Теорема 1. Пусть $G$ – топологическая группа, $\pi$ – ее (теоретико-групповое) представление в сопряженном пространстве Фреше $E$ сопряженными линейными операторами.

Представление $\pi$ непрерывно в слабой${}^*$ операторной топологии тогда и только тогда, когда для некоторого числа $q$, $0\leqslant q<1$, для любой окрестности $U$ нулевого элемента в $E$ и ее поляры $\mathring{U}$ в $E_*$ и для любого вектора $\xi$ в $U$ и любого элемента $f\in\mathring{U}$ существует такая окрестность $V$ единичного элемента в $G$, что для всех $g\in G$ выполняется неравенство $|f(\pi(g)\xi-\xi)|\leqslant q$.

Определение 1. Пусть $G$ – топологическая группа, $\pi$ – ее (не обязательно слабо непрерывное) представление в дуальном к локально выпуклому пространству $E_*$ локально выпуклом пространстве $E$, так что $E_*$ – пространство, к которому $E$ сопряжено. Слабой вариацией $\omega(\pi;\xi;f;U)\geqslant0$ представления $\pi$ в окрестности $U$ единичного элемента $e$ группы $G$ на векторе $\xi\in E$ и функционале $f\in E_*$ мы будем называть верхнюю грань $\sup_{g\in U}|f(\pi(g)\xi-\xi)|$, слабой вариацией $\omega(S;\xi;f)\geqslant0$ представления $S$ в единичном элементе $e$ группы $G$ на векторе $\xi\in E$ и функционале $f\in E^*$ – нижнюю грань величин $\sup_{g\in U}|f(\pi(g)\xi-\xi)|$ по всем окрестностям $U\subset G$ единичного элемента $e\in G$, т. е. $\omega(\pi;\xi;f)=\inf_{U\ni e}\omega(\pi;\xi;f;U)=\inf_{U\ni e}\,\sup_{g\in U}|f(\pi(g)\xi-\xi)|$, и слабой вариацией $\omega(S)\geqslant0$ представления $\pi$ в единичном элементе $e$ группы $G$ (или, кратко, слабой вариацией представления $\pi$) – верхнюю грань по всем окрестностям $V$ нулевого элемента в $E$, всем векторам $\xi\in V$ и всем функционалам $f\in E_*$ из поляры $\mathring{V}$ окрестности $V$ от нижних граней величин $\sup_{g\in U}|f(\pi(g)\xi-\xi)|$ по всем окрестностям $U\subset G$ единичного элемента $e\in G$:

Определение 2. Пусть $G$ – топологическая группа, $\pi$ – ее (теоретико-групповое) представление в пространстве Фреше $E$. Мы будем говорить, что $\pi$ локально равномерно ограничено, если существует такая окрестность $U_0$ единичного элемента $e$ в $G$, что ограничение $\pi$ на $U_0$ есть эквинепрерывное семейство непрерывных линейных операторов в $E$.

Лемма 1. Пусть $G$ – топологическая группа, $\pi$ – ее локально равномерно ограниченное представление в локально выпуклом пространстве $E$. Пусть $E$ – сопряженное пространство, причем операторы представления $\pi$ являются сопряженными, и пусть $\omega(\pi)$ – слабая вариация представления $\pi$, введенная в определении 1.

Тогда если $a\in\mathbb{R}$, $a>0$, то неравенство $\omega(\pi)\leqslant a$ выполняется в том и только том случае, когда для любого $b>a$ и любой окрестности нуля $V$ в пространстве $E$ представления $\pi$ существует такая окрестность $U\subset G$ единичного элемента $e\in G$, что $|f(\pi(g)\xi-\xi)|< b$ для всех $f$ из поляры $\mathring{V}$ окрестности $V$, всех векторов $\xi\in V$ и всех $g\in U$. Если величина $\omega(\pi)$ конечна, то представление $\pi$ локально равномерно ограничено. Представление $\pi$ слабо непрерывно тогда и только тогда, когда $\omega(S)=0$.

Лемма 2. Пусть $G$ – локально компактная группа и $G_i$, $i=1,\dots,n$, – такой конечный набор метризуемых локально компактных групп, снабженных непрерывными гомоморфизмами $\varphi_i G_i\to G$, что ограничение $\varphi|^{}_V$ отображения $\varphi$ произведения $G_1\times \dots \times G_n$ на $G$, определяемого формулой $\varphi(g_1,\dots,g_n)=\varphi_1(g_1)\cdots\varphi_n(g_n)$, где $g_i\in G_i$ для всех $i=1,\dots,n$, на некоторую окрестность $V$ единичного элемента $e$ группы $G_1\times \dots \times G_n$ является гомеоморфизмом. Пусть $\pi$ – (теоретико-групповое) представление группы $G$ в пространстве Фреше.

Если представление $\pi$ непрерывно в сильной операторной топологии на образе каждой подгруппы $G_i$ в $G$, то представление $\pi$ сильно непрерывно.

В частности, если $G$ – связная группа Ли и представление $\pi$ непрерывно в сильной операторной топологии на каждой однопараметрической подгруппе группы $G$, то оно непрерывно в сильной операторной топологии.

Следствие 1. Пусть $G$ – группа Ли, $\pi$ – ее (теоретико-групповое) представление в пространстве Фреше, сопряженном к локально выпуклому пространству.

Если представление $\pi$ непрерывно в слабой${}^*$ операторной топологии на каждой однопараметрической подгруппе группы $G$, то оно непрерывно в слабой${}^*$ операторной топологии.

Определение 3. Пусть $E$ – пространство Фреше, сопряженное к некоторому локально выпуклому пространству $E_*$, и пусть ${\mathcal L}(E)$ – пространство непрерывных линейных операторов в $E$. Слабой${}^*$ операторной топологией в ${\mathcal L}(E)$ назовем топологию, определяемую семейством полунорм вида $T\mapsto|f(Tx)|$, где $T\in{\mathcal L}(E)$, $x\in E$ и $f\in E_*$.

Лемма 3. Пусть $E$ – пространство Фреше, сопряженное к локально выпуклому пространству, $G$ – топологическая группа и $\pi$ – локально равномерно ограниченное (теоретико-групповое) представление группы $G$ в пространстве $E$ слабо${}^*$ непрерывными линейными операторами.

Если $\omega^*(\pi)<1$, то $\omega^*(\pi)=0$ и представление $\pi$ непрерывно в слабой${}^*$ операторной топологии.