В. Д. Седых, “О примыкании особенностей типа $D$ фронта”, УМН, 79:3(477) (2024), 183–184; Russian Math. Surveys, 79:3 (2024), 550

Мы изучаем примыкания особенностей фронта собственного лежандрова отображения общего положения с простыми устойчивыми особенностями. Все необходимые определения и факты из теории лежандровых особенностей см. в [1], [4], [5].

По теореме Арнольда о лежандровых особенностях простые устойчивые ростки лежандровых отображений нумеруются символами $A_{\mu}$ ($\mu=1,2,\dots$), $D_{\mu}^\pm$ ($\mu=4,5,\dots$), $E_6$, $E_7$, $E_8$ с точностью до лежандровой эквивалентности. Если $\mu$ нечетное, то ростки типов $D_{\mu}^{+}$ и $D_{\mu}^{-}$ лежандрово эквивалентны. Их типы обозначаются через $D_{\mu}$.

Рассмотрим неупорядоченный набор символов, являющихся типами ростков лежандрова отображения $f\colon L\to V$ общего положения в прообразах точки $y\in V$. Формальное коммутативное произведение $\mathcal{A}$ этих символов называется типом мультиособенности отображения $f$ в точке $y$ (или типом моноособенности, если $y$ имеет только один прообраз). Если $f^{-1}(y)=\varnothing$, то $\mathcal{A}=\mathbf{1}$. Множество $\mathcal{A}_f$ точек из $V$, в которых $f$ имеет мультиособенность типа $\mathcal{A}$, является гладким подмногообразием в пространстве $V$.

Предположим, что $f$ имеет мультиособенность типа $\mathcal{B}$ в точке $y$, принадлежащей замыканию многообразия $\mathcal{A}_f$. Из работы Э. Лойенги [2] следует, что $y$ имеет окрестность $O(y)\subset V$ такую, что ее пересечение с любой связной компонентой многообразия $\mathcal{A}_f$, замыкание которой содержит $y$, стягиваемо. Число связных компонент пересечения $O(y)\cap\mathcal{A}_f$ зависит только от $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$, обозначается через $J_{\mathcal A}(\mathcal{B})$ и называется индексом примыкания мультиособенности типа $\mathcal{B}$ к мультиособенности типа $\mathcal{A}$. Индекс $J_{\bf 1}(\mathcal{B})$ равен количеству связных компонент дополнения к фронту отображения $f$ в $O(y)$.

Индексы примыкания мультиособенностей вычисляются через индексы примыкания моноособенностей (см. [3; предложение 2.5]). Индексы примыкания моноособенностей типов $A_\mu$ вычисляются по формуле [3; теорема 2.6]. Индексы всех примыканий моноособенностей типов $D_\mu^\pm$ и $E_\mu$ при $\mu\leqslant 6$ были перечислены в [3; теоремы 2.8 и 2.9]. В. А. Васильев [6] вычислил индексы $J_{\bf 1}(D_\mu^\pm)$ и $J_{\bf 1}(E_\mu)$ для остальных $\mu$.

В этой статье мы вычисляем индексы примыкания моноособенностей типов $D_\mu^\pm$ к мультиособенностям типов $D_\nu^\pm A_{\mu_1}^{k_1}\dots A_{\mu_p}^{k_p}$. Пусть

Предположим, что $m=2$, $\delta=\pm1$ и $S=t_1^2t_2+\delta t_2^{\mu-1}+ q_{\mu-1}t_2^{\mu-2}+\cdots+q_3t_2^2$, $\mu\geqslant4$. Тогда $f$ имеет особенность типа $D_\mu^\delta$ в нуле ($D_\mu^+$, если $\delta=+1$, и $D_\mu^-$, если $\delta=-1$). Пусть

Из леммы следует, что лежандровы моноособенности типов $D_\mu^\pm$ примыкают только к мультиособенностям типов $D_\nu^\pm A_{\mu_1}^{k_1}\dots A_{\mu_p}^{k_p}$ и $A_{\mu_1}^{k_1}\dots A_{\mu_p}^{k_p}$.

