. е. вещественной алгебры Ли с базисом $e_i$, $i=1,\dots,n$, и нулевыми коммутаторами $[e_i,e_j]=0$ для всех $i$, $j$. Мы дадим прямое доказательство стабилизации $\operatorname{Bss}$ такой алгебры Хопфа в члене $E_2^{*,*,*}$, иными словами, докажем тривиальность дифференциалов $d_r$ при $r\geqslant 2$, что в общем случае доказано в теореме 5. Более того, мы увидим, что $E_1^{*,*,*}$ – это комплекс, двойственный над $\Bbbk$ резольвенте Кошуля, расщепленной в прямую сумму дополнительной градуировкой. Двойственная алгебра $A_*$ изоморфна тензорному произведению $n$ копий алгебры разделенных степеней. Более точно, обозначим через $\gamma_{i}^{[k]}\in A_*$ элемент, который равен единице на мономе $x_i^{k}$ и нулю на всех остальных мономах. Для удобства положим $\gamma_{i}^{[0]}=1$. Тогда элементы $\gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_n^{[ r_n]}$ образуют аддитивный базис $A_*$. Коумножение задается формулой
$$
\begin{equation*}
\Delta \gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_n^{[ r_n]}= \sum_{\substack{r_i=s_i+t_i, \ i=1,\dots,n}} \gamma_1^{[s_1]}\cdots \gamma_n^{[ s_n]}\otimes \gamma_1^{[t_1]}\cdots \gamma_n^{[ t_n]},
\end{equation*}
\notag
$$
а умножение – формулой
$$
\begin{equation*}
(\gamma_1^{[s_1]}\cdots \gamma_n^{[ s_n]})\cdot (\gamma_1^{[t_1]}\cdots \gamma_n^{[ t_n]})=\biggl(\,\prod_{i=1}^n\frac{(s_i+t_i)!}{s_i!\,t_i!}\biggr) \gamma_1^{[s_1+t_1]}\cdots \gamma_n^{[s_n+t_n]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, в частности, следует, что модуль примитивных элементов $A_*$ аддитивно над $\Bbbk$ порожден элементами $\gamma_i^{[1]}$. Вычислим в $A_*$ фильтрацию Бухштабера, начинающуюся с $N_0=\Bbbk$. Это можно сделать либо напрямую, либо через фильтрацию степенями идеала аугментации $I$ алгебры $A$. Легко видеть, что $I^p$ состоит из линейных комбинаций мономов $x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$, для которых $\displaystyle\sum_j i_j\geqslant p$. В частности,
$$
\begin{equation*}
I^{p}=I^{p+1}\oplus \Bbbk\biggl\langle x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}\colon \sum_j i_j=p\biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по лемме 3
$$
\begin{equation*}
N_p=\Bbbk\biggl\langle \gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_n^{[r_n]}\colon \sum_j r_j\leqslant p \biggr\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
N_p=N_{p-1} \oplus \Bbbk\biggl\langle \gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_n^{[r_n]}\colon \sum_j r_j= p \biggr\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Для вычисления $\operatorname{Ext}^{*,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ будем использовать резольвенту Кошуля, она в данном случае наиболее удобна. Напомним соответствующие определения. Полиномиальным образующим $x_i$ припишем биградуировку $(0,2)$. Пусть $V$ – векторное пространство с базисом $y_1,\dots,y_n$, где элементы $y_i$ имеют биградуировку $(-1,2)$. Резольвента Кошуля представляет собой биградуированную дифференциальную алгебру $\Bbbk[x_1,\dots,x_n]\otimes\Lambda(y_1,\dots,y_n)$ с дифференциалом
$$
\begin{equation}
d(f(x_1,\dots,x_n)\otimes y_{k_1}\wedge\cdots \wedge y_{k_s})= \sum_{i=1}^s(-1)^{i+1} f(x_1,\dots,x_n) x_{k_i} \otimes y_{k_1}\wedge\cdots \wedge {\widehat y}_{k_i}\wedge\cdots \wedge y_{k_s}
\end{equation}
\tag{16}
$$
бистепени $(1,0)$. Легко видеть, что резольвента состоит из свободных $A$-модулей $P^s=A\otimes \Lambda^s V$. Применяя к резольвенте Кошуля функтор $\operatorname{Hom}_A^*(-,\Bbbk)$, получаем комплекс модулей $\operatorname{Hom}^*_\Bbbk(\Lambda^s V,\Bbbk)$ с тривиальным дифференциалом. Таким образом, $\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ изоморфен $\Bbbk$-модулю $(\Lambda^s V)^*$, двойственному к $\Lambda^s V$. Теперь отметим, что резольвента Кошуля имеет третью градуировку – так называемый вес: для монома $x_1^{r_1}\cdots x_n^{r_n}\otimes y_{k_1}\wedge\cdots \wedge y_{k_s}$ он определяется как $s+\displaystyle\sum r_j$ (неформально вес монома – это количество символов $x_i$ и $y_i$ в его записи). Легко видеть, что дифференциал сохраняет вес, а вся резольвента Кошуля распадается в прямую сумму ацикличных подкомплексов, состоящих из элементов одного и того же веса. Теорема 6. $(-q)$-я строка триградуированной спектральной последовательности изоморфна комплексу, двойственному над $\Bbbk$ прямому слагаемому резольвенты Кошуля, состоящему из элементов веса $q$. В частности, каждая такая строка точна, и поэтому $E^{*,*,*}_2=E^{*,*,*}_\infty$. Доказательство. Воспользуемся изоморфизмами
Для вычисления
$$
\begin{equation*}
d_1\colon (N_p/N_{p-1})\otimes (\Lambda^{q-p} V)^*\to (N_{p-1}/N_{p-2})\otimes (\Lambda^{q-p+1} V)^*
\end{equation*}
\notag
$$
воспользуемся теоремой 2. Из формулы для коумножения в $A_*$ следует, что $D\colon (N_p/N_{p-1})\to (N_{p-1}/N_{p-2})\otimes P(A_*)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
D(\gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_n^{[ r_n]})=\sum_{j=1}^n\gamma_1^{[r_1]} \cdots \gamma_j^{[ r_j-1]}\cdots \gamma_n^{[ r_n]}\otimes \gamma_j^{[1]},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\displaystyle\sum r_i=p$, причем если $r_j=0$ для какого-то $j$, то соответствующее слагаемое в правой части отбрасывается. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
d_1(\gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_n^{[ r_n]}\otimes y^*_{i_1}\wedge\cdots \wedge y^*_{i_{q-p}})=\sum_{j=1}^n\gamma_1^{[r_1]}\cdots \gamma_j^{[ r_j-1]} \cdots \gamma_n^{[ r_n]}\otimes y_j^*\wedge y^*_{i_1}\wedge\cdots \wedge y^*_{i_{q-p}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что такая формула для $d_1$ получается из формулы (16) для дифференциала резольвенты Кошуля переходом к двойственным модулям, причем в ней фигурируют только элементы веса $q$. Теорема доказана. Фильтрация $\Phi^r$ для данного примера легко описывается. В самом деле, $d_1\colon E_1^{1,-q,*}\to E_1^{0,-q,*}$ является эпиморфизмом, поэтому
$$
\begin{equation*}
\Phi^1=\operatorname{Ext}^{*,*}_{\Bbbk[x_1,\dots,x_n]}(\Bbbk,\Bbbk),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, $\Phi^r$, $r\geqslant 2$, тоже совпадают с $\operatorname{Ext}^{*,*}_{\Bbbk[x_1,\dots,x_n]}(\Bbbk,\Bbbk)$, т. е. $\operatorname{Bss}$ вырождается во втором члене.
5. Вычисление фильтраций5.1. Фильтрация Бухштабера в $S_*\otimes \mathbb{Q}=\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$Напомним необходимые для нас факты, касающиеся теории $U$-кобордизмов. Кольцо коэффициентов $\Omega_U^*=U^*(\operatorname{pt})$ является кольцом многочленов $\Omega_U^*=\mathbb{Z}[y_1,y_2,\ldots]$ от образующих $y_i$, $|y_i|=-2i$ для всех целых $i\geqslant 1$. Алгебра стабильных когомологических операций в теории $U$-кобордизмов является пополненным тензорным произведением кольца коэффициентов $\Omega_U^*$ и алгебры Ландвебера–Новикова $S$ (см. [29], [66]). Аддитивный базис в алгебре $S$ образуют операции $S_\omega$, проиндексированные разбиениями $\omega=(i_1,\dots,i_k)$ положительных целых чисел $n$ в суммы положительных целых чисел $\displaystyle\sum i_k=n$, $|S_\omega|=2n$. Удобно считать, что единица алгебры $S$ соответствует “пустому” разбиению. Уточним, что разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми. Коумножение в алгебре $S$ определено формулой
$$
\begin{equation*}
\Delta S_\omega=\sum_{\omega_1\sqcup \omega_2= \omega} S_{\omega_1}\otimes S_{\omega_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тот факт, что $S$ является алгеброй (т. е. $S$ замкнута относительно произведения), доказан в [29], [66]. Отметим также, что формулы для произведения в $S$ еще недостаточно для описания умножения в алгебре стабильных операций в теории $U$-кобордизмов. В самом деле, чтобы представить композицию двух элементов из $\Omega_U^* \mathbin{\widehat\otimes} S$ в виде элемента такого тензорного произведения, нужно знать перестановочные соотношения для элементов $\Omega_U^*$ и $S$. Соответствующие формулы были получены в [29]. Далее мы вычислим фильтрацию Бухштабера в алгебре $S_*$, используя замечательный изоморфизм $S_*\otimes \mathbb{Q}=\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$ (см. [25], [34]). В работе [25] показано, что имеет место вложение $S$-модулей $\phi\colon \Omega_U^*\to S_*$; оно определяется формулой где $\mu\colon\Omega_U^*\to \mathbb{Z}$ – аугментация, $s\in S$, $x\in \Omega_U^*$. Кроме того, легко проверить, что $\phi$ согласовано с кольцевыми структурами и является гомоморфизмом $S$-модулей. Наконец, из [25; лемма 2.1] и [34; лемма 2.2] следует, что $\phi\otimes\mathbb{Q}$ – изоморфизм. Таким образом, для построения триградуированной спектральной последовательности можно вместо $(S\otimes \mathbb{Q})$-модуля $S_*\otimes \mathbb{Q}$ рассматривать $\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$.Мы опишем фильтрацию Бухштабера, начинающуюся с $N_0=\mathbb{Q}\subset \Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$. Для этого нам нужны удобные полиномиальные образующие в $\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$ и описание действия $S$ на них в терминах этих образующих. Напомним, что в работе [25] был определен характер Черна–Дольда в $U$-кобордизмах – естественное преобразование теорий когомологий
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ch}_U\colon U^*(X)\to H^*(X,\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Для $X=\operatorname{pt}$ характер Черна–Дольда является естественным вложением $\Omega_U^* \to \Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$. Пусть $u\in U^2(\mathbb{C} P^\infty)$ – первый класс Черна в $U$-кобордизмах универсального линейного расслоения. Тогда элемент $\operatorname{ch}_U(u)\in H^*(\mathbb{C} P^\infty, \Omega_U^*\otimes \mathbb{Q})$ может быть записан в виде ряда
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ch}_U(u)=\beta(z)=z+\sum_{n=1}^\infty t_n \frac{z^{n+1}}{(n+1)!}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z\in H^2(\mathbb{C} P^\infty,\mathbb{Z})$ – стандартный класс Черна в когомологиях того же универсального линейного расслоения. Классы $t_n\in \Omega^{-2n}_U$ полностью охарактеризованы в работе [25]. Существование для этих классов представителей, являющихся гладкими неприводимыми алгебраическими многообразиями, долгое время представляло открытый вопрос. Недавно в работе [67] на него был получен положительный ответ, а именно, было показано, что в качестве представителей классов $t_n$ можно взять неособые тета-дивизоры $\Theta^n$, $n=1,2,\ldots$ , общих главно поляризованных абелевых многообразий. Тогда $\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[t_1,t_2,\ldots]$. Введем формальный ряд
$$
\begin{equation*}
Q_v(z)=1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n v_n\frac{z^n}{(n+1)!}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
у которого коэффициенты выбраны так, чтобы выполнялось соотношение которое более подробно можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\biggl(1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n v_n \frac{z^n}{(n+1)!}\biggr) \biggl(1+\sum_{n=1}^\infty t_n \frac{z^n}{(n+1)!}\biggr)=1.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Легко видеть, что элементы $v_1,v_2,\ldots$ образуют семейство полиномиальных образующих кольца $\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$:
$$
\begin{equation*}
\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q} =\mathbb{Q}[t_1,t_2,\ldots]= \mathbb{Q}[v_1,v_2,\ldots].
\end{equation*}
\notag
$$
Базис в $\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$, состоящий из мономов от образующих $v_i$, будем называть базисом $v$-мономов. В небольших размерностях образующие $t_n$ и $v_n$ связаны друг с другом формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t_1&=v_1, \\ t_2&=-v_2 + \frac{3}{2}v_1^2, \\ t_3&=v_3 - 4 v_2v_1 + 3 v_1^3, \\ t_4&=- v_4 + 5 v_3 v_1 + \frac{10}{3}v_2^2 - 15 v_2 v_1^2 + \frac{15}{2} v_1^4, \\ t_5&=v_5 - 6 v_4v_1 -10 v_3v_2 + \frac{45}{2}v_3 v_1^2 + 30 v_2^2 v_1 -60 v_2 v_1^3 + \frac{45}{2}v_1^5. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае верно следующее утверждение, которое легко доказывается по индукции. Лемма 5. Для любого $n$ элемент $t_n$ является полиномом с рациональными коэффициентами от образующих $v_i$, $i=1,\dots,n$, при этом коэффициенты при $v_n$ и $v_1^n$ отличны от нуля. Более точно, коэффициент при $v_n$ равен $(-1)^{n+1}$, а коэффициент при $v_1^n$ равен $(n+1)!/2^n$. Действие алгебры Ландвебера–Новикова на образующих $t_n $ и $v_n$ описывается следующим утверждением. Утверждение 1 [34], [67]. (a) $S_\omega t_n=0$, если $\omega\ne (k)$. (b) $S_{(k)}t_n$ равно коэффициенту при $z^{n+1}$ в разложении $(n+1)!\,\beta(z)^{k+1}$ в ряд по степеням $z$; в частности,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{(n)} t_n &=(n+1)!, \\ S_{(n-1)} t_n &=\frac{n(n+1)}{2}\, n!\, t_1, \\ S_{(1)} t_n &=\sum_{k=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1\end{pmatrix} t_k t_{n-k-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(c) $S_{(k)}v_n$ равно коэффициенту при $z^{n+1}$ в разложении $-(n+1)!\,z\beta(z)^{k-1}$ в ряд по степеням $z$; в частности, Формулы из пунктов (b) и (c) можно кратко записать в виде равенств формальных рядов
$$
\begin{equation*}
S_{(k)}(\beta(z))=\beta(z)^{k+1} \quad\text{и}\quad S_{(k)}(Q_v(z))=-z \beta(z)^{k-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь перейдем к вычислению фильтрации $N_0\subset N_1 \subset\cdots\subset\Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$. Напомним, что $N_0=\mathbb{Q}\subset \Omega_U^*\otimes\mathbb{Q}$ и далее по индукции
$$
\begin{equation*}
N_{p+1}=\{x \in \Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}\colon s\cdot x\in N_p \text{ для всех } S_\omega, |\omega|>0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что однородный элемент $\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$ степени $-2d$ принадлежит $N_d$, но, вообще говоря, может принадлежать $N_p$ с $p<d$. Мономы $v_1^{i_1}v_2^{i_2}\cdots v_m^{i_m}$ удобно кодировать бесконечными последовательностями неотрицательных целых чисел $(i_1,i_2,\ldots)$ с конечным числом ненулевых элементов или, что то же самое, элементами прямого предела полугрупп $\varinjlim(\mathbb{Z}_{\geqslant 0})^n$. Для такой последовательности $I=(i_1,i_2,\ldots)$ через $v_I$ будем обозначать моном $\displaystyle\prod_k v_k^{i_k}$. Для $I=(i_1,i_2,\ldots)$ положим Пусть также $d(I)=\displaystyle\sum_{k} k i_k$; ясно, что $|v_I|=-2d(I)$.Теорема 7. (a) Элемент $v_I$ принадлежит $N_{p(I)}$. (b) Аддитивный базис $\Omega_U^*\otimes \mathbb{Q}$ согласован с фильтрацией $N_{p}$ в следующем смысле: В частности, $v_I$ не принадлежит $N_{p(I)-1}$.Доказательству предпошлем вспомогательное утверждение. Лемма 6. (a) $v_1\in N_1$, $v_1^k\in N_k$, $v_1\notin N_{k-1}$. (b) $v_k\in N_{k-1}$ для $k\geqslant 2$. (c) $t_k\in N_{k}$ и $t_k\notin N_{k-1}$. (d) $v_k\notin N_{k-2}$ для $k\geqslant 2$. Доказательство. (a) $S_{(1)}v_1=-2$, остальные $S_\omega\ne 1$ принимают на $v_1$ нулевое значение, так что $v_1\in N_1$. Поскольку $|v_1^k|=-2k$, имеем $v_1^k\in N_k$. Соотношение $S_{(1)}v_1^k=-2k v_1^{k-1}$ позволяет проверить, что $v_1^k\notin N_{k-1}$, индукцией по $k$.
(b) Для любой операции $S_{(\omega)}$, отличной от 1 и от $S_{(1)}$, элемент $S_{\omega}v_k$ принадлежит $N_{k-2}$ по соображениям размерности. По утверждению 1 имеем $S_{(1)}v_k=0\in N_0\subset N_{k-2}$ при $k\geqslant 2$. Поэтому $v_k\in N_{k-1}$. (c) Ясно, что $t_k\in N_k$, так как $|t_k|=-2k$. По лемме 5 выполнено равенство где через $V$ обозначена линейная комбинация мономов, содержащих хотя бы один сомножитель вида $v_m$, $m\geqslant 2$. Из соображений размерности, леммы 2 и пункта (b) получаем $V\in N_{k-1}$. С другой стороны, $v_1^k\notin N_{k-1}$, поэтому $t_k\notin N_{k-1}$.(d) Очевидно, что $v_2\notin N_0$. Далее, при $k\geqslant 3$ элемент $v_k$ не может принадлежать $N_{k-2}$, так как $S_{(2)}v_k=(-1)^{k+1} k(k+1) t_{k-2}\notin N_{k-3}$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 7. Пункт (a) тривиальным образом вытекает из леммы 2 и утверждений (a) и (b) леммы 6. Чтобы доказать пункт (b), покажем, что никакая линейная комбинация мономов $v_I$ одной степени, для которых $p(I)=p$, не может принадлежать $N_{p-1}$. Предположим, что это неверно, и пусть $p$ – наименьшее, для которого существует нетривиальная линейная комбинация
$$
\begin{equation*}
x= \sum_{\substack{d(I_k)=d \\ p(I_k)=p}} \lambda_k v_{I_k}\in N_{p-1},\quad\text{где}\ \ \lambda_k\in \mathbb{Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь разберем два случая.
Сначала предположим, что среди мономов $v_{I_k}$ найдутся такие, в которые $v_1$ входит в ненулевых степенях. Тогда $S_{(1)}x\ne 0$, причем $S_{(1)}x$ является линейной комбинацией мономов вида $v_I$, где $d(I)=d-1$, $p(I)=p-1$. В самом деле, легко проверить, что $S_{(1)}v_I=0$, если последовательность $I=(i_1,i_2,\ldots)$ такова, что $i_1=0$. Если же $i_1>0$, то $S_{(1)}v_I=-2 i_1 v_{J}$, где $J=(i_1-1,i_2,\ldots)$. Так как $x\in N_{p-1}$, то $S_{(1)}x\in N_{p-2}$, что противоречит минимальности $p$. Теперь предположим, что $v_1$ не входит ни в один из мономов $v_{I_k}$ (в этом случае $S_{(1)}x=0$, и это нам ничего не дает). Покажем, что $S_{(2)}x\ne 0$ и что $S_{(2)}x$ обязательно содержит слагаемoе $v_{\widehat I}$ с ненулевым коэффициентом, для которого $p(\widehat I)=p-1$. Тогда по определению фильтрации из $x\in N_{p-1}$ следует, что $S_{(2)}x\in N_{p-2}$, а это противоречит выбору минимального $p$. Введем на последовательностях неотрицательных целых чисел $I=(i_1,i_2,\ldots)$ с конечным количеством ненулевых элементов правый лексикографический порядок, а именно, положим $I>J$, если найдется целое $k>0$, для которого $i_k>j_k$ и $i_m=j_m$ при всех $m>k$. Лемма 7. (a) Пусть $v_I=v_k^{i_k}v_{k+1}^{i_{k+1}}\cdots v_m^{i_m}$, где $2\leqslant k\leqslant m$ и $i_k>0$. Рассмотрим разложение по базису мономов от образующих $v_i$. В нем для мономов $v_J$ выполняется неравенство $p(J)\leqslant p(I)-2$, за исключением мономов $v_{I_s}$, где для которых, в частности, $p(I_s)=p(I)-1$. (b) Пусть $I>J$, причем $d(I)=d(J)$ и $p(I)=p(J)$. Пусть для определенности $v_I= v_k^{i_k}v_{k+1}^{i_{k+1}}\cdots v_m^{i_m}$, где $2\leqslant k\leqslant m$ и $i_k>0$. Тогда $I_{k}>J_t$ для всех возможных $t$. Смысл этой леммы в том, что если $v_I=v_k^{i_k}v_{k+1}^{i_{k+1}}\cdots v_m^{i_m}$, где $2\leqslant k\leqslant m$ и $i_k>0$, является старшим мономом в разложении $x$ по $v$-базису, то в качестве монома $v_{\widehat I}$ в разложении $S_{(2)}x$ по $v$-базису можно взять моном, соответствующий $I_{k}$, – коэффициент при нем будет ненулевым. Это завершает доказательство теоремы 7. Доказательство леммы 7. Операция $S_{(2)}$ является дифференцированием, т. е. Отсюда следует простое соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_{(2)}(v_j^i)&=i v_j^{i-1} S_{(2)}v_j=i v_j^{i-1} (-1)^{j+1} j (j+1)t_{j-2} \\ \notag &=i v_j^{i-1} (-1)^{j+1} j (j+1) \frac{(j-1)!}{2^{j-2}} v_1^{j-2} +A \\ &=(-1)^{j+1} i\,\frac{(j+1)!}{2^{j-2}}\,v_j^{i-1} v_1^{j-2} + A, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $A$ является линейной комбинацией $v$-мономов степени $ij - 2$, причем каждый такой моном содержит не менее $i$ сомножителей $v_s$, $s>1$.
В следующем вычислении мы не будем приводить в явном виде коэффициенты, как в последней формуле, – нам достаточно будет знать, что такой коэффициент отличен от нуля; мы будем обозначать их символами $\epsilon$ с различными индексами. Итак, пусть $v_I= v_k^{i_k}v_{k+1}^{i_{k+1}}\cdots v_m^{i_m}$, где $2\leqslant k\leqslant m$ и $i_k>0$. Положим $d= d(I) $ и $p= p(I)$, заметим, что количество сомножителей $v_j$, $j>1$, в мономе $v_I$ в точности равно $d-p$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{(2)}(v_I)&=\sum_{j=k}^m v_k^{i_k}\cdots S_{(2)}(v_{j}^{i_j})\cdots v_m^{i_m}=\sum_{j=k}^m \epsilon_j v_1^j v_k^{i_k}\cdots (v_{j}^{i_j-1}) \cdots v_m^{i_m} + A, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $A$ – линейная комбинация $v$-мономов степени $d-2$ и в каждый из них сомножители $v_j$, $j>1$, входят не менее $d-p$ раз, поэтому у каждого такого монома $v_J$ величина $p(J)$ не превосходит $(d-2)-(d-p)=p-2$. Заметим, кстати, что отсюда следует, что $A\in N_{p-2}$.
Остальные мономы, входящие в сумму в правой части формулы (21), соответствуют последовательностям
$$
\begin{equation}
I_s=(i_s,0,\dots,0,i_k,\dots,i_s-1,\dots,i_m,0,\ldots),\qquad s=k,\dots,m.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Легко проверить, что $d(I_s)=d-2$, $p(I_s)=p-1$. Пункт (a) доказан, перейдем к пункту (b).
