| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения О минимаксном решении наследственных уравнений Гамильтона–Якоби для систем нейтрального типа М. И. Гомоюновab, Н. Ю. Лукояновab a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук b Уральский федеральный университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10182e 
Реферативные базы данных:
    Пусть $h > 0$, $T > 0$, $n \in \mathbb{N}$ и $\operatorname{Lip}=\operatorname{Lip}([-h,T],\mathbb{R}^n)$ – пространство липшицевых функций $x \colon [-h,T] \to \mathbb{R}^n$ с нормой $\|x(\cdot)\|_\infty=\max_{\tau \in [-h,T]} \|x(\tau)\|$, где $\|\cdot\|$ – евклидова норма в $\mathbb{R}^n$. Функционал $\varphi \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}$ называется: (i) неупреждающим, если для всех $(t,x(\cdot)) \in [0,T) \times \operatorname{Lip}$ и $y(\cdot) \in \operatorname{Lip}(t,x(\cdot))=\{\bar{y}(\cdot) \in\operatorname{Lip} \colon \bar{y}(\tau)=x(\tau), \, \tau \in [-h,t]\}$ справедливо равенство $\varphi(t,x(\cdot))=\varphi(t,y(\cdot))$; (ii) коинвариантно ($ci$-) дифференцируемым в точке $(t,x(\cdot)) \in [0,T) \times \operatorname{Lip}$, если существуют $\partial_t \varphi(t,x(\cdot)) \in \mathbb{R}$ и $\nabla \varphi(t,x(\cdot)) \in \mathbb{R}^n$ такие, что для любой функции $y(\cdot) \in \operatorname{Lip}(t,x(\cdot))$ выполняется соотношение
$$
\begin{equation*}
\varphi(\tau, y(\cdot))-\varphi(t,x(\cdot))= \partial_t \varphi(t,x(\cdot))(\tau-t)+ \langle\nabla\varphi(t,x(\cdot)),y(\tau)-x(t)\rangle+o(\tau-t),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau \in (t,T]$, функция $o(\cdot)$ может зависеть от $y(\cdot)$ и $o(\delta) / \delta \to 0$, $\delta \to 0^+$, при этом величины $\partial_t \varphi(t,x(\cdot))$ и $\nabla \varphi(t,x(\cdot))$ называются $ci$-производными $\varphi$ в точке $(t,x(\cdot))$.
Пусть отображения $g \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}^n$, $H \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ и $\sigma \colon \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}$ заданы и удовлетворяют следующим предположениям (A): (i) $g$, $H$, $\sigma$ непрерывны; (ii) существует $h_0 \in (0,h]$ такое, что для любого $\mu > 0$ найдется $\lambda_g > 0$, для которого
$$
\begin{equation*}
\|g(t_1, x_1(\cdot))-g(t_2, x_2(\cdot))\|\leqslant \lambda_g \bigl(|t_1-t_2|+\|x_1(\,\cdot\,\wedge (t_1-h_0))- x_2(\,\cdot\,\wedge (t_2-h_0))\|_\infty \bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $(t_1,x_1(\cdot)),(t_2,x_2(\cdot)) \in [0,T] \times X_\mu$; (iii) существует $c_H > 0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
|H(t,x(\cdot),s_1)-H(t,x(\cdot),s_2)|\leqslant c_H\bigl(1+\|x(\,\cdot\,\wedge t)\|_\infty\bigr)\|s_1-s_2\|
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $t \in [0,T]$, $x(\cdot) \in \operatorname{Lip}$ и $s_1,s_2 \in \mathbb{R}^n$; (iv) для любого $\mu > 0$ существует $\lambda_H > 0$ такое, что при всех $t \in [0,T]$, $x_1(\cdot),x_2(\cdot) \in X_\mu$ и $s \in \mathbb{R}^n$
$$
\begin{equation*}
|H(t,x_1(\cdot),s)-H(t,x_2(\cdot), s)|\leqslant \lambda_H (1+\|s\|)\|x_1(\,\cdot\,\wedge t)- x_2(\,\cdot\,\wedge t)\|_\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $a \wedge b=\min\{a,b\}$ и $X_\mu$ – множество функций $x(\cdot) \in \operatorname{Lip}$ таких, что $\|x(\cdot)\|_\infty \leqslant \mu$ и $\|x(\tau_1)-x(\tau_2)\| \leqslant \mu|\tau_1-\tau_2|$ для всех $\tau_1,\tau_2 \in [-h,T]$.
Рассмотрим задачу Коши (CP) для наследственного уравнения Гамильтона–Якоби:
$$
\begin{equation*}
\partial_t \varphi(t,x(\cdot))+ \langle \partial_t g(t,x(\cdot)),\nabla \varphi(t,x(\cdot)) \rangle+ H \bigl(t,x(\cdot),\nabla \varphi(t,x(\cdot)) \bigr)=0,\quad (t,x(\cdot)) \in X_\ast,
\end{equation*}
\notag
$$
при краевом условии на правом конце $\varphi(T,x(\cdot))=\sigma(x(\cdot))$, $x(\cdot) \in \operatorname{Lip}$. Здесь искомым является неупреждающий функционал $\varphi \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}$; $X_\ast$ – множество точек $(t,x(\cdot)) \in [0,T) \times \operatorname{Lip}$, в которых все координаты $g_i \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}$, $i \in \overline{1,n}$, отображения $g=(g_1,\dots,g_n)$ $ci$-дифференцируемы, $\partial_t g(t,x(\cdot))= (\partial_t g_1 (t,x(\cdot)),\dots,\partial_t g_n(t,x(\cdot)))$; $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ – скалярное произведение в $\mathbb{R}^n$.
