| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Третья смешанная краевая задача для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений В. В. Ахлынина, А. Л. Скубачевский Российский университет дружбы народов
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10180e 
Реферативные базы данных:
    Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения рассматриваются в работах многих математиков (cм. [1]–[3] и имеющуюся там библиографию). Интерес к смешанным краевым задачам для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений вызван их приложениями к теории многослойных оболочек [4]. Пусть $Q \subset \mathbb{R}^n$ – ограниченная область с границей $\partial{Q} \in C^\infty$ или $Q=(0,d)\times G$, где $G \subset \mathbb{R}^{n-1}$ – ограниченная область с границей $\partial{G}\in C^\infty$. Пусть $\mathscr{M} \subset \mathbb{R}^n$ – конечное множество векторов с целочисленными координатами. В случае $Q=(0,d)\times G$ предположим, что множество $\mathscr{M}$ состоит из конечного числа векторов вида $(i,0,\dots,0)$, $i=0,\pm 1,\pm 2,\dots,\pm k$, $k\in\mathbb{N}$. Через $\mathsf M$ обозначим аддитивную группу, порожденную множеством $\mathscr{M}$, а через $Q_r$ – открытые связные компоненты множества $Q\setminus \bigl(\,\bigcup_{h\in\mathsf{M}}(\partial Q+h)\bigr)$. Множества $Q_r$ будем называть подобластями, множество $\mathscr R$ всех подобластей $Q_r$ ($r=1,2,\dots$) – разбиением области $Q$. Разбиение $\mathscr{R}$ распадается на классы эквивалентности: подобласти $Q_{r_1}, Q_{r_2} \in \mathscr{R}$ принадлежат одному и тому же классу, если существует вектор $h \in \mathsf M$, для которого $Q_{r_2}=Q_{r_1}+h$. Обозначим подобласти $Q_r$ через $Q_{sl}$, где $s$ – номер класса ($s=1,2,\dots$), а $l$ – порядковый номер данной подобласти в $s$-м классе. Число классов может быть счетным, при этом каждый класс состоит из конечного числа $N=N(s)\leqslant ([\operatorname{diam}Q]+1)^n$ подобластей $Q_{sl}$. Будем предполагать, что число различных классов конечно и равно $s_1$. Введем множество
$$
\begin{equation}
\mathscr{K}=\bigcup_{h_1,h_2\in \mathsf M}\bigl\{\overline{Q}\cap (\partial Q+h_1)\cap \overline{[(\partial Q+h_2)\setminus (\partial Q+h_1)]}\,\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Будем предполагать, что множество $\mathscr{K}\cap\partial Q$ имеет нулевую $(n-1)$-мерную меру Лебега $\mu_{n-1}(\,\cdot\,)$. Пример, когда $\mu_{n-1}(\mathscr{K}\cap\partial Q)\ne 0$, см. в [1; § 7]. Граница $\partial Q$ разбивается множеством $\mathscr{K}$ на открытые связные в топологии $\partial Q$ компоненты множества $\partial Q \setminus \mathscr K$, которые мы будем обозначать $\Gamma_p$. Множество $\{\Gamma_p+h\colon\Gamma_p+h\subset\overline{Q},p=1,2,\dots; h\in \mathsf M\}$ можно разбить на классы следующим образом: множества $\Gamma_{p_1}+h_1$ и $\Gamma_{p_2}+h_2$ принадлежат одному и тому же классу, если 1) существует $h\in \mathsf M$ такое, что $\Gamma_{p_1}+h_1=\Gamma_{p_2}+h_2+h$, и 2) в случае $\Gamma_{p_1}+h_1,\Gamma_{p_2}+h_2\subset \partial Q$ направления внешних нормалей к $\partial Q$ в точках $x\in\Gamma_{p_1}+h_1$ и $x-h\in\Gamma_{p_2}+h_2$ совпадают. Будем предполагать, что число различных классов конечно и равно $r_1$. Будем обозначать множества $\Gamma_p+h$ через $\Gamma_{rj}$, где $r=1,2,\dots,r_1$ – номер класса, $j$ – номер элемента в данном классе $(1 \leqslant j \leqslant J=J(r))$. Не ограничивая общности, будем считать, что $\Gamma_{r1},\dots,\Gamma_{rJ_0}\subset Q$, $\Gamma_{r,J_0+1},\dots,\Gamma_{rJ}\subset\partial Q$ ($0 \leqslant J_0=J_0(r)<J(r)$). Рассмотрим разностный оператор $R\colon L_2(\mathbb{R}^n) \to L_2(\mathbb{R}^n)$, определенный по формуле где $a_h \in \mathbb{C}$, $x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n$. Введем