Пусть $I=(0,\dots, i_k,\dots, i_m,0,\ldots)$, $J=(0,j_2,\ldots)$, причем $d(I)=d(J)$ и $I>J$. Поскольку $p(I)=p(J)$, то $\displaystyle\sum_t i_t=\displaystyle\sum_t j_t $. Так как $I>J$, то найдется $q$, для которого $i_q>j_q$, $i_r=j_r$ при $r>q$. Покажем, что $q>k$. От противного, пусть $q=k$. Тогда из $d(I)=d(J)$ следует, что а из $p(I)=p(J)$ следует, что Вычтем из (23) равенство (24), домноженное на $k$, и получим поскольку коэффициенты $k-t$ положительны, а $j_t\geqslant 0$, из этого равенства следует, что $j_2=\cdots=j_{k-1}=0$, тем самым, $I$ совпадает с $J$ во всех позициях, кроме $k$-й, а значит, $d(I)\ne d(J)$, что противоречит условию леммы.Итак, $q>k$. Но тогда $q$-й член последовательности будет строго больше $q$-го члена любой последовательности вида $J_t$. Лемма доказана. Замечание 1 (фильтрация степенями идеала аугментации в $S\otimes \mathbb{Q}$). Ранее в этом разделе мы кодировали $v$-мономы бесконечными последовательностями $(i_1,i_2,\ldots)$ (элементами группы $\varinjlim(\mathbb{Z}_{\geqslant 0})^n$), в которых конечное число элементов являются положительными целыми числами, а остальные – нули. Сейчас нам удобно кодировать $v$-мономы другим способом – теми же разбиениями, которыми кодируются операции Ландвебера–Новикова. А именно, разбиения положительного целого $n$ в суммы $n=j_1+\cdots+j_s$ находятся во взаимно однозначном соответствии с $v$-мономами степени $-2n$: разбиению $\omega=(j_1,\dots,j_s)$ ставится в соответствие $v$-моном $v_\omega=v_{j_1}\cdots v_{j_s}$. Положим Напомним (см. выше), что вложение $S$-модулей $\phi\colon\Omega_U^*\to S_*$ становится изоморфизмом после тензорного умножения на $\mathbb{Q}$. Изоморфизм $\phi\otimes \mathbb{Q}$ переносит фильтрацию $N_p$ на $S_*$. Пусть $I$ – идеал аугментации $S\otimes \mathbb{Q}$. Положим $F^pS\otimes \mathbb{Q}=I^p$. Напомним (см. [34]), что элементы $v_\omega$ образуют базис $S_*\otimes\mathbb{Q}$, двойственный базису касательных операций Ландвебера–Новикова (см. [29]). Касательная операция, соответствующая $\omega$, обозначается $\overline S_\omega$. Из леммы 3 легко получается следующее описание фильтрации $S\otimes \mathbb{Q}$ степенями идеала аугментации. Теорема 8. (a) $\overline S_\omega \in F^{p(\omega)} S\otimes \mathbb{Q}= I^{p(\omega)}$. (b) $\overline S_\omega \notin F^{p(\omega)+1} S\otimes \mathbb{Q}= I^{p(\omega)+1}$. Более того, 5.2. Фильтрация степенями идеала аугментации в $UL_1$Напомним, что алгебра Ли $L_1$ порождается над $\mathbb{Q}$ элементами $e_i$, $i=1,2,\ldots$ , и соотношениями $[e_i,e_j]=(j-i) e_{i+j}$. Универсальная обертывающая $UL_1$ над полем $\mathbb{Q}$ – это ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами $e_i$, $i\geqslant 1$, и соотношениями $e_ie_j-e_j e_i=(j-i) e_{i+j}$. По теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта мономы вида $e_{i_1}\cdots e_{i_n}$, где $i_1\leqslant i_2\leqslant \cdots\leqslant i_n$, образуют базис универсальной обертывающей алгебры $UL_1$. Во многих задачах, связанных с алгеброй Ли $L_1$, используется градуировка алгебры $L_1$, относительно которой коммутатор однороден, а именно, элементу $e_i$ приписывается градуировка $i$. Эта градуировка индуцирует градуировку универсальной обертывающей алгебры $UL_1$: моному $e_{i_1}\cdots e_{i_n}$ приписывается градуировка $\displaystyle\sum_{j=1}^n i_j$. Отметим, что аналогичным образом вводится вторая градуировка комплекса Шевалле–Эйленберга, а именно, элементу $\omega_{i_1}\wedge\cdots \wedge \omega_{i_n}$ приписывается биградуировка $\biggl(n,\displaystyle\sum_{j=1}^n i_j\biggr)$. Дифференциал комплекса Шевалле–Эйленберга сохраняет вторую градуировку, следовательно, комплекс Шевалле–Эйленберга алгебры Ли $L_1$ расщепляется в прямую сумму подкомплексов, что дает нетривиальное расщепление когомологий алгебры Ли $L_1$. Теорема 9. Обозначим через $I$ идеал аугментации в $UL_1$. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) $e_1\in I^1$, $e_1\notin I^2$. (b) $e_n\in I^{n-1}$, $e_n\notin I^n$ для $n\geqslant 2$. (c) Пусть $1< j_1\leqslant\cdots\leqslant j_n$. Элемент вида $e_1^s e_{j_1}\cdots e_{j_n}$ принадлежит $I^\nu$, где $\nu=s+\displaystyle\sum_{k=1}^n (j_k-1)$. Доказательство. Очевидно, что $e_1,e_2\in I$. Предположим, что $e_1\in I^2$. Тогда $e_1$ представляется в виде $\displaystyle\sum a_ib_i$, где $a_i,b_i \in I$. Легко видеть, что градуировка каждого из элементов $a_i$ и $b_i$ не меньше 1, но тогда $e_1$ должен иметь градуировку не меньше 2.
Из формулы $e_n=[e_1,e_{n-1}]/(n-2)$ следует, что $e_n\in I^{n-1}$ при $n\geqslant 3$. Покажем, что $e_n\notin I^n$. Предположим от противного, что $e_n$ является линейной комбинацией произведений длины не меньше $n$. Учитывая градуировку, получаем, что в таком случае эта линейная комбинация должна состоять из одного слагаемого, $e_n=\lambda e_1^n$, $\lambda\in\mathbb{Q}$, что противоречит теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта. Теорема доказана. Запишем базисный моном $e_{i_1}\cdots e_{i_n}$ в виде $x=e_1^m e_{j_1}\cdots e_{j_k}$, где $1<j_1\leqslant \cdots \leqslant j_k$, и положим Теперь мы можем дать полное описание фильтрации $F^p UL_1=I^p$.Теорема 10. В приведенных выше обозначениях $x\in F^{\nu(x)}UL_1 \setminus F^{\nu(x)+1}UL_1$. Более того, базис Пуанкаре–Биркгофа–Витта согласован с фильтрацией $F^pUL_1$ в следующем смысле: Доказательство. Для монома $x=e_1^m e_{j_1}\cdots e_{j_k}$ обозначим через его степень. Зафиксируем степень $d$ и параметр $p\leqslant d$. Докажем, что никакая линейная комбинация вида где $x_j$ – моном базиса Пуанкаре–Биркгофа–Витта, не может принадлежать $I^{p+1}$, $\lambda_j\in \mathbb{Q}$. От противного, предположим, что $y=\displaystyle\sum_s \mu_s y_s$, $\mu_s\in \mathbb{Q}$, а каждый $y_s$ – произведение базисных элементов $e_i$, $i\geqslant 1$, длины по меньшей мере $p+1$.
Оценим, сколько в мономе $y_s$ имеется сомножителей, отличных от $e_1$. Обозначим через $m$ количество сомножителей $e_1$, а через $k$ – количество сомножителей $e_i$ при $i\geqslant 2$. Тогда $m+2k\leqslant d$ и $p+1\leqslant m+k$, откуда следует, что $k\leqslant d-p-1$. В алгебре $UL_1$ порождающие соотношения имеют вид $e_ie_j - e_je_i=(j-i)e_{i+j}$. Запишем их в виде
$$
\begin{equation}
e_j e_i =e_ie_j-(j-i) e_{i+j} \quad \text{для}\ \ j>i>1,
\end{equation}
\tag{27}
$$
$$
\begin{equation}
e_j e_1 =e_1e_j-(j-1) e_{j+1} \quad \text{для}\ \ j>1.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Тогда, последовательно заменяя вхождения $\cdots e_je_i \cdots$, $j>i$, в мономах $y_s$ на правые части вышеприведенных соотношений, мы за конечное число шагов приведем $y=\displaystyle\sum_s \mu_s y_s$ к линейной комбинации мономов базиса Пуанкаре–Биркгофа–Витта, т. е. получим выражение (26).
Теперь заметим, что на каждом шаге такой редукции в каждом мономе количество вхождений символов $e_i$, $i\geqslant 2$ (т. е. отличных от $e_1$), не увеличивается и тем самым не превышает $d-p-1$. С другой стороны, для каждого монома $e_1^m e_{j_1}\cdots e_{j_k}$ из формулы (26) количество вхождений символов $e_i$, отличных от $e_1$, в точности равно $k=d(x)-\nu(x)=d-p$. Теорема доказана. Замечание 2 (о когомологиях алгебры $L_1$ в размерностях 1 и 2). Дифференциал в комплексе Шевалле–Эйленберга $\Lambda (L_1)^*$ на образующих $\omega_k$, двойственных образующим $e_k\in L_1$, $k\geqslant 1$, задается формулой Легко видеть, что пространство $H^1(L_1)$ двумерно и базисом в нем служат классы $\omega_1$ и $\omega_2$, двойственные образующим алгебры $e_1$ и $e_2$ соответственно. Сложнее проверяется (но это все еще можно сделать элементарными методами), что $H^2(L_1)$ тоже двумерно, причем базис в нем образуют классы $x^2_{-}$ и $x^2_{+}$, представленные коциклами $\omega_3\wedge\omega_2$ и $\omega_5\wedge\omega_2-3\omega_4\wedge\omega_3$ соответственно. Класс $x^2_{-}$ представляет тройное произведение Масси $\langle -\omega_1,\omega_2,\omega_2\rangle$ (необходимые определения – произведения Масси, определяющей системы, неопределенности – приведены в п. 6.1). Соответствующая определяющая система записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} -\omega_1 & -\omega_3 & \\ &\hphantom{-}\omega_2&0 \\ &&\omega_2 \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
Класс $x^2_{+}$ представляет пятиместное произведением Масси $\langle \omega_1,\omega_2,-2\omega_1,\omega_1,\omega_2\rangle$ с определяющей системой
$$
\begin{equation*}
\begin{matrix} \omega_1 & \omega_3&\hphantom{-}2\omega_4&-\omega_5& \\ &\omega_2&\hphantom{-} 2\omega_3&-\omega_4&0 \\ &&-2\omega_1&\hphantom{-}\omega_2&-\omega_4 \\ &&&\hphantom{-}\omega_1&\hphantom{-}\omega_3 \\ &&&&\hphantom{-}\omega_2 \end{matrix}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь заметим, что класс $x^2_-$ в триградуированной спектральной последовательности Бухштабера представляется в виде $d_2\bigl(-(e_1e_2)^*\otimes \omega_2\bigr)$. В самом деле, применение $d_1$ к классу $-(e_1e_2)^*\otimes \omega_2\in E_1^{2,*,*}$ дает $-(e_2)^*\otimes \omega_1\wedge \omega_2$, что является нулем в $E_1$, так как является образом дифференциала от $-(e_2)^*\otimes \omega_3$. Тем самым, цепь $-(e_1e_2)^*\otimes \omega_2- (e_2)^*\otimes \omega_3$ представляет в $E_1^{*,*,*}$ тот же класс, что и $-(e_1e_2)^*\otimes \omega_2$. Как мы только что видели, дифференциал $d_{\rm CE}$ на этой цепи дает $\omega_3\wedge\omega_2$, что в точности означает выполнение равенства Аналогичным образом проверяется, что класс $ [(e_5)^*\otimes \omega_2+ 6(e_3^2)^*\otimes \omega_1]\in E^{4,*,*}_1$ лежит в ядре дифференциалов $d_2$ и $d_3$, а под действием дифференциала $d_4$ он переходит в $x^2_+$, представленный коциклом $\omega_5\wedge\omega_2-3\omega_4\wedge\omega_3$. Для этого нужно заметить, что коцепи
$$
\begin{equation*}
(e_5)^*\otimes \omega_2+ 6(e_3^2)^*\otimes \omega_1 \quad \text{и} \quad (e_5)^*\otimes \omega_2+6(e_3^2)^*\otimes \omega_1-3 e_4^* \otimes \omega_3
\end{equation*}
\notag
$$
задают в $E^{4,*,*}_1$ один и тот же класс и что
$$
\begin{equation*}
d_{\rm CE}\bigl((e_5)^*\otimes \omega_2+ 6(e_3^2)^*\otimes \omega_1- 3 e_4^* \otimes \omega_3\bigr)=\omega_5\wedge\omega_2-3\omega_4\wedge\omega_3.
\end{equation*}
\notag
$$
6. Произведения Масси и спектральная последовательность Эйленберга–Мура ($\operatorname{EMss}$)6.1. Скалярные и матричные произведения МассиДля удобства читателя и для выбора обозначений в этом разделе мы приведем определения $n$-местных произведений Масси: как скалярных, так и матричных, а также приведем их свойства, нужные нам. О важной связи с формальными связностями и уравнением Маурера–Картана см. в работе [14]. Другие подробности читатель может найти в работах [68], [13]. Знаки в формулах мы выбираем, следуя работе [14]: для произвольного элемента $x$ градуировки $k$ положим $\overline{x}=(-1)^k x$. Пусть $C^*$ – градуированная дифференциальная алгебра над кольцом $R$, при этом считается, что дифференциал $d$ повышает градуировку на единицу. Когомологии комплекса $C^*$ относительно дифференциала $d$ в этом разделе будем обозначать $H^*(C^*)=H^*(C^*,d)$, это не вызовет путаницы с $\operatorname{Ext}^{*,*}_{C^*}(R,R)$. 6.1.1. Скалярное трехместное произведение МассиПусть для однородных классов когомологий $a_1,a_2,a_3\in H^*(C^*)$ выполняются равенства $\overline{a}_1a_2=0$ и $\overline{a}_2a_3=0$. Пусть $x_i\in C^*$ – представитель соответствующего класса когомологий $a_i\in H^*(C^*)$. Тогда $\overline{x}_1x_2$ и $\overline{x}_2x_3$ являются кограницами, т. е. существуют элементы $U$ и $V$ такие, что
$$
\begin{equation*}
dU=\overline{x}_1x_2\quad\text{и}\quad dV=\overline{x}_2x_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что коцепь $\overline{U}x_3+\overline{x}_1 V$ является коциклом, класс когомологий которого, вообще говоря, зависит от выбора представителей $x_1$, $x_2$, $x_3$ и элементов $U$ и $V$. Тройным произведением Масси называется множество классов когомологий
$$
\begin{equation*}
\langle a_1,a_2,a_3\rangle=\{[\overline{U}x_3+\overline{x}_1 V]\in H^*(C^*) \colon[x_i]=a_i\in H^*(C^*),dU=\overline{x}_1x_2,dV=\overline{x}_2x_3\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно из определения, эта операция является частично определенной и многозначной. В самом деле, класс когомологий $[a]$ зависит от выбора элементов $U$ и $V$, и нетрудно показать, что при другом выборе этих элементов определенный ими класс $[a']$ будет отличаться от $[a]$. Более точно,
$$
\begin{equation*}
[a]-[a']\in H^{|a_1|+|a_2|-1}(C^*) a_3+a_1 H^{|a_2|+|a_3|-1}(C^*),
\end{equation*}
\notag
$$
причем так может быть реализован любой элемент этого $R$-модуля. 6.1.2. Скалярное $n$-местное произведение МассиРассмотрим классы когомологий $a_i\in H^{p_i}(C^*)$. Множество элементов $x(i,j)\in C^*$, где $1\leqslant i\leqslant j\leqslant n$ и $(i,j)\ne(1,n)$, называется определяющей системой для рассматриваемых классов $a_i$, $i=1,\dots,n$, если выполнены следующие условия:
Тогда элемент $x(1,n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\overline{x(1,k)}\,x(k+1,n)$ является коциклом, а множество классов когомологий, представленных такими элементами $x(1,n)$, где $\{x(i,j)\}$ пробегает все возможные определяющие системы для классов когомологий $a_1,\dots,a_n$, называется $n$-местным произведением Масси. Оно тоже частично определено и многозначно. Для фиксированных $a_1,\dots,a_n$ разности двух элементов вида $[x(1,n)]$, заданных всевозможными парами определяющих систем, как и для $n=3$, образуют группу, но она описывается заметно более сложно, чем для $n=3$. Более того, уже при описании неопределенности 4-местных скалярных произведений Масси естественным образом возникают матричные произведения, см. следующий пункт. Тривиальным называется $n$-местное произведение, содержащее нуль. Замечание 3. Удобно рассматривать двуместное произведение Масси. Оно однозначно определено для всех классов $a,b\in H^*(C^*)$ и отличается от обычного произведения в когомологиях знаком: $\langle a,b \rangle=\overline{a}\, b$. 6.1.3. Матричное $n$-местное произведение МассиИмеется следующее обобщение понятия многоместного произведения Масси на случай, когда $x(i,j)$ являются матрицами, составленными из однородных элементов комплекса $C^*$, принадлежащих идеалу аугментации. Условие (M3) из предыдущего пункта накладывает на градуировки элементов матриц $x(i,j)$ условия согласованности двух типов. А именно, пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A&=(a_{ij}\in C^*\colon 1\leqslant i \leqslant m, 1\leqslant j\leqslant l), \\ B&=(b_{jk}\in C^*\colon 1\leqslant j \leqslant l', 1\leqslant k\leqslant n). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что $A$ и $B$ умножимы, если 1) $l=l'$; 2) для любых $1\leqslant i \leqslant m$ и $ 1\leqslant k\leqslant n$ величина $|a_{ij}|+|b_{jk}|$ не зависит от $j$. Для умножимых матриц $A$ и $B$ произведение $AB$ определено и его элементы являются однородными элементами $C^*$. С каждой матрицей $A=(a_{ij}\in C^*\colon 1\leqslant i \leqslant m, 1\leqslant j\leqslant l)$ связана целочисленная матрица $D(A)=(|a_{ij}|\colon 1\leqslant i \leqslant m, 1\leqslant j\leqslant l)$. Для умножимых матриц $A$ и $B$ имеем
$$
\begin{equation*}
D(AB)=D(A)*D(B)=(|a_{ij}|+|b_{jk}|\colon 1\leqslant i \leqslant m, 1\leqslant k\leqslant n).
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем непосредственно к определению. Пусть $A_1,\dots,A_n$ – набор матриц, составленных из однородных элементов когомологий $H^*(C^*)$, причем $A_i$ и $A_{i+1}$ умножимы для всех $i=1,\dots,n.$ Будем говорить, что набор матриц $X(i,j)$, $1\leqslant i\leqslant j \leqslant n$, $(i,j)\ne (1,n)$, состоящих из однородных элементов $C^*$, образует определяющую систему, если (M1) для всех $i$ матрица $X(i,i)$ состоит из коциклов, представляющих соответствующие элементы матрицы $A_i$; (M2) градуировки элементов матрицы $X(i,j)$ соотносятся с градуировками элементов матриц $A_i,A_{i+1},\dots,A_j$ следующим образом: элементы матрицы $D(X(i,j))$ меньше соответствующих элементов матрицы $D(A_i)*D(A_{i+1}) *\cdots * D(A_j)$ в точности на $j-i+1$; (M3) $d X(i,j)=\displaystyle\sum_{k=i}^{j-1}\overline{X(i,j)}\, X(k+1,j)$. Если матрицы $X(i,j)$ образуют определяющую систему, то матрица
$$
\begin{equation*}
C(\{A_i\},\{X(i,j)\})=\sum_{k=1}^{n-1}\overline{X(i,j)}\, X(k+1,j)
\end{equation*}
\notag
$$
состоит из коциклов. Множество матриц, составленных из классов когомологий, представленных всевозможными $C(\{A_i\},\{X(i,j)\})$ для фиксированных $A_1,\dots,A_n$, называется $n$-местным матричным произведением Масси и обозначается $\langle A_1,A_2,\dots,A_n\rangle$. Полезно бывает ограничиться случаем, когда $A_1$ – строка, $A_n$ – столбец; тогда $\langle A_1,A_2,\dots,A_n\rangle$ состоит из матриц размера $1\times 1$, т. е. из классов когомологий. Определяющую систему $X(i,j)$, $i\leqslant j$, $(i,j)\ne (1,n)$, удобно записывать в виде матрицы размера $n\times n$, у которой в правом верхнем углу и под диагональю нет элементов, а на месте $(i,j)$ находится $X(i,j)$. Замечание 4. Условия (M3) из этого и предыдущего пунктов можно записать в виде уравнения Маурера–Картана – эта концепция была развита и нашла важные приложения в [14]. Рассмотрим матрицу размера $(n+1)\times (n+1)$ Тогда условия (M3) записываются в виде уравнения Маурера–Картана Замечание 5. Двуместное матричное произведение Масси определено для любых умножимых строки $(a_1,\dots, a_n)$ и столбца $(b_1,\dots, b_n)^\top$: Неопределенностью матричного произведения Масси $\langle A_1,A_2,\dots,A_n\rangle$ называется группа
$$
\begin{equation*}
\operatorname{In}\langle A_1,A_2,\dots,A_n\rangle= \{x-y\colon x,y\in \langle A_1,A_2,\dots,A_n\rangle\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеется результат Д. Крейнеса, который описывает неопределенность $n$-местного матричного произведения Масси как подмножество в объединении некоторых $(n-1)$-местных матричных произведений Масси (см. предложение 2.3 в работе П. Мэя [13]). Более точная формулировка нам не понадобится, поэтому мы ее не приводим. Однако заметим, что даже для скалярных $n$-местных произведений, где $n\geqslant 4$, их неопределенность с необходимостью выражается через $(n-1)$-местные матричные произведения Масси. 6.2. Алгебраическое построение $\operatorname{EMss}$Рассмотрим дифференциальную градуированную алгебру ${\mathcal A}$ над полем $\Bbbk$ с дифференциалом $d_{\mathcal A}$ и аугментацией $\varepsilon\colon {\mathcal A}\to\Bbbk$. Будем считать, что градуировка такова, что ${\mathcal A}=\bigoplus\limits_{j=0}^\infty{\mathcal A}^j$, причем $d_{\mathcal A}$ повышает градуировку на единицу, а аугментация $\varepsilon\colon {\mathcal A}\to \Bbbk$ задает изоморфизм $\varepsilon \colon {\mathcal A}^0\to \Bbbk$. Предположим, что $M$ – правый дифференциальный градуированный модуль над ${\mathcal A}$ и $N$ – левый дифференциальный градуированный модуль над ${\mathcal A}$, причем оба сосредоточены в неотрицательных градуировках. В этой ситуации определен функтор $\operatorname{Tor}_{\mathcal A}^{*}(M,N)$; подробное изложение в рамках общей теории производных функторов можно найти, например, в книге [5]. Этот функтор определен для дифференциальных градуированных алгебр и модулей в более общей ситуации, но нам удобно ограничиться описанным выше случаем. Существует удобное описание $\operatorname{Tor}_{\mathcal A}^{*}(M,N)$ с помощью бар-резольвенты. Положим
$$
\begin{equation}
B^{-n,t}=B^{-n,t}(M,{\mathcal A},N)= (M\otimes {\mathcal A}^{\otimes n} \otimes N)^t.
