| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Критерии М. Я. Мазаловab, П. В. Парамоновcb, К. Ю. Федоровскийcbd a Филиал ФГБОУ ВО "НИИ "МЭИ" в г. Смоленске b Санкт-Петербургский государственный университет c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет d Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10177e 
Реферативные базы данных:
    1. Введение и постановки аппроксимационных задачВ работе исследуются необходимые и достаточные условия приближаемости функций решениями однородных эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами. Аппроксимации осуществляются на компактных множествах в пространствах $\mathbb R^N$ при $N\geqslant2$ в нормах пространств $C^m$ при $m\in[0,2)$. Критерии аппроксимации в этих задачах формулируются в терминах $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-$\mathcal L$- и $C^m$-$\mathcal L$-емкостей – аналитических характеристик множеств в $\mathbb R^N$, связанных с дифференциальными операторами $\mathcal L$, задающими уравнения, решениями которых осуществляется аппроксимация. Для этих емкостей при всех указанных значениях $m$ дается полное описание в метрических и/или интегрально-геометрических терминах. Заметим, что случай $m\geqslant2$ хорошо известен и подробно изучен ранее в работах А. Г. О’Фаррелла (1979 г.) и Д. Вердеры (1987 г.), критерии приближаемости в этом случае формулируются в несколько иных терминах, но соответствующие результаты также приводятся ниже для полноты изложения. Указанные задачи восходят к классическим вопросам аппроксимации для голоморфных и гармонических функций, которые интересовали еще классиков комплексного анализа и теории приближений на протяжении всего двадцатого столетия. История вопроса до 2012 г. подробно изложена в нашей работе [1]. Некоторые классические результаты приведены и в этом обзоре для полноты изложения, для удобства читателя, а также для того, чтобы показать эволюцию идей, методов и приемов при переходе от аппроксимации голоморфными и гармоническими функциями к аппроксимации решениями более общих эллиптических уравнений и систем. За последние 12 лет авторами обзора и их соавторами установлены емкостные критерии типа Витушкина для $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в $\mathbb R^N$ во всех размерностях $N\in\{2,3,\dots\}$ и для всех параметров гладкости $m\in[0,2)$. Эти критерии даются в индивидуальной форме. Из них непосредственно вытекают соответствующие критерии для классов функций, установленные ранее Д. Вердерой, Д. Матеу, Д. Оробичем и Ю. Нетрусовым (1996 г., за исключением случаев $m=0$ и $m=1$). Вторым существенным продвижением за это время было получение интегрально-геометрического описания всех используемых в указанных критериях емкостей при $m=0$ (М. Я. Мазалов, 2024 г.) и $m=1$ (К. Толса, 2021 г.). В частности, установлена их субаддитивность. При $m\in(0,1)\cup(1,2)$ емкости описаны ранее Вердерой (1987 г.) в терминах соответствующих обхватов по Хаусдорфу. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L(\boldsymbol{x})=\sum_{n_1,n_2=1}^N c_{n_1n_2}x_{n_1}x_{n_2}, \\ \boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)\in\mathbb R^N,\qquad N\in\{2,3,\dots\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– произвольная квадратичная форма с постоянными комплексными коэффициентами $c_{n_1n_2}=c_{n_2n_1}$, удовлетворяющая условию эллиптичности:
$$
\begin{equation*}
L(\boldsymbol{x})\ne 0\quad \text{при}\ \ \boldsymbol{x}\ne0.
\end{equation*}
\notag
$$
С формой $L(\boldsymbol{x})$ ассоциируется эллиптический оператор второго порядка
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=\sum_{n_1,n_2=1}^Nc_{n_1n_2} \frac{\partial^2}{\partial x_{n_1}\,\partial x_{n_2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Примеры: лапласиан $\mathcal L=\Delta$ в $\mathbb R^N$ и оператор Бицадзе $\mathcal L=\overline\partial{}^2\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial\overline{z}^2}$ в $\mathbb R^2$, где $z=x_1+ix_2 \in {\mathbb C}$ – комплексная переменная. Всюду в дальнейшем, если иное не оговорено специально, символ $\mathcal L$ будет обозначать произвольный оператор рассматриваемого вида. Для открытого множества $D$ в $\mathbb R^N$ пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_{\mathcal L}(D)=\{f\in C^2(D)\colon\mathcal Lf(\boldsymbol{x})=0\ \forall\,\boldsymbol{x}\in D\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции указанного класса назовем $\mathcal L$-аналитическими в $D$ (по лемме Вейля $\mathcal A_{\mathcal L}(D)\subset C^{\infty}(D)$). В этом обзоре мы формулируем и обсуждаем емкостные критерии типа Витушкина для $C^m$-приближаемости функций $\mathcal L$-аналитическими функциями на компактах в $\mathbb R^N $, где $N\in\{2,3,\dots\}$ и $m\geqslant0$. Изучены все случаи. Все возникающие емкости описаны в метрических (а при $m=1$ в интегрально-геометрических) терминах. Основное внимание уделяется как нашим результатам, так и результатам наших соавторов, полученным за последние 12 лет. При $s\in\mathbb Z_+:=\{0,1,2,\dots\}$ через $BC^s=BC^s(\mathbb R^N)$ обозначается пространство (комплекснозначных) функций $f\in C^s(\mathbb R^N)$, причем $C^0(\mathbb R^N)=C(\mathbb R^N)$, удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation*}
\|f\|_s:=\max_{|\beta|\leqslant s}\|\partial^\beta f\|<+\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\partial^\beta f(\boldsymbol{x})=\frac{\partial^{|\beta|}f(\boldsymbol{x})} {\partial x_1^{\beta_1}\cdots\partial x_N^{\beta_N}}\,,\quad \beta=(\beta_1,\dots,\beta_N)\in\mathbb Z_+^N,\quad |\beta|=\beta_1+\cdots+\beta_N,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\|g\|=\sup_{\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N}|g(\boldsymbol{x})|$. В последнем равенстве в качестве $g$ могут выступать как (ограниченные) функции $g\colon{\mathbb R}^N \to {\mathbb C}$, так и вектор-функции $g\colon {\mathbb R}^N \to {\mathbb C}^N$, и даже (вектор-)функции класса $L^\infty(\mathbb R^N)$ с тем же обозначением для стандартной нормы в пространстве $L^\infty(\mathbb R^N)$. Для ограниченной (вектор-)функции $g$ на $\mathbb R^N$ и $\mu\in[0,1]$ определим ее $\mu$-модуль непрерывности на $\mathbb R^N$:
$$
\begin{equation*}
\omega^{\mu}(g,\delta)=\sup\frac{|g(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x}')|} {|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|^\mu}\,,\qquad \delta\in(0,+\infty],
\end{equation*}
\notag
$$
где указанный супремум берется по всем $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{x}'$ с условием $0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|<\delta$. Для краткости полагаем $\omega(g,\delta)=\omega^0(g,\delta)$. Пусть $\|g\|'_\mu=\omega^\mu(g,+\infty)$, так что $\|g\|'_0$ согласуется с нормой $\|g\|_0=\|g\|$ в $BC^0(\mathbb R^N)= BC$ и со стандартной нормой в $L^\infty(\mathbb R^N)$, а $\|g\|'_1$ в $BC^1(\mathbb R^N)$ равна $\|\nabla g\|$. Для $s\in\mathbb Z_+$ и $\mu\in(0,1)$ определим
$$
\begin{equation*}
BC^{s+\mu}=\{f\in BC^s \colon \omega_s^\mu(f,+\infty)<+\infty,\ \omega_s^\mu(f,\delta)\to0\text{ при }\delta\to0+\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\omega_s^\mu(f,\delta)=\max_{\{\beta\colon|\beta|=s\}} \omega^\mu(\partial^{\beta}f,\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\|f\|'_{s+\mu}=\omega_s^\mu(f,+\infty)$. Норма в $BC^{s+\mu}$ такова: Пусть $ \operatorname{\textit{BLip}} ^0=L^\infty(\mathbb R^N)$ со стандартной нормой. При $s\in\mathbb Z_+$ и $\mu\in(0,1]$ пространства $ \operatorname{\textit{BLip}} ^{s+\mu}$ определяются аналогично пространствам $BC^{s+\mu}$ (с той же нормой), но без учета условия
$$
\begin{equation*}
\omega_s^\mu(f,\delta)\to 0\quad\text{при}\ \ \delta\to 0+;
\end{equation*}
\notag
$$
при этом формально не определенные пока величины $\omega_s^1(f,\delta)$, $\|f\|'_{s+1}$ и $\|f\|_{s+1}$ определяются так же, как и при $\mu\in(0,1)$. Хорошо известно, что $BC^m$ вкладываются в $ \operatorname{\textit{BLip}} ^m$ при всех $m\geqslant0$, причем соответствующие нормы согласованы (по модулю положительных мультипликативных констант, зависящих только от $N$). Замыкание носителя функции (распределения) $g$ будем обозначать через $\operatorname{Supp}(g)$. Определим
$$
\begin{equation*}
C^m_0=C^m_0(\mathbb R^N)=\{g\in BC^m \colon \operatorname{Supp}(g) -\text{компакт в }\mathbb R^N\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть еще $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m= \operatorname{\textit{Lip}} ^m(\mathbb R^N)$ состоит из всех функций $h$ на $\mathbb R^N$ с условием $h\varphi\in \operatorname{\textit{BLip}} ^m(\mathbb R^N)$ для любой функции $\varphi\in C_0^m$. Аналогично определяются пространства $C^m=C^m(\mathbb R^N)$. В пространствах $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$ и $C^m$ естественно вводится структура пространства Фреше. При нецелых $m=s+\mu$ ($s=[m]$) и $f\in BC^m$ нам потребуются регуляризованные модули непрерывности
$$
\begin{equation*}
\Omega^m(f,\delta)=\int_1^{+\infty} \frac{\omega^\mu_s(f,t\delta)}{t^{2-\mu}}\,dt,\qquad \delta\in(0,+\infty],
\end{equation*}
\notag
$$
причем для указанных $m$ и $f\in BC^m$ имеем
$$
\begin{equation*}
\omega^\mu_s(f,\delta)\leqslant \Omega^m(f,\delta)\to0\quad\text{при}\ \ \delta\to0.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, положим $\Omega^0(f,\delta)=\omega(f,\delta)$ и $\Omega^1(f,\delta)=\omega(\nabla f,\delta)$. Перейдем к постановке задач, рассматриваемых в данной работе. Введем класс функций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal A^m_{\mathcal L}(X)&=\bigl\{f\in BC^m \colon \exists\{f_n\}_{n=1}^{+\infty}, \ f_n\in BC^m\cap\mathcal O_{\mathcal L}(X), \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \|f-f_n\|_m\to0 \text{ при } n\to+\infty\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где условие $g\in\mathcal O_{\mathcal L}(X)$ означает, что функция $g$ определена и $\mathcal L$-аналитична в некоторой (своей) окрестности компакта $X$. Наша первая и основная задача состоит в следующем. Для произвольно заданных компакта $X$ в $\mathbb R^N$, вещественного числа $m\geqslant 0$ и функции $f\in BC^m$ найти необходимые и достаточные условия, при выполнении которых $f$ принадлежит классу $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)$, т. е. $f$ может быть с любой точностью приближена в $C^m$-норме функциями, каждая из которых является $\mathcal L$-аналитической в (своей) окрестности компакта $X$. Приведенная здесь постановка связана с пространствами Уитни $C^m_{\rm jet}(X)$ и с соответствующей теоремой Уитни [2] о $C^m$-продолжении с компактов на всё $\mathbb R^N$ (см. также [3; гл. 6] и [4; § 2]). Нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)\subset C^m_{\mathcal L}(X):= BC^m\cap\mathcal A_{\mathcal L}(X^{\circ}),
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому условие $f\in C^m_{\mathcal L}(X)$ называют простейшим необходимым условием приближаемости. Здесь и далее через $X^{\circ}$ обозначается внутренность множества $X$, а через $\partial X$ – его граница. Таким образом, естественно возникает вторая задача, рассматриваемая в данной работе, – задача об аппроксимации для классов функций: для каких компактов $X\subset\mathbb R^N$ выполняется равенство $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)=C^m_{\mathcal L}(X)$? И, наконец, еще одна существенная и сложная задача состоит в метрическом описании емкостей, в терминах которых даются соответствующие критерии приближаемости. Сразу отметим, что некоторые обозначения и определения даются несколько раз (в разных разделах статьи). Это делается для удобства читателя и связано с достаточно большим объемом работы. 2. Необходимые определения и формулировки результатовОбсудим сначала следующий естественный вопрос: при каких $N$, $\mathcal L$ и $m$ равенство $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)=C^m_{\mathcal L}(X)$ выполняется одновременно для всех компактов $X$ в $\mathbb R^N$? Ответ на этот вопрос был получен М. Я. Мазаловым [5]. Теорема 2.1. Указанное свойство выполняется только при $N=2$ и $m=0$ для не сильно эллиптических операторов $\mathcal L$ (т. е. для операторов с ограниченным фундаментальным решением). Следующая теорема А. Г. О’Фаррелла [6] и Д. Вердеры [7] также имеет весьма естественную простую форму. Теорема 2.2. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^N$, $m\geqslant 2$ и $f\in BC^m$. Следующие условия эквивалентны: В частности, $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)=C^m_{\mathcal L}(X)$ тогда и только тогда, когда $\overline{X^{\circ}}=X$. Всюду далее (кроме теоремы 9.1) обсуждаются случаи гладкости $m\in[0,2)$. Нашей ближайшей целью является формулировка с единой точки зрения критериев, дающих ответ к основной задаче. Они являются прямыми аналогами критериев А. Г. Витушкина [8] (для равномерных голоморфных приближений), которые стали эталоном как по формулировке, так и по методу исследования для всей рассматриваемой здесь тематики. Обозначим через $\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})$ стандартное фундаментальное решение для оператора $\mathcal L$. Явный вид и основные свойства $\varPhi_{\mathcal L}$ обсуждаются в следующем разделе. Так,
$$
\begin{equation*}
\varPhi_\Delta(\boldsymbol{x})=-\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{x}|} \quad\text{в}\ \ \mathbb R^3,\qquad \varPhi_{\overline\partial{}^2}(z)= \frac{\overline{z}}{\pi z}\quad\text{в}\ \ \mathbb R^2.
\end{equation*}
\notag
$$
При $m\in[0,2)$ и $N\in\{3,4,\dots\}$ определим $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-$\mathcal L$-емкость непустого ограниченного множества $E\subset\mathbb R^N$:
$$
\begin{equation}
\gamma^m_{\mathcal L}(E)=\sup_T\bigl\{\vert\langle T,1\rangle \vert\colon \operatorname{Supp}(T)\subset E,\ g=\varPhi_{\mathcal L}*T\in \operatorname{\textit{BLip}} ^m(\mathbb R^N),\ \|g\|'_m\leqslant 1\bigr\},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где супремум берется по всем указанным распределениям $T$, символ $\langle T,\varphi\rangle$ – это действие распределения $T$ на функцию $\varphi$ класса $C^\infty$, а $*$ – операция свертки. Для не сильно эллиптических (см. следующий раздел) операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^2$ и $m\in(0,2)$ определение (1) для емкостей $\gamma^m_{\mathcal L}(E)$ остается прежним. А для сильно эллиптических операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^2$ и $m\in(0,2)$ определение $\gamma^m_{\mathcal L}(E)$ следует подкорректировать: в формуле (1) условие $g=\varPhi_{\mathcal L}*T\in \operatorname{\textit{BLip}} ^m(\mathbb R^N)$ надо заменить на условие $g\in \operatorname{\textit{Lip}} ^m(\mathbb R^N)$, т. е. в формуле (1) фактически надо исключить требование ограниченности функции $g$ в проколотой окрестности точки $\infty$. Последнее связано с неограниченностью $\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})$ вблизи $\infty$ у сильно эллиптических операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^2$. При указанных выше условиях ($N\geqslant3$ или $N=2$, $m\in(0,2)$) аналогичным образом определяется $C^m$-$\mathcal L$-емкость $\alpha^m_{\mathcal L}(E)$ непустого ограниченного множества $E\subset\mathbb R^N$: в формуле (1) надо только добавить дополнительное ограничение Случаи $N=2$, $m=0$ для сильно эллиптических операторов рассматриваются отдельно (см. раздел 6, формулы (81) и (83)). Метрическое (при $m=1$ интегрально-геометрическое) описание этих емкостей обсуждается далее в разделах 4–6. Для формы $L(\boldsymbol{x})= \displaystyle\sum_{n_1,n_2=1}^Nc_{n_1n_2}x_{n_1}x_{n_2}$, функции $f\in C(\mathbb R^N)$ и открытого шара $B=B(\boldsymbol{a},r)$ с центром $\boldsymbol{a}$ и радиусом $r>0$ определим так называемую $L$-осцилляцию (или $\mathcal L$-осцилляцию) функции $f$ на $B$:
$$
\begin{equation}
\mathcal O^L_B(f)=\frac{1}{\sigma(\partial B)}\int_{\partial B} f(\boldsymbol{x})\frac{L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})}{r^2}\, d\sigma(\boldsymbol{x})-\frac{\sum_{n=1}^Nc_{nn}}{N|B|}\int_B f(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $|B|$ – мера Лебега (объем) шара $B$ в $\mathbb R^N$, а $\sigma$ – поверхностная мера Лебега на сфере $\partial B$. Так, при $L(\boldsymbol{x})=\displaystyle\sum_{j=1}^Nx_j^2$ (т. е. при $\mathcal L=\Delta$) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal O^\Delta_B(f)=\frac{1}{\sigma(\partial B)}\int_{\partial B} f(\boldsymbol{x})\,d\sigma(\boldsymbol{x})- \frac{1}{|B|}\int_B f(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Следующая теорема является совокупным результатом работ [9]–[22] авторов этого обзора. Наиболее сложным является случай $m=0$, изученный в [22]. Теорема 2.3. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^N$, $N\in\{2,3,\dots\}$; пусть $m\in[0,2)$ ($m \ne 0$ при $N=2$) и $f\in C^m_0$. Следующие условия эквивалентны: Аналог этой теоремы при $N=2$ и $m=0$ приведен в разделе 7 далее (см. теорему 7.3). Следствия из этих теорем – соответствующие критерии приближаемости для классов функций – приведены в разделе 8. Там же обсуждаются вопросы описания множеств устранимых особенностей $\mathcal L$-аналитических функций в классах $C^m$- и $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-гладких функций. Такие множества являются нуль-множествами соответствующих $C^m$-$\mathcal L$- и $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-$\mathcal L$-емкостей, и это описание позволяет еще раз убедиться в том, что рассматриваемые емкости являются мерой “массы” особенностей $\mathcal L$-аналитических функций соответствующих классов. Заметим, что метрические свойства этих емкостей существенно зависят от $m$. 3. Фундаментальные решения $\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})$Для изучения поставленных аппроксимационных задач нам потребуются свойства и явный вид фундаментальных решений уравнений $\mathcal Lu=0$. Несмотря на то, что для большого класса таких уравнений нужные явные формулы хорошо известны и могут быть найдены, например, в [23; п. 6.2]), общий случай, насколько это известно авторам, практически не отражен в литературе. Он был исследован в недавней работе [20]. В этом разделе мы приведем необходимые нам утверждения и их доказательства. Основными из них будут теорема 3.1 (явная формула для фундаментальных решений) и ее следствие 3.2 о двусторонних оценках фундаментальных решений для большого класса уравнений (например, для всех рассматриваемых уравнений в размерностях $N=3$ и $N=4$). Эллиптические квадратичные формы в $\mathbb R^N$ с комплексными коэффициентамиПусть $N\geqslant2$ – фиксированное целое число, а $C$ – симметричная $(N\times N)$-матрица с комплексными элементами $c_{mn}=c_{nm}$, $1\leqslant m,n\leqslant N$. Пусть $Q$ – квадратичная форма в $\mathbb R^N$, определенная матрицей $C$, т. е.
$$
\begin{equation*}
Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\top} C\boldsymbol{x}= \sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}x_mx_n
\end{equation*}
\notag
$$
при $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)^{\top}\in\mathbb R^N$, где символ $(\,\cdot\,)^\top$ обозначает операцию матричного транспонирования. В дальнейшем мы будем также использовать обозначение $Q_N$ вместо $Q$, чтобы подчеркнуть размерность $N$ пространства, в котором действует $Q$. Отметим, что векторы $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$, $\boldsymbol{z}$, $\boldsymbol{0},\dots$ рассматриваются как столбцы только в этом разделе. Определение 3.1. Будем говорить, что квадратичная форма $Q_N$ является эллиптической, если $Q_N(\boldsymbol{x})\ne0$ при всех $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$. Здесь и всюду далее $\mathbb R^N_*=\mathbb R^N\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ и $\mathbb C^n_*=\mathbb C^n\setminus\{\boldsymbol{0}\}$, $n\in\mathbb N$. Кроме того, пусть $\mathbb T=\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}$ – единичная окружность в $\mathbb C$ со стандартной параметризацией: $\mathbb T=\{\varGamma_1(t)=e^{2\pi it}\colon t\in[0,1]\}$. Изучим понятие эллиптичности квадратичной формы более подробно, тем более что ряд нужных и важных свойств таких форм недостаточно освещается в литературе. Так, в классической монографии Л. Хёрмандера [23; п. 6.2] при построении фундаментальных решений свойства соответствующих квадратичных форм, приведенные в леммах 3.4 и 3.5 ниже, просто постулируются, а не доказываются. Изучение эллиптических квадратичных форм мы начнем со случая $N= 2$. Здесь определение эллиптичности можно переформулировать следующим образом: форма
$$
\begin{equation*}
Q_2\bigl((x_1,x_2)^\top\bigr)=c_{11}x_1^2+2c_{12}x_1x_2+c_{22}x_2^2
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathbb R^2$ является эллиптической в том и только том случае, когда корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответствующего характеристического уравнения $c_{11}\lambda^2+2c_{12}\lambda+c_{22}=0$ не являются вещественными. При этом форма $Q_2$ называется сильно эллиптической, если $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в разных полуплоскостях
$$
\begin{equation*}
\mathbb C_+ =\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}{z}>0\}\quad\text{и}\quad \mathbb C_- =\{z\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}{z}<0\}
\end{equation*}
\notag
$$
комплексной плоскости $\mathbb C$ (относительно действительной оси). В двумерном случае также удобно понимать $Q_2$ как функцию комплексного переменного $z$, т. е. $Q_2(z)=Q_2((\operatorname{Re}{z},\operatorname{Im}{z})^\top)$. Напомним, что через $\Delta_{\varGamma}\operatorname{Arg}{g}$ обозначается приращение полярного аргумента комплекснозначной функции $g(z)$ вдоль кривой $\varGamma$ в $\mathbb C$. Лемма 3.1. Пусть $Q_2$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$. Тогда форма $Q_2$ является сильно эллиптической в том и только том случае, когда Последнее условие эквивалентно тому, что множество $Q_2(\mathbb T)$ лежит в некоторой (открытой) полуплоскости в $\mathbb C$, граница которой содержит начало координат. Доказательство. Предположим, что $\lambda_1\in\mathbb C_+$, а $\lambda_2\in\mathbb C_-$. Легко проверяется, что Так как $Q_2(z)=c_{11}(x_1-\lambda_1x_2)(x_1-\lambda_2x_2)$ при $z=x_1+ix_2$, то $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=0$. Обратно, если оба характеристических корня $\lambda_1$ и $\lambda_2$ лежат в $\mathbb C_+$ или в $\mathbb C_-$, то $\Delta_{\mathbb T}\operatorname{Arg}{Q_2}=\pm4\pi$. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.
Для доказательства второго утверждения заметим, что имеет место равенство которое легко проверяется непосредственным вычислением в полярных координатах. Если $c_{11}=c_{22}$ или $c_{12}=\tau(c_{11}-c_{22})$ при некотором $\tau\in\mathbb R$ (обе эти ситуации могут иметь место в сильно эллиптическом случае), то последнее параметрическое выражение задает точки прямолинейного отрезка (который не содержит начала координат и проходится четыре раза). В других случаях это выражение задает дважды проходимый эллипс, который охватывает или не охватывает начало координат в случае не сильной эллиптичности или сильной эллиптичности соответственно. Это непосредственно вытекает из рассуждений, использованных в доказательстве первой части леммы. Лемма доказана.Следствие 3.1. В случае, когда форма $Q_2$ не является сильно эллиптической (и только в этом случае), выполнено равенство и существуют две точки $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^2_*$ и $\boldsymbol{y}\in\mathbb R^2_*$ такие, что $Q_2(\boldsymbol{x})=-Q_2(\boldsymbol{y})$. Из леммы 3.1 также вытекает, что свойства эллиптичности и сильной эллиптичности квадратичных форм сохраняются при невырожденных линейных преобразованиях в $\mathbb R^2$. Далее, пусть $\mathbb S^{N-1}=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N\colon x_1^1+\dots+x_N^2=1\}$ – единичная сфера в $\mathbb R^N$ (при этом $\mathbb T$ совпадает с $\mathbb S^1\subset\mathbb R^2$ как множество, но определение $\mathbb T$ содержит дополнительное требование о фиксированной ориентации). Лемма 3.2. Пусть $Q_2$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$, а $N\in\{3,4,\dots\}$. Эллиптическая квадратичная форма $Q_N$ в $\mathbb R^N$ с условиями существует тогда и только тогда, когда форма $Q_2$ является сильно эллиптической. Доказательство. Пусть $Q_2$ – сильно эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^2$, и пусть $V=\{t\boldsymbol{y}\colon t\in\mathbb R_+:=(0,+\infty),\ \boldsymbol{y}\in Q_2(\mathbb S^1)\}$. Возьмем произвольные $c_{nn}\in V$, $n\in\{3,\dots,N\}$. Из леммы 3.1 непосредственно вытекает, что форма $Q_N$ в $\mathbb R^N$, определенная следующим образом: является эллиптической в $\mathbb R^N$.
Обратно, пусть $Q_2$ – не сильно эллиптическая форма в $\mathbb R^2$. Допустим, что форма $Q_2$ является ограничением на $\mathbb R^2$ некоторой эллиптической квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$, $N>2$. Пусть $\varGamma$ – это гомотопия на сфере $\mathbb S^{N-1}\subset\mathbb R^N$, которая переводит окружность $\varGamma_1\subset\mathbb R^2_{(x_1,x_2)^\top}$ в некоторую точку $\boldsymbol{a} \in\mathbb S^{N-1}$ (мы отождествляем $\varGamma_1$ с множеством $\{\boldsymbol{x}\in\mathbb S^{N-1}\colon x_3=\dots=x_N=0\}$). Тогда композиция $Q_N\circ\varGamma$ является гомотопией в $\mathbb R^2_*$, которая переводит цикл $\varGamma_2=Q_N\circ\varGamma_1=Q_2\circ\varGamma_1$ в точку $Q_N(\boldsymbol{a})$. Но такой гомотопии не существует, так как $\Delta_{\varGamma_2}\operatorname{Arg}z= \Delta_{\varGamma_1}\operatorname{Arg}Q_2=\pm4\pi$ в силу следствия 3.1. Лемма 3.3. Пусть $Q_N$ – квадратичная форма в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$. Форма $Q_N$ является эллиптической, если и только если множество $Q_N(\mathbb S^{N-1})\subset\mathbb C_*$ лежит в некоторой открытой полуплоскости в $\mathbb C$, граница которой содержит начало координат. Последнее условие эквивалентно тому, что множество $V_N=Q_N(\mathbb R^N_*)$ – это замкнутый угол величины $\vartheta_{Q_N}<\pi$ в $\mathbb C_*$ с (выколотой) вершиной в начале координат. Доказательство. Пусть форма $Q_N$ является эллиптической. Достаточно показать, что не существует пары точек $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$ и $\boldsymbol{y}\in\mathbb R^N_*$, для которых было бы верно равенство $Q_N(\boldsymbol{x})=-Q_N(\boldsymbol{y})$. В самом деле, если такие точки $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ существуют, то ограничение формы $Q_N$ на плоскость, проходящую через $\boldsymbol{x}$, $\boldsymbol{y}$ и через начало координат, не является сильно эллиптической формой в силу утверждения следствия 3.1, что противоречит лемме 3.2. Обратное очевидно. Лемма доказана. Из леммы 3.3 вытекает, что для любой эллиптической квадратичной формы $Q_N$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, существуют $\tau\in(0,1)$, $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ и $\vartheta_{Q_N}\in (0,\pi)$ такие, что форма $Q^{\vartheta}(\boldsymbol{x})=e^{i\vartheta}Q_N(\boldsymbol{x})$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
|{\arg(Q^{\vartheta}(\boldsymbol{x}))}|\leqslant \frac{\vartheta_{Q_N}}2 < \frac{\pi}{2}\,,\quad \operatorname{Re}Q^{\vartheta}(\boldsymbol{x})\geqslant \tau|Q^{\vartheta}(\boldsymbol{x})|\geqslant \tau^2|\boldsymbol{x}|^2,\qquad \boldsymbol{x} \in \mathbb R^N_*.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В дальнейшем мы будем предполагать, что $Q_N$ – это эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^N$, заданная матрицей $C$. Обозначим также $A:=\operatorname{Re}{C}$ и $B:=\operatorname{Im}{C}$, т. е. $C=A+iB$. Доказательство. Предположим, что $\det{C}=0$. Тогда найдется $\boldsymbol{z}\in\mathbb C^N$, $\boldsymbol{z}\ne\boldsymbol{0}$, такое, что $C\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}$. Пусть $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}$. Условие $C\boldsymbol{z}=(A+iB)(\boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y})=\boldsymbol{0}$ эквивалентно одновременному выполнению условий $A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{y}$ и $A\boldsymbol{y}=-B\boldsymbol{x}$, откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_N(\boldsymbol{x})&=\boldsymbol{x}^\top(A+iB)\boldsymbol{x}= \boldsymbol{x}^\top B\boldsymbol{y}-i\boldsymbol{x}^\top A\boldsymbol{y}, \\ Q_N(\boldsymbol{y})&=\boldsymbol{y}^\top (A+iB)\boldsymbol{y}= -\boldsymbol{y}^\top B\boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}^\top A\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего условия ввиду симметричности матриц $A$ и $B$ получаем, что $Q_N(\boldsymbol{y})=-Q_N(\boldsymbol{x})$ (в частности, $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$ и $\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{0}$). А это противоречит лемме 3.3. Лемма 3.4 доказана. Заметим, что условие $N\geqslant3$ в лемме 3.4 является существенным, так как в $\mathbb R^2$ существует эллиптическая квадратичная форма $Q_2(x_1,x_2)=(x_1+ix_2)^2/4$ с матрицей
$$
\begin{equation*}
C_2=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
для которой $\det{C_2}=0$. Лемма 3.5. Пусть $N\geqslant 3$, а $Q_N$ и $C$ такие, как указано выше, и пусть $Q'_N$ – это квадратичная форма, определенная матрицей $C^{-1}$. Тогда форма $Q'_N$ также является эллиптической. Доказательство. По лемме 3.4 выполнено $\det{C}\ne 0$. Предположим, что найдется $\boldsymbol{a}\in\mathbb R^N_*$ такое, что $\boldsymbol{a}^\top C^{-1}\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$. Пусть $\boldsymbol{z}=C^{-1}\boldsymbol{a}$, так что $\boldsymbol{z}\in\mathbb C^N_*$. Тогда $\boldsymbol{a}=C\boldsymbol{z}$ и так как матрица $C$ является симметричной.