Задачи Коши рассматриваемого вида возникают при исследовании задач оптимального управления и дифференциальных игр для динамических систем, движение которых описывается функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Хейла. Как было отмечено в недавнем обзоре [1], при достаточно естественных и общих предположениях (A) результатов о существовании и единственности обобщенного (минимаксного) решения задачи Коши (CP) ранее получено не было. Настоящая заметка восполняет этот пробел. Минимаксным решением задачи Коши (CP) называется неупреждающий и непрерывный функционал $\varphi \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}$, который удовлетворяет краевому условию и обладает следующим свойством: для любых $(t,x(\cdot)) \in [0, T) \times \operatorname{Lip}$, $\vartheta \in (t,T]$, $s \in \mathbb{R}^n$ и $\varepsilon > 0$ существуют пары $(y_1(\cdot),z_1(\cdot)),(y_2(\cdot),z_2(\cdot)) \in \operatorname{Sol}(t,x(\cdot),s)$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\varphi(\vartheta,y_1(\cdot))-z_1(\vartheta) \leqslant \varphi(t,x(\cdot))+\varepsilon,\qquad \varphi(\vartheta,y_2(\cdot))-z_2(\vartheta) \geqslant \varphi(t,x(\cdot))-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\operatorname{Sol}(t,x(\cdot),s)$ обозначает множество пар $(y(\cdot),z(\cdot)) \in \operatorname{Lip}(t,x(\cdot)) \times \operatorname{Lip}([-h,T],\mathbb{R})$ таких, что $z(\tau)=0$, $\tau \in [-h,t]$, и при почти всех $\tau \in [t,T]$
$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau}\bigl(y(\tau)- g(\tau,y(\cdot)),z(\tau)\bigr)\in E(\tau,y(\cdot),s),
\end{equation*}
\notag
$$
где $E(\tau,y(\cdot),s)=\{(f,\chi) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \colon \|f\| \leqslant c_H(1+\|y(\,\cdot\,\wedge \,\tau)\|_\infty), \, \chi=\langle s,f \rangle- H(\tau,y(\cdot),s)\}$.
Ранее теоремы о существовании и единственности минимаксного решения задачи Коши (CP) были доказаны при более стеснительных условиях: в [2] требовалась положительная однородность $H$ по третьей переменной; в [3], [4] рассматривался случай, когда $g(t,x(\cdot))=g(t,x(t-h))$ и $H(t,x(\cdot),s)=H(t,x(t-h),s)$. Общий случай предположений (А) удается охватить, рассуждая по схеме из этих работ, но при следующем выборе функционала Ляпунова–Красовского. Пусть $(t,x(\cdot)) \in [0,T) \times \operatorname{Lip}$. Выберем $\mu > 0$ так, чтобы для любых $s \in \mathbb{R}^n$ и $(y(\cdot),z(\cdot)) \in \operatorname{Sol}(t,x(\cdot),s)$ выполнялось включение $y(\cdot) \in X_\mu$, определим числа $\lambda_g$ и $\lambda_H$ в согласии с предположениями (ii) и (iv) и возьмем $m \in \mathbb{N}$, удовлетворяющее неравенству $m h_0 \geqslant T-t$. Положим $\lambda_0=2\lambda_H(1+\lambda_g)^{m-1}/(3-\sqrt{5}\,)$ и зафиксируем $\varepsilon_0 \in (0,e^{-\lambda_0(T-t)})$. Подходящий для доказательства теоремы 1 функционал Ляпунова–Красовского имеет вид
$$
\begin{equation*}
\nu_\varepsilon(\tau,y_1(\cdot),y_2(\cdot))= \frac{e^{-\lambda_0(\tau-t)}-\varepsilon}{\varepsilon} \sqrt{\varepsilon^4+ \gamma\bigl(\tau,w(\,\cdot\,;y_1(\cdot),y_2(\cdot))\bigr)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\tau \in [t,T]$, $y_1(\cdot),y_2(\cdot) \in \operatorname{Lip}(t,x(\cdot))$, $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ – параметр; $w(\xi; y_1(\cdot),y_2(\cdot))=0$, если $\xi \in [-h,t)$, и $w(\xi;y_1(\cdot),y_2(\cdot))=y_1(\xi)-g(\xi,y_1(\cdot))- y_2(\xi)+g(\xi,y_2(\cdot))$, если $\xi \in [t,T]$; функционал $\gamma \colon [0,T] \times \operatorname{Lip} \to \mathbb{R}$ определяется следующим образом (см., например, [5]):
$$
\begin{equation*}
\gamma(\tau,w(\cdot))=\frac{\bigl(\|w(\,\cdot\,\wedge \tau)\|_\infty^2- \|w(\tau)\|^2\bigr)^2}{\|w(\,\cdot\,\wedge \tau)\|_\infty^2}+\|w(\tau)\|^2,
\end{equation*}
\notag
$$
если $\|w(\,\cdot\,\wedge \tau)\|_\infty > 0$, и $\gamma(\tau,w(\cdot))=0$, если $\|w(\,\cdot\,\wedge \tau)\|_\infty=0$, где $(\tau,w(\cdot)) \in [0,T] \times \operatorname{Lip}$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GomLuk24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|