\end{equation}
\tag{30}
$$
На группах $B^{-n,t}$ определены два дифференциала: внутренний $d_I$ и комбинаторный $d_B$, заданные формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d_B( x[a_1,\dots, a_n ] y) &= (-1)^{|x|} (xa_1) [a_2,\dots, a_n] \\ &\qquad+\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{\varepsilon_B} x[a_1,\dots, a_ka_{k+1},\dots, a_n] y \\ &\qquad+(-1)^{|x|+\sum\limits_{j=1}^n|a_j|+n} x[a_1,\dots, a_{n-1}] a_{n} y, \\ d_I( x[a_1,\dots, a_n ] y) &= (d_M(x)) [a_1,\dots, a_n] + \sum_{k=1}^{n} (-1)^{\varepsilon_I} x[a_1,\dots, d a_k,\dots, a_n] y \\ &\qquad+ (-1)^{|x|+\sum\limits_{j=1}^n|a_j|+n} x[a_1,\dots, a_{n}] d_N y, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
где
$$
\begin{equation}
\varepsilon_B=|x|+\sum_{j=1}^{k}|a_j|+k,\qquad \varepsilon_I=|x|+\sum_{j=1}^{k-1}|a_j|+k-1.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Дифференциалы $d_I$ и $d_B$ антикоммутируют, поэтому имеем комплекс
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{Tot} B(M,{\mathcal A},N))^n= \bigoplus_{i+j= n}B^{i,j}(M,{\mathcal A},N)
\end{equation*}
\notag
$$
с дифференциалом $D=d_I+d_B$. Его когомологии по определению равны $\operatorname{Tor}^{*}_{\mathcal A}(M,N)$. Спектральная последовательность Эйленберга–Мура $\operatorname{EMss}$ задается одной из стандартных фильтраций бикомплекса $B^{i,j}(M,{\mathcal A},N)$:
$$
\begin{equation*}
F^{-p}(\operatorname{Tot} B(M,{\mathcal A},N))^n= \bigoplus_{i+j=n,\, i\geqslant -p}B^{i,j}(M,{\mathcal A},N).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что первый член спектральной последовательности $\operatorname{EMss}$ изоморфен Так как рассматриваемые модули заданы над полем $\Bbbk$, то $E_1^{*,*}$ изоморфен бар-конструкции алгебры $H({\mathcal A})$ с коэффициентами в модулях $H(M)$ и $H(N)$: Наконец, поскольку дифференциал в $E_1^{p,q}$ индуцирован дифференциалом $d_B$, то
$$
\begin{equation*}
E_2^{-p,q}=\operatorname{Tor}^{-p,q}_{H({\mathcal A})}(H(M),H(N)).
\end{equation*}
\notag
$$
Другие аспекты алгебраического построения $\operatorname{EMss}$ можно найти в ряде работ, среди которых мы обращаем внимание читателя на работы [15], [16]. 6.3. Дифференциалы в $\operatorname{EMss}$ и произведения МассиВ этом пункте мы обсудим, каким образом в спектральной последовательности Эйленберга–Мура появляются матричные произведения Масси и как доказывается, что элементы групп $\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, $s\geqslant 2$, разлагаются в итерированные произведения Масси от элементов группы $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Рядом авторов развивалась идея о связи дифференциалов спектральной последовательности Эйленберга–Мура с произведениями Масси; нашей целью является детальное описание истории этого вопроса, поэтому мы ограничимся упоминанием книги [17] и списка литературы в ней. Ради простоты для обозначения когомологий относительно внутреннего дифференциала вместо $H^*({\mathcal A},d_{\mathcal A})$ будем писать $H{\mathcal A}$, то же самое относится к модулям $M $ и $N$. Рассмотрим отображение $\gamma\colon \operatorname{Tor}^*_A(M,N)\to H(M\otimes_{\mathcal A} N)$, заданное на уровне комплексов отображением
$$
\begin{equation*}
B(M,{\mathcal A},N)= M\otimes_{\mathcal A} B({\mathcal A},{\mathcal A},N)\to M\otimes_{\mathcal A} N.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что если внутренние дифференциалы в ${\mathcal A}$, $M$ и $N$ тривиальны, то $\gamma$ задает классический изоморфизм $\operatorname{Tor}_{\mathcal A}^0(M,N)\to M\otimes_{\mathcal A}N$. Теорема 11 [17; п. 5.9]. Образ отображения $\gamma$ состоит из элементов, являющихся представителями всевозможных матричных произведений Масси $\langle A_0,A_1,\dots,A_{p+1}\rangle$, $p\geqslant 0$, где $A_0$ – вектор-строка, составленная из элементов $HM$, $A_1,\dots,A_p$ – матрицы, составленные из элементов $H{\mathcal A}$, и $A_{p+1}$ – вектор-столбец, составленный из элементов $HN$. Алгебра ${\mathcal A}$ снабжена аугментацией, поэтому в качестве модуля $M$ (или $N$) можно рассматривать $\overline{{\mathcal A}}=\ker\varepsilon \colon {\mathcal A}\to\Bbbk$. Положим $\overline{HA}=\ker \varepsilon^*\colon HA\to \Bbbk$. Тогда вложение $i\colon \overline{{\mathcal A}}\to {\mathcal A}$ индуцирует отображение
$$
\begin{equation*}
i^*=H(i\otimes\operatorname{id})\colon H(\bar{A}\otimes_{\mathcal A}N) \to H(A\otimes_{\mathcal A}N)=H(N).
\end{equation*}
\notag
$$
Образ композиции
$$
\begin{equation*}
i^*\circ \gamma\colon \operatorname{Tor}^*_{\mathcal A}(\overline{{\mathcal A}},N)\to H(\overline{{\mathcal A}}\otimes_{\mathcal A} N)\to HN
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим через $D(H{\mathcal A},HN)$. Рассмотрим краевой гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\pi\colon HN\to \operatorname{Tor}^*_{\mathcal A}(\Bbbk,N),
\end{equation*}
\notag
$$
заданный в виде композиции
$$
\begin{equation*}
HN=\Bbbk\otimes HN\to \Bbbk\otimes_{H{\mathcal A}} HN=E_2^{0,*}\to E^{0,*}_\infty \to \operatorname{Tor}^*_{{\mathcal A}}(\Bbbk,N).
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 3 [17; п. 5.12]. Ядро гомоморфизма $\pi\colon HN\to \operatorname{Tor}^*_{{\mathcal A}}(M,N)$ совпадает с $D(H{\mathcal A},HN)$. Далее, определен гомоморфизм надстройки (см. [17; п. 3.7])
$$
\begin{equation*}
\sigma\colon \overline{H{\mathcal A}}\to E^{-1,*}_2\to E^{-1,*}_\infty \subset \operatorname{Tor}_{{\mathcal A}}(\Bbbk,\Bbbk).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим еще одно вложение $i_1\colon\overline{\mathcal A}\otimes_{\mathcal A} \overline{{\mathcal A}} \to {\mathcal A}\otimes_{\mathcal A}{\mathcal A}={\mathcal A}$. Оно индуцирует гомоморфизм $i_1^*\colon H(\overline{\mathcal A}\otimes_{\mathcal A} \overline{{\mathcal A}}) \to H({\mathcal A})$. Образ композиции
$$
\begin{equation*}
i_1^*\circ\gamma\colon \operatorname{Tor}^*_{\mathcal A}(\overline{{\mathcal A}}, \overline{{\mathcal A}})\to H(\overline{\mathcal A} \otimes_{\mathcal A}\overline{{\mathcal A}}) \to H({\mathcal A})
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим $DH({\mathcal A})$. Следствие 4 [17; п. 5.13]. Ядро гомоморфизма $\sigma\colon \overline{H\!{\mathcal A}}\to \operatorname{Tor}_{{\mathcal A}}(\Bbbk,\Bbbk)$ совпадает с $DH({\mathcal A})$. Теперь обсудим, каким образом с помощью этих результатов доказывается, что любой элемент группы $\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, $s\geqslant 2$, разлагается в итерированные произведения Масси от элементов группы $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, где $A$ – связная градуированная алгебра с аугментацией $\varepsilon\colon A\to \Bbbk$. Рассмотрим кобар-конструкцию $F(A_*)$ ее двойственной коалгебры. Именно ее мы рассмотрим в качестве дифференциальной градуированной алгебры ${\mathcal A}$. Тогда Для краткости до конца этого раздела будем писать $H^*(A)$ вместо $H(F(A_*))$.Рассмотрим $\operatorname{EMss}$, сходящуюся к $\operatorname{Tor}^*_{F(A_*)}(F(A_*),\Bbbk)$, ее второй член равен $\operatorname{Tor}^*_{H^*(A)}(H^*(A),\Bbbk)$. Можно проверить, что группа $\operatorname{Tor}^0_{F(A_*)}(F(A_*),\Bbbk)$ изоморфна $\Bbbk$ и при $p>0$. Если бы в $F(A_*)$ дифференциал был тривиален, то это утверждение было бы очевидным.Положим $QH^*A=\overline{H^*A}/(\overline{H^*A})^2$ – модуль неразложимых элементов. Рассмотрим коммутативную диаграмму Напомним, что $\operatorname{Tor}^A_i(\Bbbk,\Bbbk)=QA= \bar{A}/(\bar{A})^2$. Кроме того, краевой гомоморфизм $e$ является изоморфизмом на $E_2^{-1,1}$ и на $E_2^{0,0}$, а значит, что в точности представляет собой множество элементов, не разложимых с помощью матричных произведений Масси; подробности читатель найдет в книге [17].7. Нильмногообразия $M^n$7.1. Однородные многообразия группы полиномиальных преобразований прямойВ этом и следующем разделах статьи мы применим $\operatorname{Bss}$ к проблеме структуры кольца когомологий нильмногообразий. Напомним, что нильмногообразие – это компактное однородное пространство вещественной конечномерной односвязной нильпотентной группы Ли. А. И. Мальцев показал (см. [69]), что для данной односвязной нильпотентной группы Ли нильмногообразие существует тогда и только тогда, когда соответствующая алгебра Ли обладает базисом с рациональными структурными константами. В работе [40] показано, что на $\mathbb{R}^n$ можно ввести структуру нильпотентной группы следующим образом. Положим
$$
\begin{equation*}
L^n=\biggl\{p_x(t)=t+\sum_{k=1}^n x_k t^{k+1}, \ x_k\in\mathbb{R}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как многообразие пространство $L^n$ диффеоморфно $\mathbb{R}^n$. Произведение двух элементов $L^n$ определено с помощью композиции: В группе $L^n$ имеется решетка $\Gamma^n$, состоящая из элементов $p_x(t)$ c целочисленными коэффициентами $x_k$. Получаем гладкое замкнутое нильмногообразие $M^n= L^n/\Gamma^n$, где $\Gamma^n$ действует на $L^n$ правыми сдвигами. Гомоморфизм групп $L^k\to L^{k-1}$, состоящий в отбрасывании последней координаты $x_k$, порождает две башни групп
$$
\begin{equation*}
\cdots \to L^n\to L^{n-1}\to\cdots \to L^1 \quad\text{и}\quad \cdots \to \Gamma^n\to \Gamma^{n-1}\to\cdots \to \Gamma^1
\end{equation*}
\notag
$$
и башню расслоений со слоем $S^1$. Отметим, что это не единственный выбор решеток в группах $L^n$, согласованных с проекциями и, значит, порождающих башню расслоений нильмногообразий. По теореме Номидзу вычисление вещественных когомологий нильмногообразия сводится к инвариантным дифференциальным формам на соответствующей нильпотентной группе Ли и, таким образом, не зависит от конкретного выбора решетки. Обратим внимание на интересные решетки в группах $L^n$, использованные в [39], [14]. Легко видеть, что $M^2$ – двумерный тор. Но трехмерное многообразие $M^3$ – многообразие Гейзенберга – как известно, не диффеоморфно трехмерному тору. В алгебре Ли $\mathcal{G}(L^n)$ существует базис $e_1,\dots,e_n$ с целочисленными структурными константами, а именно,
$$
\begin{equation*}
[e_i,e_j]=(j-i) e_{i+j},\quad\text{если}\ \ i+j\leqslant n,\quad\text{и}\quad [e_i,e_j]=0,\quad\text{если}\ \ i+j >n.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $\mathcal{G}(L^n)$ изоморфна фактору алгебры Ли $L_1$, рассмотренной выше, по идеалу, порожденному элементами $e_k$, $k\geqslant n+1$. В частности, поэтому имеется связь этой серии нильмногообразий $M^n$ с алгеброй Ландвебера–Новикова. Имеются и другие важные свойства многообразий $M^n$, обсуждение которых выходит за рамки данной статьи; с ними можно познакомиться по работам [60], [40]. О связях же с алгеброй Ландвебера–Новикова, а также с группой диффеоморфизмов прямой можно прочитать в [34] и в обзоре [70]. Для нильмногообразий можно применить теорему Номидзу (см. [41]) об изоморфизме алгебры когомологий де Рама нильмногообразия и когомологий соответствующей нильпотентной алгебры Ли. Естественно возникает вопрос: какую информацию о кольце когомологий нильмногообразия несет $\operatorname{Bss}$ соответствующей алгебры Ли? Далее приведено решение для нильмногообразий размерности 3 и 4. Как будет видно, уже в этих случаях проблема нетривиальна. Мы приводим достаточно детальное описание решения в этих размерностях для демонстрации общего подхода в случае более высоких размерностей. Чтобы завершить введение к этому разделу, обратим внимание читателя на следующее наблюдение. Рассмотрим внешнюю алгебру $\Lambda(\mathcal{G}L^n)^*$, порожденную элементами $\omega_1,\dots,\omega_n$, двойственными к $e_1,\dots,e_n$. По теореме Номидзу когомологии многообразия $M^n$ изоморфны когомологиям комплекса $\Lambda (\mathcal{G}L^n)^*$ по отношению к дифференциалу $d_{\rm CE}$, заданному на образующих формулой
$$
\begin{equation*}
d_{\rm CE}\,\omega_k=\sum_{i<k/2}(k-2i)\,\omega_{k-i}\wedge\omega_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко заметить, что если приписать элементу $\omega_k$ биградуировку $(1,-2k)$, то относительно второй градуировки дифференциал $d_{\rm CE}$ оказывается однородным, а значит, вторая градуировка спускается на когомологии, что дает естественную биградуировку на когомологиях многообразий $M^n$; подробности можно найти в работе [60]. Для нас это свойство важно, поскольку влечет триградуированность $\operatorname{Bss}$, в отличие от общего случая нильпотентных алгебр Ли (см. п. 3.7). Существование биградуировки обусловлено тем фактом, что если каждому базисному элементу $e_k$ алгебры Ли $\mathcal{G}L^n$ приписать вторую градуировку, равную $2k$, то относительно нее коммутатор оказывается однородным. Выбор дополнительной градуировки, равной $2k$ вместо $k$, обусловлен тем, что в формулах вида $\theta\wedge\eta=\pm\eta\wedge\theta$ такая вторая градуировка не влияет на знак. С помощью теоремы классификации маломерных вещественных нильпотентных алгебр Ли можно непосредственно проверить, что свойство однородности коммутатора (в некоторых случаях нужно подходящим образом перенумеровать базисные элементы) выполняется для всех алгебр размерности, не превосходящей 5. С другой стороны, в размерности 6 имеется нильпотентная алгебра Ли, порожденная элементами $e_k$, $1\leqslant k\leqslant 6$, и соотношениями $[e_1,e_2]=e_3$, $[e_1,e_3]=e_6$, $[e_4,e_5]=e_6$, для которой ни при какой перенумерации базисных элементов коммутатор не будет однородным. Далее для краткости $d_{\rm CE}\colon\Lambda\mathfrak{g}^*\to\Lambda\mathfrak{g}^*$ будем обозначать через $d$. Все необходимые определения и сведения о произведениях Масси приведены в разделе 9. 7.2. Алгебра Ли $\mathcal{G}L^3$Алгебра Ли $\mathcal{G}L^3$ совпадает с хорошо известной алгеброй Ли–Гейзенберга. Она имеет три образующие $e_1$, $e_2$, $e_3$ и коммутационные соотношения Когомологии $H^*(\mathcal{G}L^3)$ легко получить из резольвенты Шевалле–Эйленберга. Как векторные пространства над $\mathbb{R}$ когомологии $H^k(\mathcal{G}L^3)$ имеют следующие наборы базисных элементов (мы обозначаем через $\omega_k$ элемент, двойственный к $e_k$):
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &k=0: &&\quad 1; \\ &k=1: &&\quad \omega_1,\ \ \omega_2; \\ &k=2: &&\quad \omega_3\wedge \omega_1,\ \ \omega_3\wedge \omega_2; \\ &k=3: &&\quad \omega_3\wedge \omega_2\wedge \omega_1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко заметить, что за исключением тех произведений элементов дополнительных размерностей, которые нетривиальны по двойственности Пуанкаре, остальные произведения в $H^*(\mathcal{G}L^3)$ тривиальны. С другой стороны, классы в размерности 2 реализуются тройными нетривиальными произведениями Масси. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \omega_3\wedge \omega_1 &= \langle \omega_1,\omega_1,\omega_2\rangle, \\ \omega_3\wedge\omega_2 &=\langle - \omega_1,\omega_2,\omega_2\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним (см. п. 6.1), что $\overline x=(-1)^q x$ для элемента $x$ градуировки $q$. Проверим первое равенство. Для этого положим $u=0$, $v=\omega_3$. Тогда
$$
\begin{equation*}
du=0=\overline{\omega}_1\wedge\omega_1,\qquad dv=\omega_2\wedge\omega_1=\overline{\omega}_1\wedge\omega_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $\overline{u}\wedge \omega_2 + \overline{\omega}_1\wedge v= \omega_3\wedge\omega_1$, что и доказывает первое равенство. Для проверки второго равенства положим $u=-\omega_3$, $v=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
dv=0=\overline{\omega}_2\wedge\omega_2,\qquad du=-\omega_2\wedge\omega_1=(-\overline{\omega}_1)\wedge\omega_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что $\overline{u}\wedge\omega_2+\overline{\omega}_1\wedge v= \omega_3\wedge\omega_2$, что и требовалось. Опишем теперь $\operatorname{Bss}$ для алгебры Хопфа $U\mathcal{G}L^3$. Далее в этом пункте временно будем использовать обозначение $\mathfrak{g}=\mathcal{G}L^3$. Базис универсальной обертывающей алгебры $U \mathfrak{g}$ составляют мономы вида $e_1^a e_2^b e_3^c$. Положим Лемма 8. (a) Элемент $x=e_1^a e_2^b e_3^c$ принадлежит $N_p$ и не принадлежит $N_{p-1}$, где $p=p(x)$. (b) Более того, $N_{p }=N_{p-1} \oplus \mathbb{Q}\langle e_1^a e_2^b e_3^c\colon a+b+2c=p\rangle$. Следствие 5. Производящий ряд последовательности $k_p=\dim N_p/N_{p-1}$ равен $1/((1-x)^2(1-x^2))$. В частности, Рассмотрим теперь комплекс $(U\mathfrak{g})^*\otimes\Lambda\mathfrak{g}^*$, двойственный к резольвенте $U\mathfrak{g} \otimes \Lambda \mathfrak{g}$. Элементы $\mathfrak{g}^*$, двойственные элементам $e_i$, будем обозначать $\omega_i$, тогда $d\omega_k$ задается формулой (29), в частности,
$$
\begin{equation*}
d\omega_1=d\omega_2=0, \qquad d\omega_3=\omega_2\wedge\omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференциал $d_{\rm CE}$ комплекса $(U\mathfrak{g})^* \otimes \Lambda \mathfrak{g}^*$ легко описать явно на любом мономе вида $(e_1^a e_2^be_3^c)^* \otimes \omega$ (здесь $\omega \in \Lambda \mathfrak{g}^*$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_{\rm CE}((e_1^a e_2^be_3^c)^* \otimes \omega)&= (e_1^{a-1} e_2^be_3^c)^* \otimes \omega_1\wedge \omega + (e_1^a e_2^{b-1}e_3^c)^* \otimes\omega_2\wedge \omega \\ \notag &\qquad+(e_1^a e_2^be_3^{c-1})^* \otimes\omega_3\wedge \omega - (b+1) (e_1^a e_2^{b+1}e_3^{c-1})^* \otimes \omega_1\wedge\omega \\ &\qquad+(e_1^a e_2^be_3^c)^* \otimes d\omega. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Разумеется, если среди показателей $a$, $b$, $c$ есть нулевые, то соответствующие слагаемые в правой части опускаются. Соберем вместе утверждения, касающиеся дифференциалов $\operatorname{Bss}$ для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathcal{G}L^3$. Утверждение 2. (a) $d_1\colon N_p/N_{p-1}\to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes H^1(\mathfrak{g})$ является вложением. Для $p=1$ это изоморфизм. (b) $d_1\colon N_{p-1}/N_{p-2}\otimes H^1(\mathfrak{g})\to N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^2(\mathfrak{g})$ является нулевым гомоморфизмом. (c) $d_1\colon N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^2(\mathfrak{g})\to N_{p-3}/N_{p-4}\otimes H^3(\mathfrak{g})$ является эпиморфизмом для всех $p\geqslant 3$. Доказательство. Пункты (a) и (b) являются следствиями общих свойств дифференциала $d_1$ (см. теорему 2).
Для доказательства пункта (c) заметим, что $(e_1^a e_2^be_3^c)^* \otimes \omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1$ равен $d_1((e_1^a e_2^{b+1}e_3^c)^* \otimes \omega_1\wedge\omega_3)$. Утверждение доказано. Утверждение 2 дает нам достаточно информации, чтобы вычислить как $E_2^{*,*,*}$, так и $d_2$. В самом деле, нетривиальными в $E_2^{*,*,*}$ могут быть только $E^{q-2,-q,*}_2$, $q\geqslant 2$, и $E^{p,-p-1,*}_2$, $p\geqslant 2$. Из утверждения 2 для их размерностей получаем формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dim E^{q-2,-2,*}_2&=\dim E^{q-2,-q}_1-\dim E^{q-3,-q}_1=2 k_{q-2}-k_{q-3}, \\ \dim E^{p,-p-1,*}_2&=\dim E^{p,-p-1,*}_1-\dim E^{p+1,-p-1,*}_1= 2k_{p}-k_{p+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Нам нужно доказать, что при $p\geqslant 2$ выполнено соотношение $2k_{p}-k_{p+1}=2 k_{q-2} - k_{q-3}$.