Теорема. Пусть $\mu>\nu\geqslant4$ целые и $\mathcal{A}=A_{\alpha_1}^{i_1}\dots A_{\alpha_k}^{i_k}A_{\beta_1}^{j_1}\dots A_{\beta_l}^{j_l}$, где $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ – попарно различные четные числа, а $\beta_1,\dots,\beta_l$ – попарно различные нечетные числа. Тогда число $J_{D_\nu^{\pm\delta}\mathcal{A}}(D_\mu^\delta)$ равно

$$ \begin{equation*} \sum_{\substack{0\leqslant i_0\leqslant N\\ i_0\equiv N\, (\mathrm{mod}\, 2)}} \frac{(1+i_0+i_1+\dots+i_k+j_1+\dots+j_l)!} {(1+i_0+i_1+\dots+i_k)\,i_0!\,i_1!\dots i_k!\,j_1!\cdots j_l!} \biggl[\frac{3\pm1+2(i_0+i_1+\cdots+i_k)}{4}\biggr], \end{equation*} \notag $$

где $N=\mu-\nu-\sum_{p=1}^ki_p(\alpha_p+1)-\sum_{r=1}^lj_r(\beta_r+1)$ и $[\,\cdot\,]$ – целая часть числа. Если $\nu$ нечетное, то

$$ \begin{equation*} J_{D_\nu\mathcal{A}}(D_\mu^\delta)= \sum_{\substack{0\leqslant i_0\leqslant N\\ i_0\equiv N\,(\mathrm{mod}\, 2)}} \frac{(1+i_0+i_1+\cdots+i_k+j_1+\cdots+j_l)!} {i_0!\,i_1!\cdots i_k!\,j_1!\cdots j_l!}\,. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. По лемме отображение $f$ имеет мультиособенность типа $D_\nu^{\pm\delta}\mathcal{A}$ в точке $y=(x_1,x_2,q_3,\dots,q_{n-1},u)$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:

1) $x_1=x_2=q_3=\cdots=q_{\nu-1}=u=0$, $\pm q_\nu/\delta>0$;

2) если $(t_1,t_2,q_3,\dots,q_{n-1})$ – прообраз точки $y$ при отображении $f$, где $t_1^2+t_2^2\ne0$, то $t_1=0$, а $t_2$ – кратный вещественный корень многочлена

$$ \begin{equation} t_2^{\mu-\nu}+\frac{q_{\mu-1}}{\delta}\,t_2^{\mu-\nu-1}+ \cdots+\frac{q_\nu}{\delta}\,; \end{equation} \tag{1} $$

3) многочлен (1) имеет $m_1=i_1+\cdots+i_k$ геометрически различных вещественных корней с нечетной кратностью, большей $1$, и $m_2=j_1+\cdots+j_l$ геометрически различных вещественных корней с четной кратностью; а именно, он имеет $i_p$ вещественных корней с нечетной кратностью $\alpha_p+1$ для каждого $p=1,\dots,k$ и $j_r$ вещественных корней с четной кратностью $\beta_r+1$ для каждого $r=1,\dots,l$.

Пусть $i_0$ – число простых вещественных корней многочлена (1). Тогда $0\leqslant i_0\leqslant N$ и $i_0\equiv N$ ($\text{mod } 2)$. Число расположений всех вещественных корней с нечетной кратностью на оси $t_2$ равно $C_1=(i_0+m_1)!/(i_0!\,i_1!\cdots i_k!)$. Расположение нуля на этой оси можно выбрать $C_2=[(\varepsilon+i_0+m_1)/2]$ способами, где $\varepsilon=1$, если $q_\nu/\delta<0$, и $\varepsilon=2$, если $q_\nu/\delta>0$. Теперь число возможных расположений вещественных корней с четной кратностью на оси $t_2$ равно $C_3=(1+i_0+m_1+m_2)!/((1+i_0+m_1)!\,j_1!\dots j_l!)$.

Произведение чисел $C_1$, $C_2$ и $C_3$ равно числу расположений всех вещественных корней многочлена (1). Число $J_{D_\nu^{\pm\delta}\mathcal{A}}(D_\mu^\delta)$ равно сумме этих произведений по всевозможным $i_0$. Если $\nu$ нечетное, то $J_{D_\nu\mathcal{A}}(D_\mu^\delta)= J_{D_\nu^{\delta}\mathcal{A}}(D_\mu^\delta)+ J_{D_\nu^{-\delta}\mathcal{A}}(D_\mu^\delta)$. Теорема доказана.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Sed24}

\by В.~Д.~Седых

\paper О примыкании особенностей типа~$D$ фронта

\jour УМН

\yr 2024

\vol 79

\issue 3(477)

\pages 183--184

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10174}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10174}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4801218}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:07945468}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024RuMaS..79..550S}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2024

\vol 79

\issue 3

\pages 550--552

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10174e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001347820700006}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85208990289}

Список литературы