оператор $R_Q\colon L_2(Q)\to L_2(Q)$, $R_Q=P_QRI_Q$, где $I_Q\colon L_2(Q)\to L_2(\mathbb{R}^n)$ – оператор продолжения функций из $L_2(Q)$ нулем в $\mathbb{R}^n\setminus Q$, а $P_Q\colon L_2(\mathbb{R}^n)\to L_2(Q)$ – оператор сужения функций из $L_2(\mathbb{R}^n)$ на $Q$. Введем матрицы $R_s$ порядка $N(s)\times N(s)$ с элементами $r_{ij}^s=a_h$, если $h=h_{sj}-h_{si}\in\mathscr{M}$, и $r_{ij}^s=0$, если $h=h_{sj}-h_{si}\notin\mathscr{M}$. Для любого $r=1,2,\dots,r_1$ существует единственный класс $s=s(r)$ такой, что $N(s)=J(r)$ и можно перенумеровать подобласти $s$-го класса так, чтобы $\Gamma_{rl}\subset\partial Q_{sl}$ ($l=1,\dots,N(s)$). Положим $B=\{r: J_0(r)>0\}$.Обозначим через $\mathring{W}_2^1(Q)$ замыкание в пространстве Соболева $W_2^1(Q)$ множества $C_0^{\infty}(Q)$, через $\mathring{W}_{2,\Gamma}^1(Q)$ – подпространство функций из пространства $W_2^1(Q)$, удовлетворяющих краевым условиям $u\big|_{\Gamma}=0$, где $\Gamma=\bigcup_{r,l} \Gamma_{r,l}$ ($r\in B$, $l=J_0+1,\dots,J$). В [5] показано, что для регулярного разностного оператора $R_Q$ такого, что $R_s+R_s^*>0$ ($s=1,\dots,s_1$), при дополнительном условии на коэффициенты наличие “минимальной гладкости” функций из некоторого подпространства $H_1$ и его прообраза $R_Q^{-1}(H_1)$ означает, что функции из прообраза $R_Q^{-1}(H_1)$ имеют нулевые следы на многообразиях $\Gamma_{rl}$ ($r\in B$, $l=J_0+1,\dots,J)$, а функции из самого пространства $H_1$ удовлетворяют нелокальным краевым условиям. Поэтому при рассмотрении смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений вида (3) естественно задавать однородные условия Дирихле на многообразиях $\Gamma_{rl}$ ($r\in B$, $l=J_0+1,\dots,J$) и краевые условия второго или третьего рода на многообразиях $\Gamma_{rl}$ ($r\notin B$, $l=1,\dots,J$). Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение со смешанными краевыми условиями
$$
\begin{equation}
u\big|_{\Gamma_{rl}}=0 \qquad (r\in B,\ l=J_0(r)+1,\dots,J(r)),
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\sum_{i,j} a_{ij}R_Qu_{x_j}\cos(\nu,x_i)+ \sigma(x)R_Qu\biggr)\bigg|_{\Gamma_{rl}}=0 \qquad (r\not\in B,\ l=1,\dots,J(r)),
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $f_0\in L_2(Q)$, $\sigma\in C^1(\mathbb{R}^n)$, функция $\sigma(x)=\sigma(x+h)$, $x\in\mathbb{R}^n$, $h\in \mathsf M$, вещественнозначна и неотрицательна, $\nu$ – единичный вектор внешней нормали к поверхности $\Gamma_{rl}$, дифференциальный оператор $A$ имеет вид $A=-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i} a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j}$, $a_{ij}=a_{ji}\in \mathbb{R}$.
Будем называть уравнение (3) сильно эллиптическим, если $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\xi_i \xi_j > 0$ ($0 \ne \xi \in \mathbb{R}^n$) и $R_s+R_s^* > 0$ ($s=1,\dots,s_1$). Функцию $u\in \mathring{W}_{2,\Gamma}^1(Q)$ будем называть обобщенным решением задачи (3)–(5), если для любой функции $v\in \mathring{W}_{2,\Gamma}^1(Q)$ выполняется интегральное тождество
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^n (a_{ij}R_Qu_{x_j}, v_{x_i})_{L_2(Q)}+ (\sigma R_Qu,v)_{L_2(\partial Q\setminus\Gamma)}=(f_0,v)_{L_2(Q)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 1. Пусть уравнение (3) сильно эллиптическое. Предположим также, что $u\in\mathring{W}_{2,\Gamma}^1(Q)$ – обобщенное решение задачи (3)–(5). Тогда $u\in W_2^2(Q_{sl}\setminus\mathscr{K}^\varepsilon)$ для любого $\varepsilon>0$ и всех $s$, $l$, где $\mathscr{K}^{\varepsilon}= \{x\in\mathbb{R}^n\colon\operatorname{dist}(x,\mathscr{K})<\varepsilon\}$. Авторы благодарят С. Б. Куксина за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AkhSku24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|