| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова В. И. Богачевab, С. В. Шапошниковab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2024, Volume 79, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10202e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеКлассическое линейное стационарное уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова относительно вероятностной плотности $\varrho$ имеет вид где $\Delta$ – оператор Лапласа и $b$ – гладкое векторное поле на $\mathbb{R}^d$, называемое сносом. Нелинейное уравнение возникает, если снос может зависеть от решения $\varrho$, например если в одномерном случае $b=\varrho$. Нелинейность делает уравнение нетривиальным даже на прямой, где линейное уравнение просто решается в явном виде. Более общее нелинейное уравнение с матрицей диффузии $A=(a^{ij})$, которая также может зависеть от решения, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j\leqslant d}\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}(x,\varrho)\varrho(x)) -\sum_{i\leqslant d}\partial_{x_i}(b^{i}(x,\varrho)\varrho(x))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Типичным примером аналогичного нелинейного параболического уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова служит уравнение
$$
\begin{equation*}
\partial_t\varrho_t(x)=\sum_{i, j=1}^d\partial_{x_i}\partial_{x_j} \bigl(a^{ij}(x,\varrho)\varrho_t(x)\bigr)- \sum_{i=1}^d\partial_{x_i}\bigl(b^i(x,\varrho)\varrho_t(x)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мера $\varrho_t\, dx$ отождествляется с ее плотностью $\varrho_t$ относительно меры Лебега. Часто подобные уравнения решаются относительно мер, а не функций; точные определения даны ниже. В некоторых задачах важно отдельно указать зависимость коэффициентов еще от значений плотности $\varrho(x)$ в точках в эллиптическом случае (или от $\varrho_t(x)$, а также от $t$ и меры $\varrho_t$ в параболическом). Характерным примером является коэффициент сноса $b$ вида
$$
\begin{equation*}
b(x, \varrho)=b_0(x)+\varrho_t(x)^{l}b_1(x)+ \varrho_t(x)^{k}\int_{\mathbb{R}^d}K(x, y)\varrho_t(y)\,dy,\qquad l,k>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Исследованию нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова посвящено очень большое число работ, что связано с многочисленными приложениями в физике и биологии, в социальных и экономических областях. Даже простой поиск по базе данных MathSciNet Американского математического общества по ключевым словам “Fokker-Planck” дает тысячи работ, причем это не охватывает значительное число работ физического и прикладного характера. Построение и обсуждение моделей на основе уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова можно найти в [62], [63], [65], [77], [78], [99], [100]. Например, в биологических моделях роя (см. [99]) для популяционной плотности $\varrho$ выписывается одномерное по $x$ стационарное уравнение с единичным коэффициентом диффузии и коэффициентом сноса $b$ вида
$$
\begin{equation*}
b(x,\varrho(x),\varrho)=c_0\varrho(x)+ c_a\int_{\mathbb{R}} K_a(x-y)\varrho(y)\,dy- c_r\varrho(x)\int_{\mathbb{R}}K_r(x-y)\varrho(y)\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_0$, $c_a$, $c_r$, $a,r\in \mathbb{R}$ – некоторые константы и
$$
\begin{equation*}
K_a(x)=-\frac{x}{2a^2}\exp\biggl(-\frac{x^2}{2a^2}\biggr), \qquad K_r(x)=-\frac{x}{2r^2}\exp\biggl(-\frac{x^2}{2r^2}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [79] рассмотрено другое популярное в биологии уравнение
$$
\begin{equation*}
\partial_t\varrho-\Delta\varrho+ \nabla\cdot(\varrho\nabla(-\Delta)^{-1}\varrho)=0, \quad \varrho(0,x)=\varrho_0(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В социально-экономических моделях (см. [65]) и в моделях движения транспорта (см. [112]) рассматриваются линейные и нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова на полупрямой или интервале с вырождающимся на границе коэффициентом диффузии. Такие уравнения заменой координат приводятся к указанному виду с сильно растущими на бесконечности коэффициентами. В последние годы интенсивно исследуются (см. [48], [87], [109]) уравнения вида
$$
\begin{equation*}
\partial_t\varrho_t=\operatorname{div} \bigl[f(\varrho_t)\nabla\bigl(H'(\varrho_t)+V+W*\varrho_t\bigr)\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
W*\varrho_t(x)=\int_{\mathbb{R}^d} W(x-y)\varrho_t(y)\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
В таких уравнениях также сочетаются локальные и нелокальные нелинейности, т. е. в уравнении одновременно присутствуют нелинейные члены, зависящие от значения $\varrho_t$ в точке $x$, и члены, зависящие от $\varrho_t$ посредством свертки с ядром $\nabla W$. Отметим также недавние работы [3], [7]–[12], в которых исследуются уравнения вида
$$
\begin{equation}
\partial_t\varrho_t=\Delta\beta(\varrho_t)+ \operatorname{div}\bigl(\varrho_tb(\varrho_t)\nabla\Phi\bigr),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
доказывается существование, единственность решений, их сходимость к стационарному решению в $L^1$ при $t\to+\infty$, обсуждается вероятностная интерпретация решений. Существенную специфику вносят выражение $\Delta\beta(\varrho_t)$ и специальный вид коэффициента сноса. Вероятностным представлениям решений линейных и нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова посвящены также работы [13], [30]. Вопросы существования, единственности и сходимости вероятностных решений (т. е. неотрицательных решений, интеграл которых по $\mathbb{R}^d$ равен единице) к стационарному решению для уравнения с нелокальной нелинейностью вида исследовались в [1], [64] и [93], a недавние результаты и обзор литературы можно найти в [27]–[29], [59], [96], [115]. В работах [28], [29], [38] и [115] нелинейное уравнение переписывается в виде возмущения линейного уравнения, которое получается после подстановки в коэффициенты стационарного решения, а затем в предположении малости нелинейной части доказывается сходимость к стационарному решению при $t\to+\infty$. Этот подход позволил обосновать сходимость решений параболического уравнения к решениям стационарного уравнения в случае нерегулярных и сильно растущих коэффициентов. В работе [2] изучается уравнение вида
$$
\begin{equation*}
(\partial_tf+v\nabla_x) f(t,x,v)= \biggl(\int_{\mathbb{R}^d}f(t,x,v)\, dv\biggr)^\beta L_{\rm FP}f(t,x,v),
\end{equation*}
\notag
$$