Как и ранее, пусть $\boldsymbol{x}:=\operatorname{Re}{\boldsymbol{z}}$, $\boldsymbol{y}:=\operatorname{Im}{\boldsymbol{z}}$, $A:=\operatorname{Re}{C}$ и $B:=\operatorname{Im}{C}$. Так как $C\boldsymbol{z}=\boldsymbol{a}$, то $\operatorname{Im}((A+iB)(\boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}))=\boldsymbol{0}$, откуда следует равенство $B\boldsymbol{x}=-A\boldsymbol{y}$. Далее, так как
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{0}=\boldsymbol{z}^\top C\boldsymbol{z}= (\boldsymbol{x}^\top+i\boldsymbol{y}^\top)(A+iB)(\boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y})= (\boldsymbol{x}^\top+i\boldsymbol{y}^\top)(A\boldsymbol{x}-B\boldsymbol{y}),
\end{equation*}
\notag
$$
то выполнены равенства $\boldsymbol{x}^\top A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^\top B\boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{y}^\top A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^\top B\boldsymbol{y}$. Из этих трех равенств вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol{x}^\top B\boldsymbol{x}&=(B\boldsymbol{x})^\top \boldsymbol{x}= (-A\boldsymbol{y})^\top \boldsymbol{x}=-\boldsymbol{y}^\top A\boldsymbol{x}= -\boldsymbol{y}^\top B\boldsymbol{y}, \\ \boldsymbol{y}^\top A\boldsymbol{y}&=(A\boldsymbol{y})^\top \boldsymbol{y}= (-B\boldsymbol{x})^\top \boldsymbol{y}=-\boldsymbol{x}^\top B\boldsymbol{y}= -\boldsymbol{x}^\top A\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда
$$
\begin{equation*}
Q_N(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^\top C\boldsymbol{y}= \boldsymbol{y}^\top A\boldsymbol{y}+i\boldsymbol{y}^\top B\boldsymbol{y}= -\boldsymbol{x}^\top A\boldsymbol{x}-i\boldsymbol{x}^\top B\boldsymbol{x}= -Q_N(\boldsymbol{x}),
\end{equation*}
\notag
$$
что противоречит лемме 3.3. Лемма 3.5 доказана. Явный вид фундаментальных решений для эллиптических операторов второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами в $\mathbb R^N$Пусть $N\geqslant2$ – фиксированное целое число, а $Q$ – эллиптическая квадратичная форма в $\mathbb R^N$, определенная (симметричной) матрицей $C$ с комплексными элементами $c_{mn}$, $1\leqslant m,n\leqslant N$. Эта форма определяет эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn} \frac{\partial^2}{\partial x_m\,\partial x_n}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
который мы будет называть оператором, ассоциированным с $Q$. В свою очередь форма $Q$ называется символом оператора $\mathcal L$. Выше уже были рассмотрены основные примеры: оператор Лапласа
$$
\begin{equation*}
\Delta_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}
\end{equation*}
\notag
$$
в $\mathbb R^N$, ассоциированный с квадратичной формой $x_1^2+\dots+x_N^2$, и оператор Бицадзе (квадрат оператора Коши–Римана) в $\mathbb R^2$, который определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4}\biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}+ i\frac{\partial}{\partial x_2}\biggr)^2= \frac{\partial^2}{\partial\overline{z}^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Квадратичная форма $Q_2(x)=(x_1+ix_2)^2/4$, ассоциированная с этим оператором, также встречалась ранее. Как отмечалось выше, все эллиптические квадратичные формы в $\mathbb R^2$ делятся на два класса: класс сильно эллиптических форм и класс форм, не являющихся сильно эллиптическими. В соответствии с этой классификацией будем называть эллиптический оператор $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ сильно эллиптическим, если его символ является сильно эллиптической формой, и не сильно эллиптическим в противном случае. Так, оператор Лапласа $\Delta_2$ в $\mathbb R^2$ является сильно эллиптическим, а оператор Бицадзе нет. Таким образом, последний оператор не может быть “поднят” до эллиптического оператора в $\mathbb R^N$ ни при каком $N>2$. Заметим также, что квадратичная форма, являющаяся символом оператора Бицадзе, определяется матрицей, которая возникала выше в качестве примера вырожденной матрицы эллиптической квадратичной формы. Важно отметить, что разделение эллиптических операторов второго порядка в $\mathbb R^2$ на классы сильно эллиптических и не сильно эллиптических операторов носит принципиальный характер и обусловлено существенно разными свойствами этих операторов. Глубокое различие свойств сильно эллиптических и не сильно эллиптических операторов проявляется в задачах об описании множеств устранимых особенностей для решений соответствующих уравнений $\mathcal Lf=0$, в задачах об аппроксимации функций решениями таких уравнений, в условиях разрешимости и единственности решения классических краевых задач для этих уравнений. Примеры утверждений, подчеркивающих эту разницу, будут приведены в дальнейшем; кроме того, лемма 3.2, установленная выше, также представляет собой интересный пример существенного различия между этими двумя классами операторов. Установим явную формулу для фундаментального решения произвольного эллиптического оператора второго порядка $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$. Пусть $\mathcal L$ ассоциирован с квадратичной формой $Q$, определяемой матрицей $C$. В силу леммы 3.4 эта матрица является невырожденной, т. е. $\det{C}\ne0$. Рассмотрим матрицу $D=C^{-1}$ и определим соответствующую квадратичную форму:
$$
\begin{equation}
\varLambda(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\top D\boldsymbol{x},\qquad \boldsymbol{x}\in\mathbb R^N.
\end{equation}
\tag{5}
$$
В силу леммы 3.5 форма $\varLambda$ является эллиптической. Пусть $\vartheta_{\varLambda}$ – величина угла $\varLambda(\mathbb R^N_*)$, так что $\vartheta_{\varLambda}<\pi$. Пусть $S(z)$ – голоморфная ветвь многозначной функции $\sqrt{z}$ , определенная в $\{z\in\mathbb C \colon -\pi<\arg{z}<\pi\}$, т. е. $S(z)=\sqrt{|z|}\, e^{i\arg(z)/2}$. В силу леммы 3.3 (см. (4)) найдется $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ такое, что $|\arg(e^{i\vartheta}\Lambda(x))|\leqslant\vartheta_{\varLambda}/2<\pi/2$, откуда вытекает, что $\operatorname{Re}(e^{i\vartheta}\Lambda(\boldsymbol{x}))>0$ при всех $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$. Таким образом, функция
$$
\begin{equation*}
\varPsi_*(\boldsymbol{x})=S(e^{i\vartheta}\varLambda(\boldsymbol{x}))
\end{equation*}
\notag
$$
является вещественно аналитической в $\mathbb R^N_*$, однородной порядка $1$ и, более того,
$$
\begin{equation}
|{\arg(\varPsi_*(\boldsymbol{x}))}|\leqslant\frac{\vartheta_{\varLambda}}{4}< \frac{\pi}{4}\quad \forall\, \boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Следующее утверждение проверяется непосредственным вычислением. Мы приводим его для полноты изложения. Лемма 3.6. Пусть $\mathcal L$ и $\varPsi_*$ такие, как определено выше, и пусть при $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$. Тогда $\mathcal L\varPsi(\boldsymbol{x})=0$ при всех $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $\vartheta=0$. Пусть $p=(2-N)/2$, так что $\varPsi(\boldsymbol{x})=\varLambda(\boldsymbol{x})^p_*$, где $\varLambda(\,\cdot\,)$ определена равенством (5), а символ $*$ означает, что мы имеем дело с соответствующей главной ветвью $w^p_*=\exp(p\ln_*w)$ многозначной функции $w^p$ в $\mathbb C\setminus (-\infty,0]$ (здесь $\ln_*w=\ln|w|+i\arg w$ – главная ветвь многозначного логарифма в $\mathbb C\setminus(-\infty,0]$).
Так как $(w^p_*)'_w=\bigl(\exp(p\ln_*w)\bigr)'_w=pw^p_*\big/w$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varPsi(\boldsymbol{x})}{\partial x_m}= p\,\frac{\varPsi(\boldsymbol{x})}{\varLambda(\boldsymbol{x})}\, \frac{\partial\varLambda(\boldsymbol{x})}{\partial x_m}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2\varPsi(\boldsymbol{x})}{\partial x_m\,\partial x_n}= p\,\frac{\varPsi(\boldsymbol{x})}{\varLambda(\boldsymbol{x})^2} \biggl((p-1)\,\frac{\partial\varLambda(\boldsymbol{x})}{\partial x_m}\, \frac{\partial\varLambda(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}+ \varLambda(\boldsymbol{x})\,\frac{\partial^2\varLambda(\boldsymbol{x})} {\partial x_m\,\partial x_n}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $1\leqslant m,n\leqslant N$.
Так как $p-1=-N/2$, то для доказательства равенства $\mathcal L\varPsi(\boldsymbol{x})=0$ при $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$ нам достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
R(\boldsymbol{x})=\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}\biggl(-\frac{N}{2}\, \frac{\partial\varLambda(\boldsymbol{x})}{\partial x_m}\, \frac{\partial\varLambda(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}+ \varLambda(\boldsymbol{x})\,\frac{\partial^2\varLambda(\boldsymbol{x})} {\partial x_m\,\partial x_n}\biggr)=0
\end{equation}
\tag{8}
$$
для всех $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$, где $c_{mn}$ – это (как и раньше) элементы матрицы $C$. Обозначая через $d_{mn}$ ($1\leqslant m,n\leqslant N$) элементы матрицы $D$ и учитывая ее симметричность, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\varLambda(\boldsymbol{x})}{\partial x_m}= 2\sum_{j=1}^{N}d_{jm}x_j,\qquad \frac{\partial^2\varLambda(\boldsymbol{x})} {\partial x_m\,\partial x_n}=2d_{mn}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величина $R(\boldsymbol{x})$ из (8) теперь представляется в следующем виде: Обозначим коэффициенты квадратичной формы $R(\boldsymbol{x})$ через $r_{jk}$, $1\leqslant j,k\leqslant N$, тогда (ввиду симметричности матрицы $D$) Остается заметить, что $(d_{j1},\dots,d_{jN})C(d_{1k},\dots,d_{Nk})^\top $ – это элемент $d_{jk}$ матрицы $D=DCD$, а $\displaystyle\sum_{m,n=1}^{N}c_{mn}d_{mn}=N$, так как $DC=I$ (единичная матрица). Таким образом, $r_{jk}=-2Nd_{jk}+2Nd_{jk}=0$, что завершает доказательство.Лемма 3.6 позволяет получить явную формулу фундаментального решения для $\mathcal L$. Напомним, что распределение (обобщенная функция) $\varPhi_{\mathcal L}$ называется фундаментальным решением для $\mathcal L$, если $\mathcal L\varPhi_{\mathcal L}=\delta_{\boldsymbol{0}}$, где символ $\delta_{\boldsymbol{0}}$ обозначает дельта-функцию Дирака с носителем в начале координат. Теорема 3.1. В обозначениях леммы 3.6 функция с некоторой подходящей константой $c_{\mathcal L}\in\mathbb C_*$ является фундаментальным решением для $\mathcal L$. Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
f_n(\boldsymbol{x})=\sum_{j=1}^{N}c_{nj}\, \frac{\partial\varPsi}{\partial x_j}\,,\qquad n\in\{1,\dots,N\},
\end{equation*}
\notag
$$
где указанное равенство понимается как в обычном (при $\boldsymbol{x}\ne \boldsymbol{0}$), так и в обобщенном смысле (во всем $\mathbb R^N$). При этом каждая $f_n$ является локально интегрируемой, нечетной, однородной порядка $-N+1$ функцией класса $C^\infty(\mathbb R^N_*)$. Тогда (в обобщенном смысле)
$$
\begin{equation*}
\chi(\boldsymbol{x})\equiv\mathcal L\varPsi(\boldsymbol{x})= \sum_{n=1}^{N}\frac{\partial f_n(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
$\chi(\boldsymbol{x})=0$ в $\mathbb R^N_*$ и по определению обобщенных производных для любой функции $g\in C_0^\infty(\mathbb R^N)$ (с носителем в некотором шаре $B_r=B(\boldsymbol{0},r)$) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\mathcal L\varPsi,g\rangle&= -\sum_{n=1}^{N}\bigg\langle f_n,\frac{\partial g}{\partial x_n}\bigg\rangle= -\int_{B_r}\sum_{n=1}^{N}f_n(\boldsymbol{x}) \frac{\partial g(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\,d\boldsymbol{x} \\ &=-\lim_{\varepsilon\to0}\int_{B_r\setminus B_{\varepsilon}} \sum_{n=1}^{N} f_n(\boldsymbol{x}) \frac{\partial g(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\,d\boldsymbol{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Преобразуем последний интеграл (полагая $D=B_r\setminus B_{\varepsilon}$) с помощью формулы Гаусса–Остроградского (интегрирования по частям):
$$
\begin{equation*}
-\int_D\sum_{n=1}^{N} f_n(\boldsymbol{x}) \frac{\partial g(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\,d\boldsymbol{x}= \int_D g(\boldsymbol{x})\chi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}- \int_{\partial D}(gF,\nu)\,d\sigma= \int_{\partial B_{\varepsilon}}(gF,\nu_+)\,d\sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
где $F=\{f_1,\dots,f_N\}$ (векторное поле), $\nu$ – внешняя единичная нормаль на $\partial D$ (причем $\nu_+=-\nu$ – внешняя единичная нормаль на $\partial B_{\varepsilon}$) и $\sigma$ – поверхностная мера на $\partial D$. Поскольку поле $F$ однородно порядка $-N+1$, интеграл
$$
\begin{equation*}
\int_{\partial B_{\varepsilon}}\big(g(\boldsymbol{0})F,\nu_+\big)\,d\sigma= g(\boldsymbol{0})\int_{\partial B_1}(F,\nu_+)\,d\sigma=: d_{\mathcal L}g(\boldsymbol{0})
\end{equation*}
\notag
$$
не зависит от $\varepsilon$. При этом ясно, что откуда окончательно получаем Поскольку, очевидно, $d_{\mathcal L}\ne0$, мы получаем $c_{\mathcal L}=1/d_{\mathcal L}$, что завершает доказательство теоремы. Так, при $\mathcal L=\Delta_N$ (оператор Лапласа в $\mathbb R^N$) имеем
$$
\begin{equation*}
\varLambda(x)=Q(x)=|x|^2,\qquad \varPsi(x)=|x|^{2-N},\qquad F(x)=\nabla\varPsi(x)=-\frac{(N-2)x}{|x|^N}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $d_{\mathcal L}=-(N-2)\sigma_N$ и
$$
\begin{equation*}
\varPhi_{\Delta}(\boldsymbol{x})= -\frac{1}{\sigma_N (N-2) |\boldsymbol{x}|^{N-2}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_N$ – поверхностная ($(N-1)$-мерная) мера Лебега сферы $\partial B(\boldsymbol{0},1)$ в $\mathbb R^N$. Следующее утверждение непосредственно вытекает из (6) и (7). Следствие 3.2. Пусть $N=3$ или $N=4$. Тогда для любого оператора $\mathcal L$ найдутся $\lambda=\lambda_{\mathcal L}\in(-\pi,\pi]$ и $A=A_{\mathcal L}\geqslant 1$ такие, что при всех $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N_*$. Аналогичный результат имеет место и для операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant 5$, которые удовлетворяют дополнительному условию При этом непосредственно из (7) следует, что при $N\geqslant3$ оценка
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{A|\boldsymbol{x}|^{N-2}}\leqslant |\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})|\leqslant \frac{A}{|\boldsymbol{x}|^{N-2}}
\end{equation*}
\notag
$$
справедлива для всех операторов $\mathcal L$. Приведем еще одно свойство фундаментальных решений, которое может быть полезно не только в связи с изучаемыми вопросами аппроксимации, но и в других задачах. Предложение 3.1. Пусть $N\geqslant 3$. Для любого оператора $\mathcal L$ с фундаментальным решением $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$ и для любого $R>0$ имеем где $B_R=B(\boldsymbol{0},R)$, а $\sigma$ обозначает поверхностную меру Лебега на соответствующей сфере интегрирования. Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что $\mathcal L$ удовлетворяет условию (4) при $\vartheta=0$. Так как функция $\varPhi$ однородна порядка $2-N$, то нетрудно установить следующие равенства:
$$
\begin{equation}
\int_{\partial B_r}\varPhi(\boldsymbol{x})\,d\sigma(\boldsymbol{x})= \frac{r}{R}\int_{\partial B_R} \varPhi(\boldsymbol{x})\,d\sigma(\boldsymbol{x}),\qquad \int_{B_R}\varPhi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=\frac{R}{2} \int_{\partial B_R}\varPhi(\boldsymbol{x})\,d\sigma(\boldsymbol{x}),
\end{equation}
\tag{13}
$$
поэтому достаточно проверить только второе неравенство в (12) при $R=1$. Нам потребуется одно хорошо известное свойство фундаментальных решений, которое можно найти, например, в [3; гл. 3, п. 3.5] (используется приведенная ниже формула (15) и теорема 6 в последней ссылке для операторов $T_1(f)=(\Delta\varPhi)*f$ и $T_2(f)=(\mathcal L\varPhi_{\Delta})*f$) и которое состоит в следующем:
$$
\begin{equation}
\Delta\varPhi=\Delta\varPhi_{\mathcal L}= \lambda_0\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi_0,\qquad \mathcal L\varPhi_{\Delta}=\lambda\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\lambda_0,\lambda\in\mathbb C$, а $\varPsi_0$ и $\varPsi$ – подходящие стандартные ядра Кальдерона–Зигмунда в $\mathbb R^N$. Равенства (14) понимаются в смысле теории обобщенных функций, а функции $\varPsi_0$ и $\varPsi$ обладают следующими свойствами: они принадлежат классу $C^\infty(\mathbb R^N_*)$, являются однородными порядка $-N$ и выполнены равенства
Применим к обеим частям равенства $\mathcal L\varPhi=\delta_{\boldsymbol{0}}$ преобразование Фурье $T\mapsto\widetilde{T}$, действующее в пространстве $\mathcal S'$ обобщенных функций $T$ умеренного роста. Из стандартных свойств преобразования Фурье получим $-Q(\boldsymbol{y})\widetilde{\varPhi}(\boldsymbol{y})=(2\pi)^{-N/2}$, откуда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\varPhi}(\boldsymbol{y})= -\frac{(2\pi)^{-N/2}}{Q(\boldsymbol{y})}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Delta\varPhi}(\boldsymbol{y})= -|\boldsymbol{y}|^2\widetilde{\varPhi}(\boldsymbol{y})= (2\pi)^{-N/2}\frac{|\boldsymbol{y}|^2}{Q(\boldsymbol{y})}\,,\qquad \widetilde{\mathcal L\varPhi_{\Delta}}(\boldsymbol{y})= (2\pi)^{-N/2}\frac{Q(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{y}|^2}
\end{equation}
\tag{15}
$$
– однородные порядка $0$ бесконечно дифференцируемые функции на $\mathbb R^N_*$, что эквивалентно (14) согласно [3; гл. 3, п. 3.5].
С другой стороны, из (14) находим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Delta\varPhi}(\boldsymbol{y})= \lambda_0(2\pi)^{-N/2}+\widetilde{\varPsi_0}(\boldsymbol{y}),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где (мы снова учитываем (15)) функция $\widetilde{\varPsi_0}\in C^{\infty}(\mathbb R^N_*)$ однородна порядка $0$. Из определения преобразования Фурье на обобщенных функциях имеем равенство $\langle\widetilde{\varPsi_0},\varphi\rangle= \langle \varPsi_0,\widetilde{\varphi}\rangle$. Подставляя здесь $\varphi(\boldsymbol{x})=\exp(-|\boldsymbol{x}|^2/2)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^N}\widetilde{\varPsi_0}(\boldsymbol{y}) \exp\biggl(-\frac{|\boldsymbol{y}|^2}2\biggr)\,d\boldsymbol{y}= \operatorname{(v.p.)}\int_{\mathbb R^N}\varPsi_0 (\boldsymbol{x}) \exp\biggl(-\frac{|\boldsymbol{x}|^2}2\biggr)\,d\boldsymbol{x}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу упомянутой чуть выше однородности порядка $0$ функции $\widetilde{\varPsi_0}$ сразу следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\partial B_1}\widetilde{\varPsi_0}(\boldsymbol{y})\, d\sigma(\boldsymbol{y})=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, из (15) и (16) получаем
$$
\begin{equation}
\lambda_0=\frac{1}{\sigma(\partial B_1)}\int_{\partial B_1} \frac{|\boldsymbol{y}|^2}{Q(\boldsymbol{y})}\,d\sigma(\boldsymbol{y})\ne0,
\end{equation}
\tag{17}
$$
поскольку $\operatorname{Re}Q(\boldsymbol{y})>0$ при $\boldsymbol{y}\in\mathbb R^N_*$ (что непосредственно вытекает из (4)).
Зафиксируем теперь радиальную функцию $\varphi(\boldsymbol{x})=\varphi(|\boldsymbol{x}|)\in C^\infty_0(B_1)$ такую, что $\varphi(0)\ne0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\Delta\varPhi,\varphi\rangle&=\int_{B_1}\varPhi(\boldsymbol{x}) \Delta\varphi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}= \langle\lambda_0\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi_0,\varphi\rangle \\ &=\lambda_0\varphi(0)+\int_{B_1}\varPsi_0(\boldsymbol{y}) (\varphi(\boldsymbol{y})-\varphi(0))\,d\boldsymbol{y}= \lambda_0\varphi(0)\ne0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\displaystyle\int_{B_1}\varPhi(\boldsymbol{x}) \Delta\varphi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}\ne0$. Теперь из радиальной симметричности функции $\varphi(\boldsymbol{x})=\varphi(r)$, $r=|\boldsymbol{x}|$, формулы $\Delta\varphi(\boldsymbol{x})=\varphi''(r)+ ((N-1)/r)\varphi'(r)$, однородности функции $\varPhi$ и равенств (13) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{B_1}\varPhi(\boldsymbol{x}) \Delta\varphi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}= \int_{\partial B_1}\varPhi(\boldsymbol{x}')\, d\sigma(\boldsymbol{x}') \int_0^1r\biggl(\varphi''(r)+\frac{N-1}{r}\,\varphi'(r)\biggr)\,dr\ne0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда сразу следует (12). Предложение доказано. Простые явные формулы фундаментальных решений для эллиптических операторов $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ можно найти, например, в [24]. Из этих формул непосредственно следует, что аналог предложения 3.1 не имеет места в $\mathbb R^2$ (например, для оператора Бицадзе). 4. Случаи $m\in(0,1)\cup(1,2)$. ${\mathcal L}$-осцилляции. Редукции к гармоническим ($N>2$) и бианалитическим ($N=2$) приближениямНапомним, что $p$-мерным ($p\in(0,N]$) обхватом по Хаусдорфу ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^N$ называется величина где инфимум берется по всем не более чем счетным покрытиям $\{B_j\}$ множества $E$ шарами (каждое семейство $\{B_j\}$ является не более чем счетным покрытием $E$ шарами $B_j$ в $\mathbb R^N$ с радиусами $r_j$).Следующее метрическое описание $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-$\mathcal L$-емкостей при $m\in(0,1)\cup(1,2)$ установлено в работе [7; лемма 3.1]: при каждом фиксированном $m\in(0,1)\cup(1,2)$ для любого $N\in\{2,3,\ldots\}$ и для любого оператора $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$ найдется константа $A=A(N,L,m)\in(1,+\infty)$ такая, что для всякого $\sigma$-компактного ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^N$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
A^{-1}\mathcal M^{N-2+m}(E)\leqslant\gamma^m_{\mathcal L}(E)\leqslant A\mathcal M^{N-2+m}(E).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Аналогичные оценки справедливы с заменой $\gamma^m_{\mathcal L}(E)$ на $\alpha^m_{\mathcal L}(E)$ и $\mathcal M^{N-2+m}(E)$ на нижние обхваты по Хаусдорфу $\mathcal M^{N-2+m}_*(E)$ (см. соответствующее определение и оценки (27), (28) ниже). Приведенное выше понятие $\mathcal L$-осцилляции (2) нуждается в следующем пояснении. Лемма 4.1. При $\boldsymbol{a}\in\mathbb R^N$ и $r\in(0,+\infty)$ пусть $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})=(r^2-|\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a}|^2)\big/(2N|B|)$ в $B=B(\boldsymbol{a},r)$ и $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})=0$ вне $B(\boldsymbol{a},r)$. Тогда для любой функции $\varphi\in C^\infty(\mathbb R^N)$ справедливо равенство т. е. действие $\langle\mathcal L\psi_{\boldsymbol{a}}^r,\varphi\rangle$ распределения $\mathcal L\psi_{\boldsymbol{a}}^r$ на функцию $\varphi$ совпадает с $\mathcal O^L_B(\varphi)$, и оно может быть продолжено по непрерывности на все функции $\varphi\in C(\mathbb R^N)$. Доказательство. Ясно, что мы можем ограничиться случаем $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$. Положим $\psi_{\boldsymbol{0}}^r(\boldsymbol{x})=\psi(\boldsymbol{x})$. Зафиксируем $i,j\in\{1,\dots,N\}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\biggl\langle\psi, \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i\,\partial x_j}\biggr\rangle= -\biggl\langle\frac{\partial\psi}{\partial x_i}\,, \frac{\partial\varphi}{\partial x_j}\biggr\rangle= \frac{1}{2N|B|}\int_B 2x_i \frac{\partial\varphi}{\partial x_j}\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Пусть $B_j'=\{\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)\in B \colon x_j=0\}$, $\boldsymbol{x}'_j=(x_1,\dots,x_{j-1},0,x_{j+1},\dots,x_N)$ (при $j=1$ и $j=N$ последняя формула естественно меняется). При $\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_N)\in B$ пусть $\boldsymbol{x}_j^+=(x_1,\dots,x_{j-1},x_j^+,x_{j+1},\dots,x_N)$ (соответственно $\boldsymbol{x}_j^-=(x_1,\dots,x_{j-1},x_j^-,x_{j+1},\dots,x_N)$) определяются (однозначно) условиями $\boldsymbol{x}_j^+\in\partial B$, $x_j^+\geqslant0$ (соответственно условиями $\boldsymbol{x}_j^-\in\partial B$, $x_j^-\leqslant0$). Интегрируя повторно (сначала по $x_j$) интеграл в правой части формулы (20) (в частности, интегрируя по частям при $i=j$) и учитывая равенство $d\boldsymbol{x}_j'=|x_j^{\pm}|\,d\sigma(\boldsymbol{x}_j^{\pm})/r$, получаем при $i\ne j$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \frac{1}{N|B|}\int_B x_i \frac{\partial\varphi}{\partial x_j}\,d\boldsymbol{x}&= \frac{1}{N|B|}\int_{B_j'} x_i\bigl(\varphi(\boldsymbol{x}_j^+)- \varphi(\boldsymbol{x}_j^-)\bigr)\,d\boldsymbol{x}_j' \\ &=\frac{1}{N|B|r}\int_{\partial B} x_ix_j \varphi(\boldsymbol{x})\,d\sigma(\boldsymbol{x}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
а при $i=j$ имеем Остается последние равенства умножить на (соответствующие) $c_{ij}$ и просуммировать по $i$, $j$, учитывая, что $\sigma(\partial B)=N|B|/r$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2.3 в случае $m\in(0,1)\cup(1,2)$Используемый здесь подход, связанный с инвариантностью операторов Кальдерона–Зигмунда в пространствах Липшица, известен (см., например, работы [7], [25] и библиографию в них). Доказательство основано на редукции случая общего оператора $\mathcal L$ к гармоническому случаю при $N>2$ и к бианалитическому случаю при $N= 2$. Пусть $\mathcal L$ – произвольный из рассматриваемых операторов в $\mathbb R^N$ c фундаментальным решением $\varPhi(\boldsymbol{x})=\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})$. Положим $\mathcal L_0=\Delta$ при $N\geqslant3$ и $\mathcal L_0=\overline\partial^2$ при $N=2$ и обозначим $\varPhi_0=\varPhi_{\mathcal L_0}$. Фиксируем $m\in(0,1)\cup(1,2)$ и произвольную функцию $f\in BC^m$. Без потери общности (см. лемму 4.2 ниже) мы будем считать, что $f\in C^m_0=C^m_0(\mathbb R^N)$. Пусть $T=\mathcal Lf$ и $f_0=\varPhi_0*T$, т. е. $\mathcal L_0f_0=T=\mathcal Lf$. Следовательно, где $E=\mathcal L\varPhi_0=\lambda\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi$ (в обозначениях формулы (14) выше случай $N=2$ устанавливается аналогично); см. также [7; лемма 1.1].Известно [26] (подробнее см. лемму 4.3 ниже), что оператор $f\mapsto E*f$ локально непрерывен в пространстве $BC^m$ (аналогичное верно и для оператора $\mathcal L_0\varPhi=\lambda_0\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi_0$). Поскольку, кроме того, он переводит функции класса $\mathcal A_{\mathcal L}(U)$ (для всякого открытого множества $U$) в функции класса $\mathcal A_{\mathcal L_0}(U)$ (так как $\mathcal L_0f_0=\mathcal Lf$), мы непосредственно сводим задачи $C^m$-$\mathcal L$-приближений к задачам $C^m$-$\mathcal L_0$-приближений. При $\mathcal L_0=\Delta$, $N\geqslant3$ и $m\in(0,1)$, а также при $\mathcal L_0=\overline\partial^2$, $N=2$ и $m\in(0,1)\cup(1,2)$ эти задачи уже были рассмотрены ранее (см. [9; теорема 1 и замечание 1.3] и [11; теорема 1(b)] соответственно). Случай $\mathcal L_0=\Delta$ при $N\geqslant3$ и $m\in(1,2)$ будет рассмотрен ниже в этом разделе. Надо только учесть, что по лемме 4.1 имеем:
$$
\begin{equation}
\mathcal O^L_B(f)=\langle\mathcal L\psi_{\boldsymbol{a}}^r,f\rangle= \langle\mathcal L_0\psi_{\boldsymbol{a}}^r,f_0\rangle= \mathcal O^{L_0}_B(f_0),
\end{equation}
\tag{23}
$$
т. е. оценки (c) в теореме 2.3 для $f$ и $f_0$ “одинаковы”. Иными словами,
$$
\begin{equation*}
f\in\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)\quad\Longleftrightarrow\quad f_0\in\mathcal A^m_{\mathcal L_0}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Для подробной реализации указанного плана доказательства нам потребуется установить две следующие леммы (в условиях теоремы 2.3). Предварительно напомним, что для непустого компакта $K\subset\mathbb R^N$ и $m\geqslant0$ определяется пространство $C^m(K)=BC^m\big|_K$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|h\|_{m,K}=\inf\bigl\{\|H\|_m \colon H\in BC^m,\ H\big|_K=h\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4.2. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^N$, $B=B(\boldsymbol{0},R)$ – шар такого радиуса $R$, что $X\subset B(\boldsymbol{0},R-1)$, и $g\in C^m=C^m(\mathbb R^N)$. Следующие условия эквивалентны: Доказательство. Очевидно, что (c) $\Rightarrow$ (a) $ \Rightarrow$ (b). Остается установить импликацию (b) $\Rightarrow$ (c). В условии (b) зафиксируем $\varphi\in C_0^\infty(B)$ (т. е. $\varphi=0$ вне $B$), $\varphi=1$ на $B(\boldsymbol{0},R-1)$, и положим $h_3=g(1-\varphi)+h_2\varphi$ (так что $h_3=g$ вне шара $B$). Остается заметить, что $h_3\in C^m$ и Лемма доказана. Напомним, что $\mathcal L\varPhi_0=\lambda\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi$, где $\varPsi$ – стандартное ядро Кальдерона–Зигмунда в $\mathbb R^N$. Лемма 4.3. Пусть $B=B(\boldsymbol{0},R)$ – шар в $\mathbb R^N$, $m\in(0,1)\cup(1,2)$, $s=[m]$, $m=s+\mu$. Тогда для любой функции $g\in C^m_0(B)$ имеем где $A$ зависит от $N$, $\mathcal L$, $m$, $R$. Доказательство. Утверждения такого типа считаются фольклором, однако нам не удалось найти в литературе в точности ту формулировку, которая нужна здесь (так, в работе [26], на которую чаще всего ссылаются, рассматривался периодический случай и соответствующих $m$-модулей непрерывности $\omega^{\mu}_s$ просто не было). Поэтому для удобства читателя мы приведем доказательство этой леммы. Сначала напомним (см. [7; лемма 1.1]), что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varPsi*g(\boldsymbol{x})&=\operatorname{(v.p.)}\int\varPsi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{y})\bigl(g(\boldsymbol{y})- g(\boldsymbol{x})\bigr)\,d\boldsymbol{y} \\ &=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\varepsilon<|\boldsymbol{y}- \boldsymbol{x}|<1/\varepsilon}\varPsi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{y})\bigl(g(\boldsymbol{y})- g(\boldsymbol{x})\bigr)\,d\boldsymbol{y}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы установим оценку $\omega^m(G,r)\leqslant A\Omega^m(g,r)$ для $m\in(0,1)$. В случае $m\in(1,2)$ следует воспользоваться равенством и провести оценку $\omega^{\mu}_1(G,r)$ аналогично.