Пусть – производящий ряд последовательности $(k_p)$. Тогда нужное нам равенство означает, что в выражении $(1-2x+2x^3-x^4) f(x)$ коэффициенты при $x^k$ для $k\geqslant 3$ нулевые. Но легко проверить, что $(1-2x+2x^3-x^4) f(x)=1$. Утверждение доказано.Теорема 12. В $\operatorname{Bss}$ для алгебры Ли $U\mathcal{G}L^3$ дифференциал $d_2$ является изоморфизмом, исключая группу $E_2^{0,0,0}$. В частности, $E_3^{*,*,*}= E_\infty^{*,*,*}$. Доказательство. Нетривиальными дифференциалами могут быть только $d_2\colon E^{p,-p-1,*}_2\to E^{p-2,-p,*}_2$, $p\geqslant 2$. Покажем, что все они изоморфизмы. Рассуждение нужно провести последовательно по всем $p\geqslant 2$. Для $p=2$ по соображениям размерности $d_2\colon E^{p,-p-1,*}_2\to E^{p-2,-p,*}_2$ должен быть вложением, но размерности этих двух пространств совпадают по утверждению 3, а значит, для $p=2$ дифференциал $d_2 $ – изоморфизм, затем переходим к $p=3$ и т. д. Теорема доказана. Замечание 6. (a) Теорему 12 можно также вывести из теоремы 5. (b) В размерности 3 имеются только две нильпотентные алгебры Ли: абелева алгебра Ли и $\mathcal{G}L^3$. Первый случай был рассмотрен в разделе 4. 7.3. Алгебра Ли $\mathcal{G}L^4$Мы начнем этот пункт со следующего замечания. Классификация четырехмерных вещественных нильпотентных алгебр Ли очень проста – таких алгебр всего три: – абелева; – прямая сумма одномерной алгебры и $\mathcal{G}L^3$; – алгебра $\mathcal{G}L^4$. Случай абелевой алгебры Ли был рассмотрен в разделе 4. Алгебра $\mathbb{R}\mathbin{\oplus}\mathcal{G}L^3$ соответствует известному многообразию Кодаиры–Тёрстона. Легко проверить, что универсальная обертывающая алгебры $\mathbb{R}\mathbin{\oplus}\mathcal{G}L^3$ изоморфна тензорному произведению универсальных обертывающих слагаемых, а фильтрация Бухштабера на $U(\mathbb{R}\mathbin{\oplus}\mathcal{G}L^3)^*$ индуцирована соответствующими фильтрациями на $U(\mathbb{R})^*$ и $U(\mathcal{G}L^3)^*$, что позволяет легко свести описание триградуированной спектральной последовательности для $\mathbb{R}\oplus\mathcal{G}L^3$ к приведенным выше результатам. В этом пункте мы детально опишем $\operatorname{Bss}$ для алгебры $\mathcal{G}L^4$, которая порождена элементами $e_1$, $e_2$, $e_3$, $e_4$ и соотношениями $[e_i,e_j]= (j-i) e_{i+j}$ для $i+j\leqslant 4$ и $[e_i,e_j]=0$ для $i+j>4$. Когомологии $H^*(\mathcal{G}L^4)$ хорошо известны, и их легко получить из резольвенты Шевалле–Эйленберга. Как векторные пространства над $\mathbb{R}$ когомологии $H^k(\mathcal{G}L^4)$ имеют следующие наборы базисных элементов:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &k=0: &&\quad 1;\\ &k=1: &&\quad \omega_1,\ \ \omega_2;\\ &k=2: &&\quad \omega_3\wedge \omega_2,\ \ \omega_4\wedge \omega_1;\\ &k=3: &&\quad \omega_4\wedge \omega_3\wedge \omega_1,\ \ \omega_4\wedge \omega_3\wedge \omega_2;\\ &k=4: &&\quad \omega_4\wedge\omega_3\wedge \omega_2\wedge \omega_1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко заметить, что за исключением тех произведений элементов дополнительных размерностей, которые нетривиальны по двойственности Пуанкаре, остальные произведения в $H^*(\mathcal{G}L^4)$ тривиальны. Все классы в размерности 3 и класс $\omega_3\wedge \omega_2$ в размерности 2 реализуются тройными нетривиальными произведениями Масси:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \omega_3\wedge \omega_2 &= \langle - \omega_1,\omega_2,\omega_2\rangle, \\ \omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2 &= \langle \omega_2,\omega_2,\omega_4\wedge\omega_1\rangle, \\ \omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1 &= \biggl\langle\omega_1,\frac{1}{2}\omega_2,\omega_4\wedge\omega_1\biggr\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое равенство было проверено в п. 7.2. Для проверки второго равенства рассмотрим $u=0$ и $v=\omega_3\wedge\omega_4$. Тогда
$$
\begin{equation*}
du =0=\overline{\omega}_2\wedge\omega_2\quad\text{и}\quad dv= \omega_2\wedge\omega_1\wedge\omega_4= \overline{\omega}_2\wedge\omega_4\wedge\omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\overline{u}\wedge \omega_4\wedge\omega_1 + \overline{\omega}_2\wedge v= -\omega_2\wedge\omega_3\wedge\omega_4=\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2,
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает второе равенство. Для проверки третьего равенства положим $u=\frac{1}{2}\omega_3$ и $v=\frac{1}{2}\omega_3\wedge\omega_4$. Тогда
$$
\begin{equation*}
du=\frac{1}{2}\omega_2\wedge\omega_1=\overline{\omega}_1\wedge \frac{1}{2}\omega_2\quad\text{и}\quad dv=\frac{1}{2}\omega_2\wedge\omega_1\wedge\omega_4= \frac{1}{2}\overline{\omega}_2\wedge\omega_4\wedge\omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\overline{u}\wedge \omega_4\wedge\omega_1 + \overline{\omega}_1\wedge v= -\frac{1}{2}\omega_3\wedge\omega_4\wedge\omega_1-\frac{1}{2}\omega_1\wedge \omega_3\wedge\omega_4=\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1,
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает третье равенство. Класс $\omega_4\wedge \omega_1$ реализуется четверным нетривиальным произведением Масси:
$$
\begin{equation*}
\omega_4\wedge\omega_1=\langle2\omega_2,\omega_1,\omega_1,-\omega_1 \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, выберем три элемента, $a_1=-2\omega_3$, $a_2=0$, $a_3=0$, заклеивающие произведения соседних элементов в последовательности $2\omega_2,\omega_1,\omega_1,-\omega_1$: $da_1=-2\omega_2\wedge\omega_1= \overline{2\omega}_2\wedge \omega_1$, $da_2=da_3= 0$. Произведения Масси трех последовательных элементов исходной последовательности тоже тривиальны: положим $b_1=\omega_4$, $b_2=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
d b_1=2\omega_3\wedge\omega_1=\overline{a}_1\wedge \omega_1+ \overline{2\omega}_2\wedge a_2,\qquad d b_2=0=\overline{a}_2\wedge (-\omega_1)+ \overline {\omega}_1\wedge a_3
\end{equation*}
\notag
$$
и четверное произведение Масси представлено циклом
$$
\begin{equation*}
\overline{b}_1\wedge (-\omega_1)+\overline{a}_1\wedge a_3 + \overline{2\omega}_2\wedge b_2=\omega_4\wedge\omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Продемонстрируем нетривиальность произведения Масси $\langle2\omega_2,\omega_1,\omega_1,-\omega_1 \rangle$. Это удобно сделать в обозначениях п. 6.1.2. Положим $x(1,1)=2\omega_2$, $x(2,2)=x(3,3)=\omega_1$, $x(4,4)=-\omega_1$. Тогда элемент $x(1,2)$ определен однозначно и равен $-2\omega_3$, а элементы $x(2,3)=x$, $x(3,4)=y$ могут независимо принимать одно из трех значений: $\pm\omega_2$ и $0$. В этом случае $x(1,3)=\omega_4$, а элемент $x(2,4)$ равен $\alpha\omega_3$, где $\alpha$ – некоторый числовой коэффициент, зависящий от выбора $x$ и $y$. Таким образом, мы получили определяющую систему, которая задает коцикл $\omega_4\wedge\omega_1 + \beta \omega_3\wedge\omega_2$, где $\beta$ – числовой коэффициент, зависящий от $x$ и $y$. Легко видеть, что ни при каких $x$, $y$ этот коцикл не когомологичен нулю. Опишем теперь $\operatorname{Bss}$ для универсальной обертывающей алгебры $U\mathcal{G}L^4$. Базис алгебры $U \mathcal{G}L^4$ составляют мономы вида $e_1^a e_2^b e_3^c e_4^d$. Положим Лемма 9. (a) Элемент $x=e_1^a e_2^b e_3^ce_4^d$ принадлежит $N_p$ и не принадлежит $N_{p-1}$, где $p=p(x)$. (b) Более того, $N_{p }=N_{p-1} \oplus \mathbb{Q}\langle e_1^a e_2^b e_3^ce_4^d\colon a+b+2c+3d=p\rangle$. Рассмотрим теперь комплекс $(U\mathfrak{g})^*\otimes\Lambda\mathfrak{g}^*$, двойственный к резольвенте $U\mathfrak{g} \otimes \Lambda \mathfrak{g}$. Элементы $\mathfrak{g}^*$, двойственные элементам $e_i$, будем обозначать $\omega_i$, тогда $d\omega_k$ задается формулой (29), в частности, $d\omega_1=d\omega_2=0$, $d\omega_3=\omega_2\wedge\omega_1$, $d\omega_4=2 \omega_3\wedge\omega_1$. Элемент, двойственный моному $e_1^a e_2^be_3^ce_4^d$, будем для краткости обозначать $(a,b,c,d)$. Далее в этом пункте временно будем использовать обозначение $\mathfrak{g}=\mathcal{G}L^4$. Дифференциал $d_{\rm CE}$ комплекса $(U\mathfrak{g})^* \otimes \Lambda \mathfrak{g}^*$ легко описать явно на любом мономе вида $(a,b,c,d) \otimes \omega$ (здесь $\omega \in \Lambda \mathfrak{g}^*$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d_{\rm CE}((a,b,c,d)\otimes \omega)&=(a-1,b,c,d)\otimes \omega_1\wedge\omega +(a,b-1,c,d) \otimes\omega_2\wedge \omega \\ \notag &\qquad+(a,b,c-1,d) \otimes\omega_3 \wedge \omega+(a,b,c,d-1)\otimes\omega_4\wedge \omega \\ \notag &\qquad-(b+1) (a,b+1,c-1,d)^* \otimes \omega_1\wedge\omega \\ &\qquad-2(c+1) (a,b,c+1,d-1)^* \otimes \omega_1\wedge\omega +(a,b,c,d) \otimes d\omega. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Разумеется, если среди показателей $a$, $b$, $c$, $d$ есть нулевые, то соответствующие слагаемые в правой части опускаются. Соберем вместе утверждения о дифференциалах в триградуированной спектральной последовательности Бухштабера для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathcal{G}L^4$. Прежде всего отметим, что в члене $E_1^{*,*,*}$ отличными от тривиальных могут быть только группы $E_1^{p,q,*}$, находящиеся на одной из пяти диагоналей $-4\leqslant p+q\leqslant 0$. Более того,
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} E_1^{p,-p,*}&=N_p/N_{p-1},&\qquad \dim E_1^{p,-p,*}&=k_p, \\ E_1^{p,-p-1,*}&=N_p/N_{p-1}\otimes H^1,&\qquad \dim E_1^{p,-p-1,*}&=2k_p, \\ E_1^{p,-p-2,*}&=N_p/N_{p-1}\otimes H^2,&\qquad \dim E_1^{p,-p-2,*}&=2k_p, \\ E_1^{p,-p-3,*}&=N_p/N_{p-1}\otimes H^3,&\qquad \dim E_1^{p,-p-4,*}&=k_p; \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и далее в этом пункте для краткости используется обозначение $H^k=H^k(\mathcal{G}L^4)$. Утверждение 4. (a) $d_1\colon N_p/N_{p-1}\to N_{p-1}/N_{p-2}\otimes H^1$ является вложением. Для $p=1$ это изоморфизм. (b) $d_1\colon N_{p-1}/N_{p-2}\otimes H^1\to N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^2$ является нулевым гомоморфизмом. (c) $d_1\colon N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^2\to N_{p-3}/N_{p-4}\otimes H^3$ является нулевым гомоморфизмом. (d) $d_1\colon N_{p-3}/N_{p-4}\otimes H^3\to N_{p-4}/N_{p-5}\otimes H^4$ является эпиморфизмом для всех $p\geqslant 3$. Доказательство. Пункты (a)–(c) являются следствиями общих свойств дифференциала $d_1$ (см. теорему 2).
Для доказательства пункта (d) заметим, что $(a,b,c,d) \otimes \omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2\wedge\omega_1$ равен $ d_1 ((a,b+1,c,d) \otimes \omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1)$. Утверждение доказано. В качестве следствия сразу же получаем следующее описание члена $E_2^{*,*,*}$. Теорема 13. Справедливы следующие утверждения: (0) $ E_2^{p,-p,*}=0$; (1) $\dim E_2^{p,-p-1,*}=2k_p- k_{p+1}$; (2) $E_2^{p,-p-2,*}=E_1^{p,-p-2,*}$, $\dim E_2^{p,-p-2,*}=2k_p$; (3) $\dim E_2^{p,-p-3,*}=2k_p- k_{p-1}$; (4) $E_2^{p,-p-4,*}=0$. Чтобы описать дифференциал $d_2$, нам нужно выбрать базисные элементы в $E_2^{p,-p-1,*}$ в терминах их представителей в $E_1^{p,-p-1,*}$. Любой элемент в $E_1^{p,-p-1,*}$ является линейной комбинацией элементов вида $(a,b,c,d)\otimes \omega_1$ и $(a,b,c,d)\otimes \omega_2$, где $a+b+2c+3d=p$. Лемма 10. Независимыми элементами в $E_2^{p,-p-1,*}$ являются элементы, представленные в $E_1^{p,-p-1,*}$ циклами следующих видов: (i) $(a,b,c,d)\otimes \omega_1$, где $b\geqslant 2$; (ii) $(a,0,c,d)\otimes \omega_1$, где $c\geqslant 2$; (iii) $(a,0,0,d)\otimes \omega_1$, где $d\geqslant 1$. Доказательство. Элементы $E_2^{p,-p-1,*}$ определены представляющими циклами из $E_1^{p,-p-1,*}$ с точностью до прибавления элементов вида $d_1(A,B,C,D)$, где $(A,B,C,D)\in E_1^{p+1,-p-1,*}$.
Легко видеть, что $d_1(a,b+1,c,d)=(a,b,c,d)\otimes\omega_2+u\otimes\omega_1$, где $u\in N_p/N_{p-1}$. Тем самым, в $E_2^{p,-p-1,*}$ выполнено равенство $(a,b,c,d)\otimes\omega_2=-u\otimes \omega_1$, а значит, любой элемент $E_2^{p,-p-1,*}$ представляется циклом из $E_1^{p,-p-1,*}$, который является линейной комбинацией элементов вида $(a,b,c,d)\otimes \omega_1$. Теперь заметим, что
$$
\begin{equation*}
d_1(a,0,c+1,d)=\bigl((a-1,0,b+1,d)-2(c+2)(a,0,c+2,d-1)- (a,1,c,d)\bigr)\otimes \omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в $E_2^{p,-p-1,*}$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
(a,1,c,d)\otimes \omega_1=(a-1,0,b+1,d)\otimes \omega_1- 2(c+2)(a,0,c+2,d-1)\otimes \omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, $d_1(a,0,0,d+1)=\bigl((a-1,0,0,d+1)-3(a,0,1,d)\bigr)\otimes\omega_1$. Следовательно, в $E_2^{p,-p-1,*}$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
(a,0,1,d)\otimes \omega_1=\frac{1}{3}(a-1,0,0,d+1)\otimes \omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, элемент вида $(a,0,0,0)\otimes \omega_1$ равен $d_1(a+1,0,0,0)$. Остается показать, что количество элементов $(a,b,c,d)\otimes \omega_1$, где $a+b+2b+3c=p$, указанного в формулировке леммы вида в точности равно $2 k_p-k_{p+1}$. Для этого подсчитаем количества элементов разной формы с помощью производящих рядов. А именно, производящий ряд фильтрации $p$ для количества элементов $\bullet$ вида $(a,b,c,d)$, где $b\geqslant 2$, равен $x^2/((1-x)^2(1-x^2)(1-x^3))$; $\bullet$ вида $(a,0,c,d)$, где $c\geqslant 2$, равен $x^4/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))$; $\bullet$ вида $(a,0,0,d)$, где $d\geqslant 1$, равен $x^3/((1-x)(1-x^3))$. Теперь нужное утверждение следует из легко проверяемого равенства Здесь дробь в правой части – производящий ряд для последовательности $2k_p-k_{p+1}$ при $p\geqslant 0$, слагаемое $1/x$ нужно, чтобы убрать из суммы не имеющее смысла слагаемое для $p=-1$. Лемма доказана.Следующий шаг состоит в вычислении дифференциалов $d_2$ и $d_3$ на элементах, описанных в лемме 10. Лемма 11. (a) Дифференциал $d_2\colon E_2^{p,-p-1,*}\to E_2^{p-2,-p,*}= N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^2$ на элементах типа $(a,b,c,d)\otimes\omega_1$, где $b\geqslant 2$, нетривиален; более точно, (b) Дифференциал $d_2\colon E_2^{p,-p-1,*}\to E_2^{p-2,-p,*}= N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^2$ на элементах типа $(a,0,c,d)\otimes\omega_1$, где $c\geqslant 2$, и на элементах вида $(a,0,0,d)\otimes\omega_1$, где $d\geqslant 1$, тривиален. Следствие 7. В качестве базиса в $E_3^{-p,-p-1,*}$ можно взять классы с представителями $(a,0,c,d)\otimes\omega_1$, где $c\geqslant 2$, и $(a,0,0,d)\otimes\omega_1$, где $d\geqslant 1$. Доказательство. Рассмотрим в $E_2^{p,-p-2,*}=N_p/N_{p-1}\otimes H^2$ подмодуль $M$, порожденный элементами $(a,b,c,d)\otimes \omega_4\wedge\omega_1$, $b\geqslant 2$, и $(a,0,c,d)\otimes \omega_4\wedge\omega_1$, $c\geqslant 1$. Из леммы 11 следует, что пересечение этого подмодуля с образом $d_2$ нулевое. Прямым вычислением нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_2 \bigl((a,b,c,d)\otimes\omega_4\wedge\omega_1\bigr) &= - (a,b-2,c,d)\otimes\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_2 + u\otimes \omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1, \\ d_2 \bigl((a,0,c,d)\otimes\omega_4\wedge\omega_1\bigr) &= -(a,0,c-1,d)\otimes\omega_4\wedge\omega_3\wedge\omega_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $u$ – некоторый элемент $N_{p-2}/N_{p-3}$. Легко сообразить, что элементы в правых частях этих равенств независимы. Таким образом, мы получаем вложение $M$ на подмодуль в $E_2^{p-2,-p-1,*}=N_{p-2}/N_{p-3}\otimes H^3$. Покажем, что в действительности это изоморфизм.
Размерности модуля $M$ во всевозможных фильтрациях находятся из производящего ряда
$$
\begin{equation}
\frac{x^2}{(1-x)^2(1-x^2)(1-x^3)}+\frac{x^2}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}\,.
\end{equation}
\tag{37}
$$
С другой стороны, как мы видели в п. (3) теоремы 13, размерности $E_2^{p-2,-p-1,*}$ находятся из производящего ряда Нам надо показать, что коэффициенты этого ряда и ряда (37) совпадают со сдвигом размерностей на 2. Это следует из легко проверяемого равенства Лемма доказана. Итогом предыдущих рассуждений являются следующие факты о $E_3^{*,*,*}$. Ненулевые группы расположены на двух диагоналях: $E_3^{p,-p-1,*}$ и $E_3^{p,-p-2,*}$. Базисные элементы в $E_3^{p,-p-1,*}$ представлены элементами $(a,0,c,d)\otimes\omega_1$, $c\geqslant 2$, и $(a,0,0,d)\otimes\omega_1$, $d\geqslant 1$ (см. лемму 11). Отсюда получаем производящий ряд для $\dim E_3^{p,-p-1,*}$:
$$
\begin{equation*}
A(x)=\frac{x^4 }{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}+ \frac{x^3}{(1-x)(1-x^3)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, лемма 12 не позволяет явно перечислить представителей элементов группы $E_3^{p,-p-2,*}$, но мы можем вычислить ее размерность. Для этого вспомним, что
$$
\begin{equation*}
E_2^{p,-p-2,*}=N_p/N_{p-1}\otimes \omega_3\wedge\omega_2 \oplus N_p/N_{p-1}\otimes \omega_4\wedge\omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В этой прямой сумме первое подпространство совпадает с образом $d_2$ (см. лемму 11), а второе подпространство под действием $d_2$ эпиморфно отображается на $E_2^{p-2,-p-1,*}$ (см. лемму 12). Значит,
$$
\begin{equation*}
\dim E_3^{p,-p-2,*}=\dim N_p/N_{p-1} - \dim E_2^{p-2,-p-1,*}=k_p - (2 k_{p-2} - k_{p-3}).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующий производящий ряд равен
$$
\begin{equation*}
B(x)=\frac{1- 2x^2 + x^3 }{(1-x)^2 (1-x^2)(1-x^3)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 13. Размерности ненулевых групп $E_3^{*,*,*}$, связанных дифференциалом $d_3$, равны, а именно, Доказательство очевидным образом следует из равенства производящих рядов со сдвигом размерностей на 3: Теорема 14. Дифференциалы $d_3\colon E_3^{p,-p-1,*} \to E_3^{p-3,-p+1}$ являются изоморфизмами. В частности, $E_4^{*,*,*}=E_\infty^{*,*,*}$. Доказательство. Рассуждение проведем по $p\geqslant 3$ последовательно. По соображениям размерности для $p=3$ дифференциал $d_3$ должен быть вложением, тогда по лемме 13 он – изоморфизм. Затем рассматриваем $d_3$ для $p=4$ и т. д. Замечание 7. Эту теорему можно также вывести из теоремы 5. Для полноты приведем явные формулы для значений $d_3$ на образующих $E_3^{p,-p-2,*}$, хотя мы их не используем. Лемма 14. Дифференциал $d_3\colon E_3^{p,-p-1,*}\to E_3^{p-2,-p,*}= N_{p-3}/N_{p-4}\otimes H^2$ на элементах типа $(a,0,c,d)\otimes\omega_1$, где $c\geqslant 2$, и на элементах вида $(a,0,0,d)\otimes\omega_1$, где $d\geqslant 1$, нетривиален. Более точно, 7.4. Реализация двумерных классов когомологийРеализация классов двумерных когомологий многообразий $M^3$ и $M^4$ обсуждалась выше. В этом пункте мы обсудим реализацию образующих в двумерных когомологиях нильмногообразий $M^n$ для $n\geqslant 5$. Хорошо известно, что второе число Бетти нильмногообразия $M^n$ при $n\geqslant 5$ равно $3$ (см. [71]). Образующими служат два класса $[\omega_3\wedge\omega_2]$ и $[\omega_5\wedge\omega_2 - 3\omega_4\wedge\omega_3]$, которые стабильны в башне (33), т. е. эти классы переходят в одноименные при гомоморфизме в когомологиях, индуцированном проекцией расслоения $p_n\colon M^{n+1}\to M^n$ при $n\geqslant 5$. Заметим, что именно эти два класса и только они имеются в двумерных когомологиях бесконечномерной алгебры Ли $L_1$, пополнение которой в топологии, задаваемой градуировкой, представляет собой обратный предел алгебр $\mathcal{G}L^n$. Реализация этих классов в виде произведений Масси или образов дифференциалов $\operatorname{Bss}$ точно такая же, как и в когомологиях алгебры Ли $L_1$ (см. конец п. 5.2). Кроме того, в $H^2(M^n)$ имеется еще один класс
$$
\begin{equation*}
\Omega_n=\sum_{i=1}^{[n/2]} (n-2i)\omega_{n+1-i}\wedge \omega_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко понять, что $p_n^*(\Omega_n)$ в когомологиях $M^{n+1}$ нулевой. В самом деле, на $M^{n+1}$ имеется 1-форма $\omega_{n+1}$, для которой $d\omega_{n+1}=\Omega_n$. Для четных $n=2k$ этот класс очень важен: форма $\Omega_{2k}$ задает симплектическую структуру на многообразии $M^{2k}$. Кроме того, для любого $n$ расслоение $p_n\colon M^{n+1}\to M^n$ является главным расслоением со слоем $S^1$, 1-форма $\omega_{n+1}$ является формой связности этого расслоения, а форма $\Omega_n$ на базе $M^n$ – ее форма кривизны: $d\omega_{n+1}=p_n^*(\Omega_{n})$. Как показано в работе [14], двумерный класс $[\Omega_{2k}]\in H^2(M^{2k})$ представляет $2k$-местное произведение Масси
$$
\begin{equation}
\biggl\langle \omega_1, (k-1)\omega_1, (k-2)\omega_1,\dots, 2\omega_1, \begin{pmatrix}\omega_1 & \omega_2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\-\omega_1\end{pmatrix},-2\omega_1,\dots,-(k-1)\omega_1, -k \omega_1\biggr\rangle
\end{equation}
\tag{40}
$$
с определяющей системой
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \omega_1 & \omega_2 &\dots & \omega_{2k-1}& \omega_{2k} & \\ & (k-1)\omega_1 & (k-1)\omega_2 &\dots & (k-1)\omega_{2k-1}& (k-1)\omega_{2k} \\ &&\dots&\dots&\dots&\dots \\ &&&& -(k-1)\omega_1& -(k-1)\omega_2 \\ &&&&& -k\omega_1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, в [14] показано, что $\Omega_{2k}$ не является представителем линейной комбинации произведений Масси меньшего числа аргументов. Отсюда легко вывести, что указанное представление $[\Omega_{2n}]$ в виде $2n$-местного произведения Масси нетривиально, т. е. не содержит нуля. В самом деле, если бы это было не так, то неопределенность произведения Масси (40) содержала бы $[\Omega_{2n}]$. С другой стороны, неопределенность $2n$-местного матричного произведения Масси содержится в объединении некоторых $(2n-1)$-местных матричных произведений Масси (см. п. 6.1.3), откуда следует, что тогда $[\Omega_{2n}]$ является представителем какого-то $(2n-1)$-местного матричного произведения Масси. Результат работы [14] можно распространить на нечетномерные многообразия $M^n$. А именно, для $n=2k+1$ класс формы $[\Omega_{2k+1}]\in H^2(M^{2k+1})$ принадлежит $(2k+1)$-матричному произведению Масси
$$
\begin{equation}
\biggl\langle \omega_1, k\omega_1, (k-1)\omega_1,\dots, 2\omega_1, \begin{pmatrix}\omega_1 & \omega_2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\-\omega_1\end{pmatrix},-2\omega_1,\dots, -(k-1)\omega_1,-k \omega_1\biggr\rangle
\end{equation}
\tag{41}
$$
с определяющей системой
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \omega_1 & \omega_2 &\ldots & \omega_{2k}& \omega_{2k+1} & \\ & k\omega_1 & k \omega_2 &\ldots & k\omega_{2k}& k\omega_{2k+1} \\ &&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ &&&& -(k-1)\omega_1& -(k-1)\omega_2 \\ &&&&& -k\omega_1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и не является представителем линейной комбинации произведений Масси от меньшего числа аргументов. Доказательство непредставимости дословно переносится со случая $n=2k$ на случай $n=2k+1$, оно использует биградуировку, а также фильтрацию комплекса $\Lambda(\omega_1,\dots,\omega_n)$ подкомплексами $\Lambda(\omega_1,\dots,\omega_p)$, $p\leqslant n$. Как и выше, отсюда немедленно получается нетривиальность произведения Масси (41). Утверждение 5. Класс формы $\Omega_n$ принадлежит $\Phi^{n-1}H^2(M^{2n})$ и не принадлежит $\Phi^{n-2}H^2(M^{2n})$. Доказательство. Если бы класс когомологий $[\Omega_n]\in H^2(M^n)$ имел фильтрацию $\Phi^p$, где $p< n-1$, то он представлялся бы $(p+1)$-местным произведением Масси. Из сказанного выше следует, что это невозможно, так как $p+1<n$. Значит, класс $[\Omega_n]\in H^2(M^n)$ имеет фильтрацию $\Phi^p$, где $p\geqslant n-1$.