где В книге [4] развиваются функциональные методы исследования нелинейных эллиптических и параболических уравнений, в том числе использующие нелинейные полугруппы. Формула типа Троттера для нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова получена в [5]. В работе [81] решения некоторых нелинейных уравнений представлены как градиентные потоки для подходящих функционалов. Много внимания было уделено уравнениям типа Власова (см. [54], [37], [83], [84], [114]). В большинстве работ по нелинейным уравнениям Фоккера–Планка–Колмогорова весьма важна специфика рассматриваемых уравнений. Вряд ли возможна какая-то общая теория, позволяющая охватить все типы рассматриваемых уравнений, но есть и работы сравнительно общего характера. Например, в [110] и [23] с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке при широких условиях установлено существование решений. В книгах [76] и [80] изучаются уравнения довольно общего вида, включающие нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова. Линейные и нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова имеют интересные связи с другими направлениями исследований, в том числе с играми среднего поля (см. [41], [40], [42], [106]) и задачами Монжа–Канторовича оптимальной транспортировки (см. [16], [20]). О стохастических версиях таких уравнений см., например, [6], [51], [66]. Исследование нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова на бесконечномерных пространствах начато в [17] и продолжено в [88], [53], но пока эти задачи изучены мало. В конце раздела 6 упомянут интересный специальный класс бесконечномерных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова на пространствах мер, возникший в связи с конечномерными стохастическими уравнениями Ито, коэффициенты которых могут зависеть от распределений решений. В нашем обзоре рассказано об исследованиях последнего десятилетия по нелинейным уравнениям Фоккера–Планка–Колмогорова эллиптического и параболического типа, приведен ряд новых результатов. Обсуждаются проблемы существования и единственности решений, различные оценки решений, сходимость решений параболических уравнений к стационарным решениям. В разделе 3 кратко изложены основные сведения о линейных уравнениях, поскольку рассматриваемые нелинейные уравнения выглядят как линейные с коэффициентами, зависящими от решений. Отдельно в разделе 4 приведены оценки различных расстояний между решениями линейных уравнений, полученные разными методами. Эти оценки играют важную роль в изучении нелинейных уравнений. В разделе 5 мы начинаем обсуждение нелинейных уравнений с эллиптического случая. Изложены результаты о существовании решений, полученные с помощью двух видов теоремы о неподвижной точке: теоремы Шаудера–Тихонова и ее многозначного варианта – теоремы Какутани–Ки Фаня, а также с помощью теоремы о сжимающем отображении, использующей оценки из разделе 4 и дающей также условия единственности решений. Заключительный раздел 6 посвящен нелинейным параболическим уравнениям и содержит результаты о существовании и единственности решений и о сходимости решений параболических уравнений к решениям стационарных уравнений. Во всех разделах приведены иллюстрирующие примеры. Обширная библиография обзора включает лишь работы, наиболее близкие к рассматриваемым задачам, и охватывает малую долю всех работ в данной весьма интенсивно развивающейся области. Конечно, при имеющихся разумных ограничениях на объем библиографии не было возможности представить и всех авторов, работающих в этой области. Даже простейший поиск работ по включенным в библиографию источникам и статей, цитирующих эти работы, кратно увеличит как число статей, так и число авторов по данной тематике. 2. Обозначения и терминологияСтандартное скалярное произведение на $\mathbb{R}^n$ будет обозначаться через $\langle x,y\rangle$, а порожденная им евклидова норма – через $|x|$. Для оператора $A$ на $\mathbb{R}^n$ операторная норма обозначается через $\|A\|$. Для измеримого по Лебегу множества $E$ в $\mathbb{R}^n$ символом $L^p(E)$ будем обозначать стандартное банахово пространство классов эквивалентности функций, модуль которых в степени $p\geqslant 1$ интегрируем по $E$. Для открытого множества $U\subset \mathbb{R}^n$ через $W^{p,k}(U)$, где $p\geqslant 1$ и $k\in\mathbb{N}$, будем обозначать пространство Соболева функций $f$ из $L^p(U)$, имеющих обобщенные производные $\partial_{x_{i_1}}\cdots \partial_{x_{i_m}}f\in L^p(U)$, $m=1,\dots,k$. Это пространство банахово с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,k}=\|f\|_{L^p(U)}+\sum \|\partial_{x_{i_1}}\cdots \partial_{x_{i_m}}f\|_{L^p(U)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $W^{p,k}_{\rm loc}$ обозначим множество всех функций на $\mathbb{R}^n$, ограничения которых на всякий шар $U$ входит в $W^{p,k}(U)$. Символ $C_0^\infty(U)$ обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в $U$. Борелевской мерой на топологическом пространстве $X$ называется ограниченная мера (возможно, знакопеременная) на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}(X)$ борелевских множеств. Такая мера $\mu$ разлагается в разность $\mu=\mu^+-\mu^-$ ее положительной и отрицательной частей, сумма $|\mu|=\mu^+ +\mu^-$ которых называется полной вариацией меры $\mu$. Вариация, или вариационная норма, меры $\mu$ задается равенством $\|\mu\|=|\mu|(X)$. Далее в основном мы будем иметь дело с борелевскими мерами на $\mathbb{R}^d$ и $\mathbb{R}^d\times [0,T]$. Множество всех вероятностных борелевских мер на $\mathbb{R}^d$, т. е. борелевских мер $\mu\geqslant 0$ с $\mu(\mathbb{R}^d)=1$, обозначим через $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$. Будет также использоваться более широкое множество $\mathcal{SP}(\mathbb{R}^d)$ субвероятностных борелевских мер $\mu\geqslant 0$ таких, что $\mu(\mathbb{R}^d)\leqslant 1$. На пространстве всех ограниченных борелевских мер на $\mathbb{R}^d$ задана норма Канторовича–Рубинштейна
$$
\begin{equation*}
\|\sigma\|_{\rm KR}=\sup\biggl\{\int_{\mathbb{R}^d} f\, d\sigma\colon \, f\in \operatorname{Lip}_1, \, |f|\leqslant 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Lip}_1$ – множество всех $1$-липшицевых функций на $\mathbb{R}^d$, т. е. функций $f$, для которых $|f(x)-f(y)|\leqslant |x-y|$. Эта норма порождает метрику Канторовича–Рубинштейна которая превращает множества $\mathcal{SP}(\mathbb{R}^d)$ и $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ (но не все пространство знакопеременных мер) в полные сепарабельные метрические пространства (см. [15]). Порождаемая этой метрикой топология на $\mathcal{SP}(\mathbb{R}^d)$ и $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ есть слабая топология, сходимость в ней последовательности мер $\mu_j$ к мере $\mu$ есть сходимость интегралов
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d} f\, d\mu_j\to \int_{\mathbb{R}^d} f\, d\mu
\end{equation*}
\notag
$$
для каждой ограниченной непрерывной функции $f$. В случае $\mu_j,\mu\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ такая сходимость равносильна сходимости интегралов от функций из $C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. Через $\mathcal{P}_k(\mathbb{R}^d)$ обозначим подпространство в $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$, состоящее из мер с конечным $k$-м моментом (т. е. таких, что функция $|x|^k$ интегрируема). На этом пространстве есть $k$-метрика Канторовича $W_k$, заданная формулой
$$
\begin{equation*}
W_k^k(\mu,\nu)=\inf\int\!\!\!\int_{\mathbb{R}^{d}\times \mathbb{R}^{d}} |x-y|^k\, \sigma(dx\, dy),
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по мерам $\sigma\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{d}\times \mathbb{R}^{d})$ с проекциями $\mu$ и $\nu$ на сомножители.
3. Линейные уравнения Фоккера–Планка–КолмогороваЛинейное эллиптическое (стационарное) уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова на евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$ возникает, если на $\mathbb{R}^d$ заданы отображение со значениями в пространстве симметричных неотрицательно определенных операторов, называемое коэффициентом диффузии, и векторное поле называемое коэффициентом сноса или сносом, для которых элементы $a^{ij}$ и $b^i$ являются борелевскими функциями. Эти объекты порождают эллиптический оператор второго порядка
$$
\begin{equation*}
L_{A,b}f=\sum_{i,j\leqslant d} a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}f+ \sum_{i\leqslant d} b^{i}\partial_{x_i}f.