Этот метод оценивания давно известен. Пусть $\omega(r)=\omega^m(g,r)$, $r\geqslant0$. Зафиксируем $\boldsymbol{x}_1\ne\boldsymbol{x}_2\in\mathbb R^N$ и положим $|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|=r>0$, $\boldsymbol{x}_0=(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)/2$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} D_1&=B\biggl(\boldsymbol{x}_1,\frac{r}{2}\biggr),&\qquad D_2&=B\biggl(\boldsymbol{x}_2,\frac{r}{2}\biggr), \\ D_3&=B(\boldsymbol{x}_0,r)\setminus(D_1\cup D_2),&\qquad D_4&=\mathbb R^N\setminus B(\boldsymbol{x}_0, r). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|G(\boldsymbol{x}_1)-G(\boldsymbol{x}_2)|\leqslant \sum_{l=1}^4 J_l \\ &\qquad:=\sum_{l=1}^4\biggl|\operatorname{(v.p.)} \int_{D_l}\bigl(\varPsi(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y}) \bigl(g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x}_1)\bigr)- \varPsi(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y})\bigl(g(\boldsymbol{y})- g(\boldsymbol{x}_2)\bigr)\bigr)\,d\boldsymbol{y}\biggr|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $|\varPsi(\boldsymbol{x})|\leqslant A/|\boldsymbol{x}|^{N}$, а $|g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x})|\leqslant \omega(|\boldsymbol{y}- \boldsymbol{x}|)|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^\mu$, и интегрируя в сферических координатах ($\rho=|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}_l|$ для $J_l$ при $l\in\{1,2\}$), получаем Чтобы оценить $J_4$, отметим, что $\operatorname{(v.p.)}\displaystyle\int_{D_4} \varPsi(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}=0$ и при $\boldsymbol{y}\in D_4$ выполнены неравенства $|\varPsi(\boldsymbol{x}_l-\boldsymbol{y})-\varPsi(\boldsymbol{x}_0- \boldsymbol{y})|\leqslant Ar/|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}_0|^{N+1}$ ($l\in\{1,2\}$). Отсюда, прибавляя под интегралом $J_4$ функцию $\varPsi(\boldsymbol{x}_0- \boldsymbol{y})(g(\boldsymbol{y})-g(\boldsymbol{x}_2))$ и вычитая функцию $\varPsi(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{y})(g(\boldsymbol{y})- g(\boldsymbol{x}_1))$, а затем снова интегрируя в сферических координатах ($\rho=|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}_0|$), имеем где в предпоследнем интеграле сделана замена $\rho=rt$. Остается элементарно проверить, что $\omega(r)\leqslant\Omega(r)$. Лемма доказана. Завершим доказательство теоремы 2.3 при $m\in(0,1)\cup(1,2)$, используя указанные выше редукционные аргументы. Зафиксируем шар $B=B(\boldsymbol{0},R)$ с условием $X\subset B(\boldsymbol{0},R-1)$, и пусть $f\in BC^m$ (по лемме 4.2 будем считать, что $\operatorname{Supp}(f)\subset B(\boldsymbol{0},R-1)$). Положим $f_0=\varPhi_0*(\mathcal Lf)=(\lambda\delta_{\boldsymbol{0}}+\varPsi)*f$. По лемме 4.3
$$
\begin{equation*}
f_0\in BC^m\quad\text{и}\quad \omega^m(f_0,r)\leqslant A\Omega^m(f,r).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $f\in\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)$, т. е. существует последовательность $\{f_n\}^{+\infty}_{n=1}\subset BC^m$ такая, что каждая из функций $f_n$ является $\mathcal L$-аналитической в (своей) окрестности компакта $X$ и $\|f-f_n\|_m\to0$ при $n\to+\infty$ (по лемме 4.2 будем считать, что $\operatorname{Supp}(f_n)\subset B(\boldsymbol{0},R)$). Тогда функции $f_{0n}=\varPhi_0*{\mathcal L}f_n$ являются $\mathcal L_0$-аналитическими в окрестностях $X$ и выполнено условие $\|f_0-f_{0n}\|_m\to0$ при $n\to+\infty$, т. е. $f_0\in\mathcal A^m_{\mathcal L_0}(X)$. Обратно, пусть $f_0\in\mathcal A^m_{\mathcal L_0}(X)$ и пусть $f_{0n}$ (при $n\in\mathbb N$) являются $\mathcal L_0$-аналитическими в окрестностях $X$ с условием $\|f_0-f_{0n}\|_m\to0$ при $n\to+\infty$. Выберем $\varphi$ как в доказательстве леммы 4.2, и пусть $f_0^*=\varphi f_0$, $f_{0n}^*=\varphi f_{0n}$. Поскольку, очевидно, $\|f^*_0-f^*_{0n}\|_m\to0$ при $n\to+\infty$, т. е. $f^*_0\in\mathcal A^m_{\mathcal L_0}(X)$, мы можем (применяя наши выкладки в “обратную” сторону) доказать, что
$$
\begin{equation*}
f^*=\varPhi*(\mathcal L_0f^*_0)\in\mathcal A^m_{\mathcal L}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь достаточно учесть, что $\mathcal L(f-f^*)=\mathcal L_0(f_0-f^*_0)=\mathcal L_0(f_0(1-\varphi))=0$ в окрестности $X$, т. е. $f\in\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)$. Таким образом, сведение теоремы 2.3 при $m\in(0,1)\cup(1,2)$ для произвольных $\mathcal L$ к гармоническому и бианалитическому случаю завершено, и для завершения доказательства теоремы нам остается рассмотреть случай $\mathcal L=\Delta$, $m\in(1,2)$ и $N\geqslant3$. Доказательство теоремы 2.3 при $\mathcal L=\Delta$, $m\in(1,2)$, $N\geqslant3$Докажем соответствующее утверждение с заменой в (c) величины $\Omega^{m}(f,r)$ на $\omega^{\mu}(\nabla f,r)$. Нам потребуется несколько подготовительных утверждений и конструкций. Через $\varPhi$ обозначается фундаментальное решение оператора Лапласа $\Delta$ в $\mathbb R^N$ (произвольное $N\in\{3,4,\dots\}$ фиксируется). При $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^N)$ определим локализационный оператор типа Витушкина [8], [7] в контексте гармонических функций:
$$
\begin{equation*}
f\mapsto V_\varphi(f)=\varPhi*(\varphi\Delta f),\qquad f\in C(\mathbb R^N).
\end{equation*}
\notag
$$
Нам нужно установить несколько новых свойств этого оператора, связанных с его возможным продолжением на более широкий класс “индексов” $\varphi$ при определенных ограничениях “гладкости” на функцию $f$. Для (вектор-)функции $g$, ограниченной на неодноточечном множестве $E\subset\mathbb R^N$, при $\mu\in(0,1)$ и $\delta\in(0,+\infty]$ введем модули непрерывности
$$
\begin{equation*}
\omega^\mu_{E}(g,\delta)= \sup\biggl\{\frac{|g(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{y})|} {|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^\mu} \colon \boldsymbol{x}\in E,\ \boldsymbol{y}\in E,\ 0<|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|<\delta\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и полунормы $\|g\|'_{\mu,E}=\omega^\mu_{E}(g,+\infty)$. При $E=\mathbb R^N$ и $m=1+\mu\in(1,2)$ полагаем
$$
\begin{equation*}
\omega^\mu_{f}(\delta)=\omega^\mu_{\mathbb R^N}(f,\delta),\qquad \omega^m_{f}(\delta)=\omega^\mu_{\mathbb R^N}(\nabla f,\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\omega^m_{f}(\delta)$ согласуется с введенным ранее обозначением $\omega^\mu_1(f,\delta)$. Лемма 4.4. Пусть $B=B(\boldsymbol{a},r)$, $\psi(\boldsymbol{x})=\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})$ (см. лемму 4.1), и пусть $m=1+\mu\in(1,2)$. Тогда при $f\in BC^m$ функция $V_\psi(f)\in BC^m$ корректно определена, гармонична на множестве, где была гармонична $f$, и вне $\overline{B}$, причем Читатель может сравнить последнее утверждение со стандартными результатами на эту тему – см. лемму 2.1 в [7]. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$. Кроме того, из соображений регуляризации можно дополнительно предполагать, что $f\in C_0^\infty$. Тогда легко показать, что функция $V_\psi(f)\in BC^m$ корректно определена. Перепишем функцию $V_\psi(f)$ и компоненты вектора $\nabla(V_\psi(f))$ в виде, подходящем для их дальнейшего распространения на функции $f\in BC^m$ (достаточно даже брать $f\in C^m(\overline{B})$):
$$
\begin{equation*}
V_\psi(f)=\varPhi*\biggl(\psi\sum_{i=1}^N \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\biggr)=\sum_{i=1}^N \bigl(\varPhi_i*(\psi f_i)-\varPhi*(f_i\psi_i)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}- \frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg|_{\boldsymbol{0}},\quad \psi_i=\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\quad\text{и}\quad \varPhi_i=\frac{\partial\varPhi}{\partial x_i}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Последняя сумма уже задает корректное выражение для $V_\psi(f)$ при произвольной $f\in C^m(\overline{B})$, т. е. все входящие в нее интегралы сходятся абсолютно. Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_j}V_\psi(f)= \varPhi*(\psi_j\Delta f+\psi\Delta f_j)=:I_1+I_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где (мы полагаем $\psi_{ji}=\partial\psi_j/\partial x_i$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1&=\varPhi*\biggl(\psi_j\sum_{i=1}^N \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\biggr)= \sum_{i=1}^N\varPhi_i*(\psi_jf_i)- \varPhi*\biggl(\,\sum_{i=1}^Nf_i\psi_{ji}\biggr), \\ I_2&=\varPhi*\bigl(\Delta(\psi f_j)-2\nabla\psi\nabla f_j-f_j\Delta\psi\bigr) \\ &=\psi f_j-\varPhi*(f_j\Delta\psi)-2\sum_{i=1}^N\varPhi_i*(\psi_i f_j)+ 2\varPhi*(f_j\Delta\psi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial x_j}V_\psi(f)= \psi f_j+\sum_{i=1}^N\varPhi_i*(\psi_j f_i-2\psi_i f_j)+ \varPhi*\biggl(f_j\Delta\psi-\sum_{i=1}^N f_i\psi_{ji}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Как доказано выше (см. (20)–(22)), в обобщенном смысле имеем ($B=B(\boldsymbol{0},r)$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\psi_{ij}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{N|B|r}\,x_i x_j\, d\sigma(\boldsymbol{x})\big|_{\partial B},\qquad i\ne j, \\ &\psi_{jj}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{N|B|r}\,x_j^2\, d\sigma(\boldsymbol{x})\big|_{\partial B}-\frac{1}{N|B|}\,d\boldsymbol{x}\big|_B. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, нам достаточно оценить $\omega^{\mu}(h,\delta)$ для функций $h$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_1=\psi f_j,\qquad h_2(\boldsymbol{x})=\int_B\varPhi_i(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \psi_j(\boldsymbol{y})f_k(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}, \\ h_3(\boldsymbol{x})=\frac{1}{N|B|}\int_B\varPhi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{y})f_j(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и, наконец, Все эти функции уже регулярны, т. е. определяющие их интегралы сходятся абсолютно для произвольной функции $f\in C^m(\overline{B})$.
Оценим $\omega^{\mu}(h_1,\delta)$. Пусть $0<|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|<\delta$. Оценку в случае произвольного расположения точек $\boldsymbol{x}_1$ и $\boldsymbol{x}_2$ легко свести к случаю $\boldsymbol{x}_1\in\overline{B}$ и $\boldsymbol{x}_2\in \overline{B}$, $\delta\leqslant 2r$. Тогда, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|\psi\|\leqslant \frac{A}{r^{N-2}}\,,\qquad \|\nabla\psi\|\leqslant \frac{A}{r^{N-1}}\,,\quad \omega^\mu_{\overline{B}}(f_j,\delta)\leqslant \omega^\mu(\delta):= \omega^\mu_{\overline{B}}(\nabla f,\delta), \\ \|f_j\|_{\overline{B}}\leqslant\omega^\mu(r)r^\mu, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \frac{|h_1(\boldsymbol{x}_1)-h_1(\boldsymbol{x}_2)|} {|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|^\mu} &\leqslant \frac{\psi(\boldsymbol{x}_1)|f_j(\boldsymbol{x}_1)-f_j(\boldsymbol{x}_2)|+ |f_j(\boldsymbol{x}_2)|\,|\psi(\boldsymbol{x}_1)- \psi(\boldsymbol{x}_2)|}{|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|^\mu} \\ &\leqslant \frac{A\omega^\mu(\delta)}{r^{N-2}}+ \frac{A\omega^\mu(r)(\delta/r)^{1-\mu}}{r^{N-2}}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
так что $\omega^\mu(h_1,\delta)\to0$ при $\delta\to0$ (т. е. $h_1\in C^m(\mathbb R^N)$) и $\|h_1\|'_\mu\leqslant A\omega^\mu(r)/r^{N-2}$.
Так как соответствующие оценки для функций $h_2$ и $h_3$ проводятся аналогично, мы обсудим их только для $h_2$. Этот метод оценивания уже применялся при доказательстве леммы 4.3. Пусть $|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|=\delta>0$, $b=\min\{\delta,r\}$, $\boldsymbol{x}_0=(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2)/2$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} D_1&=B\biggl(\boldsymbol{x}_1,\frac{\delta}{2}\biggr),&\qquad D_2&=B\biggl(\boldsymbol{x}_2,\frac{\delta}{2}\biggr), \\ D_3&=B(\boldsymbol{x}_0,\delta)\setminus (D_1\cup D_2),&\qquad D_4&=\mathbb R^N\setminus B(\boldsymbol{x}_0,\delta). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
|h_2(\boldsymbol{x}_1)-h_2(\boldsymbol{x}_2)|\leqslant \sum_{l=1}^4\int_{D_l\cap B}|\varPhi_i(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y})- \varPhi_i(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y})|\, |\psi_j(\boldsymbol{y})f_k(\boldsymbol{y})|\,d\boldsymbol{y}=:\sum_{l=1}^4J_l.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая неравенства
$$
\begin{equation*}
|\varPhi_i(\boldsymbol{x})|\leqslant \frac{A}{|\boldsymbol{x}|^{N-1}}\,,\quad \|\psi_j\|\leqslant \frac{A}{r^{N-1}}\quad\text{и}\quad \|f_k\|_{\overline{B}}\leqslant\omega^\mu(r)r^\mu,
\end{equation*}
\notag
$$
нетрудно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1+J_2&\leqslant \frac{A\omega^\mu(r)r^\mu}{r^{N-1}} \int_{D_1\cap B}(|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y}|^{-N+1}+ \delta^{-N+1})\,d\boldsymbol{y} \\ &\leqslant \frac{A\omega^\mu(r)r^\mu}{r^{N-1}} \int_{B(\boldsymbol{0},b)}(|\boldsymbol{y}|^{-N+1}+ \delta^{-N+1})\,d\boldsymbol{y} \\ &\leqslant \frac{A_1\omega^\mu(r)r^\mu b}{r^{N-1}} \leqslant \frac{A_1\omega^\mu(r)b^\mu (b/r)^{1-\mu}}{r^{N-2}}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что соответствует оценке (24). Оценка интеграла $J_3$ тривиальна и также соответствует (24). Чтобы оценить $J_4$, отметим, что при $\boldsymbol{y}\in D_4$ выполнено неравенство $|\varPhi_i(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y})- \varPhi_i(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y})|\leqslant A\delta\big/|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}_0|^N$, и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
J_4\leqslant \frac{A\omega^\mu(r)r^\mu}{r^{N-1}} \int_{B(\boldsymbol{0},\delta+\varepsilon)\setminus B(\boldsymbol{0},\delta)} \delta|\boldsymbol{y}|^{-N}\,d\boldsymbol{y},
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\delta+\varepsilon)^N-\delta^N=r^N$, так что $\varepsilon<r$. Случай $\delta>r/2$ здесь тривиален (сразу приводит к оценке типа (24)). Пусть теперь $\delta\leqslant r/2$, тогда, интегрируя в сферических координатах, получаем
$$
\begin{equation}
J_4\leqslant\frac{A\omega^\mu(r)r^\mu}{r^{N-1}}\,\delta\ln\frac{r}{\delta} \leqslant \frac{A_1\omega^\mu(r)}{r^{N-2}}\,\delta^\mu \biggl(\frac{\delta}{r}\biggr)^{1-\mu}\ln\frac{r}{\delta}\,,
\end{equation}
\tag{25}
$$
что также дает нужный результат, поскольку выражение $(\delta/r)^{1-\mu}\ln(r/\delta)$ при $\delta\leqslant r/2$ легко оценивается параметром, зависящим только от $\mu$.
Осталось оценить $\omega^\mu(h_4,\delta)$. Имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |h_4(\boldsymbol{x}_1)-h_4(\boldsymbol{x}_2)|&\leqslant \frac{1}{N|B|r}\int_{\partial B}|\varPhi(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y})- \varPhi(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y})|\, |f_k(\boldsymbol{y})y_i y_j|\,d\sigma(\boldsymbol{y}) \\ &\leqslant \frac{A\omega^\mu(r)r^\mu r^2}{r^{N+1}}\int_{\partial B}| \varPhi(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y})- \varPhi(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y})|\,d\sigma(\boldsymbol{y}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим последний интеграл
$$
\begin{equation*}
J=\int_{\partial B}\bigl|\varPhi(\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y})- \varPhi(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y})\bigr|\,d\sigma(\boldsymbol{y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|=\delta>0$, причем $\boldsymbol{x}_2$ находится не дальше от $\partial B$, чем $\boldsymbol{x}_1$. Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1: точка $\boldsymbol{x}_1$ не лежит на $\partial B$ и $|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|< \operatorname{dist}(\boldsymbol{x}_1,\partial B)/2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
J\leqslant A\delta\int_{\partial B}\frac{d\sigma(\boldsymbol{y})} {|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y}|^{N-1}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\delta>r/2$ имеем $J\leqslant A\delta$, и этого достаточно (как в (24)). При $\delta\leqslant r/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
J\leqslant A\delta\int_{|\boldsymbol{x}'|<r} \frac{d\boldsymbol{x}'}{(|\boldsymbol{x}'|^2+\delta^2)^{(N-1)/2}} \leqslant A\delta\ln \frac{r}{\delta}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
что также достаточно (как в (25)).
Случай 2: точка $\boldsymbol{x}_1$ снова не лежит на $\partial B$, но $|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|\geqslant \operatorname{dist}(\boldsymbol{x}_1,\partial B)/2$. Этот случай элементарными рассуждениями сводится к двум следующим случаям. Случай 3: точка $\boldsymbol{x}_1$ не лежит на $\partial B$, а $\boldsymbol{x}_2\in\partial B$ – точка, ближайшая к $\boldsymbol{x}_1$ на $\partial B$. Снова при $\delta>r/2$ имеем $J \leqslant A r$, этого достаточно. При $\delta\leqslant r/2$ получаем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J &\leqslant A\int_{\partial B\cap B(\boldsymbol{x}_2,\delta)} \frac{d\sigma(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y}|^{N-2}}+ A\delta\int_{\partial B\setminus B(\boldsymbol{x}_2,\delta)} \frac{d\sigma(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{y}|^{N-1}} \\ &\leqslant A\delta\biggl(1+\ln\frac{r}{\delta}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что устраивает, как и раньше.
Случай 4: обе точки $\boldsymbol{x}_1$ и $\boldsymbol{x}_2$ лежат на $\partial B$, $\delta\leqslant 2r$. При $\delta>r/4$ имеем
$$
\begin{equation*}
J\leqslant 2\int_{\partial B} \frac{d\sigma(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{y}|^{N-2}} \leqslant A_1\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай $\delta \leqslant r/4$ рассматривается аналогично оценке функции $h_2$ выше (при этом размерность уменьшается на единицу). Лемма 4.4 доказана. Напомним понятие $C^m$-$\Delta$-емкости ограниченного множества $E\subset\mathbb R^N$ (где $N\geqslant3$, $m=1+\mu\in(1,2)$):
$$
\begin{equation}
\alpha^m(E)=\alpha^m_{\Delta}(E)=\sup\{\vert\langle\Delta f,1\rangle\vert \colon f\in\mathcal F^m(E)\},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $\mathcal F^m(E)$ состоит из всех $f\in BC^m(\mathbb R^N)$, удовлетворяющих следующим условиям: $\|\nabla f\|'_\mu\leqslant1$, $\operatorname{Supp}(\Delta f)\subset E$ (т. е. $f$ гармонична вне $E$) и $f=\varPhi*(\Delta f)$ (т. е. $f$ “регулярна” на $\infty$). Напомним определение $p$-мерного нижнего обхвата по Хаусдорфу ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^N$, $p\in(0,N]$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal M^p_*(E)=\sup_h\biggl\{\inf_{\{B_j\}}\sum_jh(r_j)\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем (не более чем счетным) покрытиям $\{B_j\}$ множества $E$ шарами $B_j$ с радиусами $r_j$, а супремум берется по всем неотрицательным непрерывным функциям $h$ на $(0,+\infty)$, удовлетворяющим условиям $h(t)\leqslant t^p$ и $h(t)t^{-p}\to 0$ при $t\to 0$. Как показано в [7; с. 178], для любого $\sigma$-компактного ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^N$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
A_0^{-1}\mathcal M_*^{N+m-2}(E)\leqslant\alpha^m(E)\leqslant A_0\mathcal M_*^{N+m-2}(E),
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $A_0>1$ зависит только от $(m,N)$. Кроме того, как нетрудно показать, при $0<p<N$ для любого ограниченного открытого множества $E$ в $\mathbb R^N$ имеем
$$
\begin{equation}
A^{-1}\mathcal M^p(E)\leqslant \mathcal M_*^p(E)\leqslant A\mathcal M^p(E),
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $A>1$ – абсолютная константа. Теперь мы готовы привести доказательство теоремы 2.3 в случае $\mathcal L=\Delta$, $m\in(1,2)$ и $N\geqslant3$. Сначала установим импликацию (a) $\Rightarrow$ (c). Пусть $f\in\mathcal A^m_{\Delta}(X)$ и последовательность $\{f_n\}^{+\infty}_{n=1}\subset BC^m$ такова, что каждая из функций $f_n$ является гармонической в (своей) окрестности компакта $X$ и $\|f-f_n\|_m\to0$ при $n\to+\infty$. Фиксируем $B=B(\boldsymbol{a},r)$ и $\varepsilon>0$. Найдется такое $n_\varepsilon\in\mathbb N$, что при всех $n\geqslant n_\varepsilon$ имеем $\|f-f_n\|_m<\varepsilon$, откуда следует, что $\omega^\mu_{\overline{B}}\bigl((\nabla f-\nabla f_n),r\bigr)<\varepsilon$. Поэтому нам достаточно установить оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mathcal O^\Delta_B(f_n)|&=\biggl|\frac{1}{\sigma(\partial B)} \int_{\partial B}f_n(\boldsymbol{x})\,d\sigma(\boldsymbol{x})- \frac{1}{|B|}\int_Bf_n(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}\biggr| \\ &\leqslant A\omega_n(r)r^{2-N}\mathcal M^{N-2+m} \bigl(B(\boldsymbol{a},r)\setminus X\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A=A(m,N)>0$ и $\omega_n(r)=\omega^\mu_{\overline{B}}(\nabla f_n,r)$. Пусть $h_n=V_\psi f_n$, где $\psi(\boldsymbol{x})=\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})$. По лемме 4.4
$$
\begin{equation*}
h_n\in BC^m,\qquad \|\nabla h_n\|'_\mu\leqslant A\omega_n(r)r^{2-N}
\end{equation*}
\notag
$$
и $h_n$ гармонична вне некоторого компакта из $E=\overline{B}\setminus X$. Согласно определению (26) и лемме 4.1
$$
\begin{equation*}
|\langle\Delta h_n,1\rangle|= |\langle\psi_{\boldsymbol{a}}^r\Delta f_n,1\rangle|= |\langle\Delta\psi_{\boldsymbol{a}}^r,f_n\rangle|= |\mathcal O^\Delta_B(f_n)|\leqslant A\omega_n(r)r^{2-N}\alpha^m(E).
\end{equation*}
\notag
$$
Остается учесть (27), равенство $\mathcal M_*^{N+m-2}(E)=\mathcal M_*^{N+m-2}(B\setminus X)$ и (28). Так как импликация (c) $\Rightarrow$ (b) очевидна, нам достаточно доказать импликацию (b) $\Rightarrow$ (a). Итак, пусть функция $f\in C^m_0$ удовлетворяет условию (b). Без ограничения общности можно считать, что $\omega^m_f(r)\leqslant \omega(r)$ (при всех $r> 0$). Зафиксируем произвольное $\delta>0$. При $\boldsymbol{j}=(j_1,\dots,j_N)\in\mathbb Z^N$ пусть $\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}}=(\delta j_1/N,\dots,\delta j_N/N)$ и $B_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}},\delta)$, так что шары $\{B(\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}},\delta/2)\}_{\boldsymbol{j}\in \mathbb Z^N}$ покрывают все $\mathbb R^N$. Зафиксируем функцию $\varphi\in C_0^\infty(B_{(0,\dots,0)})$, удовлетворяющую условиям $0\leqslant\varphi(\boldsymbol{x})\leqslant1$, $\varphi(\boldsymbol{x})=1$ при $|\boldsymbol{x}|\leqslant\delta/2$ и такую, что семейство
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\varphi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})= \varphi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}}) \biggl(\,\sum_{\boldsymbol{m}\in\mathbb Z^N}\varphi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{m}})\biggr)^{-1} \colon \boldsymbol{j}\in\mathbb Z^N\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
является разбиением единицы на $\mathbb R^N$ с оценками
$$
\begin{equation}
\|\nabla\varphi_{\boldsymbol{j}}\|\leqslant \frac{A}{\delta}\,,\quad \|\nabla^2\varphi_{\boldsymbol{j}}\|\leqslant \frac{A}{\delta^2}\,,\quad \|\nabla^3\varphi_{\boldsymbol{j}}\|\leqslant \frac{A}{\delta^3}\,,\qquad A=A(N)>1.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Пусть $\Psi(\boldsymbol{x})= N(N+2)\psi^\delta_{\boldsymbol{0}}(\boldsymbol{x})\big/\delta^2$ (см. лемму 4.1); множитель $N(N+2)/\delta^2$ выбран с тем условием, что
$$
\begin{equation*}
\int_{B(\boldsymbol{0},\delta)}\Psi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем новое разбиение единицы $\bigl\{\varphi^*_{\boldsymbol{j}}= \Psi*\varphi_{\boldsymbol{j}} \colon \boldsymbol{j}\in\mathbb Z^N\bigr\}$, которое (с заменой $\varphi_{\boldsymbol{j}}$ на $\varphi^*_{\boldsymbol{j}}$) тоже удовлетворяет оценкам (29). Отметим, что $\varphi^*_{\boldsymbol{j}}\in C_0^\infty(B^*_{\boldsymbol{j}})$, где $B^*_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}},2\delta)$. Определим $f^*_{\boldsymbol{j}}=\varPhi*(\varphi^*_{\boldsymbol{j}}\Delta f)$. Тогда $\Delta f^*_{\boldsymbol{j}}=\varphi^*_{\boldsymbol{j}}\Delta f$, т. е. функция $f^*_{\boldsymbol{j}}$ “локализует” особенности функции $f$ внутри $B^*_{\boldsymbol{j}}$. Следующее свойство локализаций $f^*_{\boldsymbol{j}}$ установлено в [7; (20), с. 182] (упрощенный вариант нашей леммы 4.4):
$$
\begin{equation}
f^*_{\boldsymbol{j}}\in BC^m,\qquad \|\nabla f^*_{\boldsymbol{j}}\|'_\mu\leqslant A\omega(\delta).