По теореме 5 все дифференциалы $d_p$, где $p>n-1$, в $\operatorname{Bss}$ алгебры $U\mathcal{G}L^n$ нулевые. Следовательно, $[\Omega_n]$ имеет точную фильтрацию $n-1$. Утверждение доказано. Теперь заметим, что $[\Omega_n]$ в $\operatorname{Bss}$ имеет третью градуировку $-(2n+2)$, т. е. $[\Omega_n]$ принадлежит $E^{0,-2,-2n-2}_{1}$ и доживает до $E^{0,-2,-2n-2}_{n-1}$. Дифференциалы $\operatorname{Bss}$ однородны по третьей градуировке, поэтому можно поставить вопрос, каким именно элементом накрывается класс $[\Omega_n]$ под действием дифференциала $d_{n-1}\colon E^{n-1,-n-2,-2n-2}_{n-1}\to E^{0,-2,-2n-2}_{n-1}$ в $\operatorname{Bss}$ алгебры Ли $\mathcal{G}L^n$. Теорема 15. При $n\geqslant 2$ в группе $E^{n-1,-n,-2n-2}_{2}$ имеется в точности один класс. Его представителем можно взять $[\theta_n]=(n-1)[e_n^*\otimes \omega_1]$. Этот класс доживает до $E^{n-1,-n,-2n-2}_{n-1}$, и $d_{n-1}([\theta_n])$ является образующей в $E^{0,-2,-2n-2}_{n-1}$. Доказательство. Легко проверить, что в группе $E_1^{n-1,-n,-2n-2}$ имеются только следующие независимые элементы: тем самым, $\dim E_1^{n-1,-n,-2n-2}=n$.
С другой стороны, в $E_1^{n,-n,-2n-2}= N_{n}/N_{n-1}$ имеются только следующие элементы со второй градуировкой, равной $-2n-2$:
$$
\begin{equation*}
(e_1^ke_{n+1-k})^*,\quad \text{где}\ \ 1\leqslant k\leqslant n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\dim E_1^{n,-n,-2n-2}=n-1$.
Теперь вспомним, что $d_1\colon E_1^{n-1,-n,-2n-2} \to E_1^{n-2,-n,-2n-2}$ по теореме 2 (b) выражается через умножение в $H^*(\mathcal{G}L^n)$ в группах
$$
\begin{equation*}
H^1(\mathcal{G}L^n) \otimes H^1(\mathcal{G}L^n) \to H^2(\mathcal{G}L^n),
\end{equation*}
\notag
$$
которое тривиально. В самом деле, $H^1(\mathcal{G}L^n)$ содержит только два класса $[\omega_1]$ и $[\omega_2]$, причем $\omega_2\wedge\omega_1=d\omega_3$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\ker d_1 \colon E_1^{n-1,-n,-2n-2} \to E_1^{n-2,-n,-2n-2}
\end{equation*}
\notag
$$
совпадает c $E_1^{n-1,-n,-2n-2}$.
По теореме 2 (b) дифференциал $d_1\colon E_1^{n,-n,-2n-2}\to E_1^{n-1,-n,-2n-2}$ является вложением, поэтому $\dim E_2^{n-1,-n,-2n-2}=1$. Непосредственным вычислением дифференциала $d_1$ на элементах $(e_1^ke_{n+1-k})^*$ c $1\leqslant k\leqslant n-2$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
[(e_{1}^{k-1} e_{n+1-k})^*\otimes \omega_1]= \lambda_k [(e_{1}^{k} e_{n-k})^*\otimes \omega_1] \quad\text{в} \ \ E_2^{n-1,-n,-2n-2},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\lambda_k\ne 0$. Наконец,
$$
\begin{equation*}
d_1 (e_1^ne_2)^*=((e_1)^{n-1})^*\otimes \omega_2 + ((e_1)^{n-2}e_2)^*\otimes \omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, любой класс из (42) можно взять в качестве образующей одномерного пространства $E_2^{n-1,-n,-2n-2}$. Мы выберем в качестве такового
Поскольку $[\Omega_n]$ доживает до $E_{n-1}^{0,-2,-2n-2}$, то дифференциал является изоморфизмом. Теорема доказана.Теперь для небольших $n$ мы приведем явные формулы для цепей $\theta_n$, представляющих классы $(n-1)[e_n^*\otimes \omega_1]$, дифференциалы от которых в $\operatorname{Bss}$ для алгебры $U\mathcal{G}L^n$ заклеивают классы $[\Omega_n]$. Цепи $\theta_4$ и $\theta_5$ получены непосредственно, а цепи $\theta_6$ и $\theta_7$ – с помощью редукции задачи к системе линейных уравнений, которая была решена с помощью компьютера. Случай $n=4$. Форма $\Omega_4=3\omega_4\wedge\omega_1+\omega_3\wedge\omega_2$ является линейной комбинацией коциклов $\omega_4\wedge\omega_1$ и $\omega_3\wedge\omega_2$; первый представляет класс фильтрации 3, а второй – фильтрации 2. Сам класс $[\Omega_4 ]$ равен $d_3(3e_4^*\otimes \omega_1)$. Для проверки нужно рассмотреть коцепь
$$
\begin{equation*}
\theta_4=3 e_4^*\otimes \omega_1+e_3^*\otimes \omega_2- (e_1e_2)^*\otimes \omega_2.
\end{equation*}
\notag
$$
В первом члене $\operatorname{Bss}$, а точнее, в группе $E_1^{3,-4,*}$ она задает тот же класс, что и $3e_4^*\otimes \omega_1$. С другой стороны, прямым вычислением проверяется, что выполнено равенство $d_{\rm CE}(\theta_4)= \Omega_4$, поэтому класс формы $3e_4^*\otimes \omega_1$ лежит в ядрах дифференциалов $d_1$ и $d_2$, а под действием дифференциала $d_3$ переходит в $[\Omega_4]$. Случай $n=5$. Класс $[\Omega_5]=[4\omega_5\wedge\omega_1+2\omega_4\wedge\omega_2]$ равен $d_4(4 e_5^*\otimes \omega_1)$. Для проверки нужно рассмотреть коцепь
$$
\begin{equation*}
\theta_5=4 e_5^*\otimes \omega_1 + 2e_4^*\otimes \omega_2.
\end{equation*}
\notag
$$
В группе $E_1^{4,-5,*}$ она задает тот же класс, что и $4 e_5^*\otimes \omega_1$. Прямым вычислением проверяется, что $d_{\rm CE}(\theta_5)=\Omega_5$, поэтому класс формы $4 e_5^*\otimes \omega_1$ лежит в ядрах дифференциалов $d_1$, $d_2$ и $d_3$, а под действием дифференциала $d_4$ переходит в $[\Omega_5]$. Случай $n=6$. Класс $[\Omega_6]=[5\omega_6\wedge\omega_1+3\omega_5\wedge\omega_2+ \omega_4\wedge\omega_3]$ равен $d_5(5 e_6^*\otimes \omega_1)$. Для проверки нужно рассмотреть коцепь
$$
\begin{equation*}
\theta_6=5 e_6^*\otimes \omega_1 + 3e_5^*\otimes \omega_2+ e_4^*\otimes \omega_3 - 2(e_3^2)^*\otimes \omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В группе $E_1^{5,-6,*}$ она задает тот же класс, что и $ 5 e_6^*\otimes \omega_1$. Прямым вычислением проверяется, что $d_{\rm CE}(\theta_6)=\Omega_6 $, поэтому класс формы $5 e_6^*\otimes \omega_1$ лежит в ядрах дифференциалов $d_1$, $d_2$, $d_3$ и $d_4$, а под действием дифференциала $d_5$ переходит в $[\Omega_6]$. Случай $n=7$. Класс $[\Omega_7]=[6\omega_7\wedge\omega_1 + 4\omega_6\wedge\omega_2 + 2\omega_5\wedge\omega_3]$ равен $d_6( 6 e_7^*\otimes \omega_1)$. Для проверки нужно рассмотреть коцепь
$$
\begin{equation*}
\theta_7=6 e_7^*\otimes \omega_1 + 4e_6^*\otimes \omega_2+ 2e_4^*\otimes \omega_4 + 2(e_3^2)^*\otimes \omega_2 -2e_3^* \wedge\omega_5 + 2(e_3e_4)^*\otimes \omega_1+ 2(e_2e_5)^*\omega_1.
\end{equation*}
\notag
$$
В группе $E_1^{6,-7,*}$ она задает тот же класс, что и $5e_7^*\otimes \omega_1$. Прямым вычислением проверяется, что $d_{\rm CE}(\theta_6)=\Omega_7$, поэтому класс формы $6e_7^*\otimes\omega_1$ лежит в ядрах дифференциалов $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ и $d_5$, а под действием дифференциала $d_6$ переходит в $[\Omega_7]$.
8. Нильмногообразия Гейзенберга $ M_H^{2n+1}$В этом разделе собраны необходимые результаты о когомологиях с вещественными коэффициентами нильмногообразий Гейзенберга и для алгебр Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$ приведены решения задач (1), (2) и (3). 8.1. Однородные многообразия группы ГейзенбергаРассмотрим группу ${\mathcal H}^{2n+1}$ матриц вида
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \dots & x_n & z \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & y_1 \\ & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots &\vdots \\ & & \ddots & 1 & 0& y_{n-1} \\ & {\large\textbf{0}} & & 0 & 1& y_n \\ && & & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{43}
$$
с вещественными $x_j$, $y_j$ и $z$. Как пространство она гомеоморфна $\mathbb{R}^{2n+1}$. В этой группе имеется кокомпактная решетка $\Gamma_H^{2n+1}$, состоящая из матриц с целочисленными $x_j$, $y_j$ и $z$. Алгебра Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$ состоит из матриц
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} 0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & z \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & y_1 \\ &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots & \vdots \\ & &\ddots & 0 & 0& y_{n-1} \\ & {\large\textbf{0}} && 0 & 0& y_n \\ &&& & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
с вещественными $x_j$, $y_j$ и $z$. Введем в $\mathcal{GH}^{2n+1}$ базис $e_{0},e_{\pm 1},\dots,e_{\pm n}$ такой, что выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
A=x_1e_{-1}+\cdots+x_n e_{-n} + y_1 e_{1} + \cdots+y_n e_{n } + z e_{0}= \sum_{j=1}^n x_j e_{-j} + \sum_{j=1}^n y_j e_j + z e_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямая проверка показывает, что в $\mathcal{GH}^{2n+1}$ все коммутаторы базисных элементов равны нулю, кроме $[e_{-j},e_{j}]=e_{0}$, $j=1,\dots,n$. Тем самым, алгебра Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$ нильпотентна и ее структурные константы – целые числа. Группа ${\mathcal H}^{2n+1}$ при $n\geqslant 3$ получила название обобщенной группы Гейзенберга; ее алгебра Ли соответствует замене канонической скобки Пуассона пространства $\mathbb{R}^{2n}$ на коммутатор, а единицы – на элемент $e_{0}$, который играет роль постоянной Планка. Таким образом возникает серия нильмногообразий $M_H^{2n+1}={\mathcal H}^{2n+1} /\Gamma_H^{2n+1}$, в которой $M_H^3=M^3$. Имеет место последовательность вложений
$$
\begin{equation*}
S^1=M^1_H\xrightarrow{i_0}M^3_H \xrightarrow{i_1} M^5_H\xrightarrow{i_2}\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
индуцированных вложениями групп
$$
\begin{equation*}
{\mathcal H}^{1}\xrightarrow{i_0} {\mathcal H}^{3}\xrightarrow{i_1} {\mathcal H}^{5}\to\cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
где вложение $i_n\colon{\mathcal H}^{2n+1}\xrightarrow{i_k} {\mathcal H}^{2n+3}$ определено формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \dots & x_n & z \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & y_1 \\ &\ddots&\ddots &\ddots &\vdots&\vdots \\ & & \ddots & 1 & 0& y_{n-1} \\ & {\large\textbf{0}}& & 0 & 1& y_n \\ && & & 0 & 1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \dots & x_n & 0& z \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0& y_1 \\ &\ddots&\ddots &\ddots &0&\vdots&\vdots \\ & &\ddots & 1 & 0& 0& y_{n-1} \\ & & & 0 & 1& 0& y_n \\ & {\large\textbf{0}} & & & 0& 1& 0 \\ && & & & 0& 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом образующие $e_{0},e_{\pm 1},\dots,e_{\pm n}$ алгебры $\mathcal{GH}^{2n+1}$ переходят в одноименные образующие алгебры $\mathcal{GH}^{2n+3}$. По теореме Номидзу кольцо вещественных когомологий $H^*(M_H^{2n+1})$ изоморфно кольцу когомологий $H^*(\mathcal{GH}^{2n+1})$. Обозначим через $\omega_{k}$ элемент, двойственный к $e_k$. Тогда дифференциал комплекса Шевалле–Эйленберга
$$
\begin{equation*}
C^*_{\rm CE}(\mathcal{GH}^{2n+1})= \wedge(\omega_0,\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n})
\end{equation*}
\notag
$$
описывается соотношениями
$$
\begin{equation*}
d\omega_{\pm 1}=\cdots=d\omega_{\pm n}=0,\qquad d\omega_{0}=\sum_{k=1}^n\omega_{-k}\wedge\omega_{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Форма $\omega_0$ задает на $M_H^{2n+1}$ структуру контактного многообразия, поскольку форма $\omega_0\wedge (d\omega_0)^n$ пропорциональна форме $\omega_0\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_1\wedge\cdots\wedge \omega_{-n}\wedge\omega_n$, класс которой является образующей группы $H^{2n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$. Сопоставление матрице (43) матрицы того же вида, но с $z=0$, задает отображение которое является локально тривиальным расслоением со слоем $S^1$.Для вещественных когомологий теорема Номидзу показывает, что проекция расслоения индуцирует морфизм комплексов Шевалле–Эйленберга
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \pi^*\colon\Lambda(({\mathfrak t}^{2n})^*)&= \bigl(\Lambda(\omega_{\pm k}\colon 1\leqslant k\leqslant n),d_{\rm CE}=0\bigr) \to \bigl(\Lambda (\omega_0,\omega_{\pm k}\colon 1\leqslant k \leqslant n) \\ &=\Lambda((\mathcal{GH}^{2n+1})^*),d_{\rm CE}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем значения $d_{\rm CE}$ на всех образующих нулевые, за исключением
$$
\begin{equation*}
d_{\rm CE}(\omega_0)=\sum_{k=1}^n\omega_{-k}\wedge\omega_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Образующие здесь выбираются так, чтобы при $k\ne 0$ выполнялось условие
$$
\begin{equation*}
\Lambda(({\mathfrak t}^{2n})^*) \ni \omega_k \overset{\pi^*}{\longmapsto} \omega_k\in \Lambda((\mathcal{GH}^{2n+1})^*),
\end{equation*}
\notag
$$
$\omega_0$ – образующая в когомологиях слоя $S^1$. Cпектральная последовательность расслоения (44) для вещественных когомологий совпадает со спектральной последовательностью Хохшильда–Серра одномерного идеала, порожденного элементом $e_0$, в алгебре Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$:
$$
\begin{equation*}
E_2^{p,q}=H^p(\mathfrak{t}^{2n},H^q(\Lambda(\omega_0))).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что представление алгебры $\mathfrak{t}^{2n}$ в когомологиях $H^q(\Lambda (\omega_0))$ тривиально, поскольку расширение $\mathfrak{t}^{2n}\subset \mathcal{GH}^{2n+1}$ центральное. Легко видеть, что $d_2\colon H^1(S^1)=E_2^{0,1}\to E_2^{2,0}=H^2(T^{2n})$ определяется уже хорошо знакомой нам формулой:
$$
\begin{equation*}
d_2(\omega_0)=\sum_{k=1}^n \omega_{-k}\wedge\omega_k.
\end{equation*}
\notag
$$
На остальных группах $E_{2}^{p,1}$ дифференциал $d_2$ вычисляется по мультипликативности. 8.2. Когомологии алгебры Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$Припишем форме $\omega_k$ биградуировку $(1,k)$. Тогда, как и в случае многообразий $M^n$, получаем, что дифференциал Шевалле–Эйленберга сохраняет вторую градуировку. Таким образом, имеется расщепление комплексов $C^*_{\rm CE}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ в прямые суммы подкомплексов, которое индуцирует на кольце когомологий естественную биградуировку:
$$
\begin{equation*}
H^*(\mathcal{GH}^{2n+1})= \bigoplus_{p\geqslant 0,q}H^{p,q}(\mathcal{GH}^{2n+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Наличие такой биградуировки позволяет ожидать, что многие результаты работы [60], посвященной многообразиям $M^{n}$, окажутся верными и для многообразий $M_H^{2n+1}$. Замечание 8. Часто используется другая градуировка базисных элементов: $e_1,\dots,e_n$ переобозначаются через $e_{2n},\dots,e_{n+1}$; $e_{-n},\dots,e_{-1}$ переобозначаются через $e_1,\dots,e_n$; а элемент $e_0$ переобозначается через $e_{2n+1}$. Тогда коммутационные соотношения $[e_{-n},e_n]=e_0$ принимают вид $[e_i,e_{2n+1-i}]=e_{2n+1}$. Наш выбор нумерации базисных элементов диктуется тем, что при вложении $i_n\colon{\mathcal H}^{2n+1}\xrightarrow{i_k}{\mathcal H}^{2n+3}$ образующие алгебры $\mathcal{GH}^{2n+1}$ переходят в одноименные образующие алгебры $\mathcal{GH}^{2n+3}$. Далее, многообразия $M_H^{2n+1}$ компактны и ориентируемы, а значит, для них имеет место двойственность Пуанкаре. В терминах когомологий алгебр $\mathcal{GH}^{2n+1}$ двойственность задается спариванием
$$
\begin{equation}
\langle[\theta],[\eta]\rangle=B(\theta,\eta),\quad\text{где}\ \ \theta\wedge\eta=B(\theta,\eta)\omega_0\wedge\omega_{-1}\wedge \omega_{1}\wedge \cdots\wedge\omega_{-n} \wedge \omega_n.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Двойственным к биоднородному подпространству $H^{p,q}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ является $H^{2n+1-p,-q}(\mathcal{GH}^{2n+1})$. Числа Бетти многообразий $H^*(\mathcal{GH}^{2n+1})$ были вычислены в работе [18]. До сих пор вопрос о вычислении когомологий $H^*(\mathcal{GH}^{2n+1})$ привлекает внимание исследователей и появляются новые работы с доказательствами, использующие методы из совершенно разных областей. Одна из недавних работ – статья [19]. Задача вычисления целочисленных когомологий решетки $\Gamma^{2n+1}_H$, т. е. целочисленных когомологий пространства $M^{2n+1}_H={\mathcal H}^{2n+1} /\Gamma_H^{2n+1}$, решается в [24]. В связи с этим отметим, что в целочисленных гомологиях пространств $\mathcal{H}^{2n+1}/\Gamma$, где $\Gamma\subset\mathcal{H}^{2n+1}$ – решетка, вообще говоря, имеется кручение. Для $n=1$ решетки $\Gamma$ индексируются в терминах кручения в группе одномерных гомологий. Для $n>1$ уже имеется множество неэквивалентных решеток, которые не индексируются кручением в одномерных гомологиях. Достаточно вычислить числа Бетти $b_k=\dim H^k(\mathcal{GH}^{2n+1})$ для $p=0,\dots,n$, так как в силу двойственности Пуанкаре $b_p=b_{2n+1-p}$. Теорема 16 (см. [18]). (i) Для $p\leqslant n$ имеет место равенство (ii) Пространство точных $p$-форм порождено формами вида $\omega_{i_1}\wedge \cdots \wedge \omega_{i_p}$, где $i_1<\cdots <i_p$, $i_j\ne 0$ для всех $j$. (iii) Пространство замкнутых $p$-форм порождено формами вида $d\omega_{0}\wedge\omega_{i_1}\wedge \cdots \wedge \omega_{i_{p-2}}$, где $i_1<\cdots <i_{p-2}$, $i_j\ne 0$ для всех $j$. Мультипликативная структура когомологий $H^*(M_H^{2n+1},R)$, где $R$ – коммутативное кольцо с единицей, достаточно сложна даже в случае вещественных коэффициентов $R=\mathbb{R}$. Для расслоения (44) рассмотрим точную последовательность Гизина
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \cdots \to H^{k-2}(T^{2n},R)&\xrightarrow{\Omega} H^{k}(T^{2n},R) \xrightarrow{\pi^*} H^{k}(M^{2n+1}_H,R) \\ &\xrightarrow{\pi_*}H^{k-1}(T^{2n},R)\xrightarrow{\Omega} H^{k+1}(T^{2n},R) \to\cdots\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{46}
$$
где $\Omega$ – операция умножения на форму $\Omega=d\omega_0$. Она распадается на короткие точные последовательности
$$
\begin{equation}
0\to \operatorname{coker}\Omega \xrightarrow{\pi^*} H^{k}(M^{2n+1}_H,R) \xrightarrow{\pi_*} \ker \Omega \to 0.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Отметим, что рассматриваемые группы когомологий несут естественную структуру модулей над алгеброй $H^*(T^{2n},R)$, причем точные последовательности (46) и (47) являются точными последовательностями $H^*(T^{2n},R)$-модулей – это дает частичную информацию о структуре умножения в кольце $H^{*}(M^{2n+1},R)$. Покажем, как $\ker\Omega$ и $\operatorname{coker}\Omega$ соотносятся со спектральной последовательностью расслоения (44). Воспользуемся отождествлением
$$
\begin{equation*}
\alpha\colon E_2^{p,0} \to E_2^{p,1} ,\qquad \alpha\colon \theta\mapsto \omega_0\wedge\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Композиция $d_2\circ \alpha^{-1}\colon H^p(T^{2n},R)\to H^{p+2}(T^{2n},R)$ задается формулой $\theta\mapsto \Omega\wedge\theta$. Значит, $E_\infty^{*,0}=E_3^{*,0}$ является фактором $H^*(T^{2n})$ по идеалу, порожденному $\Omega$, а $\alpha^{-1}E_\infty^{*,1}=\alpha^{-1}E_3^{*,1}$ является аннулятором $\Omega$, т. е. состоит из таких классов $\theta\in H^*(T^{2n})$, для которых $\Omega\wedge\theta=0$. В случае $R=\mathbb{R}$ имеется красивая теория, которая описывает группы $\ker\Omega$ и $\operatorname{coker}\Omega$ с точки зрения теории представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ на внешней алгебре симплектического пространства. Этот подход был реализован в работах [22], [23]. Наше изложение геометрии внешней алгебры симплектического векторного пространства следует первому разделу обзора [45], см. также книгу [46], там же читатель найдет доказательства, которые мы не приводим. Конечно же, речь идет о классических результатах теории комплексных многообразий (см. [72]). Мы даем ссылки на более поздние работы [45], [46], в которых читатель найдет все необходимые формулы. Затем мы вернемся к обсуждению кольца когомологий де Рама $H^*(M^{2n+1}_H)$. 8.2.1. Представление $\mathfrak{sl}_2$ на $\Lambda(\omega_{\pm1},\dots,\omega_{\pm n})$Алгебра вещественных когомологий тора $T^{2n}$ изоморфна внешней алгебре $\Lambda(\omega_{\pm1},\dots,\omega_{\pm n})$. Пусть $V$ – вещественное $2n$-мерное пространство с базисом $e_{\pm 1},\dots,e_{\pm n}$. Элементы двойственного базиса пространства $V^*$ обозначим через $\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n}$. 2-форма $\Omega=\displaystyle\sum_{k=1}^n \omega_{-k}\wedge \omega_k$ задает на $V$ симплектическую структуру. Определим оператор $E^-\colon\Lambda^k V^*\to \Lambda^{k+2}V^*$ по формуле $E^-(\theta)=\Omega\wedge\theta$. С помощью бивектора $X_\Omega=\displaystyle\sum_{k=1}^n e_{-k}\wedge e_k\in \Lambda^2 V$ зададим оператор $E^+\colon\Lambda^k V^*\to \Lambda^{k-2}V^*$ по формуле Соотношения (48) вместе с определением $H=[E^+,E^-]$ показывают, что выбор симплектической структуры $\Omega$ на $V$ задает на внешней алгебре $\Lambda V^*$ представление алгебры $\mathfrak{sl}_2$. В самом деле, в алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$ имеется стандартный базис $H$, $E^+$, $E^-$ с коммутационными соотношениями
$$
\begin{equation*}
[E^+,E^-]=H,\qquad [H,E^+]= 2E^+,\qquad [H,E^-]=-2E^-.