\end{equation*}
\notag
$$
Ограниченная борелевская мера $\mu$ на $\mathbb{R}^d$ (возможно, знакопеременная) называется решением стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с оператором $L_{A,b}$, если функции $a^{ij}$ и $b^i$ интегрируемы на компактах по мере $|\mu|$ и выполнено тождество
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d} L_{A,b}f(x)\, \mu(dx)=0,\qquad f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В теории уравнений с частными производными такие уравнения называют уравнениями дважды дивергентного вида. В смысле обобщенных функций тождество (3.2) можно записать как
$$
\begin{equation*}
\partial_{x_i}\partial_{x_j}(a^{ij}\mu)-\partial_{x_i}(b^{i}\mu)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, причем $a^{ij}\mu$ и $b^{i}\mu$ являются обобщенными функциями, будучи локально конечными мерами. Однако следует иметь в виду, что в случае негладких коэффициентов оператор $L_{A,b}^*$ определен не на всех обобщенных функциях. С помощью этого тождества уравнение можно определять и для мер на областях или римановых многообразиях, причем можно допускать меры, конечные на компактах, но для целей этого обзора мы ограничимся глобально ограниченными мерами. Подробные обзоры свойств решений даны в [22] и [23] (см. также недавний обзор [31]), здесь отметим лишь, что в случае неотрицательного решения мера $(\det A)^{1/d}\mu$ обладает плотностью относительно меры Лебега, так что для невырожденной матрицы диффузии само решение имеет плотность $\varrho$. Если матрица $A$ невырождена, ее элементы входят в локальный класс Соболева $W^{p,1}_{\rm loc}$ при некотором $p>d$, а функции $|b^i|^p$ локально интегрируемы по Лебегу или по мере $|\mu|$, то $\mu$ имеет непрерывную плотность из того же класса Соболева, причем в случае положительной меры $\mu$ эта плотность не имеет нулей. Для решений с плотностями из классов Соболева и коэффициентов $a^{ij}$ из классов Соболева уравнение (3.1) сводится к уравнению дивергентного вида относительно плотности:
$$
\begin{equation}
\partial_{x_i}(a^{ij}\partial_{x_j}\varrho+\partial_{x_j}a^{ij}\varrho)- \partial_{x_i}(b^{i}\varrho)=0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В этом случае решение может не иметь вторых соболевских производных, но если они есть, причем функции $a^{ij}$ имеют вторые соболевские производные, а функции $b^i$ имеют первые соболевские производные, то уравнение можно раскрыть полностью и превратить в классическое эллиптическое уравнение. Однако не всякое классическое уравнение может быть так получено из уравнения вида (3.1). Рассматривают также уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с потенциальным членом $c$, представляющим собой борелевскую функцию, локально интегрируемую относительно решения $\mu$, которое теперь удовлетворяет уравнению понимаемому аналогично (3.2) с оператором $L_{A,b,c}f=L_{A,b}f+c f$.Известны различные условия существования и единственности вероятностных решений. Наиболее удобные в приложениях используют функции Ляпунова. Теорема 3.1. Пусть $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$ – квазикомпактная функция, т. е. $\mathbb{R}^d$ есть объединение компактных множеств $\{V\leqslant c_k\}$ для некоторой возрастающей последовательности чисел $c_k$, причем Неясно, всегда ли есть вероятностное решение при наличии функции Ляпунова, если $A$ и $A^{-1}$ локально ограничены, а снос $b$ локально интегрируем в степени $p>d$ относительно меры Лебега. Упомянем такой результат о единственности решений. Теорема 3.2. Если $a^{ij}\in W^{p,1}_{\rm loc}$ с некоторым $p>d$, непрерывная версия отображения $A$ (которая существует по теореме вложения Соболева) невырождена и $b^i\in L^{p}_{\rm loc}$, то вероятностное решение $\mu$ единственно при условии, что функции $|a^{ij}(x)|(1+|x|)^{-2}$ и $|b^{i}(x)|(1+|x|)^{-1}$ входят в $L^1(\mu)$. В частности, это верно, если коэффициенты имеют не более чем линейный рост. В терминах функций Ляпунова имеется такое условие: нет различных вероятностных решений, если есть такая функция $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$, что $V(x)\to +\infty$ при $|x|\to\infty$ и при некотором $C>0$ верна оценка $L_{A,b}V\leqslant C+CV$. Без дополнительных условий на снос $b$ даже при условии его гладкости уравнение с единичной матрицей диффузии может иметь различные вероятностные решения при $d>1$. Линейное параболическое уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова также ассоциировано с парой отображений – коэффициентом диффузии $A(x,t)=(a^{ij}(x,t))_{i,j\leqslant d}$ и коэффициентом сноса $b(x,t)=(b^i(x,t))_{i\leqslant d}$, которые теперь заданы на $\mathbb{R}^d\times [0,T]$ с некоторым $T>0$ и принимают значения в пространстве симметричных неотрицательно определенных операторов и в $\mathbb{R}^d$ соответственно. Как и в эллиптическом случае, предполагается их борелевость. Решения параболических уравнений будем рассматривать в классе мер (возможно, знакопеременных) вида $\mu(dx\, dt)=\mu_t(dx)\, dt$ с некоторым семейством борелевских мер на $\mathbb{R}^d$, борелевски зависящих от $t$, т. е. функции $t\mapsto \mu_t(B)$ должны быть борелевскими для борелевских множеств $B$, функция $t\mapsto \|\mu_t\|$ должна быть интегрируема по Лебегу на $[0,T]$, а указанная запись означает, что для ограниченных борелевских функций $f$ на $\mathbb{R}^d\times [0,T]$ выполнено равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d\times [0,T]} f(x,t)\, \mu(dx\, dt)= \int_0^T\int_{\mathbb{R}^d} f(x,t)\, \mu_t(dx)\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Ограниченная борелевская мера $\mu$ на $\mathbb{R}^d\times (0,T)$ вида $\mu(dx\, dt)=\mu_t(dx)\, dt$ удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова если функции $a^{ij}$, $b^i$ интегрируемы относительно $|\mu|$ на компактах в $\mathbb{R}^d\times (0,T)$ и для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty (\mathbb{R}^d\times (0,T))$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d\times (0,T)}[\partial_t\varphi+ L_{A,b}\varphi]\, \mu(dx\, dt)=0.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Фактически это такое же уравнение, как и в эллиптическом случае, но с полностью вырожденным по $t$ эллиптическим оператором с двумя аргументами. Впрочем, отличием является и вид меры. Уравнение (3.4) записывается также в виде без индекса $t$ у меры, когда подразумевается, что $\mu$ имеет указанный выше вид $\mu(dx\, dt)=\mu_t(dx)\, dt$. Это соответствует тому, что при наличии плотности $\varrho(x,t)$ уравнение записывается в виде $\partial_t\varrho=L_{A,b}^* \varrho$. Меру $\mu$ часто отождествляют с семейством мер $(\mu_t)_{t\in (0,T)}$. Задача Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с оператором $L_{A,b}$ ставится добавлением начального условия, т. е. начальной меры $\nu$. Здесь, однако, возможны несколько отличающиеся (неэквивалентные в общем случае) технические формулировки. Будем называть решением задачи Коши с начальной мерой $\nu$ такое семейство борелевских мер $(\mu_t)_{t\in [0,T]}$ на пространстве $\mathbb{R}^d$, борелевски зависящее от $t$, что $\mu_0=\nu$, мера $|\mu_t|\, dt$ на $\mathbb{R}^d\times [0,T]$ конечна и для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ почти всюду на $[0,T]$ выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\, d\mu_t-\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\, d\nu =\int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} L_{A,b}\varphi\, d\mu_s\, ds.