\end{equation}
\tag{30}
$$
Поскольку (при фиксированном $\boldsymbol{x}$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})&=\langle\varPhi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{y})\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}), \Delta f(\boldsymbol{y})\rangle=\langle\Delta(\varPhi(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{x})\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y})), f(\boldsymbol{y})\rangle \\ &=\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})f(\boldsymbol{x})+ 2\int_B\nabla\varPhi(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{x})\nabla\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}) f(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y} \\ &\qquad+\int_B\varPhi(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{x})\Delta\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}) f(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при ${\boldsymbol x} \notin B^*_{\boldsymbol j}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})&=\int_B\varPhi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}})\Delta\varphi^*_{\boldsymbol{j}} (\boldsymbol{y})f(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y} \\ &\qquad+\int_B\bigl(\varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})- \varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}})\bigr) \Delta\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}) f(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y} \\ &\qquad+2\int_B\nabla\varPhi(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{x})\nabla\varphi^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}) f(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y} \\ &=\lambda_{\boldsymbol{j}}\varPhi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}})+\Theta_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_{\boldsymbol{j}}&=\langle f,\Delta\varphi^*_{\boldsymbol{j}}\rangle= -\langle\nabla f,\nabla\varphi^*_{\boldsymbol{j}}\rangle= -\langle\nabla f,(\nabla \Psi)*\varphi_{\boldsymbol{j}}\rangle, \\ \Theta_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})&=f^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})- \lambda_{\boldsymbol{j}}\varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}})= O(|\boldsymbol{x}|^{-N+1}),\qquad |\boldsymbol{x}|\to+\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, по теореме Фубини
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_{\boldsymbol{j}}&=-\int\biggl(\nabla f(\boldsymbol{x}) \int\nabla\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\varphi_{\boldsymbol{j}} (\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}\biggr)\,d\boldsymbol{x} \\ &=-\int\biggl(\varphi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}) \int\nabla f(\boldsymbol{x})\nabla\Psi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{x}\biggr)\,d\boldsymbol{y} \\ &=\int\bigl\langle\Delta\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}), f(\boldsymbol{x})\bigr\rangle\varphi_{\boldsymbol{j}} (\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 4.1 и условию (b) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\langle\Delta\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}),f(\boldsymbol{x})\rangle|&= N(N+2)\delta^{-2}|\mathcal O^\Delta_{B(\boldsymbol{y},\delta)}(f)| \\ &\leqslant A\omega(\delta)\delta^{-N}\mathcal M^{N-2+m}(B(\boldsymbol{y}, k\delta)\setminus X), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation}
|\lambda_{\boldsymbol{j}}|\leqslant A\omega(\delta)\mathcal M^{N-2+m} (B(\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}},(k+1)\delta)\setminus X).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Пусть $B^k_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{b}_{\boldsymbol{j}},(k+1)\delta)$ и
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{J}=\bigl\{\boldsymbol{j}\in\mathbb Z^N \colon B^k_{\boldsymbol{j}}\cap\operatorname{Supp}(f)\ne\varnothing\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $f=\displaystyle\sum_{\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{J}}f^*_{\boldsymbol{j}}$, причем если $B^*_{\boldsymbol{j}}\subset X$, то $f^*_{\boldsymbol{j}}=0$ и такие $\boldsymbol{j}$ мы более не рассматриваем. По определению (26) для каждого $\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{J}$ найдется функция $h_{\boldsymbol{j}}\in\mathcal F_m(B^k_{\boldsymbol{j}}\setminus X)$ с условием $\nu_{\boldsymbol{j}}=\langle\Delta h_{\boldsymbol{j}},1\rangle =2^{-1}\alpha^m(B^k_{\boldsymbol{j}}\setminus X)$. Пусть $g_{\boldsymbol{j}}= \lambda_{\boldsymbol{j}}\nu_{\boldsymbol{j}}^{-1}h_{\boldsymbol{j}}$. Тогда $g_{\boldsymbol{j}}\in BC^m$ гармонична в окрестности $X$ и вне $B^k_{\boldsymbol{j}}$, а ввиду (27), (28) и (31) имеем
$$
\begin{equation*}
\langle\Delta g_{\boldsymbol{j}},1\rangle= \lambda_{\boldsymbol{j}}=\langle\Delta f^*_{\boldsymbol{j}},1\rangle,\qquad \|\nabla g_{\boldsymbol{j}}\|'_\mu\leqslant A\omega(\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
в частности, $\nabla\big(f^*_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})- g_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})\big)=O(|\boldsymbol{x}|^{-N})$ при $|\boldsymbol{x}|\to+\infty$. Полагая $g=\displaystyle\sum_{\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{J}}g_{\boldsymbol{j}}$ и применяя лемму 3.2 из [7] (см. также (30)), получаем $\|\nabla(f-g)\|'_\mu\leqslant A\omega(\delta)$. Наконец, пусть $\operatorname{Supp}(f)\cup X\subset B(\boldsymbol{0},R)$, $R>0$, и $\varphi_0\in C_0^{\infty}(B(\boldsymbol{0},R+1))$, $\varphi_0=1$ на $B(\boldsymbol{0},R)$, фиксирована (не зависит от $\delta$). Положим
$$
\begin{equation*}
G(\boldsymbol{x})=\bigl(g(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{0})+ f(\boldsymbol{0})+(\nabla f(\boldsymbol{0})- \nabla g(\boldsymbol{0}))\boldsymbol{x}\bigr)\varphi_0(\boldsymbol{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко показать, что $\|f-G\|_m\to0$ при $\delta \to 0$, что и требовалось. Таким образом, доказательство теоремы 2.3 при $m\in(0,1)\cup(1,2)$ завершено. Замечания и комментарии к доказательству теоремы 2.3Заметим, что в лемме 4.1 можно взять функцию $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})$ другого вида, например $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})= A(r^2-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|^2)^2$ в $B=B(\boldsymbol{a},r)$ и $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})=0$ вне $B(\boldsymbol{a},r)$ (где $A>0$ – надлежащая положительная постоянная). Тогда $\mathcal O^L_B(f)$ и условия (b) и (c) в теореме 2.3 будут иметь несколько иную форму, а все основные утверждения сохраняются (см., например, [11; теорема 1]). Предыдущее доказательство теоремы 2.3 (где $N\geqslant3$, $m\in(1,2)$ и $\mathcal L_0=\Delta$) практически дословно переносится на случаи $N=2$, $m\in(1,2)$ и $\mathcal L_0=\partial^2/\partial\overline{z}^2$, однако оно не работает для $C^0$- и $C^1$-аппроксимаций. Основная причина здесь состоит в том, что сингулярные интегральные операторы свертки с ненулевыми ядрами $\varPsi$ и $\varPsi_0$ не являются локально инвариантными (ограниченными) в пространствах $BC^0$ и $BC^1$, а соответствующие емкости не описываются в терминах обхватов по Хаусдорфу. Эти случаи подробно рассматриваются в последующих разделах. Наконец, случаи $m\in(0,1)$ и $\mathcal L=\mathcal L_0$ (установленные в [9; теорема 1] и [11; теорема 1 (b)]) также требуют специального обсуждения. Общая схема рассуждений, использующая конструктивную схему Витушкина, здесь такая же, как при $m=0$ (см. раздел 7 ниже), но есть принципиальное отличие: ограниченность сингулярных интегральных операторов с ядрами Кальдерона–Зигмунда в пространствах Липшица порядка $m\in(0,1)$ значительно упрощает доказательство. Так же, как и при $m=0$, теорема 2.3 сводится к основной лемме, аналогичной лемме 7.2 (в [9], например, это лемма 1.1). В силу ограниченности при $m\in(0,1)$ указанных интегральных операторов аналог теоремы 2 из [5] представляет собой несложное утверждение (см., например, в [9; § 2] вывод леммы 1.1 из леммы 2.7). В лемме 2.7 из [9] утверждается возможность уравнять с надлежащими оценками, исходя только из аналога (86), лорановские коэффициенты при всех частных производных первого порядка фундаментального решения у всех локализаций исходной функции (см. [9; (1.5)]). Конструкция, приводящая к доказательству леммы 2.7 из [9], рассматривается в [9; § 3], она вполне содержательна и использует технику моментов остановки для двоичных кубов. Однако, в силу ограниченности указанных интегральных операторов, конструкция значительно проще во многих деталях, чем при $m=0$; в частности, определение согласованных пар кубов дается одной строчкой (см. [9; (3.2)]) и, в отличие от $m=0$, не требуется построение специальных липшицевых графов. Заметим, что в [25; теорема 1] в случае $m\in(0,1)\cup(1,2)$ получен критерий приближаемости для классов функций, представляющий собой следствие 8.1 теоремы 2.3, причем доказательство использует двойственные аргументы в пространствах Лизоркина–Трибеля. В отличие от [25], доказательство теоремы 2.3, обсуждаемое в настоящем обзоре, при $m\in(0,1)\cup(1,2)$ полностью конструктивно. 5. $C^1$-$\mathcal L$-аппроксимации. Описание $\gamma^1_{\mathcal L}$-емкостейМы приведем подробный план доказательства теоремы 2.3 при $m=1$ и $N\geqslant 3$ из [16] (более простой случай $N=2$ можно найти в [14]). Описание $\gamma^1_{\mathcal L}$- и $\alpha^1_{\mathcal L}$-емкостей, полученное К. Толсой [27], мы отложим до конца этого раздела. Всюду далее в этом разделе фиксируются $N\in\{3,4,\dots\}$ и произвольный оператор $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$. Пронумерованные константы $A_j>0$ (существование которых составляет часть соответствующих утверждений) фиксируются, а константа $A>1$ может принимать разные значения в разных соотношениях. При $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^N)$ определим локализационный оператор типа Витушкина [8], [7], соответствующий оператору $\mathcal L$:
$$
\begin{equation}
f\mapsto V_\varphi(f)=\varPhi*(\varphi\mathcal L f),\qquad f\in C(\mathbb R^N).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Нам потребуется одно новое свойство этого оператора, связанное с его возможным продолжением на более широкий класс “индексов” $\varphi$ при $f\in C^1$. Лемма 5.1. Фиксируем произвольную функцию $\varphi\in C^1(\overline{B(\boldsymbol{a},r)})$, $\varphi=0$ вне шара $B(\boldsymbol{a},r)$. Тогда для любой функции $f\in C^1_0(\mathbb R^N)$ выполняются следующие свойства: Полное доказательство этой леммы приведено в [14; лемма 2.2] для двумерного случая. Оно дословно переносится и на произвольные размерности (см. также [28; лемма 3.4]). Из вещественной аналитичности в $\mathbb R^N\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ и однородности порядка $2-N$ фундаментального решения $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$ вытекают следующие оценки:
$$
\begin{equation}
|\partial^\beta\varPhi(\boldsymbol{x})|\leqslant |A_1|^{|\beta|}\beta!\,|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|^{2-N-|\beta|},
\end{equation}
\tag{33}
$$
где для $N$-индекса $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_N)\in \mathbb Z_+^N$, как всегда, $\beta!=\beta_1!\cdots\beta_N!$ и $\boldsymbol{x}^\beta=x_1^{\beta_1}\cdots x_N^{\beta_N}$. Нам понадобится следующий упрощенный вариант теоремы о разложении $\varPhi$-потенциалов в ряды типа Лорана (см., например, [29]). Лемма 5.2. Положим $A_2=2A_1+1$. Пусть $T$ – распределение с компактным носителем в шаре $B(\boldsymbol{a},r)$, и пусть $g=\varPhi_{\mathcal L}*T \in C^1(\mathbb R^N)$. Тогда на множестве $\{\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N \colon|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|>A_2r\}$ справедливо разложение Доказательство этой леммы вытекает из указанных выше свойств функций $\varPhi=\varPhi_{\mathcal L}$ и оценок (36) в приведенной ниже лемме (при $E=B(\boldsymbol{a},r)$). Отметим, что в лемме 5.2 коэффициент $c_0(g)=c_{(0,\dots,0)}(g,\boldsymbol{a})$ не зависит от точки $\boldsymbol{a}$, а если $c_0(g)=0$, то коэффициенты $c_{\beta}(g,\boldsymbol{a})$ не зависят от $\boldsymbol{a}$ при $|\beta|=1$. Для класса функций $\mathcal I$ и числа $\tau\geqslant 0$ обозначим через $\tau\mathcal I$ класс $\{\tau g \colon g\in\mathcal I\}$. Определим $C^1$-$\mathcal L$-емкость ограниченного множества $E$ в $\mathbb R^N$:
$$
\begin{equation}
\alpha^1(E)=\alpha^1_{\mathcal L}(E)=\sup\bigl\{|\langle\mathcal Lg,1\rangle| \colon g\subset\mathcal I_1(E)\bigr\},
\end{equation}
\tag{35}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathcal I_1(E)=\bigl\{\varPhi_{\mathcal L}*T \colon \operatorname{Supp}(T)\subset E,\ \varPhi_{\mathcal L}*T\in BC^1,\ \|\nabla\varPhi*T\|\leqslant 1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что емкость $\alpha^1(\,\cdot\,)$ является монотонной функцией множеств, инвариантной относительно сдвигов и однородной порядка $N-1$ (относительно гомотетий с положительными коэффициентами). В частности,
$$
\begin{equation*}
\alpha^1(B(\boldsymbol{a},r))=A(N,\mathcal L)r^{N-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно также доказать, что для открытых ограниченных множеств $E$ в $\mathbb R^N$ имеем $\alpha^1_{\mathcal L}(E)=\gamma^1_{\mathcal L}(E)$. Другие метрические свойства этих емкостей мы обсудим в конце этого раздела: в этом доказательстве они нам не потребуются. Доказательство следующей леммы стандартно (см., например, доказательства леммы 3.3 и следствия 3.4 из [30]). Лемма 5.3. Пусть $E\subset B(\boldsymbol{a},r)$ и $g\in\mathcal I_1(E)$. Тогда В обозначениях леммы 5.2 далее полагаем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{c}^1(g,\boldsymbol{a})=(c_{(1,0,\dots,0)}(g,\boldsymbol{a}), \dots,c_{(0,\dots,0,1)}(g,\boldsymbol{a}))= (c^1_1(g,\boldsymbol{a}),\dots,c^1_N(g,\boldsymbol{a})).
\end{equation}
\tag{40}
$$
В этом разделе мы докажем некоторое обобщение теоремы 2.3. Зафиксируем произвольную четную функцию $\varphi_1$ из $C(\mathbb R^N)\cap C^1(\overline{B(\boldsymbol{0},1)})$, удовлетворяющую условиям $\operatorname{Supp}(\varphi_1)\subset\overline{B(\boldsymbol{0},1)}$ и $\displaystyle\int\varphi_1(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=1$. Пусть $\varphi_r^{\boldsymbol{a}}(\boldsymbol{x})= \varphi_1((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})/r)/r^N$ и $\varphi_r=\varphi_r^{\boldsymbol{0}}$. Тогда $\|\nabla\varphi_r^{\boldsymbol{a}}\|=r^{-N-1}\|\nabla\varphi_1\|$. Аналогично теореме 2.2 работы [31], теорема 2.3 является частным случаем следующего результата. Теорема 5.1. Для произвольного компакта $X$ в $\mathbb R^N$ и $f\in C^1_0(\mathbb R^N)$ следующие условия эквивалентны: Нетрудно установить, что при $\varphi_1=N(N+2)\psi_{\boldsymbol{0}}^1$ (см. лемму 4.1) эта теорема совпадает с теоремой 2.3, а при $\mathcal L=\Delta$ оценка (41) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{B(\boldsymbol{a},r)}\nabla f(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a})\,d\boldsymbol{x}\biggr|\leqslant \omega(r)r^2\alpha^1_{\Delta}\bigl(B(\boldsymbol{a},kr)\setminus X\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где интеграл в левой части последней оценки (по теореме Фубини) есть усредненный поток векторного поля $\nabla f$ через сферы $\partial B(\boldsymbol{a},\rho)$ при $\rho\in(0,r)$. Доказательство импликации (a) $\Rightarrow$ (c) в теореме 5.1. Пусть $f$ входит в $\mathcal A^1_{\mathcal L}(X)$, и найдется последовательность $\{f_m\}_{m=1}^{+\infty}\subset BC^1$ такая, что каждая функция $f_m$ является $\mathcal L$-аналитической в некоторой (своей) окрестности $U_m$ компакта $X$ и $\|f-f_m\|_1\to0$ при $m\to+\infty$. Из соображений регуляризации мы можем дополнительно потребовать, чтобы каждая функция $f_m$ принадлежала пространству $C^\infty(\mathbb R^N)$. Фиксируем произвольные $B=B(\boldsymbol{a},r)$ и $\varepsilon\in(0,r/2)$. Найдется $m_\varepsilon\in\mathbb N$ такое, что для всех $m\geqslant m_\varepsilon$ имеем $\|f-f_m\|_1<\varepsilon$, откуда следует, что $\omega(\nabla f-\nabla f_m,r)<2\varepsilon$. Поэтому достаточно установить оценку
$$
\begin{equation*}
\biggl|\,\sum_{i,j=1}^Nc_{ij}\int_{B(\boldsymbol{a},r)} \frac{\partial}{\partial x_i}f_m(\boldsymbol{x}) \frac{\partial}{\partial x_j}\varphi_r^{\boldsymbol{a}} (\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}\biggr|\leqslant A\omega_m(r)r^{-N}\alpha^1\bigl(B(\boldsymbol{a},r)\setminus X\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $A=A(\mathcal L,N,\|\nabla\varphi_1\|)$ и $\omega_m(r)=\omega(\nabla f_m,r)$, а затем устремить $\varepsilon$ к нулю.
Пусть $h_m=V_\varphi f_m$, где $\varphi(\boldsymbol{x})= \varphi^{\boldsymbol{a}}_{r-\varepsilon}(\boldsymbol{x})$. По лемме 5.1
$$
\begin{equation*}
h_m\in BC^1,\qquad \|\nabla h_m\|\leqslant A_0\omega(\nabla f_m,r)r\|\nabla\varphi\|
\end{equation*}
\notag
$$
и $h_m$ является $\mathcal L$-аналитической вне некоторого компакта $E\subset B\setminus X$. Из определения (35) и леммы 5.1 интегрированием по частям получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\langle\mathcal Lh_m,1\rangle|&=|\langle\varphi,\mathcal Lf_m\rangle|= \biggl|\,\sum_{i,j=1}^Nc_{ij}\int_{B(\boldsymbol{a},r)} \frac{\partial}{\partial x_i}f_m(\boldsymbol{x}) \frac{\partial}{\partial x_j}\varphi(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}\biggr| \\ &\leqslant A_0\omega(\nabla f_m,r)r\|\nabla\varphi\|\alpha^1 \bigl(B(\boldsymbol{a},r)\setminus X\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство (a) $\Rightarrow$ (c), поскольку $\|\nabla\varphi\|\leqslant (2r)^{-N-1}\|\nabla\varphi_1\|$. Поскольку импликация (c) $\Rightarrow$ (b) очевидна, мы переходим к доказательству основной части теоремы 5.1. Доказательство импликации (b) $\Rightarrow$ (a) в теореме 5.1. Выберем $R>0$ такое, что $X\subset B(\boldsymbol{0},R)$ и $f(\boldsymbol{x})=0$ при $|\boldsymbol{x}|>R$. В условии (41) мы будем всегда предполагать, что $\omega(\delta)\geqslant\omega(\nabla f,\delta)$.
Фиксируем $\delta>0$ (в конце доказательства $\delta$ устремляется к нулю) и некоторое стандартное $\delta$-разбиение единицы $\{(\varphi_{\boldsymbol{j}},B_{\boldsymbol{j}}) \colon \boldsymbol{j}=(j_1,\dots,j_N)\in\mathbb Z^N\}$ в $\mathbb R^N$. Точнее: $B_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},\delta)$, где $\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}=(j_1\delta/N,\dots,j_N\delta/N)\in \mathbb R^N$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi_{\boldsymbol{j}}\in C_0^\infty(B_{\boldsymbol{j}}),\qquad 0\leqslant\varphi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})\leqslant1,\qquad \|\nabla\varphi_{\boldsymbol{j}}\|\leqslant \frac{A_6}{\delta}\,,\qquad \sum_{\boldsymbol{j}\in\mathbb Z^N}\varphi_{\boldsymbol{j}}\equiv1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим новое разбиение единицы $\{(\psi_{\boldsymbol{j}}, B'_{\boldsymbol{j}})\}$, где $\psi_{\boldsymbol{j}}= \varphi_\delta*\varphi_\delta*\varphi_{\boldsymbol{j}}$, $B'_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},3\delta)$ (напомним, что $\varphi_\delta=\varphi_\delta^{\boldsymbol{0}}$). Ясно, что $\psi_{\boldsymbol{j}}\in C_0^\infty(B'_{\boldsymbol{j}})$ и $\|\nabla\psi_{\boldsymbol{j}}\|\leqslant A/\delta$. Определим так называемые локализованные функции $f_{\boldsymbol{j}}=\varPhi_{\mathcal L}*(\psi_{\boldsymbol{j}}\mathcal Lf)$. Лемма 5.4. Функции $f_{\boldsymbol{j}}$ обладают следующими свойствами. 1) $f_{\boldsymbol{j}}\in A\omega(\nabla f,\delta) \mathcal I_1(B'_{\boldsymbol{j}}\setminus X^0)$. 2) $f=\displaystyle\sum_{\boldsymbol{j}}f_{\boldsymbol{j}}$, и эта сумма конечна ($f_{\boldsymbol{j}}=0$ при $B'_{\boldsymbol{j}}\cap B(\boldsymbol{0},R)=\varnothing$). 3) При $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|>3A_2\delta$ справедливо разложение
$$
\begin{equation*}
f_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})= \sum_{|\beta|\geqslant0}c_{\beta\boldsymbol{j}}\partial^\beta \varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber c_{\beta\boldsymbol{j}}&=(-1)^{|\beta|}(\beta!)^{-1} \langle\psi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y})\mathcal Lf(\boldsymbol{y}), (\boldsymbol{y}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}})^\beta\rangle \\ &=(-1)^{|\beta|}(\beta !)^{-1}\int f(\boldsymbol{y}) \mathcal L\bigl(\psi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y})(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}})^\beta\bigr)\,d\boldsymbol{y}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Пусть $G_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},(k+2)\delta) \setminus X$. Тогда, полагая для краткости $c_{0\boldsymbol{j}}=c_0(f_{\boldsymbol{j}})$ и $\boldsymbol{c}^1_{\boldsymbol{j}}=\boldsymbol{c}^1(f_{\boldsymbol{j}}, \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}})=(c^1_{1\boldsymbol{j}},\dots, c^1_{N\boldsymbol{j}})$ (см. (40)), имеем оценки Доказательство. Отметим, что последние две оценки являются следствиями неравенств (41), а не (36). Мы следуем доказательству леммы 2.5 из [31].
Формула (42) вытекает из леммы 5.2, леммы 5.1, определения $f_{\boldsymbol{j}}$ и интегрирования по частям. Докажем (43). Пусть $\varphi_{\boldsymbol{j}}^*=\varphi_\delta*\varphi_{\boldsymbol{j}}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\varphi_{\boldsymbol{j}}^*\in C_0^\infty(B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},2\delta)),\qquad 0\leqslant\varphi_{\boldsymbol{j}}^*\leqslant1,\qquad \psi_{\boldsymbol{j}}=\varphi_\delta*\varphi_{\boldsymbol{j}}^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Из равенства (42), теоремы Фубини и неравенства (41) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |c_{0\boldsymbol{j}}|&=\biggl|\int f(\boldsymbol{x})\mathcal L(\varphi_\delta* \varphi_{\boldsymbol{j}}^*(\boldsymbol{x}))\,d\boldsymbol{x}\biggr|= \biggl|\,\sum_{i,j=1}^Nc_{ij}\int\frac{\partial}{\partial x_i} f(\boldsymbol{x})\frac{\partial}{\partial x_j}(\varphi_\delta* \varphi_{\boldsymbol{j}}^*(\boldsymbol{x}))\,d\boldsymbol{x}\biggr| \\ &=\biggl|\int_{B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},2\delta)} \biggl(\,\sum_{i,j=1}^Nc_{ij}\int\frac{\partial}{\partial x_i} f(\boldsymbol{x})\frac{\partial}{\partial x_j}\varphi_\delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{x}\biggr) \varphi_{\boldsymbol{j}}^*(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}\biggr| \\ &\leqslant A\biggl|\int_{B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},2\delta)} \varphi_{\boldsymbol{j}}^*(\boldsymbol{y})\omega(\delta)\delta^{-N} \alpha^1(B(\boldsymbol{y},k\delta)\setminus X)\,d\boldsymbol{y}\biggr| \leqslant A\omega(\delta)\alpha^1(G_{\boldsymbol{j}}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для получения оценок (44) заметим, что из формулы (42) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
c^1_{n\boldsymbol{j}}=-\int f(\boldsymbol{y})\mathcal L \bigl(\psi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y}) (y_n-a_{n\boldsymbol{j}})\bigr)\,d\boldsymbol{y},\qquad a_{n\boldsymbol{j}}=\frac{j_n\delta}{N}\,,\quad n\in\{1,\dots,N\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Затем устанавливаем, что функции $\psi_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{y})(y_n-a_{n\boldsymbol{j}})$ имеют вид $\varphi_\delta*\chi_{n\boldsymbol{j}}$, где $\chi_{n\boldsymbol{j}}\in C_0^\infty(B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},2\delta))$ и $\|\chi_{n\boldsymbol{j}}\|\leqslant A\delta$. Это делается аналогично [31; доказательство леммы 2.5] или [11; лемма 3.4] с использованием преобразования Фурье. Далее поступаем, как в доказательстве оценок (43). Лемма доказана. Теперь приведем схему аппроксимации функции $f=\displaystyle\sum f_{\boldsymbol{j}}$ по аналогии с [30], [11; § 6] и [14]. Положим $\boldsymbol{J}=\{\boldsymbol{j}\in\mathbb Z^N \colon B'_{\boldsymbol{j}}\cap\partial X\ne\varnothing\}$. Если $\boldsymbol{j}\not\in \boldsymbol{J}$, то $f_{\boldsymbol{j}}\in\mathcal A^1_{\mathcal L}(X)$ по свойству 1) из леммы 5.4, так что эти $f_{\boldsymbol{j}}$ не надо приближать. Пусть теперь $\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{J}$. По определению $\alpha^1(G_{\boldsymbol{j}})$ (напомним, что $G_{\boldsymbol{j}}=B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},(k+2)\delta) \setminus X$) и ввиду (43) найдутся функции $f_{\boldsymbol{j}}^*\in A\omega(\delta){\mathcal I}_1(G_{\boldsymbol{j}}) \subset\mathcal A^1_{\mathcal L}(X)$ такие, что $c_0(f_{\boldsymbol{j}}^*)=c_0(f_{\boldsymbol{j}})$. Пусть $g_{\boldsymbol{j}}=f_{\boldsymbol{j}}-f_{\boldsymbol{j}}^*$ (и пусть $f_{\boldsymbol{j}}^*= f_{\boldsymbol{j}}$ и $g_{\boldsymbol{j}}\equiv0$ при $\boldsymbol{j}\not\in\boldsymbol{J}$). Тогда
$$
\begin{equation}
\|\nabla g_{\boldsymbol{j}}\|\leqslant A\omega(\delta),\qquad c_0(g_{\boldsymbol{j}})=0.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Из (36) (при $|\beta|=1$) для $E=G_{\boldsymbol{j}}$ и $g=f_{\boldsymbol{j}}^*$ и из (44) мы получаем (напомним, что $\boldsymbol{c}^1(g_{\boldsymbol{j}},\boldsymbol{a})= \boldsymbol{c}^1(g_{\boldsymbol{j}})$ не зависит от $\boldsymbol{a}$):
$$
\begin{equation}
|\boldsymbol{c}^1(g_{\boldsymbol{j}})|\leqslant A\omega(\delta)\delta\alpha^1(G_{\boldsymbol{j}}),\qquad \boldsymbol{j}\in\boldsymbol{J}.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Пусть $p=A_2(k+2)$. Пользуясь неравенствами (38) и (39) для функции $g=g_{\boldsymbol{j}}$ и множества $E=B(\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}},(k+2)\delta)=B^*_{\boldsymbol{j}}$, мы получаем при $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|>p\delta$ оценку
$$
\begin{equation}
|\nabla g_{\boldsymbol{j}}(\boldsymbol{x})|\leqslant \frac{A\omega(\delta)\delta\alpha^1(G_{\boldsymbol{j}})}{|\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|^N}+\frac{A\omega(\delta)\delta^{N+1}} {|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|^{N+1}}\,.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Введем следующие сокращенные обозначения. Напомним, что $\delta>0$ фиксировано и достаточно мало. При $\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{J}$ положим $\alpha_{\boldsymbol{j}}=\alpha^1(G_{\boldsymbol{j}})$, так что все эти $\alpha_{\boldsymbol{j}}>0$. Для $\boldsymbol{I}\subset\boldsymbol{J}$ и $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, B^*_{\boldsymbol{I}}=\bigcup_{\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{I}}B^*_{\boldsymbol{j}},\qquad G_{\boldsymbol{I}}=\bigcup_{\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{I}}G_{\boldsymbol{j}},\qquad \alpha_{\boldsymbol{I}}=\sum_{\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{I}}\alpha_{\boldsymbol{j}},\qquad g_{\boldsymbol{I}}=\sum_{\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{I}}g_{\boldsymbol{j}}, \nonumber \\ \boldsymbol{I}'(\boldsymbol{x})=\bigl\{\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{I}\colon |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|>p\delta\bigr\}; \nonumber \\ S'_{\boldsymbol{I}}(\boldsymbol{x})=\sum_{\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{I}'(\boldsymbol{x})} \biggl(\frac{\delta\alpha_{\boldsymbol{j}}}{|\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|^N}+\frac{\delta^{N+1}}{|\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|^{N+1}}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{48}
$$
Введем еще $S_{\boldsymbol{I}}(\boldsymbol{x})=S'_{\boldsymbol{I}}(\boldsymbol{x})$ при $\boldsymbol{I}=\boldsymbol{I}'(\boldsymbol{x})$ и $S_{\boldsymbol{I}}(\boldsymbol{x})=S'_{\boldsymbol{I}}(\boldsymbol{x})+1$ при $\boldsymbol{I}\ne\boldsymbol{I}'(\boldsymbol{x})$. Для $\boldsymbol{I}\subset\boldsymbol{J}$, $\boldsymbol{i}=(i_1,\dots,i_N)\in \boldsymbol{I}$ и $n\in\{1,\dots,N\}$ определим
$$
\begin{equation*}
P_n(\boldsymbol{I},\boldsymbol{i})=\{\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{I} \colon j_m=i_m,\ m\in\{1,\dots,N\},\ m\ne n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
И пусть $P_n(\boldsymbol{J},\boldsymbol{i})=P_n(\boldsymbol{i})$. Определение 5.1. Пусть $n\in\{1,\dots,N\}$, $\boldsymbol{I}\subset\boldsymbol{J}$ и $\boldsymbol{i}\in\boldsymbol{I}$. Подмножество $\boldsymbol{L}_n=\boldsymbol{L}_n(\boldsymbol{i})$ из $\boldsymbol{I}$ назовем полной $n$-цепью в $\boldsymbol{I}$ с вершиной $\boldsymbol{i}$, если выполняются следующие условия: Определение 5.2. Пусть $\boldsymbol{i}\in\boldsymbol{I}\subset\boldsymbol{J}$. Множество $\varGamma\subset\boldsymbol{I}$ назовем полной группой в $\boldsymbol{I}$ с вершиной $\boldsymbol{i}$, если найдутся полные $n$-цепи $\boldsymbol{L}_n$, $n\in\{1,\dots,N\}$, в $\boldsymbol{I}$ с вершиной $\boldsymbol{i}$ такие, что $\varGamma=\displaystyle\bigcup_{n=1}^N\boldsymbol{L}_n$. Разобьем множество индексов $\boldsymbol{J}$ на конечное число попарно непересекающихся групп $\varGamma^s$, $s\in\{1,\dots,S\}$, по индукции следующим образом. Введем естественный порядок в $\boldsymbol{J}$: для $\boldsymbol{j}\ne\boldsymbol{j}'$ в $\boldsymbol{J}$ по определению положим $\boldsymbol{j}<\boldsymbol{j}'$, если найдется $n\in\{1,\dots,N\}$ такое, что $j_i=j'_i$ при всех $i<n$, но $j_n<j'_n$. Выберем минимальное $\boldsymbol{i}^1$ в $\boldsymbol{J}$. Если существует полная группа $\varGamma=\displaystyle\bigcup_{n=1}^N\boldsymbol{L}_n$ в $\boldsymbol{J}$ с вершиной $\boldsymbol{i}^1$, то полагаем $\varGamma^1=\varGamma$. Если такой $\varGamma$ нет, то полагаем $\varGamma^1=P_n(\boldsymbol{J},\boldsymbol{i}^1)$, где $n\in\{1,\dots,N\}$ – минимальный номер, для которого $\boldsymbol{L}_n$ не существует; в этом случае называем $\varGamma^1$ неполной $n$-группой. Если $\varGamma^1,\dots,\varGamma^s$ построены, берем $\boldsymbol{J}^{s+1}=\boldsymbol{J}\setminus\bigl(\varGamma^1\cup\dots\cup \varGamma^s\bigr)$ и повторяем предыдущее построение для $\boldsymbol{J}^{s+1}$ вместо $\boldsymbol{J}$, определяя $\varGamma^{s+1}$ (полную на шаге $s+1$ или неполную). Пусть $S$ – максимальный номер с условием $\boldsymbol{J}^S\ne\varnothing$. Фиксируем разбиение $\{\varGamma^s\}=\{\varGamma^s\}_{s=1}^S$ множества $\boldsymbol{J}$. Для каждой группы $\varGamma=\varGamma^s$ (полной или нет) из (45)–(47) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \alpha_\varGamma\leqslant A\delta^{N-1},\qquad c_0(g_\varGamma)=0,\qquad |\boldsymbol{c}^1(g_\varGamma)|\leqslant A\omega(\delta)\delta^N; \nonumber \\ |\nabla g_\varGamma(\boldsymbol{x})|\leqslant A\omega(\delta)S_{\varGamma}(\boldsymbol{x}),\qquad \|\nabla g_{\varGamma}\|\leqslant A\omega(\delta),\qquad \|S_{\varGamma}\|\leqslant A. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Доказательство последних оценок весьма просто; см., например, [30; леммы 5.6 и 5.7]. Лемма 5.5. Для каждой полной группы $\varGamma=\varGamma^s$ найдется функция $h_\varGamma\in A\omega(\delta)\mathcal I_1(G_\varGamma)\subset \mathcal A^1_{\mathcal L}(X)$ такая, что и для всех $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$ имеем Доказательство. Мы в основном следуем доказательству леммы 2.7 в работе [31]. Пусть $\varGamma$ – полная группа в $\boldsymbol{J}$ с вершиной $\boldsymbol{i}$ и полными $n$-цепями $\boldsymbol{L}_n$, $n\in\{1,\dots,N\}$, и пусть $\boldsymbol{L}_n=\boldsymbol{L}_n^1\cup\boldsymbol{L}_n^2\cup \boldsymbol{L}_n^3$ (как в определении 5.1). Сначала построим функции $h_{\boldsymbol{L}_n}(\boldsymbol{x})\in A\mathcal I_1(G_{\boldsymbol{L}_n})$ такие, что
$$
\begin{equation}
c_0(h_{\boldsymbol{L}_n})=0,\qquad \boldsymbol{c}^1(h_{\boldsymbol{L}_n})= \delta^N(\boldsymbol{e}_n+\boldsymbol{u}_n),
\end{equation}
\tag{51}
$$
где $\boldsymbol{e}_n$ – единичный вектор в направлении оси $Ox_n$,
$$
\begin{equation}
|\nabla h_{\boldsymbol{L}_n}(\boldsymbol{x})|\leqslant AS_{\boldsymbol{L}_n}(\boldsymbol{x})
\end{equation}
\tag{52}
$$
и $\boldsymbol{u}_n$ – какой-то вектор в $\mathbb C^N$ c условием $|\boldsymbol{u}_n|<\varepsilon_N$. При этом достаточно малое $\varepsilon_N$ выбирается с тем расчетом, чтобы для нахождения надлежащей линейной комбинации (с комплексными коэффициентами) функций $\{h_{\boldsymbol{L}_n}\}_{n=1}^N$, задающей нужную функцию $h_\varGamma$ (см. свойства (49) и равенства (50)), получалась хорошо обусловленная система линейных уравнений.