\end{equation*}
\notag
$$
Все конечномерные $\mathfrak{sl}_2$-представления разлагаются в прямую сумму неприводимых. Каждое конечномерное неприводимое $\mathfrak{sl}_2$-представление определяется своей размерностью; таким образом, имеется по одному такому представлению в каждой размерности. Эти представления легко описать явно; см., например, [73] (в этой книге нормировка базисных векторов отличается от нашей). Пусть $W_m$ – векторное пространство с базисом $v_0,v_1,\dots,v_m$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} H(v_k) &= (m-2k) v_k,&&&& \\ E^-(v_k) &=v_{k+1}&\quad\text{при}\ \ k&< m,&\qquad E^-(v_m)&=0, \\ E^+(v_k) &=k(m-k+1) v_{k-1}&\quad\text{при}\ \ k&>0, &\qquad E^+(v_0)&=0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверяется, что такие формулы задают $(m+1)$-мерное неприводимое представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ в пространстве $W_m$. Итак, внешняя алгебра $\Lambda V^*$ разлагается в прямую сумму неприводимых $\mathfrak{sl}_2$-представлений. Описание разложения пространства $\Lambda V^*$ в сумму неприводимых $\mathfrak{sl}_2$-представлений опирается на следующие факты о действии операторов $E^\pm$ и $H$ в $\Lambda V^*$. Утверждение 7. (i) Пусть $\theta \in \Lambda^s V^*$. Тогда $H \theta=(n-s)\theta$. (ii) Отображение $E^+\colon \Lambda^s (V^*)\to \Lambda^{s-2}(V^*)$ является мономорфизмом при $s\geqslant n+1$. (iii) Отображение $E^-\colon \Lambda^s (V^*)\to \Lambda^{s+2}(V^*)$ является мономорфизмом при $s\leqslant n-1$. Внешняя форма $\theta \in \Lambda^s V^*$, $s\leqslant n$, называется примитивной, если $E^+(\theta)= 0$. Имеет место следующее утверждение о разложении Ходжа (также его называют разложением Ходжа–Лепажа). Теорема 17. Для любой формы $\theta \in \Lambda^s(V^*)$ имеет место разложение где $\theta_j\in \Lambda^{s-2j}(V^*)$ – однозначно определенные примитивные формы. Утверждение 8. Отображения являются изоморфизмами, причем для любой примитивной формы $\theta\in \Lambda^{n-s}$ выполнено равенство Утверждение 8 показывает, что $\Lambda^s(V^*)\subset \operatorname{im}\Omega$ при $s\geqslant n+1$, т. е. ненулевые элементы $\operatorname{coker}\Omega$ имеют градуировки не больше $n$. Из утверждения 7 (iii) следует, что ненулевые элементы $\ker\Omega$ имеют градуировки не меньше $n$. Вернемся к обсуждению спектральной последовательности расслоения $\pi\colon M^{2n+1}_H\to T^{2n}$. Из только что приведенного описания $\ker \Omega$ и $\operatorname{coker} \Omega$ следует, что член $E_\infty^{*,*}$ спектральной последовательности этого расслоения имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccccccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & E_{\infty}^{n,1} & E_{\infty}^{n+1,0} & \ldots & E_{\infty}^{2n,1} \\ 0 & E_{\infty}^{0,0} & \ldots & E_{\infty}^{n-1,0} & E_{\infty}^{n,0} & 0 & \ldots & 0\\ \hline & 0 & \ldots & n-1 & n & n+1& \ldots & 2n \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 18. (a) Группа является подкольцом в $H^*(M_H^{2n+1})$, изоморфным факторкольцу внешней алгебры $\Lambda^{*}(\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n})=H^*(T^{2n})$ по идеалу, порожденному $\Omega$. Иными словами, $A=\operatorname{coker}\Omega$ как кольцо со структурой $H^*(T^{2n})$-модуля. (b) Группа состоит в точности из тех классов $\omega_0 \Lambda^{*}(\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n})$, которые лежат в ядре умножения на $\Omega$. Иными словами, $B=\ker\Omega$ как группа со структурой $H^*(T^{2n})$-модуля. Произведение любых двух элементов из $B$ равно нулю по соображения размерности.(c) Произведение $ab$, где $a\in A$ и $b\in B$, принадлежит $B$ и задает представление кольца $A$ на модуле $B$. Таким образом, $H^*(M_H^{2n+1})$ получается расширением кольца $A$ по действию $A$ на $B$. (d) Расщепление $H^*(M_H^{2n+1})=A\oplus B$ является расщеплением в прямую сумму $H^*(T^{2n})$-модулей. Следствие 8. (i) Как $H^*(T^{2n})$-модуль градуированная группа $H^*(M_H^{2n+1})$ порождена $1\in H^0(M_H^{2n+1})$ и образующими группы $H^{n+1}(M_H^{2n+1})$. (ii) Кольцо когомологий $H^*(M_H^{2n+1})$ мультипликативно порождено образующими $\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n}$ группы $H^1(M_H^{2n+1})$ и образующими группы $H^{n+1}(M_H^{2n+1})$. В теореме 18 показано, в частности, что короткая точная последовательность (47)
$$
\begin{equation}
0\to \operatorname{coker}\Omega \xrightarrow{\pi^*} H^{k}(M^{2n+1}_H,\mathbb{R}) \xrightarrow{\pi_*} \ker \Omega \to 0
\end{equation}
\tag{49}
$$
расщепляется как последовательность $H^*(T^{2n},\mathbb{R})$-модулей. Оказывается, имеет место следующий важный факт. Теорема 19 [74]. Пусть $S^m\to X\xrightarrow{\pi} T$ – ориентируемое сферическое расслоение над тором, и пусть $\Omega\in H^{m+1}(T,\mathbb{Z}) $ – его характеристический класс. Тогда для любого $k$ точная последовательность расщепляется как последовательность $H^*(T,\mathbb{Z})$-модулей. Для целочисленных коэффициентов это утверждение достаточно нетривиально, оно требует анализа когомологического препятствия к расщеплению короткой точной последовательности и доказательства того, что это препятствие равно нулю. Теперь выясним, как связаны многочлены Пуанкаре когомологий алгебр Ли $\mathcal{GH}^{2n-1}$ в $\mathcal{GH}^{2n+1}$. Рассмотрим спектральную последовательность Хохшильда–Серра подалгебры Ли $\mathcal{GH}^{2n-1}$ в $\mathcal{GH}^{2n+1}$. Фактор $\mathcal{GH}^{2n+1}/\mathcal{GH}^{2n+1}$ является двумерной коммутативной алгеброй Ли $\mathfrak{t}^2$ с образующими $\omega_{\pm n}$, поэтому второй член этой спектральной последовательности имеет вид
$$
\begin{equation}
E_2^{p,q}=H^p(\mathfrak{t}^2,H^q(\mathcal{GH}^{2n-1})).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Легко проверить, что действие $\mathfrak{t}^2$ в $H^q(\mathcal{GH}^{2n-1})$ тривиально, поэтому спектральная последовательность (50) имеет вид  Для краткости группа $H^s(\mathcal{GH}^{2n-1})$ обозначена через $H^s$. Утверждение 9. В спектральной последовательности Хохшильда–Серра подалгебры Ли $\mathcal{GH}^{2n-1}$ в $\mathcal{GH}^{2n+1}$ все дифференциалы нулевые, за исключением $d_2\colon E_2^{0,n}\to E_2^{2,n-1}$ (обозначен на диаграмме стрелкой), который является изоморфизмом. Следствие 9. Полиномы Пуанкаре $P_{n}(t)$ и $P_{n-1}(t)$ когомологий алгебр Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$ и $\mathcal{GH}^{2n-1}$ связаны рекуррентным соотношением Доказательство. Положим $b_k=\dim H^k(\mathcal{GH}^{2n-1})$ и $\widehat b_k=\dim H^k(\mathcal{GH}^{2n+1})$. В силу двойственности Пуанкаре достаточно сравнить коэффициенты при $t^k$ в (51) для $0\leqslant k \leqslant n$.
Для $k=0$ и $k=1$ это совсем просто: $\widehat b_0=b_0=1$, $\widehat b_1=b_1+2=2n$. Для $2\leqslant k\leqslant n-1$ нужно проверить равенство $\widehat b_k=b_k+ 2 b_{k-1} + b_{k-2}$. Для этого запишем числа Бетти как разность двух биномиальных коэффициентов по теореме 16 и несколько раз воспользуемся формулой ${N \choose p}+ {N\choose p-1}={N+1\choose p}$. Отсюда следует, что все дифференциалы $d_2$, расположенные ниже показанного на диаграмме, нулевые. По двойственности Пуанкаре нулевыми являются и дифференциалы $d_2$, расположенные выше показанного на диаграмме. С другой стороны, нетрудно убедиться в том, что $\widehat b_{n}$ не равно $b_{n} + 2 b_{n-1} + b_{n-2}=3 b_{n-1} + b_{n-2}$. Это означает, что в рассматриваемой спектральной последовательности дифференциал $d_2\colon E_2^{0,n+1}\to E_2^{2,n}$ нетривиален. Покажем, что в действительности он является изоморфизмом. Для этого заметим, что $\widehat b_{n}=2 b_{n-1} + b_{n-2}$. В самом деле, как нетрудно проверить, это равенство равносильно тождеству
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 2n \\ n-2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2n-1 \\ n-1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2n-2 \\ n-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2n \\ n\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2n-1 \\ n-3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2n-2 \\ n-3 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что группы $E_3^{0,n+2}$ и $ E_3^{2,n+1}$ нулевые, т. е. $d_2\colon E_2^{0,n+2}\to E_2^{2,n+1}$ является изоморфизмом.
Полином Пуанкаре $\bigoplus\limits_{p+q=n} E_2^{p,q}$ равен $(1+t)^2P_{n-1}(t)$; при переходе к $E_3$ нужно учесть единственный нетривиальный дифференциал, т. е. от полученного выражения нужно отнять $b_{n-1}(1+t)t^{n}$. Поскольку $E_3= E_\infty$, то на этом доказательство формулы (51) закончено. 8.3. $\operatorname{Bss}$ для алгебр Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$Сформулируем и докажем несколько общих фактов, касающихся $\operatorname{Bss}$ для алгебр Ли $\mathcal{GH}^{2n+1}$. Универсальная обертывающая алгебра $U\mathcal{GH}^{2n+1}$ обладает базисом, состоящим из элементов $e_-^ae_+^b e_0^c= e_{-1}^{a_1} \cdots e_{-n}^{a_n} e_{1}^{b_1}\cdots e_{n}^{b_n}e_0^c$, где для краткости мы используем обозначения $a=(a_1,\dots,a_{n})$ и $b=(b_1,\dots,b_{n})$. Двойственный к базисному элемент из $(U\mathcal{GH}^{2n+1})^*$ удобно обозначать $(e_-^ae_+^b e_0^c)^*$. Рассмотрим фильтрацию Бухштабера, начинающуюся с $N_0=\mathbb{R}$. (i) Элемент $(e_-^ae_+^b e_0^c)^*$ принадлежит $N_p$ и не принадлежит $N_{p-1}$, где $p=p(a,b,c)$. (ii) Более того, $N_{p }=N_{p-1} \oplus \mathbb{R}\langle (e_-^ae_+^b e_0^c)^* \colon p(a,b,c)= p\rangle$. Дифференциал Шевалле–Эйленберга на комплексе
$$
\begin{equation*}
(U\mathcal{GH}^{2n+1})^* \otimes \wedge(\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n},\omega_0)
\end{equation*}
\notag
$$
повышает первую градуировку на 1, сохраняет вторую градуировку и при этом может понижать фильтрацию не более, чем на 2. Это в точности означает, что дифференциалы $d_k$ в соответствующей $\operatorname{Bss}$ при $k\geqslant 3$ тривиальны, иначе говоря $E_3^{*,*,*}=E_\infty^{*,*,*}$ (см. теорему 5). Напомним, что в п. 3.3 мы с помощью дифференциалов триградуированной спектральной последовательности Бухштабера определили возрастающую фильтрацию $\Phi^p$ на группах когомологий $H^k(\mathcal{GH}^{2n+1})$. Поскольку дифференциалы $d_k$ при $k\geqslant 3$ тривиальны, фильтрация стабилизируется на $\Phi^2$, а именно, $\Phi^2=\Phi^k$ для всех $k\geqslant 2$. Теорема 20. (i) Элементы групп когомологий $H^k(\mathcal{GH}^{2n+1})$ для $k\ne 0$, $k\ne n$ принадлежат $\Phi^1$. (ii) Элементы группы когомологий $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ принадлежат $\Phi^2$, но не принадлежат $\Phi^1$. Доказательство. Из леммы 4 следует, что $H^1(\mathcal{GH}^{2n+1})\subset \Phi^1$.
Пункт (i) докажем индукцией по $n\geqslant 1$. База индукции ($n=1$) следует из явного описания базисных коциклов когомологий алгебры $\mathcal{GH}^3$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} k&=0:&&\quad 1; \\ k&=1:&&\quad \omega_{-1},\ \ \omega_1; \\ k&=2:&&\quad \omega_0 \wedge\omega_{-1},\ \ \omega_0\wedge\omega_1; \\ k&=3:&&\quad \omega_0\wedge \omega_{-1}\wedge \omega_1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что базисные коциклы когомологий алгебры $\mathcal{GH}^5$ будут приведены в п. 8.4.
Далее рассмотрим спектральную последовательность Хохшильда–Серра (50). По утверждению 9 член $E_\infty$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc} 2n-1 & H^{2n-1} & \omega_{-n}H^{2n-1}\oplus \omega_{n}H^{2n-1}& \omega_{-n}\wedge\omega_{n}H^{2n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ n & 0 & \omega_{-n}H^{n}\oplus \omega_{n}H^{n}& \omega_{-n}\wedge\omega_{n}H^{n} \vphantom{\biggl\}}\\ n-1 & H^{n-1} & \omega_{-n}H^{n-1}\oplus \omega_{n}H^{n-1}& 0 \vphantom{\biggl\}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & H^{0} & \omega_{-n}H^{0}\oplus \omega_{n}H^{0}\vphantom{\biggl\}}& \omega_{-n}\wedge\omega_{n}H^{0}\\ \hline & 0 & 1 & 2 \end{array}
\end{equation*}
\notag
$$
При $k\geqslant n+2$ и при $k\leqslant n$ в группе $H^{k}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ определена трехчленная фильтрация, для которой присоединенная группа имеет вид
$$
\begin{equation*}
H^k(\mathcal{GH}^{2n-1})\oplus \omega_{-n}H^{k-1}(\mathcal{GH}^{2n-1}) \oplus \omega_{n}H^{k-1}(\mathcal{GH}^{2n-1})\oplus \omega_{-n}\wedge\omega_n H^{k-2}(\mathcal{GH}^{2n-1});
\end{equation*}
\notag
$$
применяя индукцию, получаем нужное утверждение. С другой стороны, образ $d_1\colon N_1/N_0\otimes H^{n}(\mathcal{GH}^{2n+1}) \to H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ нулевой, поскольку любая коцепь, представляющая элемент размерности $n+1$, должна содержать в своей записи $\omega_{0}$ – это следует из невырожденности спаривания (45). Значит, в группе $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ нет нетривиальных элементов фильтрации $\Phi^1$. В работе [14] были указаны элементы группы $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$, представимые в виде матричных произведения Масси. Утверждение 10 [14; § 2.5] . Коцепи $\omega_0\wedge \omega_{\varepsilon_1\cdot 1}\wedge \omega_{\varepsilon_2\cdot 2}\wedge\cdots\wedge\omega_{\varepsilon_n\cdot n}$, где $\varepsilon_j=\pm 1$, представляют линейно независимые классы когомологий в $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$, они не разлагаются в линейные комбинации нетривиальных произведений классов меньшей размерности, но представляются в виде нетривиальных трехместных матричных произведений Масси: класс коцикла $\omega_0\wedge \omega_{\varepsilon_1\cdot 1}\wedge \omega_{\varepsilon_2\cdot 2}\wedge\cdots\wedge\omega_{\varepsilon_n\cdot n}$ принадлежит Для проверки этого утверждения в обозначениях п. 6.1 достаточно положить $U=-\omega_0$ и $V=0$. Легко указать, образами каких элементов под действием дифференциала $d_2$ накрываются элементы, описанные в утверждении 10. Утверждение 11. Класс когомологий из группы $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$, представленный коциклом $\omega_0\wedge \omega_{\varepsilon_1\cdot 1}\wedge \omega_{\varepsilon_2\cdot 2}\wedge\cdots \wedge \omega_{\varepsilon_n\cdot n}$, равен где $\delta_i^j$ – символ Кронекера. Для доказательства достаточно заметить, что в комплексе $(U\mathcal{GH}^{2n+1})^*\otimes \wedge (\omega_{\pm 1},\dots,\omega_{\pm n},\omega_0)$ выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d( (e_0)^*\otimes \omega)&=1\otimes \omega_0\wedge \omega - \sum_{k=1}^n (e_k)^*\otimes \omega_{-k}\wedge\omega, \\ d( (e_{-k}e_k)^*\otimes \omega)&=(e_k)^*\otimes \omega_{-k}\wedge \omega + (e_{-k})^*\otimes \omega_{k}\wedge \omega. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обратим внимание, что количество классов, о которых идет речь в утверждениях 10 и 11, равно $2^n$, а это меньше, чем соответствующее число Бетти $b_{n+1}$, которое в силу двойственности Пуанкаре и теоремы 16 равно Иными словами, в группе $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ есть элементы, не описанные в утверждениях 10 и 11. Согласно теореме 20 все ненулевые элементы $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ принадлежат $\Phi^2$, но не принадлежат $\Phi^1$. Как будет показано в разделе 9 (см. теорему 21), такие элементы представляются в виде тройных матричных произведений Масси специального вида. В пп. 8.4 и 8.5 ниже мы найдем такие представления для оставшихся элементов группы $H^{n+1}(\mathcal{GH}^{2n+1})$ при $n=2$ и $n=3$.8.4. Алгебра Ли $\mathcal{GH}^{5}$По теореме Номидзу кольцо вещественных когомологий многообразия $M_H^{2n+1}$ изоморфно кольцу когомологий $H^*(\mathcal{GH}^{2n+1})$. В этом пункте мы рассмотрим случай алгебры $\mathcal{GH}^{5}$. Как и ранее, обозначим через $\omega_k$ элемент, двойственный $e_k$. Напомним, что дифференциал $d$ в комплексе Шевалле–Эйленберга $\wedge(\mathcal{GH}^5)^*$ определяется соотношениями
$$
\begin{equation*}
d\omega_{\pm 1}=d\omega_{\pm 2}=0, \qquad d\omega_0=\omega_{-1}\wedge\omega_{1}+\omega_{-2}\wedge\omega_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда легко получить, что как векторные пространства над $\mathbb{R}$ когомологии $H^k(\mathcal{GH}^{5})$ имеют следующие наборы базисных элементов:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} k&=0:&&\quad 1; \\ k&=1:&&\quad \omega_{-1},\ \ \omega_{-2},\ \ \omega_2,\ \ \omega_1; \\ k&=2:&&\quad \omega_{-1}\wedge \omega_{-2},\ \ \omega_{-1}\wedge\omega_2,\ \ \omega_{-1}\wedge\omega_1=-\omega_{-2}\wedge\omega_2,\ \ \omega_{-2}\wedge\omega_1,\ \ \omega_1\wedge\omega_2; \\ k&=3:&&\quad \omega_0 \wedge\omega_{-1}\wedge\omega_{-2},\ \ \omega_0\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_2,\ \ \omega_0\wedge\omega_{-2}\wedge\omega_1,\ \ \omega_0\wedge\omega_1\wedge\omega_2, \\ &&&\quad\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1-\omega_{-2}\wedge\omega_2); \\ k&=4:&&\quad \omega_0\wedge \omega_{-2}\wedge \omega_1\wedge \omega_2,\ \ \omega_0 \wedge\omega_{-1}\wedge \omega_1\wedge \omega_{2},\ \ \omega_0\wedge \omega_{-1}\wedge \omega_{-2}\wedge \omega_1, \\ &&&\quad\omega_{0} \wedge \omega_{-1}\wedge \omega_{-2}\wedge\omega_2; \\ k&=5:&&\quad \omega_0\wedge \omega_{-1}\wedge \omega_{-2}\wedge \omega_1\wedge \omega_2. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Прямая проверка показывает, что все элементы размерностей 1, 2, 4, 5 имеют фильтрацию 1. Элементы группы $H^3(\mathcal{GH}^{5})$, представленные коциклами $\omega_0 \wedge\omega_{-1}\wedge\omega_{-2}$, $\omega_0\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_2$, $\omega_0\wedge\omega_{-2}\wedge\omega_1$, $\omega_0\wedge\omega_1\wedge\omega_2$, принадлежат члену фильтрации $\Phi^2$ и, как показано в утверждениях 10 и 11, представляются в виде нетривиальных тройных произведений Масси, а также лежат в образе дифференциала $d_2$ спектральной последовательности Бухштабера. Для оставшегося класса $\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1-\omega_{-2}\wedge\omega_2)$ верно аналогичное утверждение. Утверждение 12. (i) Коцикл $\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1-\omega_{-2}\wedge\omega_2)$ является представителем тройного матричного произведения Масси (ii) Класс, представленный формой $\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1-\omega_{-2}\wedge\omega_2)$, равен Доказательство. Проверим (i). Положим
Тогда $\bar{A}B=-(1/2)(\omega_{-1}\wedge\omega_1+ \omega_{-2}\wedge\omega_2)$ – точная форма, а именно, для $U=-(1/2)\omega_0$ выполнено равенство $\bar{A}B=dU$. Далее, $\overline{B} C=\begin{pmatrix} \hphantom{-}(1/2)\omega_1\wedge\omega_{-2}\wedge\omega_2 \\ -(1/2)\omega_2\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_1 \end{pmatrix}$ – матрица, составленная из точных форм, а именно, для $V=\begin{pmatrix} -(1/2)\omega_1\wedge \omega_0 \\ \hphantom{-}(1/2)\omega_2\wedge \omega_0 \end{pmatrix}$ имеем $dV=\overline{B}C$. Представителем тройного произведения Масси $\langle A,B,C\rangle$ является элемент
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{U} C + \bar{A} {V}&= \frac{1}{2}\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1-\omega_{-2}\wedge\omega_2) -\frac{1}{2}\omega_{-1}\wedge(-\omega_1\wedge\omega_0) \\ &\qquad-\frac{1}{2}\omega_{-2}\wedge(\omega_2\wedge\omega_0)= \omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1-\omega_{-2}\wedge\omega_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требуется.