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Решением называют также и меру $\mu(dx\, dt)=\mu_t(dx)\, dt$ на $\mathbb{R}^d\times [0,T]$. Вероятностным называется решение, в котором почти все меры $\mu_t$ вероятностные. Отметим, что решение задачи Коши удовлетворяет и уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова (3.4). Это проверяется сначала для функций с гладкими функциями $\varphi_1$ и $\varphi_2$, имеющими компактные носители, путем умножения (3.7) на $\varphi_2'(t)$, интегрирования по $[0,T]$ и затем интегрирования по частям справа.Имеется такое борелевское множество $E\subset [0,T]$ лебеговской меры нуль, что (3.7) верно для всех $t\not\in E$ и всех $\varphi\in C_0^\infty (\mathbb{R})$. В самом деле, найдется счетный набор функций $\varphi_n\in C_0^\infty (\mathbb{R}^d)$ со следующим свойством: для всякой функции $\varphi\in C_0^\infty (\mathbb{R}^d)$ есть такая подпоследовательность $\{\varphi_{n_j}\}$, что функции $f_{n_j}$ имеют носители в некотором общем шаре, содержащем носитель $f$, и равномерно сходятся к $\varphi$, причем их первые и вторые производные тоже равномерно сходятся. Множество $E$ точек $t$, для которых (3.7) нарушено для какой-то функции $\varphi=\varphi_n$, является борелевским и имеет меру нуль. Пусть $t\not\in E$ и $\varphi\in C_0^\infty (\mathbb{R}^d)$. Возьмем соответствующую подпоследовательность $\{\varphi_{n_j}\}$ с указанными выше свойствами. Тогда функции $L_{A,b}\varphi_{n_j}$ сходятся к $L_{A,b}\varphi$ в $L^1$ по мере $|\mu_t|\, dt$, а интегралы от функций $\varphi_{n_j}$ по мерам $\mu_t$ и $\nu$ сходятся к интегралам от $\varphi$. Поэтому равенство (3.7), верное для $\varphi_n$, остается в силе и для $\varphi$. В этой связи возникает вопрос, почему бы не переопределить решения в точках из множества $E$ меры нуль, с тем чтобы добиться равенства во всех точках. Как показывает следующее предложение, так сделать в принципе можно, но при этом возникает важный нюанс: если все меры $\mu_t$ переопределяемого решения были вероятностными (что бывает нужно во многих задачах), то после переопределения это свойство может быть утеряно. Имеются примеры, показывающие, что даже в случае гладких коэффициентов вероятностное решение $(\mu_t)_{t\geqslant 0}$ не может быть переопределено так, что все меры $\mu_t$ будут вероятностными и (3.7) будет верно при всех $t$. Предложение 3.3. Пусть на $\mathbb{R}^d$ дано семейство ограниченных борелевских мер $\mu_t$, где $t\in [0,T]$, борелевски зависящих от $t$, причем и пусть $\nu$ – ограниченная борелевская мера на $\mathbb{R}^d$. Предположим, что борелевские функции $a^{ij}$ и $b^i$ на $\mathbb{R}^d$ таковы, что для всякого шара $B$, причем для всякой функции $f\in C_0^\infty (\mathbb{R}^d)$ для почти всех точек $t\in [0,T]$ выполнено равенство Тогда найдутся ограниченные меры $\widetilde{\mu}_t$, борелевски зависящие от $t$, для которых $\sup_t\|\widetilde{\mu}_t\|\leqslant M$, $\widetilde{\mu}_t=\mu_t$ при почти всех $t$ и предыдущее равенство выполнено при всех $t\in [0,T]$. Доказательство. Возьмем указанное выше борелевское множество $E$ лебеговской меры нуль и при $t\in E$ переопределим меры $\mu_t$ следующим образом. Зафиксируем открытый шар $B_k$ радиуса $k\in\mathbb{N}$ с центром в нуле и на пространстве бесконечно дифференцируемых функций с носителем в $B_k$ рассмотрим линейный функционал Найдется последовательность точек $t_n\to t$, $t_n\in E$. Тогда $L_{t_n,k}f\to L_{t,k}f$ при всех $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$, причем Правая часть по модулю не превосходит $M\sup_x |f(x)|$. Значит, По теореме Рисса найдется борелевская мера $\sigma_{t,k}$ на $B_k$, для которой функционал $L_{t,k}$ есть интеграл по мере $\sigma_{t,k}$, причем $\|\sigma_{t,k}\|\leqslant M$. При этом сужение меры $\sigma_{t,k+1}$ на $B_k$ совпадает с $\sigma_{t,k+1}$, ибо обе меры приписывают равные интегралы гладким функциям с носителем в $B_k$. Значит, имеется мера $\widetilde{\mu}_t$ на $\mathbb{R}^d$ с ограничениями $\sigma_{t,k}$ на $B_k$ и с вариацией не более $M$. Для точек из $[0,T]\setminus E$ сохраним прежние меры $\mu_t$. Полученное семейство удовлетворяет нашему интегральному тождеству при всех $t$. Из этого следует его борелевская зависимость от $t$, ибо правая часть интегрального тождества непрерывна по $t$. Предложение доказано. В случае субвероятностных решений бывает полезна близкая интерпретация решения как элемента пространства $L^0([0,T],\mathcal{SP}(\mathbb{R}^d))$ классов эквивалентности измеримых по Лебегу отображений из $[0,T]$ в пространство $\mathcal{SP}(\mathbb{R}^d)$ субвероятностных борелевских мер на $\mathbb{R}^d$, наделенное метрикой Канторовича–Рубинштейна $d_{\rm KR}$, превращающей его в полное сепарабельное метрическое пространство. Тем самым и $L^0([0,T],\mathcal{SP}(\mathbb{R}^d))$ оказывается полным сепарабельным метрическим пространством с метрикой сходимости по мере
$$
\begin{equation*}
d(\xi,\eta)=\int_0^T d_{\rm KR}(\xi(t),\eta(t))\, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где используются представители классов эквивалентности (от их выбора интеграл не зависит). Для существования и единственности решения задачи Коши также известны широкие достаточные условия, выраженные в терминах оценок на коэффициенты, их глобальной интегрируемости по решениям или функций Ляпунова (см. [23; гл. 6, 9]). Лишь в одномерном случае в недавней работе [21] установлена единственность вероятностных решений без таких условий (но для сноса, не зависящего от времени). Кроме того, имеются результаты о свойствах плотностей решений (см. [23; гл. 7, 8]). В частности, само существование плотности обеспечивается условием $\det A(x,t)>0$, как и в эллиптическом случае. Параболические уравнения разрешимы при значительно более широких условиях, чем эллиптические. Например, для $A={\rm I}$ и $b=0$ эллиптическое уравнение не имеет ненулевых решений, а параболическое имеет стандартное гауссовское решение. В другую сторону импликация есть: при некоторых ограничениях на $A$ и $b$ существование вероятностного решения эллиптического уравнения $L_{A,b}^*\mu=0$ влечет существование субвероятностного (но не всегда вероятностного) решения задачи Коши с произвольным начальным вероятностным распределением. 4. Оценки расстояний между решениями линейных уравненийПри исследовании нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова полезны оценки различных расстояний между решениями линейных эллиптических и параболических уравнений с отличающими коэффициентами. Эта тема заслуживает отдельного обзора, здесь мы приведем лишь несколько результатов из [25] и [26], используемых ниже. Сначала приведем ряд оценок из [26] (см. также [18], [19]) для эллиптических уравнений. Пусть меры
$$
\begin{equation*}