Мы построим функцию $h_{\boldsymbol{L}_1}$, остальные $\{h_{\boldsymbol{L}_n}\}$ строятся аналогично. Для каждого $\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{L}_1$ выберем $h_{\boldsymbol{j}}\in 2\mathcal I_1(G_{\boldsymbol{j}})$ с условием $c_0(h_{\boldsymbol{j}})=\alpha_{\boldsymbol{j}}= \alpha^1(G_{\boldsymbol{j}})$. Пусть $T_{\boldsymbol{j}}=\mathcal Lh_{\boldsymbol{j}}$, так что $\alpha_{\boldsymbol{j}}=\langle T_{\boldsymbol{j}},1\rangle$. Зафиксируем $\boldsymbol{j}^1\in\boldsymbol{L}^1_1$, $\boldsymbol{j}^3\in\boldsymbol{L}^3_1$ и при $\theta=1$ и $\theta=3$ определим
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{a}^\theta=\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}^\theta},\quad G^\theta=G_{\boldsymbol{j}^\theta},\quad \alpha^\theta=\alpha_{\boldsymbol{j}^\theta},\quad h^\theta=h_{\boldsymbol{j}^\theta},\quad T^\theta=\mathcal Lh^\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $M=|\boldsymbol{a}^1-\boldsymbol{a}^3|/\delta$. Пусть числа $\lambda^1\in(0,1)$ и $\lambda^3\in(0,1)$ таковы, что $\lambda^1\alpha^1=\lambda^3\alpha^3=:\alpha$. Определим
$$
\begin{equation}
h^{13}(\boldsymbol{x})=h^{13} (\boldsymbol{j}^1,\boldsymbol{j}^3,\lambda^1,\lambda^3,\boldsymbol{x})= \frac{1}{M}(\lambda^1h^1(\boldsymbol{x})-\lambda^3h^3(\boldsymbol{x})).
\end{equation}
\tag{53}
$$
Тогда $c_0(h^{13})=0$ и по лемме 5.2
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M\boldsymbol{c}^1(h^{13})&=-\langle\lambda^1T^1(\boldsymbol{y})- \lambda^3T^3(\boldsymbol{y}),\boldsymbol{y}\rangle \\ &=-\lambda^1\langle T^1(\boldsymbol{y}),(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{a}^1)\rangle-\lambda^1\langle T^1,\boldsymbol{a}^1\rangle \\ &\qquad+\lambda^3\langle T^3(\boldsymbol{y}),(\boldsymbol{y}- \boldsymbol{a}^3)\rangle+\lambda^3\langle T^3,\boldsymbol{a}^3\rangle \\ &=\alpha(\boldsymbol{a}^3-\boldsymbol{a}^1)+\boldsymbol{R}^{13}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\boldsymbol{R}^{13}|\leqslant A\delta\alpha$, что следует из (36) при $|\beta|=1$.
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{c}^1(h^{13})=\delta\alpha(\boldsymbol{e}_1+ \boldsymbol{u}_1^{13}),\qquad |\boldsymbol{u}_1^{13}|=O\biggl(\frac{1}{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{54}
$$
Ясно, что
$$
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\boldsymbol{x})|\leqslant M^{-1}\bigl(\lambda_1|\nabla h^1(\boldsymbol{x})|+ \lambda_3|\nabla h^3(\boldsymbol{x})|\bigr).
\end{equation}
\tag{55}
$$
Более того, при всех $\boldsymbol{x}$ с условиями $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1|>p\delta$ и $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^3|>p\delta$ ввиду (38) имеем
$$
\begin{equation*}
|\nabla h^{13}(\boldsymbol{x})|\leqslant \frac{\alpha}{M}|\nabla\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1)- \nabla\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^3)|+ A\alpha\delta(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1|^{-N}+|\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a}^3|^{-N}).
\end{equation*}
\notag
$$
Откуда, пользуясь простой оценкой (при $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1|>p\delta$ и $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^3|>p\delta$)
$$
\begin{equation*}
|\nabla\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1)-\nabla\Phi(\boldsymbol{x}- \boldsymbol{a}^3)|\leqslant A_5|\boldsymbol{a}^1-\boldsymbol{a}^3| \bigl(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1|^{-N}+ |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^3|^{-N}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\boldsymbol{x})|\leqslant A\delta\alpha(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^1|^{-N}+ |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^3|^{-N}).
\end{equation}
\tag{56}
$$
Еще заметим, что для случая, когда $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^\theta|\leqslant p\delta$ (при $\theta=1$ или $\theta=3$), ввиду (37) (и поскольку $|\boldsymbol{a}^3-\boldsymbol{a}^1|=M\delta\geqslant q\delta\geqslant 3p\delta$) имеем
$$
\begin{equation}
|\nabla h^{13}(\boldsymbol{x})|\leqslant \frac{\lambda^\theta}{p}+ A\,\frac{\alpha\delta}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^{4-\theta}|^N}\,.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Теперь мы специальным образом просуммируем построенные функции $h^{13}=h^{13}(\boldsymbol{j}^1,\boldsymbol{j}^3,\lambda^1,\lambda^3)$. Нетрудно проверить, что для каждого $\boldsymbol{j}\in\boldsymbol{L}_1^1\cup \boldsymbol{L}_1^3$ найдутся числа $\lambda(\boldsymbol{j},\kappa)$ (где $\kappa\in \{1,\dots,\kappa_{\boldsymbol{j}}\}$, $\kappa_{\boldsymbol{j}}\in\mathbb N$) со следующими свойствами:
Положим
$$
\begin{equation*}
h_{\boldsymbol{L}_1}(\boldsymbol{x})= \sum_{(\boldsymbol{j}^1,\kappa^1)\in\Psi^1}\frac{\delta} {|\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}^3}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}^1}|} \bigl(\lambda(\boldsymbol{j}^3,\kappa^3)h_{\boldsymbol{j}^3}- \lambda(\boldsymbol{j}^1,\kappa^1)h_{\boldsymbol{j}^1}\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(\boldsymbol{j}^3,\kappa^3)$ соответствует $(\boldsymbol{j}^1,\kappa^1)$ в указанном выше смысле. Каждое слагаемое в последней сумме имеет вид (53) при $\lambda^\theta= \lambda(\boldsymbol{j}^\theta,\kappa^\theta)$. Ясно, что $c_0(h_{\boldsymbol{L}_1})=0$, и из (54) имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{c}^1(h_{\boldsymbol{L}_1})= \delta^N(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{u}_1),\qquad |\boldsymbol{u}_1|=O\biggl(\frac{1}{M}\biggr).
\end{equation}
\tag{58}
$$
Оценка (52) (при $n=1$) следует из (56), (57) и условия (a), приведенного чуть выше.
Остается выбрать параметр $q>3p$ в определении 5.1 так, чтобы при $M\geqslant q$ выполнялась оценка $O(1/M)<\varepsilon_N$. Лемма 5.5 доказана. Для доказательства теоремы 5.1 осталось показать, что функция $\nabla f=\nabla\displaystyle\sum_{\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{J}}f_{\boldsymbol{j}}$ равномерно приближается в $\mathbb R^N$ с точностью $A\omega(\delta)$ функцией $\nabla F$, где
$$
\begin{equation*}
F=\sideset{}{'}\sum_s\,\sum_{\boldsymbol{j}\in \varGamma^s}f^*_{\boldsymbol{j}}+ \sideset{}{''}\sum_s\biggl(\,\sum_{\boldsymbol{j}\in \varGamma^s}f^*_{\boldsymbol{j}}+h_{\varGamma^s}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а $\displaystyle\sideset{}{'}\sum_s$ и $\displaystyle\sideset{}{''}\sum_s$ – суммирования по всем неполным и полным группам соответственно. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно проверить, что для любого $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$ справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
|\nabla(F(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}))|\leqslant \sideset{}{'}\sum_s|\nabla g_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x})|+ \sideset{}{''}\sum_s|\nabla(g_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x})- h_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x}))|\leqslant A\omega(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
После этого будет достаточно параметр $\delta$ устремить к нулю. Теперь наша ситуация аналогична [30; с. 1359–1362 рус. изд. или с. 201–204 англ. изд.]; некоторые простые детали, опущенные нами далее в завершающей части доказательства, можно найти в указанной работе. Тем не менее мы приводим подробный план доказательства для полноты изложения и согласования обозначений. Сначала оценим $\displaystyle\sideset{}{'}\sum_s|\nabla g_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x})|$. Зафиксируем $n\in\{1,\dots,N\}$ и напомним, что в каждом $P_n(\boldsymbol{J},\boldsymbol{i})$ может быть не более одной неполной группы $\varGamma$ (т. е. $n$-неполной цепи $\boldsymbol{L}_n=\varGamma$). При $\boldsymbol{i}=(i_1,\dots,i_N)$ пусть $\boldsymbol{i}'_n=(i_1,\dots,i_{n-1},i_{n+1},\dots,i_N)$. При каждом $m\in\{0,1,\dots\}$ обозначим через $\boldsymbol{S}_m$ совокупность всех индексов $s\in\{1,\dots,S\}$, для которых $|(\boldsymbol{i}^s)'_n|\in[m,m+1)$. Отсюда, ввиду (49) и условия 3) из определения 5.1, при $m>2p$ имеем для каждого $s\in\boldsymbol{S}_m$ оценку $S_{\boldsymbol{L}_n^{(s)}}(\boldsymbol{x}) \leqslant Am^{-N}$, а при $m\leqslant 2p$ – оценку $S_{\boldsymbol{L}_n^{(s)}}(\boldsymbol{x})\leqslant A$. Поскольку число элементов в $\boldsymbol{S}_m$ не превосходит $A(m+1)^{N-2}$, мы можем мажорировать рассматриваемую сумму $\displaystyle\sideset{}{'}\sum_s|\nabla g_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x})|$ рядом $A\omega(\delta)\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty}m^{-2}$, что и требуется. Оценка суммы $\displaystyle\sideset{}{''}\sum_s|\nabla(g_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x})- h_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x}))|$ требует больше усилий. Для каждой полной группы $\varGamma^s$ положим $\chi^s=g_{\Gamma^s}-h_{\Gamma^s}$. Ввиду (49) и леммы 5.5 имеем
$$
\begin{equation}
|\nabla\chi^s(\boldsymbol{x})|\leqslant A\omega(\delta)S_{\varGamma^s}(\boldsymbol{x}),\quad c_0(\chi^s)=0,\quad \boldsymbol{c}^1(\chi^s)=0.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Остается показать, что
$$
\begin{equation*}
\sideset{}{''}\sum_s|\nabla\chi^s(\boldsymbol{x})|\leqslant A\omega(\delta)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$. С этого места мы фиксируем $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$; без ограничения общности мы можем предполагать, что $|\boldsymbol{x}|<\delta$. Все дальнейшие построения зависят от этого $\boldsymbol{x}$. Для каждой полной группы $\varGamma^s=\displaystyle\bigcup_{n=1}^N\boldsymbol{L}_n^{(s)}$ с вершиной $\boldsymbol{i}^s$ положим $\boldsymbol{a}^s=\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{i}^s}$ и
$$
\begin{equation*}
M^s_n=\frac{1}{\delta}\operatorname{diam}(B^*_{\boldsymbol{L}_n^{(s)}}),\qquad M^s=\max\bigl\{M^s_n \colon n\in\{1,\dots,N\}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\theta=1/(N+2)$. Разделим совокупность всех полных групп на два класса. Класс (1). Здесь берутся все полные группы $\varGamma^s$ с условием $M^s\leqslant |\boldsymbol{i}^s|^{\theta}$. Ясно, что последнее возможно, только если
$$
\begin{equation*}
|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^s|\geqslant (|\boldsymbol{i}^s|-1)\delta\geqslant ((M^s)^{N+2}-1)\delta>2pM^s\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\chi^s\in A\omega(\delta) \mathcal I_1\bigl(B(\boldsymbol{a}^s,M^s\delta)\bigr)$ и выполняется (59), мы имеем, ввиду (39), оценку
$$
\begin{equation*}
|\nabla\chi^s(\boldsymbol{x})|\leqslant A\omega(\delta)\,\frac{(M^s\delta)^{N+1}}{(|\boldsymbol{i}^s|\delta)^{N+1}} \leqslant A\omega(\delta)|\boldsymbol{i}^s|^{-N-\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в каждом шаровом слое $B(\boldsymbol{0},(m+1)\delta)\setminus \overline{B(\boldsymbol{0},m\delta)}$ (при $m>p$) лежит не более $Am^{N-1}$ вершин групп, нетрудно видеть, что
$$
\begin{equation*}
\sideset{}{^{(1)}}\sum_s|\nabla\chi^s(\boldsymbol{x})|\leqslant A\omega(\delta)\sum_{m>p}m^{-1-\theta}\leqslant A^2\omega(\delta),
\end{equation*}
\notag
$$
где последняя сумма берется по всем полным группам класса (1), так что ее надлежащая оценка получена. Класс (2). В этот класс помещаются все полные группы $\varGamma^s$, для которых $M^s>|\boldsymbol{i}^s|^\theta$. В частности, при некотором $n\in\{1,\dots,N\}$ имеем $M^s_n>|\boldsymbol{i}^s|^\theta$. Для каждой из таких групп $\varGamma^s=\displaystyle\bigcup_{n=1}^N \boldsymbol{L}_n^{(s)}$ (с вершиной $\boldsymbol{i}^s$) обозначим через $\boldsymbol{N}'s$ совокупность индексов $n\in\{1,\dots,N\}$, для которых $M^s_n\leqslant|\boldsymbol{i}^s|^\theta$, а через $\boldsymbol{N}''s$ совокупность остальных индексов из $\{1,\dots,N\}$. Таким образом, всегда имеем $\boldsymbol{N}''s\ne\varnothing$. Сначала рассмотрим случай, когда $\boldsymbol{N}'s\ne\varnothing$. При $n\in\boldsymbol{N}'s$ имеем $|\boldsymbol{a}^s|>2p\delta$, $M^s_n\leqslant |\boldsymbol{i}^s|^\theta$, откуда следует, что $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{j}}|\geqslant 2^{-1}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^s|$ при всех $\boldsymbol{j}\in \boldsymbol{L}_n^{(s)}$. Поэтому из (48) и (49) получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{n\in\boldsymbol{N}'s}S_{\boldsymbol{L}^{(s)}_n}(\boldsymbol{x})\leqslant \frac{A\omega(\delta)\delta^N}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^s|^N}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\nabla\chi^s(\boldsymbol{x})|\leqslant A\omega(\delta)\biggl(\frac{\delta^N}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^s|^N}+ \sum_{n\in\boldsymbol{N}''s}S_{\boldsymbol{L}^{(s)}_n}(\boldsymbol{x})\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В случае, когда $\boldsymbol{N}'s=\varnothing$, последняя оценка справедлива без первого слагаемого в правой части. Отметим, что число всех групп $\varGamma^s$ с условием $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^s|\leqslant 2p\delta$ не превосходит $A$, поэтому сумма $\displaystyle\sum|\nabla\chi^s(\boldsymbol{x})|$ по всем таким $s$ не превосходит $A\omega(\delta)$. Таким образом, остается установить следующую лемму. Лемма 5.6. Фиксируем $n\in\{1,\dots,N\}$, и пусть $\varSigma_n\subset\{1,\dots,S\}$ – совокупность всех индексов $s$, для которых $\varGamma^s$ является полной группой класса (2), причем $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^s|>2p\delta$ и $M^s_n>|\boldsymbol{i}^s|^\theta$. Тогда Эта лемма совпадает (при несколько иных обозначениях) с леммой 5.9 из работы [30], где и приведено ее полное доказательство. Мы обсудим только его основную идею. Зафиксируем $m\in\{0,1,\dots\}$ и $\boldsymbol{i}\in\boldsymbol{J}$ с условием $|\boldsymbol{i}'_n|\in[m,m+1)$ (если оно есть). Обозначим через $\varSigma_n^m(\boldsymbol{i})$ совокупность всех индексов $s\in\varSigma_n$, для которых $(\boldsymbol{i}^s)'_n=\boldsymbol{i}'_n$. Тогда при $m>2p$, ввиду(48), условия 3) из определения 5.1 и неравенства $M^s_n>|\boldsymbol{i}^s|^\theta\geqslant m^\theta$, имеем оценку
$$
\begin{equation*}
\sum_{s\in\varSigma_n^m(\boldsymbol{i})} \biggl(\frac{\delta^N}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}^{s}|^N}+ S_{\boldsymbol{L}^{(s)}_n}(\boldsymbol{x})\biggr)\leqslant A\sum_{l=0}^{+\infty}\bigl(m^2+(m^\theta l)^2\bigr)^{-N/2}\leqslant Am^{-(N-1+\theta)},
\end{equation*}
\notag
$$
а при $m\leqslant 2p$ предпоследняя сумма оценивается просто константой $A$. Поскольку число различных $\varSigma_n^m(\boldsymbol{i})$ не превосходит $A(m+1)^{N-2}$, указанная в лемме 5.6 сумма мажорируется сходящимся рядом $A\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty}m^{-1-\theta}$, что и требуется. Остается просуммировать по $n$. Теорема 5.1 доказана. Емкость $\gamma^1_{\mathcal L}$ в $\mathbb R^2$ (соответственно $\alpha^1_{\mathcal L}$) для всех $\mathcal L$ сравнима с аналитической емкостью $\gamma$ (соответственно с непрерывной аналитической емкостью $\alpha$) в $\mathbb C$, см. [14]. Метрическое (точнее, интегрально-геометрическое) описание емкостей $\gamma$ и $\alpha$ получено в работах [32] и [33]. Напомним эти результаты. Для произвольной тройки точек $z,w,\zeta\in\mathbb C$ пусть $R(z,w,\zeta)$ – радиус окружности, проходящей через эти точки (полагаем $R(z,w,\zeta)=+\infty$, если эти точки лежат на одной прямой). Кривизной Менгера для тройки $z$, $w$, $\zeta$ называют величину Пусть $\mu$ – неотрицательная конечная борелевская мера в $\mathbb C$. Кривизной этой меры называется величина
$$
\begin{equation*}
c^2(\mu)=\iiint\bigl(c(z,w,\zeta)\bigr)^2\,d\mu(z)\,d\mu(w)\,d\mu(\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
Это понятие ввел М. С. Мельников [34] при изучении дискретной версии аналитической емкости $\gamma$. Для произвольного ограниченного множества $E\subset\mathbb C$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal M_c1(E)&=\bigl\{\mu\colon\operatorname{Supp}(\mu)\subset E,\ \mu(B(z,r))\leqslant r\ (\forall\,z\in\mathbb C,\ \forall\,r>0),\ c^2(\mu)\leqslant\mu(E)\bigr\}, \\ \kappa(E)&=\sup\biggl\{\int d\mu \colon \mu\in\mathcal M_c1(E)\biggr\}, \\ \kappa_c(E)&=\sup\biggl\{\int d\mu \colon \mu\in\mathcal M_c1(E),\ \forall\,z\in\mathbb C\, \frac{\mu(B(z,r))}{r}\to0\ (r\to0+)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [32] и [33], найдется абсолютная константа $A>1$ такая, что
$$
\begin{equation*}
A^{-1}\kappa(E)\leqslant\gamma(E)\leqslant A\kappa(E),\qquad A^{-1}\kappa_c(E)\leqslant\alpha(E)\leqslant A\kappa_c(E)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех ограниченных множеств $E$. В недавней работе [27; следствия 1.4–1.6] К. Толса получил полные интегрально-геометрические описания емкостей $\gamma^1_{\mathcal L}$ для всех размерностей $N\geqslant2$. Сформулируем эти результаты. Пусть $\mu$ – положительная конечная борелевская мера в $\mathbb R^N$. Рассмотрим характеристики
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \theta_{\mu}(\boldsymbol{x},r)&= \frac{\mu(B(\boldsymbol{x},r))}{r^{N-1}}\,,\qquad \boldsymbol{x}\in\mathbb R^N,\quad r>0, \\ \beta_{2,\mu}(\boldsymbol{x},r)&=\inf_{\{H\}}\biggl(\frac{1}{r^{N-1}} \int_{B(\boldsymbol{x},r)} \biggl(\frac{\operatorname{dist}(\boldsymbol{x},H)}{r}\biggr)^2\,d\mu (\boldsymbol{x})\biggr)^{1/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем гиперплоскостям $H$ в $\mathbb R^N$. Определим еще потенциал Джонса–Вольфа
$$
\begin{equation*}
U_\mu(\boldsymbol{x})=\sup_{r>0}\theta_\mu(\boldsymbol{x},r)+ \biggl(\int_0^{+\infty}\bigl(\beta_{2,\mu}(\boldsymbol{x},r)\bigr)^2 \theta_\mu(\boldsymbol{x},r)\,\frac{dr}{r}\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.2. Пусть $E\subset\mathbb R^N$ – непустое ограниченное множество, тогда для любого $\mathcal L$ имеем Отсюда непосредственно вытекают счетная субаддитивность всех емкостей $\gamma^1_{\mathcal L}$, их взаимная сравнимость в фиксированной размерности $N\geqslant 2$, а также взаимные оценки каждой емкости $\gamma^1_{\mathcal L}$ при билипшицевых отображениях пространства $\mathbb R^N$. Отметим еще, что емкость $\gamma^1_\Delta$ пропорциональна емкости Кальдерона–Зигмунда $\gamma_{N-1}$ [39; разд. 4], а связь емкостей Кальдерона–Зигмунда $\gamma_s$ с мерами Хаусдорфа хорошо изучена – см., например, [39; пп. 5.2, 5.3 и разд. 6] и литературу в этой работе. В личной переписке К. Толса сообщил авторам о следующем результате, доказательство которого (с помощью теоремы 5.2) проходит по той же схеме, что и в [14; леммы 4.4, 4.5]. В условиях теоремы 5.2 имеем
$$
\begin{equation}
\alpha^1_{\mathcal L}(E)\asymp \sup\Bigl\{\mu(E) \colon \operatorname{Supp}(\mu)\subset E,\ U_\mu(\boldsymbol{x})\leqslant1,\ \lim_{r\to0}\theta_\mu(\boldsymbol{x},r)=0\ \forall\,\boldsymbol{x}\in E\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{61}
$$
6. Описание емкостей $\gamma^0_{\mathcal L}$При $m=0$ теорема 2.3 формулируется в терминах классических гармонических емкостей теории потенциала. Этот факт вытекает из установленной в работе [22] соизмеримости для соответствующих размерности $N$ емкостей $\gamma_{\mathcal L}=\gamma^0_{\mathcal L}$ при всех $\mathcal L$. Емкости $\gamma_{\mathcal L}$ были введены Р. Харви и Дж. Полкингом [35] для описания устранимых особенностей в классах $L^\infty$-ограниченных $\mathcal L$-аналитических функций. А именно, компакт $K$ в $\mathbb R^N$ удовлетворяет условию $\gamma_{\mathcal L}(K)=0$, если и только если для любой его окрестности $U$ из условия $f\in L^\infty(U)\cap\mathcal A_{\mathcal L}(U\setminus K)$ следует, что найдется функция $F\in\mathcal A_{\mathcal L}(U)$ такая, что $F=f$ на $U\setminus K$. Кроме емкостей $\gamma_{\mathcal L}$ будем рассматривать емкости $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{\mathcal L,+}$ и $\alpha_{\mathcal L,+}$, поэтому напомним соответствующие определения. Пусть $K\subset{\mathbb R}^N$ – компакт, $N\geqslant3$, тогда по определению
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}(K)=\sup_T\bigl\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Supp}(T)\subset K,\ \|T*\varPhi_{\mathcal L}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant1\bigr\},
\end{equation}
\tag{62}
$$
где, как и раньше, $\operatorname{Supp}(T)$ – носитель распределения (функции, меры) $T$, супремум берется по всем указанным распределениям $T$, символ $*$ обозначает оператор свертки, а $\langle T,\varphi\rangle$ – действие распределения $T$ на функцию $\varphi$ класса $C^\infty(\mathbb R^N)$; при $K=\varnothing$ полагаем $\gamma_{\mathcal L}(K)=0$. Емкость $\alpha_{\mathcal L}(K)$ определяется в соответствии с (62), где дополнительно полагаем, что $T*\varPhi_{\mathcal L}\in C(\mathbb R^N)$. Емкости $\gamma_{\mathcal L,+}$ и $\alpha_{\mathcal L,+}$ определяются аналогично $\gamma_{\mathcal L}$ и $\alpha_{\mathcal L}$ при условии, что распределения $T$ – неотрицательные борелевские меры с носителями на $K$; в частности,
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L,+}(K)=\sup_{\mu}\bigl\{\|\mu\| \colon \operatorname{Supp}(\mu)\subset K,\ \mu\geqslant0,\ \|\mu*\varPhi_{\mathcal L}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant1\bigr\},
\end{equation}
\tag{63}
$$
где $\|\mu\|$ – полная масса меры $\mu$. Емкость ограниченного (борелевского) множества во всех указанных случаях определяется как супремум емкостей его компактных подмножеств. В теории потенциала гармоническая емкость определяется в соответствии с (63), где $\mathcal L=\Delta$ – оператор Лапласа. А именно, при $N\geqslant3$
$$
\begin{equation}
\varPhi_\Delta(\boldsymbol{x})= -\frac{1}{(N-2)\sigma_N|\boldsymbol{x}|^{N-2}}\,,
\end{equation}
\tag{64}
$$
где $\sigma_N$ – площадь единичной сферы в $\mathbb R^N$; таким образом, емкость $\gamma_{\Delta,+}$ из (63) больше (классической) гармонической емкости ровно в $(N-2)\sigma_N$ раз. При этом для любого ограниченного множества $U$ имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\alpha_{\Delta,+}(U)=\alpha_\Delta(U)=\gamma_{\Delta,+}(U)=\gamma_\Delta(U).
\end{equation}
\tag{65}
$$
Ключевые утверждения $\gamma_{\Delta,+}(U)=\gamma_\Delta(U)$ и $\alpha_{\Delta,+}(U)=\gamma_{\Delta,+}(U)$ доказываются соответственно в [35; теорема 3.1] и [36; гл. III, лемма 6] (см. также [37; лемма XII] и [38; гл. 1, § 3, теорема 1.8]). Важно отметить, что равенство (65) тесно связано с разрешимостью задачи Дирихле и принципом максимума для гармонических функций. В случае произвольных операторов $\mathcal L$ с комплексными коэффициентами соответствующий математический аппарат разработан недостаточно и задача о соизмеримости емкостей значительно сложнее. В силу определений для любого оператора $\mathcal L$ и любого множества $U$ имеем
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}(U)\geqslant\alpha_{\mathcal L}(U),\quad \gamma_{\mathcal L,+}(U)\geqslant\alpha_{\mathcal L,+}(U),\quad \gamma_{\mathcal L}(U)\geqslant\gamma_{\mathcal L,+}(U),\quad \alpha_{\mathcal L}(U)\geqslant\alpha_{\mathcal L,+}(U).
\end{equation}
\tag{66}
$$
Так как $\sup_{\boldsymbol{x}\ne0}|\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})|/ |\boldsymbol{x}|^{2-N}<+\infty$ при $N\geqslant3$ для любого $\mathcal L$, то, очевидно, существует постоянная $A(\mathcal L)\geqslant1$ такая, что для любого ограниченного множества $U\subset\mathbb R^N$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
A(\mathcal L)\gamma_{{\mathcal L}}(U)\geqslant A(\mathcal L)\gamma_{{\mathcal L,+}}(U)\geqslant \gamma_{\Delta,+}(U).
\end{equation}
\tag{67}
$$
Несколько больших усилий требует вывод неравенства
$$
\begin{equation}
A(\mathcal L)\alpha_{\mathcal L,+}(U)\geqslant \alpha_{\Delta,+}(U).