Проверим пункт (ii):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_{\rm CE}\bigl((e_0)^*\otimes (\omega_{-1}\wedge\omega_1- \omega_{-2}\wedge\omega_2)\bigr)=\omega_0\wedge (\omega_{-1}\wedge\omega_1- \omega_{-2}\wedge\omega_2) \\ &\qquad +(e_1)^*\otimes \omega_{-1}\wedge\omega_{-2}\wedge\omega_2 - (e_2)^*\otimes \omega_{-2}\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_1, \\ &d_{\rm CE}\bigl((e_2e_1)^*\otimes \omega_{-1}\wedge\omega_{-2}\bigr)= (e_2)^*\otimes \omega_1\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_{-2} \\ &\qquad+(e_1)^*\otimes \omega_2\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_{-2}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вычтем из первого соотношения второе и получим нужное равенство из пункта (ii). Утверждение доказано. 8.5. Алгебра Ли $\mathcal{GH}^{7}$Напомним, что дифференциал $d$ в комплексе Шевалле–Эйленберга $\wedge (\mathcal{GH}^{7})^*$ определяется соотношениями
$$
\begin{equation*}
d\omega_{\pm 1}=d\omega_{\pm 2}=d\omega_{\pm 3}=0, \qquad d\omega_0=\omega_{-1}\wedge\omega_{1}+ \omega_{-2}\wedge\omega_2+\omega_{-3}\wedge\omega_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда легко можно получить в явном виде базисные элементы в группах когомологий $H^k(\mathcal{GH}^{7})$. Но вместо этого мы сделаем замечание следующего общего характера. Как мы уже знаем, для $k=1,2,3,5,6,7$ все элементы групп $H^k(\mathcal{GH}^{7})$ принадлежат члену фильтрации $\Phi^1$, в частности, лежат в образе дифференциала $d_1$ спектральной последовательности Бухштабера. Все элементы группы $H^4(\mathcal{GH}^{7})$ принадлежат члену фильтрации $\Phi^2$, в частности, лежат в образе дифференциала $d_2$ спектральной последовательности Бухштабера. В утверждениях 10 и 11 было доказано, что восемь независимых элементов $H^4(\mathcal{GH}^{7})$, представленных коциклами вида $e_0\wedge \omega_{\pm1}\wedge\omega_{\pm 2}\wedge\omega_{\pm 3}$, представляются в виде нетривиальных тройных произведений Масси; также показано явной формулой, что каждый такой элемент принадлежит образу $d_2$. С другой стороны, $b_4=b_3={6\choose 4}-{6\choose 2}=14$, т. е. в $H^4(\mathcal{GH}^{7})$ имеются еще шесть независимых классов градуировки 4. Их легко указать явно (для краткости вместо $\omega_{i_1}\wedge\omega_{i_2}\wedge\cdots$ здесь мы пишем $(i_1,i_2,\ldots)$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(0,-1,1,2)+(0,-3,2,3), \\ &(0,-2,1,2)-(0,-3,1,3), \\ &(0,-2,2,3)-(0,-1,1,3), \\ &(0,-2,-3,3)+(0,-1,-2,1), \\ &(0,-1,-3,3)-(0,-1,-2,2), \\ &(0,-1,-3,1)-(0,-2,-3,2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
Каждый из них лежит в образе дифференциала $d_2$, а также представляется тройным произведением Масси. Мы продемонстрируем это только для элемента $(0,-1,1,2)+(0,-3,2,3)$, оставшиеся пять элементов рассматриваются аналогично. Во-первых, покажем, что этот элемент принадлежит тройному произведению Масси
$$
\begin{equation*}
\left\langle\begin{pmatrix} \omega_{-1} & \omega_{-2} & \omega_{-3} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} (1/2)\omega_1 \\ (1/2)\omega_2 \\ (1/2)\omega_3 \end{pmatrix},\omega_{-1}\wedge\omega_1\wedge\omega_2+ \omega_{-3}\wedge\omega_2\wedge\omega_3\right\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=\begin{pmatrix} \omega_{-1} & \omega_{-2} & \omega_{-3} \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} (1/2)\omega_1 \\ (1/2)\omega_2 \\ (1/2)\omega_3 \end{pmatrix}, \\ C=\omega_{-1}\wedge\omega_1\wedge\omega_2+ \omega_{-3}\wedge\omega_2\wedge\omega_3. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\bar{A}B=-(1/2)(\omega_{-1}\wedge\omega_1+\omega_{-2}\wedge\omega_2+ \omega_{-3}\wedge\omega_3)$ – точная форма, а именно, для $U=-(1/2)\omega_0$ выполнено равенство $\bar{A}B=d U$. Далее,
$$
\begin{equation*}
\overline {B} C=\begin{pmatrix} -(1/2)\omega_1\wedge\omega_{-3}\wedge\omega_2\wedge\omega_3 \\ 0 \\ -(1/2)\omega_3\wedge\omega_{-1}\wedge\omega_{1}\wedge\omega_2 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
– матрица, составленная из точных форм, а именно, для
$$
\begin{equation*}
V=\begin{pmatrix} (1/2)\omega_0\wedge\omega_1\wedge\omega_2 \\ 0 \\ -(1/2)\omega_0\wedge\omega_3\wedge \omega_2 \\ \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
имеем $dV=\overline{B}C$. Представителем тройного произведения Масси $\langle A,B,C\rangle$ является элемент
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{U} C+\bar{A}{V}&= \frac{1}{2}\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1\wedge\omega_2+ \omega_{-3}\wedge\omega_2\wedge\omega_3) \\ &\qquad-\frac{1}{2}\omega_{-1}\wedge\omega_0\wedge\omega_1\wedge\omega_2+ \frac{1}{2}\omega_{-3}\wedge\omega_0\wedge\omega_3\wedge\omega_2 \\ &=\omega_0\wedge(\omega_{-1}\wedge\omega_1\wedge\omega_2- \omega_{-3}\wedge\omega_{2}\wedge\omega_3), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и требовалось. Во-вторых, покажем, что $(0,-1,1,2)+(0,-3,2,3)$ представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_2\bigl((e_0)^*\otimes\bigl((-1,1,2)+(-3,2,3)\bigr)+ (e_1e_3)^*\otimes(-3,-1,2) \\ &\qquad+(e_{-2}e_2)^*\otimes \bigl((-3,2,3)+(-1,1,2)\bigr)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого достаточно вычислить дифференциал Шевалле–Эйленберга от каждого из этих трех слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &d_{\rm CE}\bigl((e_0)^*\otimes\bigl((-1,1,2)+(-3,2,3)\bigr)\bigr) = (0,-1,1,2)+(0,-3,2,3) \\ &\qquad\qquad -(e_2)^*\otimes (-2,-1,1,2)-(e_3)^* \otimes (-3,-1,1,2) \\ &\qquad\qquad -(e_1)^*\otimes (-1,-3,2,3)-(e_2)^*\otimes (-2,-3,2,3); \\ &d_{\rm CE}\bigl((e_1e_3)^*\otimes (-3,-1,2)\bigr) = (e_1)^*\otimes (3,-3,-1,2) + (e_3)^*\otimes (1,-3,-1,2); \\ &d_{\rm CE}\bigl((e_{-2}e_2)^*\otimes ((-3,2,3)+(-1,1,2))\bigr) \\ &\qquad=(e_{-2})^*\otimes \bigl((-2,-3,2,3)+(-2,-1,1,2)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается сложить эти три равенства.
9. Реализация $\operatorname{Bss}$-операций специальными произведениями Масси9.1. Специальные матричные произведения МассиРассмотрим алгебру Хопфа $A$ над кольцом $R$. На двойственной алгебре Хопфа $A_*$ зададим фильтрацию Бухштабера $\{N^k\subset A_*\colon k\geqslant 0\}$, начинающуюся с $N^0=R$ (см. определение 1 и формулу (9)). Далее, говоря о спектральной последовательности $\operatorname{Bss}$, мы имеем в виду $E_r^{*,*,*}$, задаваемую этой фильтрацией. Напомним, что при $r\geqslant 1$ все дифференциалы $d_r\colon E_r^{0,*,*}\to E_r^{-r,*+r-1,*}$ тривиальны, поэтому образы дифференциалов $d_r\colon E_r^{r,*-r+1,*}\to E_r^{0,*,*}$ задают фильтрацию $\Phi^r$ в группах $E_1^{0,-s,t}=\operatorname{Ext}^{s,t}_A(R,R)$ (см. п. 3.3). Напомним ее простейшие свойства: (i) $\Phi^0=R=E^{0,0,0}_\infty$; (ii) $\Phi^r/\Phi^{r-1}\subset\operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)/\Phi^{r-1}$ совпадает с образом дифференциала (iii) $\operatorname{Ext}_A^{q,*}(R,R)/\Phi^{r-1}=E_r^{0,-q,*}$. Следующее утверждение решает задачу реализации $\operatorname{Bss}$-операций нетривиальными матричными произведениями Масси. А именно, пусть для алгебры Хопфа $A$ над полем $\Bbbk$ класс когомологий $x\in \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ имеет точную фильтрацию $k$. По теореме 4 класс $x$ реализуется нетривиальной $\operatorname{Bss}_k$-операцией. Мы покажем, что этот же класс $x$ реализуется нетривиальным произведением Масси. Теорема 21. Пусть $A$ – алгебра Хопфа надо полем $\Bbbk$. Предположим, что класс $x$ таков, что $x\in \Phi^k \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, но $x\notin \Phi^{k-1} \operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Тогда $x$ является представителем нетривиального матричного $(k+1)$-местного произведения Масси вида $\langle a_1,a_2,\dots,a_k,a_{k+1} \rangle$, где матрицы $a_1,a_2,\dots,a_k$ состоят из элементов группы $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, а матрица $a_{k+1}$ состоит из элементов группы $\operatorname{Ext}^{s-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Важное свойство фильтрации $\{\Phi^r\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)\colon r\geqslant 0\}$ состоит в том, что она исчерпывает каждую группу $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, иными словами, любой элемент группы $\operatorname{Ext}^{s,t}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ удовлетворяет условиям теоремы 21. В самом деле, $E_\infty^{*,*,*}$ нулевой, исключая $E_\infty^{0,0,0}=\Bbbk$, а значит, образы дифференциалов $d_r$, $r\geqslant 1$, исчерпывают группы $E_1^{0,-s,t}=\operatorname{Ext}^{s,t}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Введем понятия специального матричного произведения Масси и специального итерированного матричного произведения Масси. Для $s\geqslant 2$ специальным будем называть матричное произведение Масси вида $\langle a_1,a_2,\dots,a_k,y \rangle$, где $a_1,a_2,\dots,a_k$ – матрицы, составленные из элементов группы $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, а $y$ – матрица, составленная из элементов группы $\operatorname{Ext}^{s-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Заметим, что любого $k\geqslant 1$ его представитель принадлежит группе $\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Для $s=2$ специальным итерированным произведением Масси будем называть специальное произведение Масси, у которого $y$ – матрица, составленная из элементов группы $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Для $s>2$ специальным итерированным произведением Масси будем называть специальное произведение Масси, у которого $y$ – матрица, составленная из элементов группы $\operatorname{Ext}^{s-1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$, которые являются представителями специальных итерированных произведений Масси. Как видно, для $s=2$ специальное матричное произведение Масси не содержит итераций. Специальное итерированное произведение Масси будем называть нетривиальным, если все участвующие в нем произведения Масси нетривиальны, т. е. не содержат нуля. Следствие 11. Пусть $A$ – алгебра Хопфа над полем $\Bbbk$. Тогда любой элемент группы когомологий $\operatorname{Ext}^{s,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$ при $s\geqslant 2$ выражается в виде нетривиального специального итерированного матричного произведения Масси от элементов $\operatorname{Ext}^{1,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Напомним, что в $\operatorname{Ext}^{*,*}_{UL_1}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$ умножение тривиально (см. раздел 2), поэтому двуместные произведения Масси не содержат никаких элементов кроме нуля. Кроме того, $\operatorname{Ext}^{1,*}_{UL_1}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$ содержит в точности две образующие $x_{\pm}^1$. Поэтому в качестве приложения теоремы 21 и следствия 11 мы получаем доказательство “матричной” гипотезы Бухштабера: любой класс когомологий из группы $\operatorname{Ext}^{s,*}_{UL_1}(\mathbb{Q},\mathbb{Q})$, где $s\geqslant 2$, представляется в виде нетривиальных специальных итерированных матричных $k$-кратных произведений Масси, $k\geqslant 3$, в которых участвуют только элементы $x_{\pm}^1$. Замечание 9. Как будет видно из доказательства теоремы 21, ключевым служит тот факт, что фильтрация $\{N_p\}$ исчерпывает $A_*$, поэтому теорема 21, остается верной и для любой остаточно нильпотентной алгебры Ли без градуировки, в частности, для любой конечномерной нильпотентной. Для таких алгебр также верна матричная версия гипотезы Бухштабера: любой класс когомологий такой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ выражается в виде итерированных нетривиальных произведений Масси от классов из $H^1(\mathfrak{g})$ (при этом будут использованы и двуместные произведения Масси, если умножение в когомологиях алгебры Ли $\mathfrak{g}$ нетривиально). 9.2. Реализация $\operatorname{Bss}_p$-операцийЗафиксируем следующие обозначения: – комплекс $F^{\small\bullet}(A_*,A_*,\Bbbk)$ (см. п. 3.2) будем обозначать $\widetilde{F}^{\small\bullet}(A_*)$; напомним, что это стягиваемый комплекс; – комплекс $F^{\small\bullet}(\Bbbk,A_*,\Bbbk)$ будем обозначать $F^{\small\bullet}(A_*)$; – элемент $a_0\otimes a_1\otimes \cdots\otimes a_s\in \widetilde{F}^s(A_*)$ будем обозначать $a_0\otimes [\kern-1.5pt[ a_1\otimes \cdots \otimes a_s ]\kern-1.5pt] $; – элемент $a_1\otimes \cdots\otimes a_s\in F^s(A_*)$ будем обозначать $ [\kern-1.5pt[ a_1\otimes \cdots \otimes a_s ]\kern-1.5pt] $; – $F^{\small\bullet}(A_*)$ будем рассматривать как подкомплекс $\widetilde{F}^{\small\bullet}(A_*)$; при таком вложении элементу $ [\kern-1.5pt[ a_1\otimes \cdots \otimes a_s ]\kern-1.5pt] \in F^s(A_*)$ соответствует элемент $1\otimes [\kern-1.5pt[ a_1\otimes \cdots \otimes a_s ]\kern-1.5pt] \in \widetilde{F}^s(A_*)$. Выберем в $A_*$ специальный базис $\{m_{i_p}(p)\}$, согласованный с фильтрацией $\{N_p\}$. В $N_0$ базисный элемент в точности один: $m_1(0)=1\in N_0$. Выберем в $N_1$ однородные элементы $m_{i_1}(1)$, где $1\leqslant i_1\leqslant \dim N_1/N_0$, так, что $\{m_1(0)\}\cup \{m_{i_1}(1)\}$ образуют базис $N_1$. Предположим, что мы выбрали базис $\{m_{i_k}(k)\colon k<p\}$ в $N_{p-1}$. Выберем однородные элементы $m_{i_p}(p)$, где $1\leqslant i_p\leqslant \dim N_{p}/N_{p-1}$, так, что $\{m_{i_k}(k)\colon k<p\} \cup \{m_{i_p}(p)\}$ образуют базис $N_p$. По построению элементы $\{m_{i_p}(p)\}$ при проектировании на фактор $N_p/N_{p-1}$ образуют в нем базис. Элементы объединения $\bigcup\limits_{j=1}^p\{ m_{i_j}(j)\colon 1\leqslant i_j \leqslant \dim N_{j}/N_{j-1}\}$ образуют базис в $N_p/N_0$. В случаях, когда используются элементы этого объединения, используется обозначение $\widehat{m}_k(p)$ так, что
$$
\begin{equation*}
\{\widehat{m}_k(p)\}=\bigcup_{j=1}^p \{ m_{i_j}(j)\colon 1\leqslant i_j \leqslant \dim N_{j}/N_{j-1}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Перед тем как рассматривать случай произвольной фильтрации $n$, разберем случаи $n=1,2,3$. 9.2.1. Случай $p=1$По лемме 4 все элементы $\operatorname{Ext}^{1,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ принадлежат фильтрации $\Phi^1$. По теореме 2 ненулевой элемент $a\in \operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ при $s>1$ лежит в образе дифференциала $d_1\colon N_1/N_0\otimes \operatorname{Ext}^{s-1,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk) \to \operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ в точности тогда, когда он представляется в виде двуместного матричного произведения Масси. 9.2.2. Случай $p=2$Предположим, что $a\in \Phi^2\operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$. Это означает, что его образ в факторе $\operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)/\operatorname{im}d_1$ представляется в виде $d_2$ от какого-то класса $y\in E_2^{2,-s+1,*}$. В комплексе $\widetilde{F}(A_*)$ коцепь $y$ записывается в виде
$$
\begin{equation*}
\sum_\alpha m_\alpha (2)\otimes [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta m_\beta(1) \otimes [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] + 1\otimes [\kern-1.5pt[ z ]\kern-1.5pt] ,
\end{equation*}
\notag
$$
где $ [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] , [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] , [\kern-1.5pt[ z ]\kern-1.5pt] \in F(A_*)$. Итак, с точностью до прибавления элемента вида $d_1\biggl(\,\displaystyle\sum_\beta m_\beta(1) \otimes [\kern-1.5pt[ y'_\beta ]\kern-1.5pt] +1\otimes [\kern-1.5pt[ z' ]\kern-1.5pt] \biggr)$ класс $a$ имеет представителя вида $dy$. Кроме того, слагаемые $d(1\otimes [\kern-1.5pt[ z' ]\kern-1.5pt] )=1\otimes d [\kern-1.5pt[ z ]\kern-1.5pt] $ и $d(1\otimes [\kern-1.5pt[ z' ]\kern-1.5pt] )=1\otimes d [\kern-1.5pt[ z ]\kern-1.5pt] $ можно отбросить, так как они меняют представителя $a$ на кограницы. Итак, поменяв подходящим образом обозначения, мы видим, что класс $a\in \Phi^2\operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ имеет представителя вида $dy$, где
$$
\begin{equation}
y=\sum_\alpha m_\alpha (2)\otimes [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta m_\beta(1) \otimes [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] ,
\end{equation}
\tag{53}
$$
здесь $ [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] , [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] \in F(A_*)$. По определению фильтрации $\{N_p\}$ действие коумножения на базисных элементах $m_\alpha(2)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\Delta m_\alpha(2)=m_\alpha(2)\otimes 1+1\otimes m_\alpha(2)+ \sum_{\beta,\gamma}\theta_\alpha^{\beta\gamma}m_\beta(1)\otimes m_\gamma(1),
\end{equation}
\tag{54}
$$
где $\theta^{\beta\gamma}_\alpha\in\Bbbk$. Выпишем теперь $dy$ в явном виде: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U&=\sum_\alpha [\kern-1.5pt[ m_\alpha(2)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta [\kern-1.5pt[ m_\beta(1)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] , \\ V&=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}(-1)^{|m_\beta(1)|}\theta_\alpha^{\beta\gamma} m_\beta(1)\otimes [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta (-1)^{|m_\beta(1)|}m_\beta(1)\otimes d [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $dy$ принадлежит подкомплексу $F(A_*)\subset \widetilde{F}(A_*)$, то $V=0$, а поскольку $m_\beta(1)$ линейно независимы, то для каждого $\beta$ выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\alpha,\gamma}\theta_\alpha^{\beta\gamma} [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + d [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] =0.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Значит, класс $a\in \Phi^2\operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ представляется коцепью
$$
\begin{equation*}
U=\sum_\alpha [\kern-1.5pt[ m_2(\alpha)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta [\kern-1.5pt[ x_\beta(1)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] .
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 13. (i) Элемент $dy$, где $y\in \widetilde{F}(A_*)$ задан формулой (53), является представителем трехместного матричного произведения Масси в когомологиях комплекса $F(A_*)$, т. е. в $\operatorname{Ext}_A^{*,*}(\Bbbk,\Bbbk)$. (ii) Произведение Масси из п. (i) нетривиально. Замечание 10. Здесь $( \overline{ [\kern-1.5pt[ m_\beta(1) ]\kern-1.5pt] } )$ – вектор-строка, $( [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] ) $ – вектор-столбец и $\biggl(-\displaystyle\sum_\gamma\theta_\alpha^{\beta\gamma} \overline{ [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1) ]\kern-1.5pt] }\biggr)$ – матрица. Доказательство. Утверждение (i) доказывается предъявлением в явном виде матричной определяющей системы из коцепей в $F(A_*)$ для указанного произведения Масси:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} X(1,1)&=(\overline{ [\kern-1.5pt[ m_\beta(1) ]\kern-1.5pt] })&\quad X(1,2)&=(\overline{ [\kern-1.5pt[ m_\alpha(2) ]\kern-1.5pt] }) && \\ &&\quad X(2,2)&=\biggl(-\sum_\gamma \theta_\alpha^{\beta\gamma} \overline{ [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1) ]\kern-1.5pt] }\biggr) &\quad X(2,3)&=( [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] ) \\ &&&&\quad X(3,3)&=( [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] ) \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Одно из соотношений, которым должны удовлетворять элементы определяющей системы, а именно равносильно равенству (54). В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d \overline{ [\kern-1.5pt[ m_\alpha(2) ]\kern-1.5pt] }&=(-1)^{|m_\alpha(2)|+1} d [\kern-1.5pt[ m_\alpha(2) ]\kern-1.5pt] \\ &=(-1)^{|m_\alpha(2)|+1} \sum_{\beta,\gamma} (-1)^{|m_\beta(1)+1|}\theta_\alpha^{\beta\gamma} [\kern-1.5pt[ m_\beta(1) \otimes m_\gamma(1) ]\kern-1.5pt] \\ &=\sum_{\beta,\gamma}(-1)^{|m_\gamma(1)|} \theta_\alpha^{\beta\gamma} [\kern-1.5pt[ m_\beta(1)\otimes m_\gamma(1) ]\kern-1.5pt] \\ &=\sum_\beta\biggl( [\kern-1.5pt[ m_\beta(1) ]\kern-1.5pt] \otimes \biggl(-\sum_\gamma\theta_\alpha^{\beta\gamma} \overline{ [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1) ]\kern-1.5pt] }\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Другое соотношение $d X(2,3)=\overline{X(2,2)}\, X(3,3)$ очевидным образом равносильно равенствам (55). Построенная определяющая система задает коцепь
$$
\begin{equation*}
\overline{X(1,1)} \, X(2,3) + \overline {X(1,2)}\, X(3,3)= \sum_\alpha [\kern-1.5pt[ m_2(\alpha)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta [\kern-1.5pt[ x_\beta(1)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] =U,
\end{equation*}
\notag
$$
которая, как было показано выше, представляет класс $a$.
Теперь докажем (ii). Идея этого доказательства применима и в общем случае. Предположим, что нашлась определяющая система с теми же $X(1,1)$, $X(2,2)$, $X(3,3)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &X(1,1) &\quad &Y(1,2) &\quad &Y(1,3) \\ &&\quad &X(2,2) &\quad &Y(2,3) \\ &&&&\quad &X(3,3) \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
в которой имеется коцепь $Y(1,3)$ такая, что
$$
\begin{equation*}
d Y(1,3)=\overline{X(1,1)}Y(2,3)+\overline{Y(1,2)}X(3,3)\quad\text{в}\ \ F(A_*).
\end{equation*}
\notag
$$
Элемент $Y(1,2)$ является строкой, составленной из коцепей вида
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\displaystyle\sum_{i,p}\lambda_{i,p} [\kern-1.5pt[ m_i(p) ]\kern-1.5pt] \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Соотношение $dY(1,2)=\overline{X(1,1)} X(2,2)$ означает, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{D}\biggl(\,\displaystyle\sum_{i,p}\lambda_{i,p} m_i(p)\biggr)= \displaystyle\sum \theta_{\alpha}^{\beta\gamma}m_\beta(1)\otimes m_\gamma(1).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, по построению определяющей системы $X(i,j)$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\widetilde D(m_\alpha(2))= \displaystyle\sum\theta_{\alpha}^{\beta\gamma}m_\beta(1)\otimes m_\gamma(1).
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 2 (c) отображение $D$ является мономорфизмом, откуда получаем равенство $Y(1,2)=X(1,2)$.
Теперь в качестве коцепи, представляющей класс $a$, вместо $U$ рассмотрим $U - dY(1,3)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U-dY(1,3)&=\overline{X(1,1)}X(2,3)+\overline{X(1,2)}X(3,3)\\ &\quad - (\overline{X(1,1)}Y(2,3) +\overline{Y(1,2)}X(3,3))\\ &=\overline{X(1,1)}(X(2,3)-Y(2,3)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $X(1,1)$ – вектор-строка, составленная из базисных коциклов, то вектор-столбец $X(2,3)-Y(2,3)$ составлен из коциклов. Отсюда следует, что класс, представленный коциклом $U-dY(1,3)$, является элементом фильтрации 1 – в противоречии с предположением, что $a\in \Phi^2$, $a\notin \Phi^1$.