\mu=\varrho_{\mu}\,dx \qquad \text{и}\qquad \sigma=\varrho_{\sigma}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
являются вероятностными решениями уравнений $L_{A_{\mu}, b_{\mu}}^{*}\mu=0$ и $L_{A_{\sigma},b_{\sigma}}^{*}\sigma=0$, коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям: элементы матриц диффузии принадлежат классу Соболева $W^{p, 1}_{\rm loc}$ с некоторым $p>d$, непрерывные версии этих матриц положительно определены, компоненты сносов входят в $L^p_{\rm loc}$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} h_\mu&=(h_\mu^i)_{i=1}^d, &\qquad h_{\mu}^i&=b^i_{\mu}-\sum_{j=1}^d\partial_{x_j}a_{\mu}^{ij}, \\ h_\sigma&=(h_\sigma^i)_{i=1}^d, &\qquad h_{\sigma}^i&=b^i_{\sigma}-\sum_{j=1}^d\partial_{x_j}a_{\sigma}^{ij}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Phi=\frac{(A_{\mu}-A_{\sigma})\nabla\varrho_{\sigma}}{\varrho_{\sigma}}+ h_{\sigma}-h_{\mu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\Phi=b_{\sigma}-b_{\mu}$ при $A_{\mu}=A_{\sigma}$. Далее для сокращения записи вместо $L_{A_{\mu}, b_{\mu}}$ и $L_{A_{\sigma}, b_{\sigma}}$ пишем $L_{\mu}$ и $L_{\sigma}$ соответственно. Пусть
$$
\begin{equation}
v(x)=\frac{\varrho_{\sigma}(x)}{\varrho_{\mu}(x)}\,.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Через $W^{p,1}(\mu)$ обозначим весовой класс Соболева, получаемый пополнением пространства $C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ по норме Соболева $\|f\|_{p,1,\mu}$, отличающейся от обычной тем, что вместо меры Лебега используется мера $\mu$. В силу непрерывности и положительности плотности меры $\mu$ локально функции этого класса не отличаются от функций из $W^{p,1}_{\rm loc}$. Поэтому $W^{p,1}(\mu)$ состоит из функций класса $W^{p,1}_{\rm loc}$ с конечной нормой $\|\cdot\|_{p,1,\mu}$. Теорема 4.1. Предположим, что $|A_{\mu}^{-1/2}\Phi|\in L^2(\sigma)$ и выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) функции $(1+|x|)^{-2}a^{ij}_{\mu}$ и $(1+|x|)^{-1}|b_{\mu}|$ входят в $L^1(\mu)$; (ii) существует такая функция $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$, что $\lim_{|x|\to\infty}V(x)=+\infty$, $V\geqslant 0$, для всех $x$ и некоторого числа $M>0$ имеет место неравенство а также справедливо включение Тогда Если $A_{\mu}\geqslant \alpha\cdot {\rm I}$, то из этой оценки следует, что $\sqrt{v}\in W^{2,1}(\mu)$.Для заданного числа $C_{\rm S}$ и борелевского матричнозначного отображения $A$ будем говорить, что вероятностная мера $\mu$ удовлетворяет логарифмическому неравенству Соболева с константой $C_{\rm S}$ и матрицей $A$, если
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ent}_{\mu}f^2:=\int_{\mathbb{R}^d}f^2\log (f^2)\,d\mu- \int_{\mathbb{R}^d}f^2\,d\mu\log\int_{\mathbb{R}^d}f^2\,d\mu\leqslant C_{\rm S}\int_{\mathbb{R}^d}|A^{1/2}\nabla f|^2\,d\mu
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой функции $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. При наших предположениях это неравенство распространяется на все функции $f\in W^{2,1}(\mu)$, если $A$ ограничено. Следствие 4.2. Если в дополнение к условиям теоремы 4.1 известно, что мера $\mu$ удовлетворяет логарифмическому неравенству Соболева с константой $C_{\rm S}$ и матрицей $A_{\mu}$, то верны следующие утверждения. (i) Выполнена оценка для энтропии
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ent}_{\mu}v\leqslant \frac{C_{\rm S}}{4}\int_{\mathbb{R}^d}|A^{-1/2}_{\mu}\Phi|^2\,d\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Если меры $\mu$ и $\sigma$ имеют конечные вторые моменты, то выполнена оценка для $2$-метрики Канторовича
$$
\begin{equation*}
W_2(\mu,\sigma)^2\leqslant \frac{C_{\rm S}^2}{4}\int_{\mathbb{R}^d} |A^{-1/2}_{\mu}\Phi|^2\,d\sigma.
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) Выполнена оценка для вариации Пример 4.3. Пусть $A_{\mu}=A_{\sigma}={\rm I}$ и для некоторого положительного $\kappa$ выполнено неравенство Для заданного числа $C_{\rm P}$ и борелевского матричнозначного отображения $A$ будем говорить, что вероятностная мера $\mu$ удовлетворяет неравенству Пуанкаре с константой $C_{\rm P}$ и матрицей $A$, если
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\biggl|f-\int_{\mathbb{R}^d}f\,d\mu\biggr|^2\,d\mu\leqslant C_{\rm P}\int_{\mathbb{R}^d}|A^{1/2}\nabla f|^2\,d\mu
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой функции $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$. При наших условиях это неравенство распространяется на все функции $f\in W^{2,1}(\mu)$, если $A$ ограничено. Напомним, что интегралом Хеллингера для мер $\mu$ и $\nu$ называется величина
$$
\begin{equation*}
H(\mu, \sigma)=\int_{\mathbb{R}^d}\sqrt{\varrho_{\mu}\varrho_{\sigma}}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 4.4. Если в дополнение к условиям теоремы 4.1 известно, что мера $\mu$ удовлетворяет неравенству Пуанкаре с константой $C_{\rm P}$ и матрицей $A_{\mu}$, то верны следующие неравенства: Другой способ получения оценки расстояния по вариации между решениями состоит в использовании решений уравнений Пуассона $L_{\mu}u=\psi$, где интеграл от $\psi$ по мере $\mu$ равен нулю. Приведем пример результата, который так доказывается. Теорема 4.5. Предположим, что найдутся такие положительная функция $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$ со свойством $\lim_{|x|\to \infty}V(x)=+\infty$, положительное число $\gamma$ и шар $Q$ с центром в нуле и радиусом $R$, что Пример 4.6. Пусть $A_{\mu}=A_{\sigma}={\rm I}$ и В работе [60] получена оценка квадратичного расстояния Канторовича $W_2$ между стационарными распределениями в предположении, что коэффициенты первого из уравнений принадлежат классу Соболева с весом $\varrho_\mu$, меры $\mu= \varrho_\mu\, dx$ и $\nu=\varrho_\nu\, dx$ абсолютно непрерывны друг относительно друга и имеет место экспоненциально быстрая сходимость решений задачи Коши для первого оператора к стационарному распределению $\varrho_\mu$ по метрике $W_2$. В работе [25] получены оценки расстояний между решениями параболических уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова. Рассмотрим зависящий от времени эллиптический оператор
$$
\begin{equation*}
L_{A,b}u=\sum_{i,j=1}^d a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j} u+ \sum_{i=1}^d b^i \partial_{x_i}u,
\end{equation*}
\notag
$$
где $A(x,t)=(a^{ij}(x,t))_{i,j\leqslant d}$ – положительно определенная симметричная матрица с борелевскими элементами и $b(x,t)=(b^i(x,t))_{i=1}^d \colon \mathbb{R}^d\times [0,T]\to \mathbb{R}^d$ – борелевское отображение, причем $b$ локально ограничено, т. е. для всякого шара $U\subset \mathbb{R}^d$ есть такое число $B=B(U)\geqslant 0$, что
$$
\begin{equation*}
|b(x,t)|\leqslant B(U) \quad \forall\, x\in U,\ t\in [0,T],
\end{equation*}
\notag
$$
а матрица $A$ локально липшицева по $x$ и положительна, т. е. удовлетворяет следующему условию: (H) для всякого шара $U\subset \mathbb{R}^d$ есть такие числа $\lambda=\lambda(U)\geqslant 0$, $\alpha=\alpha(U)>0$ и $m=m(U)>0$, что
$$
\begin{equation*}
|a^{ij}(x, t)-a^{ij}(y, t)|\leqslant \lambda|x-y|, \quad \alpha\cdot {\rm I}\leqslant A(x, t)\leqslant m\cdot {\rm I}\quad \forall\, x,y\in U, \ t\in[0, T].