\end{equation}
\tag{68}
$$
Для его доказательства достаточно рассматривать свертки $\mu*\varPhi_{\mathcal L}$ только для неотрицательных мер $\mu$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Supp}(\mu)\subset U,\quad \|\mu*\varPhi_{\Delta}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant1\quad\text{и}\quad \mu*\varPhi_{\Delta}\in C(\mathbb R^N).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу известной теоремы Дини равномерно по всем $\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$ имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{\delta\to0}\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|<\delta} \frac{d\mu(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^{N-2}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как величина $|\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})|$ мажорируется величиной $A(\mathcal L)|\boldsymbol{x}|^{2-N}$, то выполнено неравенство $\|\mu*\varPhi_{\mathcal L}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant A(\mathcal L)$, а из теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости следует, что $\mu*\varPhi_{\mathcal L}\in C(\mathbb R^N)$. Таким образом, чтобы установить, что каждая из указанных в (66) емкостей соизмерима (при фиксированном $N$) с гармонической емкостью, достаточно в силу (65), (66) и (68) доказать неравенство, обратное к (67), причем доказательство достаточно провести для компактов. Это доказано в теореме 1 из работы [22], а именно, имеет место следующий результат. Теорема 6.1. Пусть $N\geqslant3$, тогда для любого оператора $\mathcal L$ существует постоянная $A=A(\mathcal L)\geqslant1$ такая, что для произвольного компакта $K\subset\mathbb R^N$. Хотя соответствующая проблема была известна давно, ее глубокое изучение началось по существу в последние 5 лет. В работе [20] был получен точный вид фундаментальных решений $\varPhi_{\mathcal L}$ в зависимости от $\mathcal L$ и, в частности, доказана соизмеримость емкостей $\gamma_{\mathcal L,+}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ при $N=3$ и $N=4$ (см. [20; следствие 3], а также теорему 3.1 выше). Соизмеримость $\gamma_{\mathcal L,+}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ при всех $N\geqslant3$ была установлена в работе [21]. В доказательстве используется элементарная лемма 3 из [20], которая позволила применить для доказательства соизмеримости $\gamma_{\mathcal L,+}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ преобразование Фурье и энергетический подход. Но общая задача о соизмеримости $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ значительно сложнее. В доказательстве теоремы 6.1 дополнительно применяются схема А. Г. Витушкина, методы теории сингулярных интегралов и индукционные аргументы, аналогичные тем, которые использовал К. Толса [32] для доказательства счетной субаддитивности аналитической емкости. При этом важно отметить, что, в отличие от нечетного ядра Коши, ядра $\varPhi_{\mathcal L}$ четные и с ненулевыми средними, поэтому потребовалась существенная модификация аргументов К. Толсы. Отметим также, что в последние десятилетия был получен целый ряд результатов об оценках и соизмеримости различных емкостей, где, как правило, речь идет о свертках распределений и мер с нечетными ядрами (по этому поводу см., например, недавний обзор А. Л. Вольберга и В. Я. Эйдермана [39]). Методический интерес представляет работа [40], в которой доказан частный случай теоремы 6.1 для множеств канторовского типа. Рассмотрение множеств простой структуры позволяет, сохранив основные идеи доказательства теоремы 6.1, снять большинство технических трудностей. Рассмотрим подробнее основные идеи доказательства теоремы 6.1. Начнем с соизмеримости $\gamma_{\mathcal L,+}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ при всех $N\geqslant3$. Теорема 6.2. Пусть $N\geqslant3$. Тогда существует постоянная $A=A(\mathcal L)>1$ такая, что для произвольного компакта $K\subset\mathbb R^N$. Доказательство. Приведем короткое доказательство теоремы 6.2, следуя работе [21]. В силу (63) существует неотрицательная мера $\mu$ такая, что
Проведем стандартную регуляризацию меры $\mu$. Зафиксируем некоторую функцию $\varphi_1\in C_0^\infty(B)$ (где $B$ – единичный шар в $\mathbb R^N$) такую, что $\varphi_1\geqslant0$ и Для произвольного $\varepsilon>0$ пусть $\varphi_\varepsilon(\boldsymbol{x})= \varepsilon^{-N}\varphi_1(\boldsymbol{x}/\varepsilon)$, так что
$$
\begin{equation*}
\int_{|\boldsymbol{x}|\leqslant\varepsilon} \varphi_\varepsilon(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $h_\varepsilon=\mu*\varphi_\varepsilon$. Тогда $h_\varepsilon\geqslant0$, $h_\varepsilon\in C_0^\infty(K_\varepsilon)$, где $K_\varepsilon$ – замыкание $\varepsilon$-окрестности компакта $K$, и
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^N}h_\varepsilon(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=\|\mu\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующий (в общем случае комплексный) интеграл энергии:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber I_{h_\varepsilon,\mathcal L}&=-(N-2)\sigma_N \int_{K_\varepsilon}(h_\varepsilon*\Phi_{\mathcal L})(\boldsymbol{x}) \overline{h_\varepsilon(\boldsymbol{x})}\,d\boldsymbol{x} \\ &=-(N-2)\sigma_N\langle h_\varepsilon* \Phi_{\mathcal L},\overline{h_\varepsilon}\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{69}
$$
где горизонтальная черта означает комплексное сопряжение, а в угловых скобках записано действие распределения на пробную функцию. Учитываем, что при $\mathcal L=\Delta$ получается (положительный) интеграл энергии, связанный с ядром $1/|\boldsymbol{x}|^{N-2}$ (см. [38; гл. I, § 4]).
Так как $\Phi_{\mathcal L}$ – локально интегрируемая функция в $\mathbb R^N$ и $h_\varepsilon\in C_0^\infty(\mathbb R^N)$, интеграл в (69) абсолютно сходится. В силу того, что $h_\varepsilon*\Phi_{\mathcal L}= (\mu*\Phi_{\mathcal L})*\varphi_\varepsilon$ и $\|\mu*\Phi_{\mathcal L}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant1$, имеем $\|h_\varepsilon*\Phi_{\mathcal L}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant1$, поэтому
$$
\begin{equation}
|I_{h_\varepsilon,\mathcal L}|\leqslant(N-2)\sigma_N\|\mu\|.
\end{equation}
\tag{70}
$$
Пусть $(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})=y_1x_1+\cdots+y_Nx_N$ для $\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\in\mathbb R^N$. Так как $h_\varepsilon$ – вещественная функция из $C_0^\infty(\mathbb R^N)$, ее прямое и обратное преобразования Фурье,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F[h_\varepsilon](\boldsymbol{x})&=\int_{\mathbb R^N} e^{-i(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})} h_\varepsilon(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}, \\ F^{-1}[h_\varepsilon](\boldsymbol{x})&=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb R^N} e^{i(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})} h_\varepsilon(\boldsymbol{y})\,d\boldsymbol{y}= \frac{1}{(2\pi)^N}\overline{F[h_\varepsilon](\boldsymbol{x})}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежат пространству Шварца $\mathcal S(\mathbb R^N)$ функций, быстро убывающих на бесконечности. Если $\psi\in\mathcal S(\mathbb R^N)$, $\Psi\in\mathcal S'(\mathbb R^N)$, где $\mathcal S'(\mathbb R^N)$ – пространство распределений умеренного роста в $\mathbb R^N$, то на функции $\Psi$ преобразования Фурье действуют по формулам
$$
\begin{equation*}
\langle F[\Psi]|\psi\rangle=\langle \Psi|F[\psi]\rangle,\qquad \langle F^{-1}[\Psi]|\psi\rangle=\langle \Psi|F^{-1}[\psi]\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\langle\Psi|\psi\rangle=\langle F[\Psi]|F^{-1}[\psi]\rangle$.
При $N\geqslant3$ распределение $F[\Phi_{\mathcal L}]$ совпадает с локально интегрируемой в $\mathbb R^N$ функцией $-1/L$, где $L=L(\boldsymbol{x})$ – символ оператора $\mathcal L$. В силу соотношения $F[h_{\varepsilon}*\Phi_{\mathcal L}]=-F[h_{\varepsilon}]/L$ имеем
$$
\begin{equation}
\langle h_\varepsilon*\Phi_{\mathcal L},h_\varepsilon\rangle= -\biggl\langle\frac{F[h_{\varepsilon}]}{L}\,, F^{-1}[h_\varepsilon]\biggr\rangle=-\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{\mathbb R^N} |F[h_\varepsilon(\boldsymbol{x})]|^2 \frac{1}{L(\boldsymbol{x})}\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Воспользуемся следующим утверждением, установленным в [20; лемма 3]: существуют $\tau\in(0,1)$ и $\vartheta\in(-\pi,\pi]$ такие, что в $\mathbb R^N\setminus\{\boldsymbol{0}\}$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}\bigl(e^{i\vartheta}L(\boldsymbol{x})\bigr)\geqslant \tau|L(\boldsymbol{x})|.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Для указанного $\vartheta$ из (69) и (71) получаем
$$
\begin{equation}
I_{h_\varepsilon,\mathcal L}=e^{i\vartheta}\frac{(N-2)\sigma_N}{(2\pi)^N} \int_{\mathbb R^N}|F[h_\varepsilon(\boldsymbol{x})]|^2\, \frac{e^{-i\vartheta}}{L(\boldsymbol{x})}\,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
\tag{73}
$$
В силу (72) имеет место следующая оценка в $\mathbb R^N\setminus\{\boldsymbol{0}\}$ (где $A_2=A_2(L)>0$):
$$
\begin{equation}
A_2\operatorname{Re}\frac{e^{-i\vartheta}}{L(\boldsymbol{x})}= A_2\frac{\operatorname{Re}(e^{i\vartheta}L(\boldsymbol{x}))} {|L(\boldsymbol{x})|^2}\geqslant \frac{A_2\tau}{|L(\boldsymbol{x})|}\geqslant\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^2}\,.
\end{equation}
\tag{74}
$$
Из (70), (73) и (74) получаем, что где $I_{h_\varepsilon,\Delta}$ – интеграл энергии (69) при $\mathcal L=\Delta$ (и соответственно, $L(\boldsymbol{x})=|\boldsymbol{x}|^2$).Пусть $h_\varepsilon^0=h_\varepsilon/\|\mu\|$. Тогда $\displaystyle\int_{\mathbb R^N}h_\varepsilon^0 (\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=1$, и соотношения (69) и (75) дают неравенство $I_{h_\varepsilon^0,\Delta}\leqslant A_3(L)/\|\mu\|$. Напомним (см., например, [38; гл. II, § 1]), что одно из эквивалентных определений гармонической емкости компакта $K_\varepsilon$ – это величина $1/\inf(I_{\mu^0,\Delta})$, где инфимум берется по всем неотрицательным мерам $\mu^0$ таким, что $\operatorname{Supp}(\mu^0)\subset K_\varepsilon$ и $\|\mu^0\|=1$. Отсюда (с учетом того, что $\|\mu\|\geqslant(1/2)\gamma_{\mathcal L,+}(K)$) следует неравенство
$$
\begin{equation*}
A\gamma_{\Delta}(K_\varepsilon)\geqslant2\|\mu\|\geqslant \gamma_{\mathcal L,+}(K).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось устремить $\varepsilon$ к нулю и воспользоваться тем, что $\lim_{\varepsilon\to0}\gamma_{\Delta}(K_\varepsilon)=\gamma_{\Delta}(K)$ (см., например, [38; гл. II, § 1, п. 5] или [17; предложение 3.1]). Теорема 6.2 доказана. Перейдем к общему случаю теоремы 6.1. Доказательство теоремы 6.1. Для комплексных $\mu$, в отличие от неотрицательных, ситуация усложняется. А именно, вместо (70) непосредственно получается значительно более слабая оценка
$$
\begin{equation}
|I_{h_\varepsilon,\mathcal L}|\leqslant (N-2)\sigma_N \int_{\mathbb R^N}|h_\varepsilon(\boldsymbol{x})|\,d\boldsymbol{x},
\end{equation}
\tag{76}
$$
из которой, конечно, не следует теорема 6.1, так как возможна ситуация, когда
В случае $\mathcal L=\Delta$ это не приводит к принципиальным трудностям. Действительно, имея в виду такой же предельный переход, как и в доказательстве теоремы 6.2, можем считать, что компакт $K$ – объединение конечного числа двоичных кубов. Тогда для неотрицательной меры $\mu$, реализующей минимум энергии в классе мер той же полной вариации, всюду на $K$ функция $\mu*|\boldsymbol{x}|^{2-N}$ равна положительной постоянной (см., например, [36; гл. III, теорема 3]). Пусть $\nu$ – комплексная мера на $K$ такая, что $I_{|\nu|,\Delta}<\infty$ и при этом $\langle\nu,1\rangle>0$. Представим $\nu$ в виде суммы $\nu=\mu+\nu_1$, где $\mu$ – указанная выше неотрицательная мера, а $\langle\nu_1,1\rangle=0$ (и, следовательно, $\langle\nu,1\rangle= \langle\mu,1\rangle$). Тогда
$$
\begin{equation*}
I_{\mu+\nu_1,\Delta}=I_{\mu,\Delta}+I_{\nu_1,\Delta}+ \int_{\mathbb R^N}\biggl(\mu*\frac{1}{|\boldsymbol{x}|^{N-2}}\biggr) (\boldsymbol{x})\,d(\nu_1(\boldsymbol{x})+\overline{\nu_1(\boldsymbol{x}}))= I_{\mu,\Delta}+I_{\nu_1,\Delta},
\end{equation*}
\notag
$$
где энергия $I_{\nu_1,\Delta}$ определяется в соответствии с (69) и неотрицательна в силу равенства $L(\boldsymbol{x})=|\boldsymbol{x}|^2$ и соотношений (69)–(71). Тем самым,
$$
\begin{equation}
\langle\nu,1\rangle=\langle\mu,1\rangle,\qquad I_{\nu,\Delta}\geqslant I_{\mu,\Delta},\qquad \mu\geqslant0.
\end{equation}
\tag{77}
$$
В отличие от оператора Лапласа, в случае произвольных операторов $\mathcal L$ с комплексными коэффициентами нет непосредственной связи между емкостью и энергией и даже неизвестно, выполняется ли ослабленный принцип максимума с постоянной, не зависящей от компакта. Поэтому доказательство теоремы 6.1 потребовало новых подходов. Прежде всего, заметим, что неравенство $A\gamma_{\Delta,+}(K)\geqslant \gamma_{\mathcal L}(K)$ тривиально, если $K$ – какой-либо куб. Переходя к компактам более сложной структуры, будем использовать индукционные аргументы, аналогичные тем, что были применены в [32]. Цель этих аргументов – уменьшить правую часть (76) за счет упрощения структуры функции, которая задается на компакте, содержащем $K$, но имеющем более простое строение. Вместе с тем емкость $\gamma_{\Delta,+}$ объемлющего компакта не должна быть существенно больше, чем у $K$. Проще всего эта процедура выглядит на поколениях канторовых множеств [40]. Мы будем рассматривать общий случай теоремы 6.1. Далее $X$ – в частности, но не обязательно, исходный компакт $K$. Применив известную конструкцию Уитни [3; гл. 6, § 1], получим следующее утверждение [22; лемма 8]. Напомним, что двоичные кубы в конструкции Уитни называются раздельными, если их внутренности не пересекаются. Всюду далее $s(D)$ – это длина стороны куба $D$. Лемма 6.1. Пусть $X$ – компакт, состоящий из конечного числа раздельных двоичных кубов $D_k$. Тогда для всех достаточно малых $\lambda=\lambda(N)>0$ существует компакт $X'$ со следующими свойствами: Полагая отношение $\gamma_{\Delta,+}(X)/(\operatorname{diam}(X))^{N-2}$ достаточно малым (в случае соизмеримости соответствующих величин доказывать нечего), будем считать (см. [22; формула (4.6)]), что диаметры кубов $Q_j$ существенно меньше диаметра $X$ (хотя бы в два раза). Возникает альтернатива: либо для всех $j$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{\gamma_{\mathcal L}(X)}{\gamma_{\Delta,+}(X)}\geqslant \frac{\gamma_{\mathcal L}(X\cap (17/16)Q_j)} {2\gamma_{\Delta,+}(X\cap (17/16)Q_j)}
\end{equation}
\tag{79}
$$
(случай 1), либо для какого-нибудь $j$ имеет место противоположное неравенство (случай 2). В силу строения $X$ и $Q_j$ очевидно, что числители и знаменатели всех дробей в (79) отличны от нуля. Рассмотрим случай 1. Роль условия (79) состоит в том, что оно позволяет перенести оценку (78) с $\gamma_{\Delta,+}(X)$ на $\gamma_{\mathcal L}(X)$. В силу (78) и (79) имеем
$$
\begin{equation}
\sum_j\gamma_{\mathcal L}\biggl(X\cap \frac{17}{16}Q_j\biggr)\leqslant 2\frac{\gamma_{\mathcal L}(X)}{\gamma_{\Delta,+}(X)} \sum_j\gamma_{\Delta,+}\biggl(X\cap \frac{17}{16}Q_j\biggr)\leqslant 2A_4\gamma_{\mathcal L}(X).
\end{equation}
\tag{80}
$$
Оценка (80) играет ключевую роль в доказательстве следующей основной леммы [22; лемма 9]. Лемма 6.2 (основная). Пусть $X$ – компакт, удовлетворяющий условию $\gamma_{\mathcal L}(X)>0$, а $f=(\mathcal Lf)*\Phi_{\mathcal L}$ – функция такая, что Пусть также существует компакт $X'$, состоящий из конечного семейства раздельных двоичных кубов $Q_j$, такой, что $X\subset X'$, и при этом Тогда для любого $M\geqslant 2^N$ существуют число $\alpha_M>0$, компакт $\boldsymbol{X}$, состоящий из конечного семейства раздельных двоичных кубов, и комплексная функция $\nu\in C_0^\infty(\boldsymbol{X})$ такие, что
Из леммы 5.5 несложно выводится утверждение теоремы 6.1 для компакта $X$. Действительно, так же как в (77), существует неотрицательная мера $\mu_{\boldsymbol{X}}$, $\operatorname{Supp}(\mu_{\boldsymbol{X}})\subset\boldsymbol{X}$, такая, что $\langle\mu_{\boldsymbol{X}},1\rangle=\langle\nu,1\rangle$ и $I_{\mu_{\boldsymbol{X}},\Delta}\leqslant I_{\nu,\Delta}$. В силу свойства (c) отсюда получаем (см. вывод теоремы 6.2 из (75)), что $\gamma_{\Delta,+}(\boldsymbol{X})\geqslant \gamma_{\mathcal L}(X)/(4\alpha_MM)$. Вместе со свойством (b) и условием 1) это дает
$$
\begin{equation*}
A_5\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant\gamma_{\Delta,+}(X')\geqslant \gamma_{\Delta,+}(\boldsymbol{X})-\frac{A_7}{M}\gamma_{\mathcal L}(X) \geqslant \frac{1}{M}\biggl(\frac{1}{4\alpha_M}-A_7\biggr) \gamma_{\mathcal L}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь свойство (a) позволяет выбрать $M=M(L)$ так, чтобы выполнялось неравенство $A\gamma_{\Delta,+}(X)\geqslant\gamma_{\mathcal L}(X)$. Доказательство леммы 6.2 техническое (см. в [22] леммы 4, 5, 10, 11 и 12), оно использует аппроксимационную схему Витушкина, методы геометрической теории меры и теории сингулярных интегралов. Кратко отметим, что условие (80) в сочетании с тем, что структура $\boldsymbol{X}$ существенно проще структуры $X$, позволяет добиться оценки
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb R^N}|\nu(\boldsymbol{x})|\,d\boldsymbol{x}\leqslant A\gamma_{\mathcal L}(X)
\end{equation*}
\notag
$$
(см. утверждение (i) леммы 11 из [22]). В отличие от случая канторовых множеств (см. [40]), не удается получить хорошей равномерной оценки для функции $\nu*\Phi_{\mathcal L}$, но сочетание оценок $\gamma_{\Delta,+}(\boldsymbol{X})\leqslant \gamma_{\Delta,+}(X')+(A/M)\gamma_{\mathcal L}(X)$ и $I_{\nu,\Delta}\leqslant AM^{8/9}\gamma_{\mathcal L}(X)$ оказывается достаточной компенсацией, так как $8/9<1$. То, что в последней оценке удается заменить $M$ на $M^{8/9}$, – результат технических лемм 5 и 12 из [22]. Рассмотрим теперь случай 2 (т. е. случай невыполнения оценки (79) для некоторого $j$). Пусть $\gamma_{\mathcal L}(X)=C\gamma_{\Delta,+}(X)$, где $C$ – положительная постоянная, относительно которой больше ничего не утверждается. Случай 2 дает для соответствующего $j$ неравенство $\gamma_{\mathcal L}(X\cap (17/16)Q_j)\geqslant 2C\gamma_{\Delta,+}(X\cap(17/16)Q_j)$, причем $\operatorname{diam}(X\cap (17/16)Q_j)<(1/2)\operatorname{diam}(X)$. Положив $X:=X^{(1)}=X\cap(17/16)Q_j$ (где ${}^{(1)}$ означает номер итерации), снова проведем построение, приводящее к лемме 6.1, и рассмотрим альтернативу, связанную с (79). Если выполняется неравенство, соответствующее (79) при $X= X^{(1)}$, то, применив основную лемму 6.2, получим $A\gamma_{\Delta,+}(X^{(1)})\geqslant \gamma_{\mathcal L}(X^{(1)})$, что дает для исходного компакта $K$ неравенство
$$
\begin{equation*}
A\gamma_{\Delta,+}\biggl(K\cap\frac{17}{16}Q_j\biggr)\geqslant 2C\gamma_{\Delta,+}\biggl(K\cap\frac{17}{16}Q_j\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, $C\leqslant A/2$, а значит, $\gamma_{\mathcal L}(K)\leqslant(A/2)\gamma_{\Delta,+}(K)$, и это (с запасом в два раза) дает оценку, нужную для завершения доказательства теоремы 6.1. В случае невыполнения (79) процедура повторяется с $X^{(k)}$, где $k=1,2,\dots$ . При этом на каком-то шаге мы или получим случай 1 непосредственно (что завершает доказательство теоремы 6.1, так как на каждом шаге оценка улучшается минимум в два раза и $\gamma_{\mathcal L}(K)\leqslant(A/2^k)\gamma_{\Delta,+}(K)$), или дойдем до ситуации $Q_j\subset K$ – и тогда доказывать нечего, так как оценка теоремы 6.1 для произвольного $K$ будет не хуже тривиальной оценки $A\gamma_{\Delta,+}(Q_j)\geqslant\gamma_{\mathcal L}(Q_j)$. Тем самым доказательство теоремы 6.1 завершено. Рассмотрим теперь случай пространства $\mathbb R^2$, имеющий свою специфику. Если $\mathcal L$ – сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, то $\lim_{|\boldsymbol{x}|\to\infty}\Phi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})=\infty$, поэтому емкости $\gamma_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\gamma_{\mathcal L,+}$, $\alpha_{\mathcal L,+}$ определяются локально (см., например, [19; § 1, формула (1.4)]). Это, в частности, означает, что норма $\|{\,\cdot\,}\|_{L^\infty(\mathbb R^2)}$ заменяется на $\|{\,\cdot\,}\|_{L^\infty(B)}$, где $B$ – круг такой, что $K\subset(1/2)B$. Для гармонических емкостей в пространстве $\mathbb R^2$ имеется естественный аналог равенства (65) [19; предложение 2.1], а соответствующие емкости $\gamma_{\Delta,+}$ и $\gamma_{\mathcal L,+}$ соизмеримы между собой [19; предложение 2.3]. Последнее утверждение является прямым следствием строения фундаментальных решений. Основным результатом работы [19] является теорема 1.1, смысл которой состоит в следующем. Пусть $\mathcal L_2$ – произвольный сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$, тогда найдется $c_{33}\ne0$ такое, что $\mathcal L_3=\mathcal L_2+c_{33}\,\partial^2/\partial x_3^2$ – эллиптический оператор в $\mathbb R^3$, при этом локальная емкость $\gamma_{\mathcal L_2}(K)$ компакта $K$ относительно круга $B$ радиуса $R$ такого, что $K\subset(1/2)B$, соизмерима с $R^{-1}\gamma_{\mathcal L_3}(K')$, где $K'=K\times[-R,R]$ – декартово произведение в $\mathbb R^3$. В силу предложения 2.1 и теоремы 1.1 из [19] теорема 6.1 в $\mathbb R^3$ приводит к соизмеримости локальных емкостей $\gamma_{\mathcal L_2}$ в $\mathbb R^2$ с гармоническими. Фактически во всех оценках достаточно ограничиться случаем единичного круга $B=B(\boldsymbol{0},1)$. Пусть $U\subset B(\boldsymbol{0},1/2)$, тогда
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}^0(U)=\sup_T\{|\langle T,1\rangle| \colon \operatorname{Supp}(T)\subset U,\ \|T*\varPhi_{{\mathcal L}}\|_{L^\infty(B(\boldsymbol{0},1))}\leqslant1\},
\end{equation}
\tag{81}
$$
в случае емкости $\gamma_{\mathcal L,+}^0$ распределения $T$ в (81) – неотрицательные меры с носителями на $U$, а для емкостей $\alpha_{\mathcal L}^0$ и $\alpha_{\mathcal L,+}^0$ в (81) дополнительно требуется, чтобы выполнялось условие $T*\varPhi_{\mathcal L}\in C(B(\boldsymbol{0},1))$. Напомним, что в $\mathbb R^2$ имеем $\varPhi_{\Delta}=(2\pi)^{-1}\ln|\boldsymbol{x}|$. Если учесть знак логарифма, то для $\gamma_{\Delta,+}$ имеет место равносильное (нелокальное) определение (см., например, [38; гл. II, § 4]):
$$
\begin{equation}
\gamma_{\Delta,+}(U)=\sup_{\mu}\{\|\mu\| \colon \operatorname{Supp}(\mu)\subset U,\ \mu\geqslant0,\ \mu*\varPhi_{\Delta}\geqslant-1\},
\end{equation}
\tag{82}
$$
при этом емкость (82) больше гармонической (винеровой) емкости ровно в $2\pi$ раз. Таким образом, в силу доказанной выше теоремы 6.1, а также предложения 2.1 и теоремы 1.1 из [19] справедливо следующее утверждение. Теорема 6.3. Существует постоянная $A=A(\mathcal L)>1$ такая, что для любого множества $U\subset B(\boldsymbol{0},1/2)$ в $\mathbb R^2$ имеет место оценка Случай $U\subset B(\boldsymbol{a},R/2)$ для произвольного круга $B=B(\boldsymbol{a},R)$ рассматривается с помощью сдвига и гомотетии (см. (1.4), (1.5) и предложение 2.2 в [19]). Пусть $P(B)$ – композиция сдвига и гомотетии, переводящая некоторый круг $B$ в $B(\boldsymbol{0},1)$, тогда для емкости $\gamma_{\mathcal L}^{0,B}(U)$ множества $U$ относительно круга $B$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\gamma_{\mathcal L}^{0,B}(U)=\gamma_{\mathcal L}^{0}(P(U)).