Утверждение доказано. 9.2.3. Случай $p=3$Предположим, что $a\in \Phi^2 \operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$. Как и в предыдущем пункте, можно показать, что у этого класса есть представитель в $F(A_*)$ вида $dy$, где $y\in \widetilde{F}(A_*)$ задается формулой
$$
\begin{equation}
y=\sum_\alpha m_\alpha (3)\otimes [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta m_\beta(2) \otimes [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] + \sum_\gamma m_\gamma(1) \otimes [\kern-1.5pt[ z_\gamma ]\kern-1.5pt] ,
\end{equation}
\tag{56}
$$
здесь $ [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] , [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] , [\kern-1.5pt[ z_\gamma ]\kern-1.5pt] \in F(A_*)$, причем все $x_\alpha$ – коциклы. По определению фильтрации $\{N_p\}$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta m_\beta(2) &=1\otimes m_\beta(2) + m_\beta(2) \otimes 1+ \sum_{\gamma,\gamma'}\theta^{\gamma\gamma'}_\beta m_\gamma(1) \otimes m_{\gamma'}(1), \\ \Delta m_\alpha(3) &= 1\otimes m_\alpha(3) + m_\alpha(3) \otimes 1 + \sum_{\beta,\beta'} \theta_\alpha^{\beta \beta'} m_\beta(2)\otimes m_{\beta'}(1) \\ &\qquad+\sum_{\gamma,\gamma''} \theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} m_\gamma(1)\otimes \widehat{m}_{\gamma''}(2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{57}
$$
Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U&=\sum_\alpha [\kern-1.5pt[ m_\alpha(3)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta [\kern-1.5pt[ m_\beta(2)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] + \sum_\gamma [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1)\otimes z_\gamma ]\kern-1.5pt] , \\ V &=\sum_{\alpha,\beta,\beta'}(-1)^{|m_\beta(2)|}\theta_\alpha^{\beta\beta'} m_\beta(2)\otimes [\kern-1.5pt[ m_{\beta'}(1)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta (-1)^{|m_\beta(2)|} m_\beta(2)\otimes d [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] , \\ W &=\sum_{\alpha,\gamma,\gamma''}(-1)^{|m_\gamma(1)|} \theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} m_\gamma(1)\otimes [\kern-1.5pt[ \widehat{m}_{\gamma''}(2)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] \\ &\qquad+\sum_{\beta,\gamma, \gamma'}(-1)^{|m_\gamma(1)|} \theta^{\gamma \gamma'}_\beta m_\gamma(1)\otimes [\kern-1.5pt[ m_{\gamma'}(1)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] \\ &\qquad+\sum_{\gamma} (-1)^{|m_\gamma(1)|} m_\gamma(1)\otimes d [\kern-1.5pt[ z_\gamma ]\kern-1.5pt] . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $dy$ принадлежит подкомплексу $F(A_*)\subset \widetilde{F}(A_*)$, то $V=0$ и $W=0$, а раз элементы вида $m_\beta(2)$ и $m_\gamma(1)$ линейно независимы, то для каждого $\beta$ и для каждого $\gamma$ выполняются равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\alpha, \beta'} \theta_\alpha^{\beta\beta'} [\kern-1.5pt[ m_{\beta'}(1)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + d [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] &=0, \\ \sum_{\alpha,\gamma''}\theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} [\kern-1.5pt[ \widehat{m}_{\gamma''}(2)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_{\beta, \gamma'} \theta^{\gamma \gamma'}_\beta [\kern-1.5pt[ m_{\gamma'}(1)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] + d [\kern-1.5pt[ z_\gamma ]\kern-1.5pt] &=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
Значит, класс $a\in \Phi^2 \operatorname{Ext}^{s,*}_{A}(\Bbbk,\Bbbk)$ представляется коцепью
$$
\begin{equation*}
U=\sum_\alpha [\kern-1.5pt[ m_\alpha(3)\otimes x_\alpha ]\kern-1.5pt] + \sum_\beta [\kern-1.5pt[ m_\beta(2)\otimes y_\beta ]\kern-1.5pt] + \sum_\gamma [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1)\otimes z_\gamma ]\kern-1.5pt] .
\end{equation*}
\notag
$$
Утверждение 14. (i) Элемент $dy$, где $y\in \widetilde{F}(A_*)$ задан формулой (56), является представителем четырехместного матричного произведения Масси (ii) Произведение Масси из п. (i) нетривиально. Доказательство. Утверждение (i) доказывается предъявлением в явном виде матричной определяющей системы из коцепей в $F(A_*)$ для указанного произведения Масси:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X(1,1)=(\overline{ [\kern-1.5pt[ m_\gamma(1) ]\kern-1.5pt] }),\qquad X(1,2)=(\overline{ [\kern-1.5pt[ m_\beta(2) ]\kern-1.5pt] }),\qquad X(1,3)=(\overline{ [\kern-1.5pt[ m_\alpha(3) ]\kern-1.5pt] }); \\ X(2,2)=\biggl(-\sum_\gamma \theta_\beta^{\gamma\gamma'} \overline{ [\kern-1.5pt[ m_{\gamma'}(1) ]\kern-1.5pt] }\biggr),\qquad X(2,3)=\biggl(-\sum_{\gamma''}\theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} \overline{ [\kern-1.5pt[ \widehat{m}_{\gamma''}(2) ]\kern-1.5pt] }\biggr),\\ X(2,4)=( [\kern-1.5pt[ z_\gamma ]\kern-1.5pt] ); \\ X(3,3)=\biggl(-\sum_{\beta'}\theta_\alpha^{\beta\beta'} \overline{ [\kern-1.5pt[ m_{\beta'}(1) ]\kern-1.5pt] }\biggr),\qquad X(3,4)=( [\kern-1.5pt[ y_\beta ]\kern-1.5pt] );\qquad \\ X(4,4)=( [\kern-1.5pt[ x_\alpha ]\kern-1.5pt] ). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Два из соотношений, которым должны удовлетворять элементы определяющей системы, а именно
$$
\begin{equation*}
d X(1,2)=\overline{X(1,1)}\, X(2,2)\quad\text{и}\quad d X(1,3)=\overline{X(1,1)}\, X(2,3)+ \overline{X(1,2)}\, X(3,3),
\end{equation*}
\notag
$$
следуют из формул (57).
Два оставшихся соотношения
$$
\begin{equation*}
d X(2,4)=\overline{X(2,2) }\, X(3,4) + \overline{X(2,3) }\, X(4,4) \quad\text{и}\quad d X(3,4)=\overline{X(3,3) }\, X(4,4)
\end{equation*}
\notag
$$
очевидным образом равносильны равенствам (58).
Наибольшую трудность представляет соотношение $dX(2,3)=\overline{X(2,2) }\, X(3,3)$ (соотношение такого типа не возникало для элементов фильтраций 1 и 2). Мы выведем его из формулы (57) и коассоциативности $\Delta$. В выражении для
$$
\begin{equation*}
d X(2,3)=\biggl(-\sum_{\gamma''} \theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} d\overline{ [\kern-1.5pt[ \widehat{m}_{\gamma''}(2) ]\kern-1.5pt] }\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при вычислении $d [\kern-1.5pt[ \widehat{m}_{\gamma''}(2) ]\kern-1.5pt] $ можно отбросить слагаемые $ [\kern-1.5pt[ {m}_{\gamma''}(1) ]\kern-1.5pt] $ фильтрации 1, поскольку они все лежат в ядре $d$, и оставить только элементы $ [\kern-1.5pt[ {m}_{\gamma''}(2) ]\kern-1.5pt] $ фильтрации 2. Итак,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, dX(2,3)&=\biggl(-\sum_{\gamma''}\theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} d\overline{ [\kern-1.5pt[ {m}_{\gamma''}(2) ]\kern-1.5pt] }\biggr) \\ &=\biggl(\,\sum_{\gamma'',\gamma',\beta'}(-1)^{|m_{\beta'(1)}|+1} \theta^{\gamma\gamma''}_\alpha\theta_{\gamma''}^{\gamma'\beta'} [\kern-1.5pt[ m_{\gamma'}(1)\otimes m_{\beta'}(1) ]\kern-1.5pt] \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\overline{X(2,2)}\, X(3,3)=\biggl(\,\sum_{\gamma',\beta, \beta'} \theta_\beta^{\gamma\gamma'}\theta_\alpha^{\beta\beta'} (-1)^{|m_{\beta'}(1)|+1} [\kern-1.5pt[ m_{\gamma'}(1) \otimes m_{\beta'}(1) ]\kern-1.5pt] \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Нам остается проверить, что
$$
\begin{equation}
\sum_{\gamma''} \theta^{\gamma\gamma''}_\alpha \theta_{\gamma''}^{\gamma'\beta'}=\sum_\beta\theta_\beta^{\gamma\gamma'} \theta_\alpha^{\beta\beta'}.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Воспользуемся коассоциативностью $\Delta$ и вычислим коэффициент при $m_\gamma(1)\otimes m_{\gamma'}(1)\otimes m_{\beta'(1)}$ в
$$
\begin{equation}
(\Delta\otimes 1)\circ \Delta m_\alpha(3)=(1\otimes \Delta)\circ \Delta m_\alpha(3).
\end{equation}
\tag{60}
$$
Напомним, что
$$
\begin{equation}
\Delta m_\alpha(3)=1\otimes m_\alpha(3) + m_\alpha(3) \otimes 1+ \sum_{\beta,\beta'} \theta_\alpha^{\beta \beta'} m_\beta(2)\otimes m_{\beta'}(1)+\sum_{\gamma,\gamma''} \theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} m_\gamma(1)\otimes \widehat{m}_{\gamma''}(2).
\end{equation}
\tag{61}
$$
Легко видеть, что вклад в нужный коэффициент в выражении для $(\Delta\otimes 1)\circ \Delta m_\alpha(3)$ дает только предпоследнее слагаемое в правой части формулы (61):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (\Delta\otimes 1)\circ \Delta m_\alpha(3)&=\cdots+ \sum_{\beta,\beta'} \theta_\alpha^{\beta \beta'} \Delta(m_\beta(2)) \otimes m_{\beta'}(1) \\ &=\cdots + \sum_{\beta,\beta',\gamma,\gamma'} \theta_\alpha^{\beta \beta'}\theta_\beta^{\gamma\gamma'} m_\gamma(1) \otimes m_{\gamma'}(1)\otimes m_{\beta'}(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{62}
$$
Здесь многоточие обозначает несущественные для нас элементы. С другой стороны, вклад в нужный коэффициент в выражении для $(1\otimes \Delta)\circ \Delta m_\alpha(3)$ дает только последнее слагаемое формулы (61):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (1\otimes \Delta)\circ \Delta m_\alpha(3)&=\cdots + \sum_{\gamma,\gamma''} \theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} m_\gamma(1) \otimes \Delta\widehat{m}_{\gamma''}(2) \\ \notag &=\cdots+\sum_{\gamma,\gamma''} \theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} m_\gamma(1) \otimes \Delta m_{\gamma''}(2) \\ &=\cdots+\sum_{\beta',\gamma,\gamma',\gamma''}\theta_\alpha^{\gamma,\gamma''} \theta_{\gamma''}^{\gamma'\beta'} m_\gamma(1)\otimes m_{\gamma'}(1)\otimes m_{\beta'}(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{63}
$$
Приравнивая в (62) и в (63) коэффициенты при $m_\gamma(1)\otimes m_{\gamma'}(1)\otimes m_{\beta'}(1)$, получаем нужное нам равенство (59).
Часть (ii) доказывается так же, как и для элементов фильтрации $\Phi^2$, поэтому в этом случае доказательство мы не приводим. Утверждение доказано. 9.2.4. Случай $p>3$Доказательство в случае общего $k$ аналогично случаям $k=2$ и $k=3$. Все идеи и тонкости общего случая были показаны для $k=2,3$. Итак, пусть $a\in \Phi^k\operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. Тогда в комплексе $\widetilde F(A_*)$ найдется элемент
$$
\begin{equation}
y=\sum_{j=1}^k\,\sum_{\alpha_j} m_{\alpha_j}(j)\otimes [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_j}(j) ]\kern-1.5pt]
\end{equation}
\tag{64}
$$
такой, что $dy$ является представителем класса $a$ в комплексе $F(A_*)$. Здесь $m_{\alpha_j}(j)$ – элементы базиса $A_*$, построенного выше, индекс $\alpha_j$ пробегает некоторое подмножество индексов из $\{1,\dots,\dim N_j/N_{j-1}\}$, а $x_{\alpha_j}(j)$ – некоторые коцепи из $F(A_*)$. Поскольку $dy$ принадлежит подкомплексу $F(A_*)\subset \widetilde F(A_*)$, все элементы $x_{\alpha_k}(k)$ являются коциклами в $F(A_*)$. Разложение $\Delta m_{\alpha_j}(j)$ по выбранному базису имеет вид
$$
\begin{equation}
\Delta m_{\alpha_j}(j)=1\otimes m_{\alpha_j}(j)+m_{\alpha_j}(j)\otimes 1+ \sum_{t=1}^{j-1}\,\sum_{\alpha_t ,\alpha_{j,t}} \theta^{\alpha_t \alpha_{j,t}}_{\alpha_j} m_{\alpha_t}(t)\otimes \widehat{m}_{\alpha_{j,t}}(j-t).
\end{equation}
\tag{65}
$$
Отметим, что группа слагаемых для $t=j-1$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sum_{\alpha_{j-1},\alpha_{j,j-1}} \theta^{\alpha_{j-1},\alpha_{j,j-1}}_{\alpha_j} m_{\alpha_t}(j-1)\otimes m_{\alpha_{j,t}}(1),
\end{equation*}
\notag
$$
здесь второй сомножитель тензорного произведения имеет точную фильтрацию $1$, поэтому вместо $\widehat m_{\alpha_{j,t}}(1)$ можно писать $m_{\alpha_{j,t}}(1)$. Теперь определим матрицы $X(i,j)$, состоящие из коцепей комплекса $F(A_*)$, здесь $1\leqslant i\leqslant j \leqslant k+1$, $(i,j)\ne (1,k+1)$. Положим
$$
\begin{equation}
X(1,j) =(\overline{ [\kern-1.5pt[ m_{\alpha_j}(j) ]\kern-1.5pt] }) \quad\text{(вектор-строка)},
\end{equation}
\tag{66}
$$
$$
\begin{equation}
X(i+1,k+1) =( [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_i}(i) ]\kern-1.5pt] )\quad \text{(вектор-столбец)},
\end{equation}
\tag{67}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber X(t+1,j) =\biggl(-\sum_{\alpha_{j,t}}\theta^{\alpha_t\alpha_{j,t}}_{\alpha_j} \overline{ [\kern-1.5pt[ \widehat m_{\alpha_{j,t}}(j-t) ]\kern-1.5pt] }\biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\text{для}\ \ 1< t+1 \leqslant j<k+1\quad\text{(матрица)}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Легко проверить, что диагональные элементы имеют вид
$$
\begin{equation*}
X(j,j)=\biggl(\,\sum_{\alpha_{j,j-1}}-\theta^{\alpha_{j-1}, \alpha_{j,j-1}}_{\alpha_j} \overline{ [\kern-1.5pt[ m_{\alpha_{j,t}}(1) ]\kern-1.5pt] }\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и состоят из коциклов, поскольку для любого $\alpha$ выполнено $d [\kern-1.5pt[ m_{\alpha}(1) ]\kern-1.5pt] = 0$. Утверждение 15. (i) Построенные матрицы $X(i,j)$, $1\leqslant i\leqslant j\leqslant k+1$, $(i,j)\ne (1,k+1)$, образуют матричную определяющую систему. (ii) Матричное произведение Масси $\langle X(1,1),X(2,2),\dots,X(k+1,k+1)\rangle$ содержит класс $a\in \operatorname{Ext}^{*,*}_A(\Bbbk,\Bbbk)$. (iii) Матричное произведение Масси $\langle X(1,1),X(2,2),\dots,X(k+1,k+1)\rangle$ нетривиально, т. е. не содержит нулевой класс когомологий. Доказательство. Проверим (i). Для этого рассмотрим три случая.
Случай 1. Соотношение $d X(1,j)= \displaystyle\sum_{t=1}^{j-1}\overline{X(1,t)} \, X(t+1,j)$ немедленно следует из равенства (65) с учетом формул (66) и (68), которые определяют $X(1,t)$ и $X(t+1,j)$ для $1<t+1\leqslant j\leqslant k$. Случай 2. Соотношение $d X(i,k+1)= \displaystyle\sum_{t=i}^{k} \overline {X(i,t)}\, X(t+1,k+1)$ выполняется по другим причинам. Рассмотрим $y$, заданный формулой (64). Тогда $dy$ можно представить в виде суммы $U+U_1+U_2+\cdots+ U_{k-1}$, где
$$
\begin{equation}
U=\sum_{j,\alpha_j} [\kern-1.5pt[ m_{\alpha_j}(j)\otimes x_{\alpha_j}(j) ]\kern-1.5pt]
\end{equation}
\tag{69}
$$
и
$$
\begin{equation}
\nonumber U_{k-1} =\sum_{\alpha_{k-1}}(-1)^{|m_{\alpha_{k-1}}(k-1)|} m_{\alpha_{k-1}}(k-1)\otimes \biggl(d [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_{k-1}}(k-1) ]\kern-1.5pt]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\sum_{\alpha_k, \alpha_{k,k-1}} \theta_{\alpha_k}^{\alpha_{k-1}, \alpha_{k,k-1}} [\kern-1.5pt[ m_{\alpha_{k,k-1}}(1)\otimes x_{\alpha_k}(k) ]\kern-1.5pt] \biggr),
\end{equation}
\tag{70}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber U_{k-2} =\sum_{\alpha_{k-2}}(-1)^{|m_{\alpha_{k-2}}(k-2)|} m_{\alpha_{k-2}}(k-2)\otimes \biggl(d [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_{k-2}}(k-2) ]\kern-1.5pt]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad + \sum_{\alpha_{k-1}, \alpha_{k-1,k-2}} \theta_{\alpha_{k-1}}^{\alpha_{k-2},\alpha_{k-1,k-2}} [\kern-1.5pt[ m_{\alpha_{k-1,k-2}}(1)\otimes x_{\alpha_{k-1}}(k-1) ]\kern-1.5pt]
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\sum_{\alpha_{k}, \alpha_{k,k-2}} \theta_{\alpha_{k}}^{\alpha_{k-2},\alpha_{k,k-2}} [\kern-1.5pt[ \widehat{m}_{\alpha_{k,k-2}}(2)\otimes x_{\alpha_{k}}(k) ]\kern-1.5pt] \biggr),
\end{equation}
\tag{71}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber U_1= \sum_{\alpha_{1}}(-1)^{|m_{\alpha_{1}}(1)|} m_{\alpha_{1}}(1)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\otimes\biggl( d [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_{1}}(1) ]\kern-1.5pt] +\sum_{t=2}^k\, \sum_{\alpha_t,\alpha_{t,1}} \theta_{\alpha_t}^{\alpha_1,\alpha_{t,1}} [\kern-1.5pt[ \widehat m_{\alpha_{t,1}}(t-1)\otimes x_{\alpha_t}(1) ]\kern-1.5pt] \biggr)
\end{equation}
\tag{72}
$$
или, в общем виде,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag U_s&=\sum_{\alpha_{s}}(-1)^{|m_{\alpha_{s}}(s)|}m_{\alpha_{s}}(s)\otimes \biggl( d [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_{s}}(s) ]\kern-1.5pt] \\ &\qquad+\sum_{t=s+1}^k\, \sum_{\alpha_t,\alpha_{t,s}}\theta_{\alpha_t}^{\alpha_s,\alpha_{t,s}} [\kern-1.5pt[ \widehat m_{\alpha_{t,s}}(t-s)\otimes x_{\alpha_t}(s) ]\kern-1.5pt] \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{73}
$$
Поскольку $dy$ принадлежит подкомплексу $F(A_*)\subset\widetilde F(A_*)$, все элементы $U_1,\dots,U_{k-1}$ нулевые. Тогда из линейной независимости элементов вида $m_{\alpha_{s}}(s)$ получаем, что для всех $s$, $\alpha_s$ выполнены соотношения
$$
\begin{equation*}
d [\kern-1.5pt[ x_{\alpha_{s}}(s) ]\kern-1.5pt] +\sum_{t=s+1}^k\, \sum_{\alpha_t,\alpha_{t,s}}\theta_{\alpha_t}^{\alpha_s,\alpha_{t,s}} [\kern-1.5pt[ \widehat m_{\alpha_{t,s}}(t-s)\otimes x_{\alpha_t}(s) ]\kern-1.5pt] =0,
\end{equation*}
\notag
$$
из которых и следуют равенства
$$
\begin{equation*}
dX(s+1,k+1)=\sum_{t=s+1}^{k}\overline{X(s+1,t)} X(t+1,k+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Случай 3. Соотношения для $dX(i,j)$ при $i>1$ и $j<k+1$ выводятся из формулы (68) и ассоциативности коумножения; соответствующее рассуждение буквально повторяет доказательство соотношения для $dX(2,3)$ из утверждения 14. Для доказательства (ii) вспомним, что выше мы доказали равенство $dy= U$, где коцепь $U\in F(A_*)$ задана формулой (69). С другой стороны, легко видеть, что коцикл $\displaystyle\sum_{t=1}^k\overline{X(1,t)}\, X(t+1,k+1)$, представляющий рассматриваемое произведение Масси, в точности совпадает с $U$. Наконец, докажем (iii). Будем рассуждать от противного: предположим, что существует определяющая система $Y(i,j)$, для которой $Y(i,i)=X(i,i)$ при всех $i=1,\dots,k+1$, такая, что коцикл $\displaystyle\sum_{t=1}^k \overline{Y(1,t)}\, Y(t+1,k+1)$ является кограницей некоторого элемента, который мы обозначим $Y(1,k+1)$. Докажем по индукции, что для всех $t$ элемент $Y(1,t)$ отличается от $X(1,t)$ на слагаемые вида $\delta(1,t)=\biggl(\,\displaystyle\sum_{i;\,p<t}c_{\mu,i,p}m_i(p)\biggr)$, т. е. на слагаемые фильтрации, строго меньшей $t$. Для $Y(1,1)= X(1,1)$ это утверждение, очевидно, верно. По индукции рассмотрим вектор-строку $Y(1,t+1)$ – она составлена из элементов вида $\displaystyle\sum_{i;\,p<t}c_{\mu,i,p}m_i(p)$, где $\mu$ – номер элемента в строке и априори нет ограничений на $p$. Из определяющего соотношения и предположения индукции имеем
$$
\begin{equation*}
d(Y(1,t+1))=\sum_{s=1}^{t}\overline{Y(1,s)}\,Y(s+1,t+1)= \sum_{s=1}^{t}\overline{(X(1,s)+\delta(1,s))}\,Y(s+1,t+1).
\end{equation*}
\notag
$$
В разложении правой части по естественному базису $F(A_*)$, который составлен из тензорных произведений элементов $m_i(j)$, слагаемые, которые начинаются с $m_{\alpha_p}(p)$, для $p>t$ отсутствуют, а слагаемые, начинающиеся с $m_{\alpha_t}(t)$, происходят из $X(1,t)X(t+1,t+1)$, а значит, в точности имеют вид
$$
\begin{equation*}
\sum_{\alpha_t,\alpha_{t+1,t}}\theta_{\alpha_{t+1}}^{\alpha_t,\alpha_{t+1,t}} m_{\alpha_t}(t)\otimes m_{\alpha_{t+1,t}}=\widetilde D(m_{\alpha_{t+1}}(t+1)).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\widetilde D$ является вложением, то элементов фильтрации большей, чем $t+1$, в $Y(1,t+1)$ нет, а элементы фильтрации $t$ входят с теми же коэффициентами, что и в $X(1,t+1)$.
Итак, $d Y(1,k+1)=\overline{X(1,k)}\,X(k+1,k+1)+T$, где через $T$ обозначены элементы фильтрации, меньшей $k$. Отсюда получаем, что класс когомологий $a$ имеет представителя $U-d Y(1,k+1)$ фильтрации меньшей, чем $k$, что противоречит предположению, что класс $a$ имеет точную фильтрацию $k$. Утверждение доказано. Авторы выражают благодарность профессору И. К. Бабенко за обсуждения и замечания, которые позволили улучшить изложение.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucPop24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|