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим задачу Коши
$$
\begin{equation}
\partial_t\mu=L_{A,b}^{*}\mu, \quad \mu\big|_{t=0}=\nu,
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $\nu\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$. Как и выше, рассматриваются решения вида $\mu(dx\,dt)=\mu_t(dx)\,dt$ на $\mathbb{R}^d\times [0,T]$, заданные семействами вероятностных мер $(\mu_t)_{t\in[0,T]}$ на $\mathbb{R}^d$, борелевски зависящими от $t$. Предположим теперь, что есть два решения $\mu=(\mu_t)_{t\in [0, T]}$ и $\sigma=(\sigma_t)_{t\in [0, T]}$ задачи Коши 4.2 с коэффициентами $A_{\mu}$, $b_{\mu}$ и $A_{\sigma}$, $b_{\sigma}$ соответственно и общим начальным условием $\nu$. Здесь пока речь идет о линейных уравнениях, поэтому индексы $\mu$ и $\sigma$ не означают зависимость коэффициентов от решений, а лишь маркируют уравнения. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\text{матрицы $A_{\mu}$, $A_{\sigma}$ удовлетворяют условию (H)}, \\ &\text{поля $b_{\mu}$, $b_{\sigma}$ локально ограничены.} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mu=\varrho_{\mu}(x,t)\,dx\,dt$ и $\sigma=\varrho_{\sigma}(x,t)\,dx\,dt$. Положим
$$
\begin{equation*}
v(x,t)=\frac{\varrho_{\sigma}(x,t)}{\varrho_{\mu}(x,t)}\,,\quad \text{т. е.}\quad \sigma=v\cdot\mu.
\end{equation*}
\notag
$$
В оценках используются отображения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_\mu=(h_\mu^i)_{i=1}^d, \quad h_\sigma=(h_\sigma^i)_{i=1}^d, \quad h_{\mu}^i=b^i_{\mu}-\sum_{j=1}^d\partial_{x_j}a_{\mu}^{ij}, \quad h_{\sigma}^i=b^i_{\sigma}-\sum_{j=1}^d\partial_{x_j}a_{\sigma}^{ij}, \\ \Phi=\frac{(A_{\mu}-A_{\sigma})\nabla\varrho_{\sigma}}{\varrho_{\sigma}}- (h_{\mu}-h_{\sigma}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Расстояние между $\mu_t$ и $\sigma_t$ оценивается через $L^2(\sigma)$-норму поля $A_\mu^{-1/2}\Phi$. В случае равных матриц диффузии $\Phi=b_\sigma-b_\mu$. Напомним, что для двух мер $\mu_1$ и $\mu_2$ из $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ таких, что $\mu_1=w\cdot \mu_2$, энтропия $H(\mu_1\,|\,\mu_2)$ задается формулой если $w\log w \in L^1(\mu_2)$. Если $\mu_1$ и $\mu_2$ заданы положительными плотностями $\varrho_1$ и $\varrho_2$ такими, что $\varrho_1\log (\varrho_1/\varrho_2)\in L^1(\mathbb{R}^d)$, то $H(\mu_1\,|\,\mu_2)$ есть интеграл от $\varrho_1\log(\varrho_1/\varrho_2)$.Теорема 4.7. Пусть $|A_{\mu}^{-1/2}\Phi|\in L^2(\mathbb{R}^d\times[0,T],\sigma)$ и выполнено какое-либо из следующих двух условий: (a) $(1+|x|)^{-2}|a_{\mu}^{ij}|$, $(1+|x|)^{-1}|b_{\mu}|$, $(1+|x|)^{-1}|\Phi|\in L^1(\mathbb{R}^d\times[0,T],\sigma)$; (b) найдутся неотрицательная функция $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$ и число $M\geqslant 0$ такие, что Тогда Следствие 4.8. При предположениях теоремы для всякой неотрицательной борелевской функции $\varphi$ на $\mathbb{R}^d\times[0,T]$ имеем Оценки расстояний между решениями уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова с диссипативными коэффициентами сноса с помощью выражений, обобщающих классическую метрику Канторовича, получены в [89], а оценки расстояний между решениями уравнений с частично вырожденной матрицей диффузии, когда вырождение имеет место лишь по части переменных, получены в [91]. Отметим, что такие уравнения появляются при исследовании системы стохастических уравнений Ланжевена. Имеется много работ об оценках скорости сходимости решений линейных параболических уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова к стационарным решениям при $t\to+\infty$ (см., например, статьи [35], [58], [59], [75], а также цитирующие их последующие работы). 5. Нелинейные эллиптические уравненияНелинейные эллиптические уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова отличаются от линейных зависимостью коэффициентов от решения. Типичный пример такой зависимости доставляет выражение вида Интерес к нелинейным эллиптическим уравнениям Фоккера–Планка–Колмогорова связан в первую очередь с тем, что к решениям таких уравнений приближаются решения нелинейных параболических уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова при $t\to+\infty$. Ключевую роль в получении достаточных условий существования и единственности решений играют оценки решений линейных уравнений с помощью метода функций Ляпунова, оценки расстояний между решениями двух различных линейных уравнений и достаточные условия существования у решения непрерывной плотности относительно меры Лебега. Перейдем к строгим формулировкам.Пусть
$$
\begin{equation*}
V\in C^2(\mathbb{R}^d), \quad V\geqslant 0 \quad \text{и} \quad \lim_{|x|\to\infty}V(x)=+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\alpha>0$ обозначим через $\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ множество вероятностных мер $\mu$ на $\mathbb{R}^d$, удовлетворяющих условию Множество $\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ непусто для достаточно больших $\alpha$ и является выпуклым метризуемым компактом в слабой топологии. Множество всех вероятностных мер, относительно которых интегрируема функция $V$, обозначим через $\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$. Будем говорить, что последовательность мер $\mu_n\in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ сходится $V$-слабо к мере $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$, если
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\, \mu_n(dx)= \int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,\mu(dx)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех непрерывных функций $f$ таких, что $\lim_{|x|\to\infty} f(x)/V(x)=0$. Проверим, что из слабой сходимости последовательности мер $\mu_n\in \mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ к мере $\mu\in\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ следует $V$-слабая сходимость $\mu_n$ к $\mu$. Пусть $f$ – непрерывная функция и $\lim_{|x|\to\infty} f(x)/V(x)=0$. Положим
$$
\begin{equation*}
f_{N}(x)=\min\bigl\{\max\{f(x), -N^{-1}V(x)\}, N^{-1}V(x)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|f_N|\leqslant N^{-1}V$ и интегралы от $V$ по данным мерам не превосходят $\alpha$, то справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\mathbb{R}^d}f\,d\mu_n-\int_{\mathbb{R}^d}(f-f_N)\,d\mu_n\biggr| \leqslant \frac{\alpha}{N}\,,\qquad \biggl|\int_{\mathbb{R}^d}f\,d\mu-\int_{\mathbb{R}^d}(f-f_N)\,d\mu\biggr| \leqslant \frac{\alpha}{N}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,\mu_n(dx)= \int_{\mathbb{R}^d}f(x)\,\mu(dx),
\end{equation*}
\notag
$$