\end{equation}
\tag{83}
$$
Отметим некоторые следствия приведенных выше теорем 6.1 и 6.3, теоремы 1.1 из [19], результатов работы [35] и хорошо известных свойств гармонической емкости. 1. Каждая из емкостей $\gamma_{\mathcal L}$, $\gamma_{\mathcal L,+}$, $\alpha_{\mathcal L}$, $\alpha_{\mathcal L,+}$ (а также $\gamma_{\mathcal L}^0$, $\gamma_{\mathcal L,+}^0$, $\alpha_{\mathcal L}^0$, $\alpha_{\mathcal L,+}^0$ в $\mathbb R^2$) счетно субаддитивна. А именно, если $U=\displaystyle\bigcup_jU_j$, то где $\gamma$ – любая из указанных емкостей.2. Компакт $K\subset\mathbb R^N$, $N\geqslant2$, является устранимым для решений уравнения $\mathcal Lf=0$ в классе ограниченных или классе непрерывных функций тогда и только тогда, когда $\gamma_{\Delta,+}(K)=0$ (при $N=2$ рассматриваются только сильно эллиптические уравнения). 3. Пусть $K\subset\mathbb R^2$ – компакт. Если $K$ для любого $\varepsilon>0$ может быть покрыт конечным семейством открытых кругов $B_j$ радиусов $r_j<1$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_j\dfrac{1}{\ln(1/r_j)}<\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
то $K$ устраним для решений сильно эллиптических уравнений $\mathcal Lf=0$ в классах ограниченных и непрерывных функций при всех $\mathcal L$. Аналогичные метрические свойства устранимых множеств при всех $\mathcal L$ и всех $N\geqslant 2$ можно получить, воспользовавшись оценками гармонических емкостей из [36; гл. 4]. 7. Равномерная аппроксимация $\mathcal L$-аналитическими функциямиДля упрощения обозначений будем писать $\mathcal A_{\mathcal L}$ и $C_{\mathcal L}$ вместо $\mathcal A^0_{\mathcal L}$ и $C^0_{\mathcal L}$. Прежде всего напомним, что для любого не сильно эллиптического оператора $\mathcal L$ и для любого компакта $X$ в $\mathbb R^2$ выполнено равенство $\mathcal A_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$ [5; теорема 1]. Поэтому в дальнейшем $\mathcal L$ – это эллиптический оператор в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, или сильно эллиптический оператор в $\mathbb R^2$. Пусть $N\geqslant2$ и $X\subset\mathbb R^N$ – непустой компакт. Каждую функцию $f\in C(X)$ считаем продолженной (по теореме Брауэра–Урысона) за пределы $X$ как непрерывную и финитную, и пусть $\Omega_f$ – ее модуль непрерывности. Критерий принадлежности функции $f$ пространству $\mathcal A_{\mathcal L}(X)$ был получен при $N\geqslant3$ в работе [15] в терминах емкостей $\gamma_{\mathcal L}$, а при $N=2$ в работе [18] в терминах емкостей $\gamma^0_{\mathcal L}$ (с точностью до сдвига и гомотетии). В силу теорем 6.1 и 6.3 в этих критериях емкости $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma^0_{\mathcal L}$ можно заменить на классические гармонические емкости. При $N\geqslant3$ имеет место следующее утверждение. Теорема 7.1. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, $\mathcal L$ – эллиптический оператор в $\mathbb R^N$ с символом $L$ и $f\in C(X)$. Следующие условия эквивалентны: Напомним, что $L$-осцилляция функции $f$ по шару $B$ была определена формулой (2) выше. Смысл этой величины легко усмотреть из ее частного случая (3) при $\mathcal L=\Delta$, когда, с учетом теоремы о среднем для гармонических функций, величина $\mathcal O^\Delta_B(f)$ естественным образом характеризует “меру негармоничности” функции $f$ в шаре $B$ (в самом деле, если $\Delta f=0$ в некоторой окрестности $\overline{B}$, то по теореме о среднем $\mathcal O^\Delta_B(f)=0$). В общем случае (см. лемму 4.1) для $f\in C^\infty(\mathbb R^N)$ имеет место равенство (19):
$$
\begin{equation*}
\int_B\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x}) \mathcal Lf(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x}=\mathcal O^L_B(f),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})= (r^2-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|^2)/(2N|B|)$ в $B=B(\boldsymbol{a},r)$ и $\psi_{\boldsymbol{a}}^r(\boldsymbol{x})=0$ вне $B(\boldsymbol{a},r)$. Так как правая часть (2) не содержит производных $f$, то в силу (19) для $f\in C(\mathbb R^N)$ естественно интерпретировать $L$-осцилляцию $\mathcal O^L_B(f)$ как действие $\langle\mathcal Lf,\psi_{\boldsymbol{a}}^r\rangle$ распределения $\mathcal Lf$ на пробную функцию $\psi_{\boldsymbol{a}}^r$. Вернемся к формулировке теоремы 7.1. Утверждение (c) $\Rightarrow$ (b) тривиально, утверждение $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)\Rightarrow{\rm (c)}$ стандартно, трудная часть теоремы 7.1 – это импликация ${\rm (b)}\Rightarrow f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$, т. е. достаточность условия (b). Сначала дадим комментарии к импликации $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)\Rightarrow{\rm(c)}$. Она доказывается так же, как ее частный случай при $\mathcal L=\Delta$ и $N=3$ (см. [10; лемма 2.5]). А именно, в силу (2) и (19) для $f\in C(\mathbb R^N)$ произведения $\psi_{\boldsymbol{a}}^r\mathcal Lf$ корректно определены как распределения. Так же, как в лемме 4.4, вводится локализационный оператор Витушкина $V_{\psi_{\boldsymbol{a}}^r}(f)= (\psi_{\boldsymbol{a}}^r\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}$. Аналогично лемме 2.4 из [10] доказывается следующее стандартное утверждение. Лемма 7.1. Функция $(\psi_{\boldsymbol{a}}^r {\mathcal L}f)*\varPhi_{\mathcal L}$ обладает следующими свойствами: Заметим, что эта лемма существенно проще аналогичных лемм 4.4 и 5.1. Так как $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$, то для любого $\varepsilon>0$ существует функция $F\in C(\mathbb R^N)$, $\mathcal L$-аналитическая в некоторой окрестности $X$ и такая, что $\|f-F\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant\varepsilon$ (при необходимости применяется теорема Брауэра–Урысона о продолжении). Применив к функции $(\psi_{\boldsymbol{a}}^r\mathcal L(f-F))*\varPhi_{\mathcal L}$ лемму 7.1, можем считать, что
$$
\begin{equation*}
\|(\psi_{\boldsymbol{a}}^r\mathcal LF)* \varPhi_{\mathcal L}\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant (A_1+1)\Omega_f(r)r^{2-N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда при
$$
\begin{equation}
\langle T,1\rangle=\langle\psi_{\boldsymbol{a}}^r\mathcal LF,1\rangle= \langle\mathcal LF,\psi_{\boldsymbol{a}}^r\rangle=\mathcal O^L_B(F)
\end{equation}
\tag{85}
$$
в силу определения емкости (62) получим для любого $\lambda>1$ неравенство
$$
\begin{equation*}
|\mathcal O^L_{B(\boldsymbol{a},r)}(F)|\leqslant (A_1+1)\Omega_f(r)r^{2-N}\gamma_{\mathcal L} \bigl(B(\boldsymbol{a},\lambda r)\setminus X\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось воспользоваться оценкой $\|f-F\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant \varepsilon$, где $\varepsilon>0$ произвольно, и непрерывностью $\mathcal O^L_{B(\boldsymbol{a},\lambda r)}(f)$ как функции от $\lambda$. В итоге в силу соизмеримости емкостей $\gamma_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\Delta,+}$ имеем $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)\Rightarrow{\rm(c)}$. Рассмотрим теперь импликацию ${\rm(b)}\Rightarrow f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$. Отметим, что случай $m=0$ значительно сложнее случая $m\in(0,1)\cup(1,2)$, так как сингулярные интегральные операторы с ядрами Кальдерона–Зигмунда в общем случае не ограничены в пространстве $C(\mathbb R^N)$. Случай $m=0$ также технически сложнее, чем $m=1$, так как у локализаций исходной функции нужно уравнивать на один порядок больше лорановских коэффициентов. Теорема 7.1 сводится к следующей основной лемме (см. [15; теорема 1]). Лемма 7.2. Если найдутся $k\geqslant 1$ и функция $\epsilon$, $\epsilon(r)\to0+$ при $r\to 0+$, такие, что для любого шара $B=B(\boldsymbol{a},r)$ и любой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb R^N)$ такой, что $\operatorname{Supp}(\varphi)\subset B$, справедлива оценка то $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$. Условие (84), конечно, удобнее для проверки, чем (86), так как не требует произвольных пробных функций $\varphi$. Фактически (см., например, (85)) это частный случай условия (86) для специальной пробной функции $\psi_{\boldsymbol{a}}^r$. Но выводить включение $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$ удобнее из (86). Условие (86), так же как и (84), является достаточным для $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$ с $k=1$ и $\epsilon=A\Omega_f$ (см. [15; лемма 5]). Схема перехода от (84) к (86) по существу была предложена П. В. Парамоновым в [31] в случае голоморфных функций. Ее основа – построение специальных разбиений единицы с помощью многократных сверток (см. выше доказательство леммы 5.4). В [15; § 7] используется модификация этой схемы для операторов второго порядка. В доказательстве леммы 7.2 применяется схема разделения особенностей и приближения функции по частям (схема Витушкина), предложенная А. Г. Витушкиным в [8], усовершенствованная и адаптированная к случаю общих эллиптических уравнений в работах многих авторов. В соответствии со схемой Витушкина, исходная функция $f$ с помощью подходящего разбиения единицы представляется в виде конечной суммы функций с локализованными особенностями (так называемых локализаций), и задача состоит в уравнивании у локализаций подходящего числа коэффициентов ряда Лорана по частным производным фундаментального решения. Общая схема разбиений единицы была предложена в [41; лемма 3.1]. А именно, пусть $\{Q_j\}$ – конечное семейство раздельных двоичных кубов с ребрами $s_j$. Тогда для любого $\lambda>0$ существуют функции $\varphi_j\in C_0^\infty(\mathbb R^N)$ такие, что $\operatorname{Supp}(\varphi_j)\subset(1+\lambda)Q_j$, $0\leqslant \varphi_j(\boldsymbol{x})\leqslant1$ при всех $\boldsymbol{x}$, $\displaystyle\sum_j\varphi_j(\boldsymbol{x})=1$ на множестве $\displaystyle\bigcup_jQ_j$ и для всех $j$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\|\nabla^2\varphi_j\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant A(\lambda,N)s_j^{-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в [15] взято $\lambda=1/32$ (столь малое $\lambda$ нужно для сложных геометрических конструкций, в частности при использовании так называемых согласованных пар кубов), а множество $\{Q_j\}$ весьма нетривиально зависит от распределения емкости дополнения к $X$. Функции $\varphi=\varphi_j$ используются для построения локализаций (32), причем оценка (86) нужна только для таких $\varphi$ (т. е. со стандартными оценками производных), при этом $r$ и $s_j$ соизмеримы. Свойства локализаций стандартны и хорошо известны (см., например, [8; гл. 2, § 3, лемма 1], [42; лемма 14.10], [5; лемма 1.2], а также приведенную выше лемму 7.1. А именно:
Локализации $(\varphi_j\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}$ разлагаются в ряд Лорана (34), где $\boldsymbol{a}$ – центр $Q_j$, $T=\varphi_j\mathcal Lf$ и $c_0=\langle\varphi_j\mathcal Lf,1\rangle= \langle\mathcal Lf,\varphi_j\rangle$ – главный лорановский коэффициент. Условие (86) в силу определения емкости – это в точности возможность уравнять у каждой локализации коэффициент $c_0$ с помощью функции $F_j$ такой, что $\|F_j\|_{L^\infty(\mathbb R^N)}\leqslant A_1\epsilon_f(s_j)$ и $\operatorname{Supp}(\mathcal LF_j)\subset A_1Q_j\setminus X$. При этом имеет место асимптотика $(\varphi_j\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}-F_j=O(|\boldsymbol{x}|^{1-N})$ при $\boldsymbol{x}\to\infty$. Однако такой асимптотики явно недостаточно для того, чтобы непосредственная оценка величины $\displaystyle\sum_j|(\varphi_j\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}-F_j|$ приводила к выполнению условия $f\in\mathcal A_{\mathcal L}(X)$. Если формально следовать схеме Витушкина из [8; гл. 2], то достаточной будет асимптотика $(\varphi_j\mathcal Lf)* \varPhi_{\mathcal L}-F_j=O(|\boldsymbol{x}|^{-N-1})$ при $\boldsymbol{x}\to\infty$. Заметим, что в случае равномерного приближения голоморфными функциями (см. [8]), где $N=2$, и в случае приближений в $C^1$-норме (для градиентов) после уравнивания главного лорановского коэффициента априори имеем асимптотику в бесконечности $O(|\boldsymbol{x}|^{-N})$, а не $O(|\boldsymbol{x}|^{1-N})$ (см. раздел 5, неравенство (38)), что технически проще для приближения. В этих случаях есть эффективный метод группировки индексов, предложенный П. В. Парамоновым, он описан в разделе 5. В доказательстве леммы 7.2 очень полезной оказалась теорема о приближении функции по частям [5; теорема 2], которая утверждает следующее. Теорема 7.2. Если для произвольной локализации $(\varphi_j\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}$ существует функция $F_j$ такая, что В доказательстве этой теоремы учитывается, что вторые частные производные $\varPhi_{\mathcal L}$ – это хорошие ядра Кальдерона–Зигмунда с нулевыми средними, и поэтому $L^2$-оценки в $\mathbb R^N$ выражений $\displaystyle\sum_j((\varphi_j\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}-F_j)$ значительно лучше, чем $\displaystyle\sum_j|(\varphi_j\mathcal Lf)*\varPhi_{\mathcal L}-F_j|$. Используя разбиения единицы в различных масштабах и суммирование с помощью выпуклых комбинаций, удается от $L^2$-оценок перейти к равномерным оценкам. Из теоремы 7.2 о приближении функции по частям [5; теорема 2] следует, что для доказательства леммы 7.2 достаточно (и необходимо) уравнять у каждой локализации с надлежащими оценками, кроме главного лорановского коэффициента $c_0$, также $N$ коэффициентов при первых частных производных фундаментального решения. То, что такая возможность является неявным следствием оценки (86), – замечательный факт. Проблема уравнивания указанных коэффициентов и составляет основную трудность доказательства леммы 7.2. В доказательстве конструируются специальные липшицевы графы, идея таких конструкций была предложена в [43], где $\mathcal L$ – квадрат оператора Коши–Римана в $\mathbb R^2$. Так как это оператор с ограниченным фундаментальным решением, емкости не требуются, и построение полностью геометрично. Приведем соответствующее модельное рассуждение, следуя [43]; рассуждение, применяемое в доказательстве леммы 7.2, является его значительным развитием и ввиду сложности здесь в полном объеме рассматриваться не будет. В пространстве $\mathbb R^2$ переменных $x_1$ и $x_2$ пусть $z=x_1+ix_2$, $\overline{z}=x_1-ix_2$, $\overline\partial=(\partial/\partial x_1+i\partial/\partial x_2)/2$ – оператор Коши–Римана, $\overline\partial^2$ – его квадрат, $\varPhi=\pi^{-1}\overline{z}\big/z$ – стандартное фундаментальное решение оператора $\overline\partial^2$. Пусть $X\subset\mathbb R^2$ – непустой компакт, $g\not\equiv0$ – локализация функции $f$ такой, что $f\in C(\mathbb R^2)$ и $\overline\partial^2f=0$ в $X^\circ$. Не ограничивая общности, считаем, что $\operatorname{Supp}(\overline\partial^2g)\subset (1/2)Q_0\setminus X^\circ$, где $Q_0=[0,1]\times[0,1]$, и задача состоит в оценке и уравнивании лорановского коэффициента функции $g$ при $\partial\varPhi/\partial x_2$. Пусть $\mathcal X=Q_0\setminus X^\circ$. Будем рассматривать покрытия компакта $\mathcal X$ конечными семействами замкнутых двоичных квадратов
$$
\begin{equation*}
Q=Q^{m_1,m_2}_k=[m_1\,2^{-k},(m_1+1)\,2^{-k}]\times [m_2\,2^{-k},(m_2+1)\,2^{-k}],
\end{equation*}
\notag
$$
где $k$, $m_1$ и $m_2$ – целые числа. По индукции строим невозрастающую последовательность покрытий $\mathcal Q(k)$, $k=1,2,3,\dots$, где $\mathcal Q(1)$ – совокупность четырех двоичных квадратов с длиной стороны $2^{-1}$, составляющих $Q_0$. Каждый квадрат из $\mathcal Q(k+1)$ содержится (возможно, совпадая) в соответствующем квадрате из $\mathcal Q(k)$. Каждое покрытие состоит из квадратов двух типов: белых, которые на следующей итерации делятся, и красных, которые в дальнейшем не изменяются (в начале построения четыре исходных квадрата – белые). Для определения локальных моментов остановки центральным является следующее понятие. Два квадрата $Q^{m_1,m_2}_k$ и $Q^{n_1,n_2}_k$ (одного размера, с $s=2^{-k}$) назовем согласованными (согласованной парой), если
$$
\begin{equation*}
|m_1-n_1|\leqslant1,\qquad 2\leqslant|m_2-n_2|\leqslant3.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество квадратов $\{Q^{m_1,m_2}_k\}$, где $k$ и $m_1$ фиксированы, назовем вертикальным рядом (в частности, согласованные квадраты расположены в одном вертикальном ряду или в соседних вертикальных рядах). Индукционный переход: построение $\mathcal Q(k)$. Разделим каждый белый квадрат $Q$ покрытия $\mathcal Q(k-1)$ на четыре квадрата со стороной $s(Q)/2$. Из полученных квадратов включим в $\mathcal Q(k)$ только те, которые пересекают $\mathcal X$ (т. е. не содержатся целиком в $X^\circ$), назовем их квадратами поколения $k$; покрытие $\mathcal Q(k)$ состоит из квадратов поколения $k$ и всех красных квадратов предыдущих поколений. Определим цвет квадратов поколения $k$ следующим образом. Если среди них найдется согласованная пара $(Q_1,Q_2)$, то назовем красными $Q_1$ и $Q_2$, а также каждый квадрат из $\mathcal Q(k)$, находящийся с $Q_1$ или $Q_2$ в одном вертикальном ряду; затем в множестве квадратов, цвет которых еще не определен, продолжим поиск согласованных пар (определяя красные квадраты тем же способом, что и выше). Когда все согласованные пары будут исчерпаны, оставшиеся квадраты поколения $k$ назовем белыми, и тем самым покрытие $\mathcal Q(k)$ будет построено. Каждое покрытие $\mathcal Q(k)$ обладает следующими свойствами [43; лемма 2.1], вытекающими из построения и легко проверяемыми по индукции:
Теперь определим глобальный момент остановки. Зафиксируем $k_0$ – минимальный номер $k$, для которого выполнено неравенство где $\Omega_g$ – модуль непрерывности функции $g$, а в правой части неравенства записана сумма $s(Q)$ по всем (зафиксированным) красным квадратам $Q$. Так как компакт $\mathcal X$ содержит непустое открытое множество, требуемый номер $k_0$ заведомо существует.Зафиксировав $k_0$, выберем в каждом вертикальном ряду покрытия $\mathcal Q(k_0)$ по одному квадрату. Проведем через центры выбранных квадратов ломаную, обозначим ее $\varGamma$, и пусть $x_2=\Psi(x_1)$ – уравнение $\varGamma$. В силу свойств $1)$ и $4)$ покрытия $\mathcal{Q}(k_0)$ ясно, что такая ломаная $\varGamma$ обладает следующими свойствами: $|\Psi'(x_1)|<7$ и для всех $Q$ из $\mathcal Q(k_0)$ выполнено условие $\operatorname{dist}(Q,\varGamma)\leqslant(5/2)s(Q)$. На этом конструкция завершается. Далее, используя (конечное) множество кубов $\{Q_j\}$ покрытия $\mathcal Q(k_0)$, построим разбиение единицы $\{\varphi_j\}$ из леммы 3.1 работы [41], разложим функцию $g$ на сумму повторных локализаций: и уравняем у каждой повторной локализации главный лорановский коэффициент. А именно, пусть $\boldsymbol{x}_j$ – произвольная точка квадрата $(11/10)Q_j$ из дополнения к $X$, построим функцию
$$
\begin{equation}
g_0(\boldsymbol{x})=g(\boldsymbol{x})- \sum_j\langle\varphi_j\overline\partial^2g,1\rangle \varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_j).
\end{equation}
\tag{88}
$$
Тогда $\langle\overline\partial^2g_0,1\rangle=0$, а модуль коэффициента функции $g_0$ при $\partial\varPhi/\partial x_2$ оценивается сверху, как правая часть (87). Рассмотрим основные идеи уравнивания этого остаточного коэффициента. Пусть $Q'=Q^{n_1,n_2}_k$ и $Q''=Q^{m_1,m_2}_k$ – согласованная пара красных квадратов, где будем считать, что $m_2>n_2$ (иначе говоря, $Q''$ расположен выше $Q'$ относительно оси $x_2$), и пусть
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{x}'=(x_1',x_2')\in \frac{11}{10}Q'\quad\text{и}\quad \boldsymbol{x}''=(x_1'',x_2'')\in \frac{11}{10}Q''
\end{equation*}
\notag
$$
– соответствующая пара точек из дополнения к $X$. Рассмотрим функции следующего вида:
$$
\begin{equation}
r(\boldsymbol{x})=\sum_t\lambda_t(\varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_t'')- \varPhi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_t')),\qquad 0\leqslant\lambda_t\leqslant1,
\end{equation}
\tag{89}
$$
где суммирование проводится по всем согласованным парам красных квадратов покрытия $\mathcal Q(k_0)$. Если коэффициенты $\lambda_t$ равны 1 при всех $t$, то, как следует из определения согласованных пар, модуль лорановского коэффициента функции $r$ при $\partial\varPhi/\partial x_2$ по порядку величины не меньше, чем правая часть (87). Основная проблема состоит в том, что равномерная норма функции $r$ может неограниченно возрастать с увеличением числа согласованных пар. Здесь ключевую роль играет то, что $\varGamma$ – липшицев граф с контролируемой постоянной Липшица, а функция $r$ из (89) ведет себя как сингулярный интеграл с антисимметричным ядром Кальдерона–Зигмунда порядка $|\boldsymbol{x}|^{-1}$. С использованием методов теории сингулярных интегралов удается добиться одновременного выполнения условий
$$
\begin{equation*}
\|r\|_{\mathbb R^2}\leqslant A\quad\text{и}\quad \sum_t\lambda_ts(Q_t')>\frac{1}{100}\sum_{\text{red}}s(Q),
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q_t'$ – один из кубов согласованной пары $(Q_t',Q_t'')$, а сумма в правой части последнего неравенства – та же, что в (87). По существу это дискретный аналог леммы 4.2 из [44]. Равномерная норма функции $g_0$ из (88) также может неограниченно возрастать с увеличением числа согласованных пар. Здесь ситуация еще сложнее, чем в случае функции $r$, и кроме применения методов теории сингулярных интегралов требуются вариации покрытия $\mathcal Q(k_0)$. Естественно, необходимость использования емкостей и особенно неравномерность распределения емкости дополнения к $X$ делает конструкцию уравнивания лорановских коэффициентов при $\partial\varPhi_{\mathcal L}/\partial x_n$, $n=1,2,\dots,N$, в лемме 7.2 значительно более содержательной, чем в [43] (см. [15; § 4, § 5 и лемма 16 о накопительной оценке коэффициентов]). Усложняются понятие согласованных пар и локальные моменты остановки. Но ключевая идея остается такой же: конструируется липшицев граф, оцениваемый коэффициент фактически представляет собой меру Карлесона относительно такого графа, а само построение – вариант корона-конструкции. Всего в $\mathbb R^N$ строится $2N$ функций, две по каждому из ортогональных направлений, из них $N$ – аналоги $g_0$ из (88) и еще $N$ – аналоги $r$ из (89). Функция, уравнивающая у локализации $N$ коэффициентов при частных производных первого порядка от фундаментального решения, строится как их линейная комбинация [15; леммы 12, 13]. Завершается доказательство леммы 7.2 (см. [15; § 6]) применением техники сингулярных интегралов на липшицевых графах, где в качестве (нечетных) ядер Кальдерона–Зигмунда используются производные первого порядка фундаментального решения $\varPhi_{\mathcal L}$. Переход от $L^2$-оценок к равномерным оценкам осуществляется по существу так же, как в теореме 2 из [5]. Рассмотрим теперь случай $N=2$. Критерий, полученный в [18] для решений сильно эллиптических уравнений, с учетом соизмеримости емкостей (81) и (82), а также равенства (83), приводит к следующему утверждению. Теорема 7.3. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^2$, $\mathcal L$ – сильно эллиптический оператор с символом $L$ и $f\in C(X)$. Следующие условия эквивалентны: Общая схема доказательства теоремы 7.3 такая же, как и теоремы 7.1, но есть технические особенности, связанные с нестандартным поведением емкостей в $\mathbb R^2$ по сравнению с $\mathbb R^N$ при $N\geqslant3$ в силу того, что фундаментальные решения не ограничены в бесконечности. 8. Критерии аппроксимации для классов функций. Множества устранимых особенностейПриведем критерии $C^m$-$\mathcal L$-приближаемости для классов функций в случае $m\in[0,2)$, установленные ранее в работах [7], [25], [14], [16], [15] и [18]. Они являются стандартными следствиями теоремы 2.3 (подробности см., например, в [30; теорема 6.1]). Согласно приведенным выше метрическим описаниям емкостей $\alpha^m_{\mathcal L}$, теперь эти критерии носят метрический характер, т. е. могут быть переформулированы в метрических (а при $m=1$ в интегрально-геометрических) терминах. Следствие 8.1. Для всех операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^N$ (кроме случаев $N=2$, $m=0$) и компактов $X\subset\mathbb R^N$ следующие условия эквивалентны: Следующее утверждение, связывающее понятие множества $C^m$-устранимых особенностей (соответственно $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-устранимых особенностей) для $\mathcal L$-аналитических функций с введенной $C^m$-$\mathcal L$-емкостью (соответственно с $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-$\mathcal L$-емкостью) хорошо известно. Оно уже упоминалось в разделе 6 выше в контексте равномерных емкостей $\alpha_{\mathcal L}$ и $\gamma_{\mathcal L}$. Теорема 8.1. Компакт $K$ в $\mathbb R^N$ удовлетворяет условию $\alpha^m_{\mathcal L}(K)=0$ (соответственно условию $\gamma^m_{\mathcal L}(K)=0$) в том и только том случае, когда $K$ является множеством $C^m$-устранимых особенностей (соответственно множеством $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-устранимых особенностей) для $\mathcal L$-аналитических функций. Напомним, что компакт $K\subset\mathbb R^N$ является множеством $C^m$-устранимых особенностей для $\mathcal L$-аналитических функций, если выполнено следующее условие: пусть $U$ – какая-либо окрестность компакта $K$, а $f\in C^m(U)\cap {\mathcal A}_{\mathcal L}(U\setminus K)$, тогда $f\in {\mathcal A}_{\mathcal L}(U)$. Соответственно, компакт $K\subset\mathbb R^N$ является множеством $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$-устранимых особенностей для $\mathcal L$-аналитических функций, если для любой функции $f\in \operatorname{\textit{Lip}} ^m(U)\cap\mathcal A_{\mathcal L}(U\setminus K)$ существует функция $F\in\mathcal A_{\mathcal L}(U)$ такая, что $F=f$ на множестве $U\setminus K$. Доказательство теоремы 8.1 стандартно: для гармонических функций оно приведено в [1; теорема 1.12]. Иначе говоря, величины $\alpha^m_{\mathcal L}(E)$ и $\gamma^m_{\mathcal L}(E)$ представляют собой “меру $\mathcal L$-аналитической неустранимости” множества $E$ для функций классов $C^m$ и $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m$ соответственно. Поскольку все рассматриваемые здесь емкости описаны в метрических или интегрально-геометрических терминах, аналогичное описание имеют и множества $C^m$-устранимых особенностей для $\mathcal L$-аналитических функций. Интересно отметить, что емкости $\gamma^m_{\mathcal L}$ (соответственно $\alpha^m_{\mathcal L}$) сравнимы между собой для всех $\mathcal L$ при фиксированных $N$ и $m>0$, a при $m=0$ и фиксированном $N$ даже все $\gamma^m_{\mathcal L}$ и $\alpha^m_{\mathcal L}$ сравнимы между собой, т. е. множества $C^0$- и $L^\infty$-устранимых особенностей для $\mathcal L$-аналитических функций одинаковы. 9. $C^m$-аппроксимация $\mathcal L$-аналитическими многочленамиПерейдем к задаче об аппроксимации функций $\mathcal L$-аналитическими многочленами. Эта задача существенно менее изучена, чем задача об аппроксимации $\mathcal L$-аналитическими функциями с особенностями вне компакта аппроксимации. Но в этой задаче есть несколько классических фундаментальных утверждений, на которые во многом опираются дальнейшие исследования. Первым из них является установленный в 1929 г. критерий Уолша–Лебега равномерной аппроксимации функций гармоническими многочленами на компактах в $\mathbb R^2$ [45] (см. также [46]). Согласно этому критерию, для компакта $X\subset\mathbb R^2$ всякая функция, непрерывная на $X$ и гармоническая на $X^\circ$, может быть равномерно на $X$ приближена последовательностью гармонических многочленов тогда и только тогда, когда $\partial X=\partial\widehat{X}$, где $\widehat{X}$ – это топологическая оболочка компакта $X$ (по определению равная объединению $X$ и всех ограниченных связных компонент множества $\mathbb R^2\setminus X$). Заметим также, что для компактов $X\subset\mathbb R^2$ выполнено равенство $\widehat{X}= \{z\in\mathbb R^2 \colon |p(z)|\leqslant\max_{w\in X}|p(w)|$ для любого многочлена $p$ комплексного переменного$\}$, в силу которого множество $\widehat{X}$ также называют полиномиальной или полиномиально выпуклой оболочкой $X$. Компакты $X$ со свойством $\partial X=\partial\widehat{X}$ называются компактами Каратеодори, этот класс компактов естественно возникает во многих задачах теории приближений аналитическими функциями. Второй результат, о котором идет речь, – это доказанная в 1952 г. классическая теорема С. Н. Мергеляна о равномерной аппроксимации функций многочленами комплексного переменного [47]: для компакта $X\subset\mathbb R^2$ всякая функция класса $C(X)$, голоморфная на $X^\circ$, может быть равномерно на $X$ с любой точностью приближена многочленами комплексного переменного тогда и только тогда, когда $X=\widehat{X}$, т. е. множество $\mathbb R^2\setminus X$ связно. В общем случае задача о $C^m$-аппроксимации функций $\mathcal L$-аналитическими многочленами также рассматривается в постановке для классов функций (когда требуется найти необходимые и достаточные условия на компакт $X$, при которых всякая функция класса $C^m_{\mathcal L}(X)$ приближается в $C^m$-норме на $X$ последовательностью $\mathcal L$-аналитических многочленов). Для формальной постановки этой задачи введем соответствующее пространство функций. Напомним, что $\mathcal L$-аналитический многочлен – это (комплекснозначный) многочлен $P$ от $N$ вещественных переменных $x_1,\dots,x_n$, удовлетворяющий всюду в $\mathbb R^N$ уравнению $\mathcal LP=0$. Пространство всех $\mathcal L$-аналитических многочленов будем обозначать символом $\mathcal P_{\mathcal L}$. Для компакта $X\subset\mathbb R^N$, $N\geqslant2$, определим пространство $\mathcal P^m_{\mathcal L}(X)$, состоящее из всех функций $f\in BC(\mathbb R^N)$ таких, что найдется последовательность функций $\{g_n\}_{n=1}^{\infty}\subset BC^m(\mathbb R^N)$ со следующими свойствами:
Всюду в этом разделе (верхний) индекс $m=0$ в обозначении всех используемых пространств будет опускаться: вместо $\mathcal P^0_{\mathcal L}(X)$ пишем $\mathcal P_{\mathcal L}(X)$, вместо $C^0_{\mathcal L}(X)$ пишем $C_{\mathcal L}(X)$, и т. д. В этом разделе нас будет интересовать следующая задача: пусть $m\geqslant0$, а $\mathcal L$ – оператор рассматриваемого вида в $\mathbb R^N$; требуется описать компакты $X$ в $\mathbb R^N$, для которых выполнено равенство Напомним, что $C^m_{\mathcal L}(X)= BC^m(\mathbb R^N)\cap \mathcal A_{\mathcal L}(X^\circ)$ и нетрудно показать, что выполняются следующие включения:
$$
\begin{equation*}
\mathcal P^m_{\mathcal L}(X)\subset \mathcal A^m_{\mathcal L}(X)\subset C^m_{\mathcal L}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим задачу о совпадении пространств $\mathcal P^m_{\mathcal L}(X)$ и $C^m_{\mathcal L}(X)$ вначале для случая $N=2$. Многомерный случай изучен существенно слабее, его мы кратко обсудим в конце данного раздела. Следующая теорема объединяет критерии совпадения пространств $\mathcal P^m_{\mathcal L}(X)$ и $C^m_{\mathcal L}(X)$ для плоских компактов при $m\geqslant1$. Теорема 9.1. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^2$, и пусть $\mathcal L$ – эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами. Заметим, что второе условие в утверждении 2) и условие $\overline{X^\circ}=X$ в утверждении 3) этой теоремы – это в точности условия совпадения классов $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)$ и $C^m_{\mathcal L}(X)$ при соответствующих $m$ в следствии 8.1 и теореме 2.2 соответственно. Заметим также, что условие $X=\widehat{X}$ влечет при $N=2$ и $m=1$ выполнение условия (b) в следствии 8.1. В самом деле, емкость $\alpha^1_{\mathcal L}$ в $\mathbb R^2$ обладает свойством $\alpha^1_{\mathcal L}(D)\asymp\mathop{\mathrm{diam}}(D)$ для любой области $D\subset\mathbb R^2$ (см. [14; разд. 5]). Во всех трех случаях критерии аппроксимации в теореме 9.1 выводятся из соответствующих критериев совпадения пространств $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)$ и $C^m_{\mathcal L}(X)$ с использованием классического метода Рунге “движения особенностей”, применимость которого для задачи аппроксимации $\mathcal L$-аналитическими функциями обоснована, например, в [4] (см. также [48; § 3.10] для случая классической равномерной аппроксимации). Для полноты изложения покажем, почему условие связности дополнения к компакту $X$ является необходимым для возможности приближения любой функции $f$ класса $C^1(\mathbb R^2)\cap\mathcal A_{\mathcal L}(X^\circ)$ последовательностью многочленов $\{P_k\}$, $P_k\in\mathcal P_{\mathcal L}$, в следующем смысле: $P_k\to f$ и $\nabla P_k\to \nabla f$ равномерно на $X$ при $k\to+\infty$. Заметим, что это условие слабее условия $f\in\mathcal P^m_{\mathcal L}(K)$ при всех $m\geqslant1$. Предположим, что множество $\mathbb R^2\setminus X$ не связно, а начало координат принадлежит какой-либо ограниченной связной компоненте этого множества. Рассмотрим функцию $f$, совпадающую с фундаментальным решением $\varPhi_{\mathcal L}(\boldsymbol{x})$ для $\mathcal L$ в кольце $\{\rho<|\boldsymbol{x}|<R\}\subset\mathbb R^2$, содержащем $X$, и продолженную произвольным образом до функции класса $C^1(\mathbb R^2)$. Заметим, что оператор $\mathcal L$ при $N=2$ может быть разложен в композицию двух операторов первого порядка: $\mathcal L= c_{11}(\partial/\partial x_1-\lambda_1\partial/\partial x_2) (\partial/\partial x_1-\lambda_2\partial/\partial x_2)$, где $\lambda_{1,2}$ – это корни характеристического многочлена оператора $\mathcal L$. Кроме того, многочлены класса $\mathcal P_{\mathcal L}$ имеют вид $Q_1(z_1)+Q_2(z_2)$ в случае $\lambda_1\ne\lambda_2$ и вид $z_1Q_1(z_2)+Q_2(z_2)$ при $\lambda_1=\lambda_2$, где $Q_{1,2}$ – многочлены комплексного переменного с комплексными коэффициентами, а $z_1$ и $z_2$ – специальные линейные комбинации $x_1$ и $x_2$ с (комплексными) коэффициентами, зависящими от $\lambda_{1,2}$. Конкретный вид этих комбинаций сейчас не важен (он приведен, например, в [24; § 2]), но верно следующее: при $\lambda_1\ne\lambda_2$ имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}- \frac{\lambda_s\partial}{\partial x_2}\biggr)z_s=1,\quad \biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}- \frac{\lambda_s\partial}{\partial x_2}\biggr)z_{3-s}=0,\qquad s=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
а при $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ имеют место аналогичные равенства с заменой $\lambda_1$ на $\lambda$ и $\lambda_2$ на $-\lambda$. С учетом этих равенств из сходимости $\nabla P_k\to\nabla f$ и из явного вида фундаментального решения $\varPhi_{\mathcal L}$ при $N=2$ (см., например, [24; предложение 2.2]) вытекает, что функция $1/z_s$ при $s=1$ или $s=2$ может быть равномерно на $X$ приближена многочленами от переменного $z_s$. А это невозможно в силу принципа максимума модуля для голоморфных функций. Детали соответствующего рассуждения можно найти в доказательстве теоремы 3.2 в [24]. Пусть теперь $m<1$ (и $N=2$). В этом случае из условия $X=\widehat{X}$ вытекает равенство $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)=C^m_{\mathcal L}(X)$, из которого, в свою очередь, при помощи метода Рунге выводится равенство (90) при всех рассматриваемых $\mathcal L$ и $m$. Но при $m<1$ условие связности дополнения уже не является необходимым, а полные критерии полиномиальной приближаемости для большинства $\mathcal L$ в этом случае пока не известны. Приведенный выше критерий Уолша–Лебега равномерной аппроксимации функций гармоническими многочленами сохраняется (см. следствие 1.2 в работе [49]), и при всех $m\in[0,1/2)$ имеет место следующий критерий приближаемости (оболочка $\widehat{X}$ компакта $X$ была определена выше). Теорема 9.2. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^2$, а $m\in[0,1/2)$. Для выполнения равенства $\mathcal P^m_{\Delta}(X)=C^m_{\Delta}(X)$ необходимо и достаточно, чтобы $X$ был компактом Каратеодори, т. е. выполнялось равенство $\partial X=\partial\widehat{X}$. При $m\in[1/2,1)$ ситуация заметно сложнее. Приведем один недавний результат в этом направлении. Пусть $D$ – простая область Каратеодори в $\mathbb R^2$, т. е. $D$ – такая непустая ограниченная область в $\mathbb R^2$, что множество $\Omega=\mathbb R^2\setminus\overline{D}$ связно и $\partial D=\partial\Omega$ (такая область $D$ обязательно является односвязной, см. ниже). Для таких областей естественно определяется оператор Пуассона $P_D$, который произвольной функции $\varphi\in C(\partial D)$ ставит в соответствие функцию $f\in C_{\Delta}(\overline{D})$ такую, что $f\big|_{\partial D}=\varphi$ (напомним, что классическая задача Дирихле для гармонических функций разрешима в любой ограниченной односвязной области в $\mathbb R^2$ для любых непрерывных граничных данных по теореме А. Лебега 1907 г., см. ниже). Понятие простой области Каратеодори можно определить и в пространствах $\mathbb R^N$ размерности $N\geqslant3$, но это будет сделано несколько позднее. Напомним, что в случае $m\in(0,1)$ пространство $C^m(X)$ для компакта $X\subset\mathbb R^N$, $N\geqslant2$, можно определить как замыкание в $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m(X)$ подпространства $C^\infty(\mathbb R^N)\big|_X$, а пространство $ \operatorname{\textit{Lip}} ^m(X)$ состоит из всех функций $f\in C(X)$, для которых $\|h\|'_{mX}<+\infty$, где норма определяется следующим образом: $\|f\|_{mX}=\max\{\|f\|_X,\|f\|'_{mX}\}$ (индексы $X$ во всех используемых здесь (полу)нормах означают, что соответствующие верхние грани в их определениях берутся по точкам из $X$). Легко показать, что если $D$ – простая область Каратеодори, а оператор $P_D$ действует непрерывно из пространства $C^m(\partial D)$ в пространство $C^m(\overline{D})\cap\mathcal A_\Delta(D)$ (в таком случае естественно говорить, что оператор $P_D$ является $C^m$-непрерывным), то выполнены равенства $\mathcal P_\Delta^m(\overline{D})=C_\Delta^m(\overline{D})$ и $\mathcal P^m_\Delta(\partial D)=C^m(\partial D)$. Таким образом возникает естественный вопрос о том, при каких $m$ оператор Пуассона $P_D$ будет $C^m$-непрерывным. В [50] было доказано следующее утверждение, которое мы сформулируем пока в частном случае размерности $N=2$. Предложение 9.1. 1) Пусть $N=2$, а $D$ – простая область Каратеодори в $\mathbb R^N$. Существует число $m_D\in[0,1]$ такое, что оператор Пуассона $P_D$ является $C^m$-непрерывным при всех $m\in(0,m_D)$ и это не так при всех $m\in(m_D,1)$. 2) Пусть $D$ – жорданова область в $\mathbb R^2$ с кусочно гладкой границей, и пусть $\beta\in(0,1]$ таково, что $\pi\beta$ – это величина минимального из внешних углов $S_a$, $a\in\partial D$, образованных двумя различными лучами с вершиной $a$, касательными к $\partial D$. Тогда $m_D=1/(2-\beta)$. Существенный прогресс в изучении задачи равномерной полиномиальной $\mathcal L$-аналитической аппроксимации достигнут в случае, когда $\mathcal L=\overline\partial{}^2$ (квадрат оператора Коши–Римана $\overline\partial=(\partial/\partial x_1+i\partial/\partial x_2)/2$). В этом случае речь идет об аппроксимации функций бианалитическими многочленами, т. е. многочленами вида $\overline{z}p_1(z)+p_0(z)$, где $p_{0,1}$ – многочлены комплексного переменного $z$, а $\overline{z}$ – комплексно сопряженная переменная. Теорема 2.2 работы [51] дает следующий критерий бианалитической полиномиальной аппроксимации для компактов Каратеодори в $\mathbb R^2$. Теорема 9.3. Пусть $X\subset\mathbb R^2$ – компакт Каратеодори. Для выполнения равенства $\mathcal P_{\overline\partial^2}(X)=C_{\overline\partial^2}(X)$ необходимо и достаточно, чтобы никакая ограниченная связная компонента множества $\mathbb R^2\setminus X$ не являлась неванлинновской областью. Понятие неванлинновской области – это специальная аналитическая характеристика ограниченной односвязной области в комплексной плоскости, формальное определение которой приведено в [52; определение 1] и в [51; определение 2.1]. Неформально говоря, ограниченная односвязная область $\Omega$ является неванлинновской областью, если функция $\overline{z}$ совпадает почти всюду на $\partial\Omega$ в смысле конформного отображения с отношением двух голоморфных ограниченных в этой области функций. Перейдем к точному определению. Пусть $\mathbb D$ – единичный круг в $\mathbb C$, т. е. $\mathbb D=\{|z|<1\}$, и пусть $\mathbb T=\partial\mathbb D$ – единичная окружность. Напомним, что символом $H^\infty(U)$, где $U$ – открытое множество в $\mathbb C$, обозначается пространство всех голоморфных и ограниченных функций в $U$. Напомним также, что, согласно классической теореме Фату, для любой функции $f$ класса $H^\infty=H^\infty(\mathbb D)$ и для почти всех точек $\zeta\in\mathbb T$ существуют конечные угловые предельные (граничные) значения $f(\zeta)$ функции $f$ в точке $\zeta$. Определение 9.1. Ограниченная односвязная область $\Omega$ в $\mathbb C$ называется неванлинновской, если существуют две функции $u,v\in H^\infty(\Omega)$ (причем $v\not\equiv 0$) такие, что равенство $\overline{w}=u(w)/v(w)$ выполняется на $\partial\Omega$ почти всюду в смысле конформного отображения. Это означает, что для почти всех точек $\zeta\in\mathbb T$ имеет место равенство угловых граничных значений: где $\varphi$ – некоторое конформное отображение круга $\mathbb D$ на $\Omega$. Определение неванлинновской области корректно в том смысле, что оно не зависит от выбора $\varphi$. В силу граничной теоремы единственности Лузина–Привалова отношение $u/v$ определено в $\Omega$ (для неванлинновской области $\Omega$) единственным образом. Эта функция $S=u/v$ называется функцией Шварца области $\Omega$. Заметим, что если неванлинновская область $\Omega$ – это жорданова область со спрямляемой границей, то равенство $\overline{w}=u(w)/v(w)$ может пониматься непосредственно как равенство угловых граничных значений почти всюду на $\partial\Omega$. Достаточно просто привести примеры как неванлинновских областей (любой круг на плоскости), так и областей, не являющихся неванлинновскими (любая область, ограниченная замкнутой жордановой ломаной, а также любая область, ограниченная эллипсом, не являющимся окружностью). Интересный пример неванлинновской области доставляет так называемый овал Ньюмана – область, ограниченная образом эллипса с центром в начале координат при отображении $z\mapsto1/z$. Как и в предыдущих примерах, это свойство овала Ньюмана может быть проверено непосредственным вычислением. Конструктивное описание неванлинновских областей $\Omega$ с помощью конформных отображений $\varphi$ круга $\mathbb D$ на $\Omega$ может быть получено в терминах псевдопродолжения голоморфных ограниченных функций. Напомним (см. [53; определение 2]), что функция $f\in H^\infty(\mathbb D)$ допускает псевдопродолжение неванлинновского типа, если существуют функции $u_1,v_1\in H^\infty(\mathbb D_e)$, где $\mathbb D_e=\mathbb C\setminus\overline{\mathbb D}$, $v_1\not\equiv0$, такие, что для почти всех $\zeta\in\mathbb T$ выполняется равенство $f(\zeta)=u_1(\zeta)/v_1(\zeta)$ угловых предельных значений, где $f(\zeta)$ – предельное значение функции $f$ изнутри $\mathbb D$, а $u_1(\zeta)$ и $v_1(\zeta)$ – предельные значения функций $u_1$ и $v_1$ изнутри $\mathbb D_e$. Следующее утверждение проверяется несложно (см., в частности, [51; предложение 3.1], где была установлена связь понятия неванлинновской области со свойством псевдопродолжения). Предложение 9.2. Пусть функция $\varphi$, конформно отображающая круг $\mathbb D$ на ограниченную односвязную область $\Omega$, допускает псевдопродолжение $u_1/v_1$ неванлинновского типа. Тогда $\Omega$ является неванлинновской областью. Более того, пусть $Z'=\{z'_j\}_{j\in J}$ – множество всех полюсов функции $S_1(z)=u_1(z)/v_1(z)$ в $\mathbb D_e\cup\{\infty\}$ (множество $Z'$ и, соответственно, множество индексов $J$ не пусто и не более чем счетно). Положим $Z=\{z_j=1/\overline{z'_j}\}_{j\in J}$ (где $1/\infty=0$) и $\Sigma=\{w_j=\varphi(z_j)\}_{j\in J}$. Тогда функция Шварца $S$ области $\Omega$ определяется по формуле При этом $S$ имеет в точке $w_j$ полюс того же порядка, что и $S_1$ в $z'_j$, $j\in J$. Обратно, если $\Omega$ – неванлинновская область с функцией Шварца $S$, имеющей (непустое) множество полюсов $\Sigma$ в $\Omega$, и $\varphi$ – какое-либо конформное отображение $\mathbb D$ на $\Omega$, то $\varphi$ допускает псевдопродолжение $S_1$ неванлинновского типа, которое определяется по формуле Полюсы $Z'$ функции $S_1$ связаны с полюсами $\Sigma$ функции $S$ так же, как и ранее.Замечание 9.1. Пусть $z_1=0,z_2,\dots,z_N$ – произвольно заданные различные точки в $\mathbb D$, $p_1,\dots,p_N$ – натуральные числа, $N\in\mathbb N$, а $J=\{1,\dots, N\}$. Приведем алгоритм построения какой-либо неванлинновской области $\Omega$, у которой функция Шварца имеет в $\Omega$ полюсы $z_n$ порядков $p_n$, $n\in\{1,\dots,N\}$, и не имеет других полюсов. В обозначениях предложения 9.2 при $z'_1=\infty$ ($z_1=0$), $z'_n=1/\overline{z_n}$ ($n\in\{2,\dots,N\}$) рассмотрим для достаточно малого $\varepsilon>0$ рациональную функцию которая одновременно определяет $\varphi$ в $\mathbb D$ и $S_1$ в $\mathbb D_e$. Тогда $w_n=\varphi(z_n)=z_n$ при $n\in\{1,\dots,N\}$. Кроме того, для описания неванлинновских областей в терминах конформных отображений нам понадобится понятие модельного пространства. Напомним это понятие. Пусть $\varTheta$ – внутренняя функция (т. е. функция класса $H^\infty$ такая, что $|\varTheta(\xi)|=1$ для почти всех $\xi\in\mathbb T$), и пусть пространство $K_\varTheta\subset H^2$ (где $H^2$ – это стандартное гильбертово пространство Харди в круге $\mathbb D$) определено следующим образом: $K_\varTheta=H^2\ominus\varTheta H^2$. Напомним, что в силу классической теоремы Берлинга подпространства $K_\varTheta\subset H^2$ и только они являются инвариантными подпространствами для оператора обратного сдвига $f\mapsto(f(z)-f(0))/z$ в пространстве $H^2$. Пространства $K_\varTheta$ называют модельными подпространствами. Соответствующий термин был предложен Н. К. Никольским и объясняется выдающейся ролью, которую эти пространства играют в функциональной модели Надя–Фойаша. Имеет место следующее утверждение, установленное в [53; теорема 1]: Пусть $\varTheta$ – внутренняя функция. Тогда любая ограниченная однолистная функция из пространства $K_\varTheta$ конформно отображает круг $\mathbb D$ на некоторую неванлинновскую область. Верно и обратное: если однолистная функция $\varphi\in H^\infty$ отображает $\mathbb D$ конформно на некоторую неванлинновскую область, то существует внутренняя функция $\varTheta$ такая, что $\varphi\in K_\varTheta$. Естественно возникает следующий вопрос: для каких внутренних функций $\varTheta$ в соответствующих пространствах $K_\varTheta$ существуют однолистные функции? Ответ на этот вопрос был получен в работе Ю. С. Белова и К. Ю. Федоровского [54], и он формулируется достаточно просто: Пространство $K_\varTheta$ содержит ограниченные однолистные функции в том и только том случае, когда выполнено одно из следующих двух условий: $\varTheta$ имеет нуль в $\mathbb D$ или $\varTheta$ – сингулярная внутренняя функция, а определяющая ее сингулярная мера $\mu$ на $\mathbb T$ такова, что $\mu(E)>0$ для некоторого множества Берлинга–Карлесона $E\subset\mathbb T$. Напомним, что множество $E\subset\mathbb T$ называется множеством Берлинга–Карлесона (или множеством Карлесона, или множеством с конечной энтропией), если $\displaystyle\int\ln\operatorname{dist}(\zeta,E)\,dm_1(\zeta)>-\infty$, где $m_1(\,\cdot\,)$ – мера Лебега на $\mathbb T$. Более подробно вопросы о связи свойства области быть неванлинновской со свойствами псевдопродолжения и с вопросами об однолистных функциях в модельных пространствах изложены в работах [55] и [56]. Свойства неванлинновских областей активно изучаются на протяжении последних двух десятилетий – см., например, [53]–[55], [57]–[61]. Установлено, что класс неванлинновских областей – это достаточно богатый класс, несмотря на то, что свойство области быть неванлинновской определяется в терминах весьма жесткого условия на регулярность границы рассматриваемой области. В упомянутых выше работах существенно использовалась следующая конструкция. Пусть $B$ – некоторое бесконечное произведение Бляшке, т. е.
$$
\begin{equation*}
B(z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{\overline{a_n}}{|a_n|}\, \frac{z-a_n}{\overline{a_n}z-1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $(a_n)_{n=1}^\infty$ – некоторая последовательность точек c условиями $|a_n|<1$, $n\in\mathbb N$, и $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(1-|a_n|)<\infty$. Предположим также, что $B$ дополнительно удовлетворяет условию Карлесона
$$
\begin{equation*}
\inf_{n\in\mathbb{N}}\prod_{\substack{k=1\\k\ne n}}^\infty \biggl|\frac{a_n-a_k}{1-a_n\overline{a_k}}\biggr|>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае известно, что система функций $\{\psi_n\}_{n=1}^{+\infty}$, где
$$
\begin{equation*}
\psi_n(z)=\frac{\sqrt{1-|a_n|^2}}{1-\overline{a_n}z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
образует базис Рисса в пространстве $K_B$. Это обстоятельство позволяет строить неванлинновские области с различными свойствами как образы круга $\mathbb D$ при отображении ограниченными однолистными функциями вида для различных, специальным образом подобранных последовательностей нулей $\{a_n\}_{n=1}^{+\infty}$ соответствующего произведения Бляшке $B$ и коэффициентов $\{c_n\}_{n=1}^{+\infty}$. В [57] был построен первый пример жордановой неванлинновской области с нигде не аналитической границей. Затем в [53] и [58] были построены примеры жордановых неванлинновских областей с границами класса $C^1$, но не $C^{1+\delta}$ при $\delta\in(0,1)$. Эти области имеют вид $\varphi(\mathbb D)$, где $\varphi$ – подходящая функция вида (91), однолистная в $\mathbb D$. При построении таких примеров возникает “борьба” между свойствами последовательности коэффициентов $\{c_n\}_{n=1}^{+\infty}$ убывать достаточно быстро (чтобы обеспечить однолистность), но не очень быстро (чтобы обеспечить требуемое свойство регулярности границы образа круга при этом отображении). Далее в [58] были получены примеры жордановых неванлинновских областей с “почти неспрямляемыми границами”. Последнее означает, что была построена функция вида (91), однолистная в круге $\mathbb D$, но такая, что $\varphi'\notin H^p$ для всех $p>1$ (здесь $H^p$ – это классическое пространство Харди в единичном круге). Затем в [59] был построен пример неванлинновской области с неспрямляемой границей. Эта конструкция также была получена в рамках описанной выше общей техники, но при построении этого примера возникла специальная конструкция так называемой “неванлинновской иглы” (неванлинновской области, имеющей вид круга, из одной точки границы которого вырастает очень длинный и очень тонкий выступ, похожий на “иголку”, длина и толщина которой могут быть выражены независимыми параметрами). Далее в [61] был построен первый пример неванлинновской области с фрактальной границей, размерность по Хаусдорфу которой равна $\log_23$. Как и предыдущие примеры, эта область имеет вид $\varphi(\mathbb D)$ c подходящей функцией $\varphi$ вида (91). Наконец, в [55] было установлено, что размерность по Хаусдорфу границы неванлинновской области (и даже размерность по Хаусдорфу достижимой изнутри области части границы) может принимать любое значение в диапазоне от $1$ до $2$, включая границы. Эти примеры также построены в рамках описанной общей схемы, причем существенную роль в построениях сыграла модифицированная конструкция неванлинновской иглы (позволившая последовательно “выращивать” новые иголки из точек, близких к “острию” исходной иглы). Существенной трудностью в этих конструкциях является необходимость тонких оценок сумм вида (91) около точек окружности $\mathbb T$, переходящих в “острие” иглы. Технические подробности можно найти в [55; разд. 3]. Для компактов $X$, которые не являются компактами Каратеодори, вопрос о совпадении пространств $\mathcal P_{\overline\partial^2}(X)$ и $C_{\overline\partial^2}(X)$ решен только для некоторых специальных классов компактных множеств. В этой связи отметим (не приводя соответствующих формулировок) теорему 4 из [62], теорему 4.3 из [51] и теоремы 3 и 4 из [63]. Несмотря на то, что окончательный критерий равномерной $\mathcal L$-аналитической полиномиальной аппроксимации для общих операторов $\mathcal L$ не получен, известен редуктивный критерий приближаемости в этой задаче, который был установлен в работах [62] (где рассмотрен бианалитический случай) и [64] (где доказательство адаптировано для случая общих эллиптических операторов $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$). Чтобы сформулировать этот критерий, нам потребуется еще одно функциональное пространство. Для пары компактов $X$ и $Y$ в $\mathbb R^2$ со свойством $X\subseteq Y$ пусть $\mathcal A_{\mathcal L}(X,Y)$ – это пространство всех функций $f$, которые могут быть равномерно на $X$ приближены последовательностью функций, $\mathcal L$-аналитических в окрестности $Y$ (как обычно, каждая функция в своей окрестности). Ясно, что $\mathcal A_{\mathcal L}(X,X)=\mathcal A_{\mathcal L}(X)$. Важным частным случаем таких пространств, как показывают следующие результаты, является пространство $\mathcal A_{\mathcal L}(\partial G,\overline{G})$ для данной ограниченной односвязной области $G$ в $\mathbb R^2$: приближения рассматриваются на границе области, а особенности приближающих функций должны лежать вне ее замыкания. Теорема 9.4. Пусть $X$ – компакт в $\mathbb R^2$, а $\mathcal L$ – оператор рассматриваемого вида. Равенство $\mathcal P^0_{\mathcal L}(X)=C^0_{\mathcal L}(X)$ выполняется тогда и только тогда, когда для любой связной компоненты $G$ множества $(\widehat{X})^\circ$, удовлетворяющей условию $G\cap(\mathbb C\setminus X)\ne \varnothing$, выполнено равенство где $X_G=\overline{G}\cap X$. Эта теорема позволяет сводить задачу о совпадении пространств $\mathcal P_{\mathcal L}(X)$ и $C_{\mathcal L}(X)$ для данного компакта $X$ к задаче аппроксимации функций $\mathcal L$-аналитическими функциями со специальным образом локализованными особенностями на компактных подмножествах $X$, которые могут иметь более простую структуру. В частности, для компактов Каратеодори возникает следующий критерий приближаемости. Следствие 9.1. Пусть $X\subset\mathbb R^2$ – компакт Каратеодори. Для выполнения равенства $\mathcal P_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$ необходимо и достаточно, чтобы равенство $\mathcal A_{\mathcal L}(\partial G,\overline{G})=C(\partial G)$ выполнялось для любой ограниченной связной компоненты $G$ множества $\mathbb R^2\setminus X$. В этом следствии мы имеем дело с областями $G$, обладающими свойством $\partial G=\partial G_\infty$, где $G_\infty$ – это неограниченная связная компонента множества $\mathbb R^2\setminus\overline{G}$. Такие области называются областями Каратеодори, причем нетрудно проверяется, что всякая область Каратеодори является односвязной и обладает свойством $G=(\overline{G})^\circ$. Таким образом, для решения задачи аппроксимации функций $\mathcal L$-аналитическими многочленами на компактах Каратеодори необходимо решить задачу описания областей Каратеодори $G$, для которых выполнено равенство $\mathcal A_{\mathcal L}(\partial G,\overline{G})=C(\partial G)$. Данная задача в случае операторов с равными характеристическими корнями достаточно просто сводится к случаю, когда $\mathcal L$ – это оператор Бицадзе, рассмотренному выше. Для операторов $\mathcal L$ в $\mathbb R^2$ с различными характеристическими корнями задача описания областей Каратеодори $G$, для которых выполнено равенство $\mathcal A_{\mathcal L}(\partial G,\overline{G})=C(\partial G)$, решена с использованием понятия $\mathcal L$-специальной области (специальной аналитической характеристики областей Каратеодори), которое может рассматриваться как аналог понятия неванлинновской области, возникшего в бианалитическом случае. Для аккуратного определения $\mathcal L$-специальных областей для рассматриваемых операторов $\mathcal L$ нам потребуется еще одно техническое понятие. Пусть $G$ – область Каратеодори в $\mathbb R^2$, а $\varphi$ – некоторое конформное отображение единичного круга $\mathbb D$ на $G$. Говорят, что голоморфная функция $f$ в $G$ принадлежит пространству $AC(G)$, если функция $f\circ\varphi$ продолжается до функции, непрерывной в $\overline{\mathbb D}$ и абсолютно непрерывной на $\mathbb T$. Если $f\in AC(G)$, a $\zeta\in\partial G$ – произвольная достижимая граничная точка области $G$, то для любого пути $\varGamma$, лежащего в $G\cup\{\zeta\}$ и оканчивающегося в $\zeta$, предел $f$ вдоль $\varGamma$ существует и принимает одно и то же значение $f(\zeta)$, которое называется граничным значением $f$ в точке $\zeta$. Понятие $\mathcal L$-специальных областей для операторов $\mathcal L$ второго порядка в $\mathbb R^2$ с различными характеристическими корнями $\lambda_1$ и $\lambda_2$ возникло в [64]–[66]. Для такого оператора $\mathcal L$ пусть $T_j$, $j=1,2$, – это преобразования $\mathbb R^2$, при которых точка $(x_1,x_2)$ переходит в точку $(x_1,x_2/\lambda_{3-j})$. Определение 9.2. Область Каратеодори $G$ называется $\mathcal L$-специальной (для рассматриваемого $\mathcal L$), если найдутся функции $F_1$ и $F_2$ из классов $AC(T_1G)$ и $AC(T_2G)$ соответственно такие, что для любой достижимой граничной точки $\zeta$ области $G$ выполнено равенство $F_1(T_1\zeta)=F_2(T_2\zeta)$. Для каждого рассматриваемого $\mathcal L$ (с различными характеристическими корнями) легко привести пример области, являющейся $\mathcal L$-специальной. Это будет область, ограниченная специально подобранным эллипсом, параметры которого явно выражаются через $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Используя свойства неванлинновских областей, можно привести ряд примеров областей, не являющихся $\mathcal L$-специальными ни для какого из операторов $\mathcal L$. Однако, к сожалению, на данный момент других явных примеров $\mathcal L$-специальных областей не известно. Не известно также каких-либо результатов о свойствах конформных или однолистных гармонических отображений круга на такие области. Исследование свойств $\mathcal L$-специальных областей – это открытая задача, которая ждет своего решения. С использованием понятия $\mathcal L$-специальности можно сформулировать следующий результат. Теорема 9.5. Пусть $G$ – область Каратеодори в $\mathbb R^2$, и пусть $\mathcal L$ – оператор с различными характеристическими корнями. Этот результат был впервые получен в [65], а в недавней работе [67] было дано новое, существенно более простое его доказательство, в основе которого лежат недавние результаты о свойствах мер, ортогональных рациональным функциям на компактах Каратеодори, полученные в [63] (см. также [68]). Следствие 9.2. Пусть $X\subset\mathbb R^2$ – компакт Каратеодори, а оператор $\mathcal L$ является сильно эллиптическим. Тогда $\mathcal P_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$. Таким образом, достаточное условие приближаемости, возникшее в теореме Уолша–Лебега ($\partial X=\partial\widehat{X}$) для случая аппроксимации гармоническими многочленами, сохраняется для общего сильно эллиптического оператора $\mathcal L$. Остается открытым очень глубокий и интересный вопрос: будет ли это условие необходимым для $\mathcal L$-аналитической полиномиальной аппроксимации в случае общего сильно эллиптического оператора второго порядка в $\mathbb R^2$? Позволим себе еще раз сформулировать гипотезу (впервые высказанную в [24]), которую мы считаем весьма правдоподобной. Гипотеза 9.1. Пусть $\mathcal L$ – сильно эллиптический оператор, а $X$ – компакт в $\mathbb R^2$. Равенство $\mathcal P_{\mathcal L}(X)=C_{\mathcal L}(X)$ имеет место тогда и только тогда, когда $X$ – это компакт Каратеодори, т. е. $\partial X=\partial\widehat{X}$. Утверждение этой гипотезы имеет смысл и для операторов $\mathcal L$, не являющихся сильно эллиптическими. Однако для таких операторов соответствующее утверждение неверно. В самом деле, для всякого такого $\mathcal L$ можно найти нигде не плотный компакт $X$ (объединение специально подобранного эллипса и его центра), который не является компактом Каратеодори, но для которого выполнено равенство $C(X)=\mathcal P_{\mathcal L}(X)$. Отметим, что одним из критически важных ингредиентов доказательства критерия Уолша–Лебега для гармонических функций является классический результат Лебега 1907 г. [46] о разрешимости гармонической задачи Дирихле с любыми непрерывными граничными данными в произвольной ограниченной односвязной области в $\mathbb R^2$. Другими словами, речь идет о том, что всякая ограниченная односвязная область на плоскости является регулярной относительно соответствующей задачи Дирихле. Для общих сильно эллиптических операторов $\mathcal L$ второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами вопрос об описании областей, регулярных относительно соответствующей $\mathcal L$-аналитической задачи Дирихле, открыт. Известна гипотеза, что любая ограниченная односвязная область должна быть регулярной для любого указанного $\mathcal L$, но пока регулярность доказана только для областей с очень хорошо устроенными границами. Так, установлено, что всякая жорданова область с кусочно $C^1$-гладкой границей будет регулярна относительно $\mathcal L$-аналитической задачи Дирихле для любого сильно эллиптического $\mathcal L$ (см. [69]), но соответствующий результат неизвестен даже для жордановых областей со спрямляемыми границами. В завершение данного раздела мы совсем кратко обсудим случай $N\geqslant3$. В этом случае, как и в случае $N=2$, можно пользоваться методом Рунге движения особенностей и этот метод позволяет заключить, что одновременное выполнение условия связности дополнения и условия совпадения пространств $\mathcal A^m_{\mathcal L}(X)$ и $C^m_{\mathcal L}(X)$ (при данных $m$ и $\mathcal L$) будет достаточным условием выполнения равенства (90) для рассматриваемого $X$. Однако полные критерии приближаемости неизвестны. В гармоническом случае (для $\mathcal L=\Delta$) при $m\geqslant1$ приведенные достаточные условия оказываются и необходимыми; см. [49; теоремы 1.7 и 1.8]. В случае размерности $N\geqslant3$ при $m\in(0,1)$ также возникает связь между задачами $C^m$-аппроксимации функций гармоническими многочленами и свойством $C^m$-непрерывности оператора Пуассона $P_D$, определенного для простых областей Каратеодори. Однако понятие простой области Каратеодори $D$ в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, необходимо модифицировать: к свойствам связности $\Omega=\mathbb R^N\setminus\overline{D}$ и $\partial D=\partial\Omega$ нужно добавить требование о том, что обе области $D$ и $\Omega$ являются регулярными относительно гармонической задачи Дирихле (в пространствах размерности $N\geqslant3$ упомянутая выше теорема Лебега уже неверна и существуют примеры ограниченных односвязных областей, не являющихся регулярными в указанном смысле). Заметим, что первая часть предложения 9.1 остается верной и при $N\geqslant3$. Более того, в [50] для областей в $\mathbb R^N$, $N\geqslant3$, с достаточно регулярными границами получены явные выражения для $m_D$ (соответствующие условия регулярности, формулируемые в терминах условия внешнего конуса, и выражения для $m_D$ мы не приводим ввиду их некоторой технической громоздкости). Как и в случае размерности 2, легко показать, что для простой области Каратеодори $D\subset\mathbb R^N$ из условия $C^m$-непрерывности оператора Пуассона $P_D$ вытекает равносильность равенств $\mathcal P^m_\Delta(\overline{D})=C^m_\Delta(\overline{D})$ и $\mathcal P^m_\Delta(\partial D)=C^m(\partial D)$. Как было показано выше, равенство $\mathcal P^m_\Delta(\overline{D})=C^m_\Delta(\overline{D})$ выполнено тогда и только тогда, когда для $\mathcal M_*^{N-2+m}$-почти всех точек $\boldsymbol{a}\in\partial D$ выполнено условие
$$
\begin{equation}
\limsup_{r\to0}\frac{\mathcal M^{N-2+m}(B(\boldsymbol{a},r)\setminus \overline{D})}{r^{N-2+m}}>0.
\end{equation}
\tag{92}
$$
Таким образом, при $m\in(0,m_D)$ условие (92) является необходимым и достаточным для выполнения равенства $\mathcal P^m_\Delta(\partial D)=C^m(\partial D)$. Наконец, необходимо отметить, что равенства $\mathcal P^m_\Delta(\overline{D})=C^m_\Delta(\overline{D})$ и $\mathcal P^m_\Delta(\partial D)=C^m(\partial D)$ могут одновременно выполняться и в ситуации, когда оператор $P_D$ не является $C^m$-непрерывным (см. [49; предложение 3.5]). Авторы признательны рецензентам за ценные замечания, которые позволили улучшить изложение. Часть данной работы была выполнена в ходе визита третьего автора в Математический центр “Сириус” в рамках программы малых научных групп. К. Ю. Федоровский выражает искреннюю признательность Математическому центру “Сириус” за гостеприимство и замечательную научную атмосферу.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MazParFed24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|