ибо непрерывная функция $f-f_N$ равна нулю вне некоторого шара. Предположим, что для всякой меры $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ и всех $i,j\leqslant d$ даны борелевские функции $a^{ij}(\,\cdot\,,\mu)$, $b^i(\,\cdot\,,\mu)$, причем матрица $A(x,\mu)= (a^{ij}(x,\mu))_{1\leqslant i,j\leqslant d}$ симметрична и неотрицательно определена. Положим
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}\varphi(x)=\sum_{i,j\leqslant d}a^{ij}(x,\mu) \partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi(x)+ \sum_{i\leqslant d}b^i(x,\mu)\partial_{x_i}\varphi(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Мера $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ является решением нелинейного стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова если $\mu$ является решением линейного уравнения с оператором $L_{\mu}$. Теорема 5.1. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякого шара $B$ и всякого $\alpha>0$ функции $a^{ij}(\,\cdot\,,\mu)$ и $b^i(\,\cdot\,,\mu)$ ограничены на $B$ равномерно по $\mu\in \mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$ и непрерывны на $B$ равностепенно по $\mu\in \mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$; (ii) если меры $\mu_n\in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ сходятся $V$-слабо к мере $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$, то для всех $x$ имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}b^i(x,\mu_n)=b^i(x,\mu),\qquad \lim_{n\to\infty}a^{ij}(x,\mu_n)=a^{ij}(x,\mu);
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) найдутся такие числа $\delta\in [0, 1]$, $\Lambda>0$, $C>0$, что
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}V(x)\leqslant (1-\delta)C+ \Lambda\biggl(\delta\int_{\mathbb{R}^d}V\,d\mu-V(x)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^d$ и $\mu\in\mathcal{P}_{V}(\mathbb{R}^d)$. Тогда существует решение $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ уравнения $L_{\mu}^{*}\mu=0$. Доказательство. Зафиксируем такое $\alpha \geqslant C/\Lambda$, что метризуемый компакт $\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ непуст. Согласно [23; следствие 2.4.4] для всякой меры $\sigma\in\mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$ существует решение $\mu$ линейного уравнения $L_{\sigma}^{*}\mu=0$. Так как
$$
\begin{equation*}
L_{\sigma}V(x)\leqslant (1-\delta)C+\Lambda\delta\alpha-\Lambda V(x),
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу [23; теорема 2.3.2] верна оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}V\,d\mu\leqslant (1-\delta)\frac{C}{\Lambda}+\delta\alpha\leqslant \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\Phi(\sigma)$ множество решений $\mu\in\mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$ линейного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова $L_{\sigma}^{*}\mu=0$. Это непустое и выпуклое подмножество выпуклого метризуемого компакта $\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$. Проверим, что график многозначного отображения $\Phi$ замкнут. Пусть меры $\sigma_n\in \mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$ сходятся слабо к мере $\sigma\in\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ и меры $\mu_n\in \Phi(\sigma_n)$ сходятся слабо к мере $\mu\in \mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$. Тогда меры $\sigma_n$ сходятся $V$-слабо к $\sigma$. Проверим, что $L_{\sigma}^{*}\mu=0$. Пусть $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$. Верно равенство Рассмотрим шар $B$, содержащий носитель $\varphi$. Последовательности $a^{ij}(\,\cdot\,,\sigma_n)$ и $b^i(\,\cdot\,,\sigma_n)$ сходятся равномерно на $B$ к непрерывным функциям $a^{ij}(\,\cdot\,,\sigma)$ и $b^i(\,\cdot\,, \sigma)$ соответственно. Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\varphi\,d\mu= \int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\varphi\,d(\mu-\mu_n)+ \int_{\mathbb{R}^d} (L_{\sigma}\varphi-L_{\sigma_n}\varphi)\,d\mu_n,
\end{equation*}
\notag
$$
где первое слагаемое стремится к нулю при $n\to\infty$ в силу непрерывности коэффициентов и слабой сходимости $\mu_n$ к $\mu$, а второе слагаемое стремится к нулю при $n\to\infty$ из-за равномерной сходимости на $B$ коэффициентов оператора $L_{\sigma_n}$ к коэффициентам оператора $L_{\sigma}$. Полагая $n\to\infty$, получаем Таким образом, график отображения $\Phi$ замкнут и применима теорема Какутани–Ки Фаня (см. [34; теорема 1.2.12]). Эта теорема, являющаяся многозначной версией теоремы Шаудера–Тихонова, утверждает, что если многозначное отображение $\Phi$ из выпуклого компакта $K$ в локально выпуклом пространстве в множество непустых выпуклых компактных подмножеств $K$ имеет замкнутый график, то найдется точка $k$, для которой $k\in \Phi(k)$. Итак, существует $\mu\in\Phi(\mu)$. Теорема доказана. Отметим, что множитель $1-\delta$ в условии (iii) нужен для того, чтобы сделать слагаемое $(1-\delta)C$ нулем при $\delta=1$. Приведем типичный пример, когда выполнены условия теоремы 5.1. Пример 5.2. Пусть функции $q^{ij}$ непрерывны и ограничены на $\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$, причем матрицы $Q(x,y)=\bigl(q^{ij}(x,y)\bigr)_{i,j\leqslant d}$ симметричны и неотрицательно определены. Пусть также векторное поле $\beta=(\beta^i)_{i\leqslant d}$ непрерывно на $\mathbb{R}^d$, векторное поле $K=(K^i)_{i\leqslant d}$ непрерывно на $\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$ и существуют такие положительные числа $C_1$, $C_2$, $C_3$ и $C_4$, что $C_4<C_2$ и для всех $x$, $y$ выполнены оценки Рассмотрим пример, иллюстрирующий условие (iii) теоремы 5.1. Пример 5.3. Предположим, что $d=1$ и $\varepsilon,\gamma\in\mathbb{R}$; пусть Уравнение имеет вид $(b(x,\mu)\mu)'=0$, откуда следует, что $b(x,\mu)\mu=\operatorname{const}$. Так как $|x|\in L^1(\mu)$, то $b\in L^1(\mu)$ и $b(x,\mu)\mu=0$. Интегрируя равенство $b(x,\mu)\mu=0$, получаем Следовательно, при $\gamma\ne 0$ и $\varepsilon=1$ решений нет. Если $\varepsilon\ne 1$, то Единственным решением при $\varepsilon\ne 1$ является $\delta_{\gamma/(1-\varepsilon)}$. Покажем, что при $|\varepsilon|<1$ для функции $V(x)=|x|^2/2$ можно найти числа $\delta\in [0, 1]$, $C>0$, $\Lambda>0$, с которыми выполнено условие (iii) теоремы 5.1. Возьмем такое число $\beta\in (0,1)$, что $|\varepsilon|<1-\beta/2$. Верна оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{\mu}V(x)&=-|x|^2+\gamma x+\varepsilon x\int_{\mathbb{R}}y\,\mu(dy) \\ &\leqslant -\biggl(1-\frac{|\varepsilon|+\beta}{2}\biggr)|x|^2+ \frac{\gamma^2}{2\beta}+\frac{|\varepsilon|}{2} \int_{\mathbb{R}^d}|y|^2\, \mu(dy). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Lambda=2-|\varepsilon|-\beta, \qquad \delta=\frac{|\varepsilon|}{2-|\varepsilon|-\beta}\,, \qquad C=\frac{\gamma^2}{2\beta(1-\delta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $\delta\in(0,1)$, $\Lambda>0$, $C>0$ и выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}V(x)\leqslant C(1-\delta)+ \Lambda\biggl(\delta\int_{\mathbb{R}^d}V\,d\mu-V(x)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, с помощью условия (iii) удается точно выделить один из промежутков значений параметра $\varepsilon$, при которых решение существует. Напомним, что при $\varepsilon=1$ решения нет. Покажем, что при $\varepsilon>1$ не существует подходящей функции $V$. Предположим, что нашлась функция $V\in C^2(\mathbb{R})$, удовлетворяющая условиям: $V\geqslant 0$, $\lim_{|x|\to\infty}V(x)=+\infty$ и для некоторых чисел $\delta\in [0,1]$, $C>0$ и $\Lambda>0$ неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_{\mu}V(x)&=-xV'(x)+\gamma V'(x)+\varepsilon V'(x) \int_{\mathbb{R}}y\,\mu(dy) \\ &\leqslant C(1-\delta)+ \Lambda\biggl(\delta\int_{\mathbb{R}}V\, d\mu-V(x)\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено для всех $x$ и всех вероятностных мер с конечным интегралом от функций $|x|$ и $V(x)$. Подставляя в это неравенство $\mu=\delta_x$, получаем
$$
\begin{equation*}
V'(x)\bigl(\gamma+(\varepsilon-1)x\bigr)\leqslant (1-\delta)(C-\Lambda V(x)).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\varepsilon>1$ и $V(x)\to +\infty$ при $x\to+\infty$, то существует такая последовательность $x_n\to+\infty$, что
$$
\begin{equation*}
V'(x_n)\bigl(\gamma+(\varepsilon-1)x_n\bigr)>0, \qquad V(x_n)\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $1-\delta\geqslant 0$ и $\Lambda>0$, это приводит к противоречию из-за того, что выражение $(1-\delta)(C-\Lambda V(x_n))$ отрицательно для достаточно больших $n$. Напомним, что при $\varepsilon>1$ уравнение имеет решение. Более того, при $\gamma=0$ и $\varepsilon=1$ решением является всякая мера $\delta_a$, но можно аналогично тому, как это сделано выше, показать, что и в этом случае нет подходящей функции $V$. Далее мы обсудим, как можно изменить условия теоремы 5.1 для более тонкого анализа существования решения. Пусть $W(x)=\sqrt{1+V(x)}$ . Предположим дополнительно к условиям теоремы 5.1, что для всякой меры $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ существует число $C_{\mu}>0$, с которым для всех $x\in\mathbb{R}^d$ верна оценка Следуя работе [28], через $I_0^W$ обозначим множество функций $\psi\in C^2(\mathbb{R}^d)$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\sup_x\bigl(|\psi(x)|+|\nabla\psi(x)|+|D^2\psi(x)|\bigr)W(x)^{-1}<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
и для всякой меры $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ верно равенство Ясно, что множество $I_0^W$ является линейным пространством и содержит $1$. Предложение 5.4. Предположим, что для некоторой функции $\psi\in I_0^W$ существует такая функция $h\in C(\mathbb{R}^d)$, что $\sup_x|h(x)|/V(x)<\infty$ и для всякой меры $\mu\in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ найдутся числа $C_1(\mu)\ne 0$ и $C_2(\mu)$, с которыми верно равенство Пусть $\mu\in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ – решение линейного уравнения $L_{\sigma}^{*}\mu=0$ для некоторой меры $\sigma\in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$. Тогда Доказательство. Верна цепочка равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &C_1(\sigma)\int_{\mathbb{R}^d}h(x)\,\sigma(dx)+C_2(\sigma)= \int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\psi(x)\,\sigma(dx)=0 \\ &\qquad=\int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\psi(x)\,\mu(dx)= C_1(\sigma)\int_{\mathbb{R}^d}h(x)\,\mu(dx)+C_2(\sigma), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которая вместе с условием $C_1\ne 0$ влечет требуемое равенство. Предложение доказано. Пусть $\mathcal{H}$ – множество таких функций $h\in C(\mathbb{R}^d)$, что $\displaystyle\lim_{|x|\to\infty}\dfrac{h(x)}{V(x)}=0$ и равенство
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}\psi(x)=C_1(\mu)h(x)+C_2(\mu), \quad \text{где}\ \ C_1(\mu)\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
верно для некоторой функции $\psi\in I_0^W$ и всех мер $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$. Если
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}h\,d\mu=\int_{\mathbb{R}^d}h\,d\sigma\quad \forall\, h\in\mathcal{H},
\end{equation*}
\notag
$$
то пишем $\mu\big|_{\mathcal{H}}=\sigma\big|_{\mathcal{H}}$. Теорема 5.5. Пусть $\nu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякой меры $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ существует такое число $C_{\mu}>0$, что
$$
\begin{equation*}
|a^{ij}(x,\mu)|+|b^i(x,\mu)|\leqslant C_{\mu}W(x) \quad \forall\, x\in\mathbb{R}^d{\rm;}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) для всякого шара $B$ и всякого $\alpha>0$ функции $a^{ij}(\,\cdot\,,\mu)$ и $b^i(\,\cdot\,,\mu)$ на $B$ равномерно ограничены и непрерывны на $B$ равностепенно по $\mu\in \mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ с $\mu\big|_{\mathcal{H}}=\nu\big|_{\mathcal{H}}$; (iii) если меры $\mu_n\in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ сходятся $V$-слабо к мере $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}b^i(x,\mu_n)=b^i(x,\mu), \quad \lim_{n\to\infty}a^{ij}(x,\mu_n)=a^{ij}(x,\mu) \quad \forall\, x;
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) есть такие числа $\delta\in [0,1]$, $\Lambda>0$, $C>0$, что
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}V(x)\leqslant (1-\delta)C+ \Lambda\biggl(\delta\int_{\mathbb{R}^d}V\,d\mu-V(x)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\in\mathbb{R}^d$ и всех $\mu\in\mathcal{P}_{V}(\mathbb{R}^d)$ с $\mu\big|_{\mathcal{H}}=\nu\big|_{\mathcal{H}}$. Тогда существует такое решение $\mu$ уравнения $L_{\mu}^{*}\mu=0$, что $\mu\big|_{\mathcal{H}}=\nu\big|_{\mathcal{H}}$. Доказательство. Обоснование аналогично рассуждениям из доказательства теоремы 5.1. Заметим только, что надо рассматривать лишь такие меры $\mu\in \mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$, что $\mu\big|_{\mathcal{H}}=\nu\big|_{\mathcal{H}}$, и выбирать $\alpha$, которые больше $C/\Lambda$ и $\|V\|_{L^1(V)}$. Кроме того, если меры $\mu_n\in \mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ сходятся $V$-слабо к $\mu\in\mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$, причем $\mu_n\big|_{\mathcal{H}}=\nu\big|_{\mathcal{H}}$, то $\mu\big|_{\mathcal{H}}=\nu\big|_{\mathcal{H}}$. Теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров. Пример 5.6. Пусть $d=1$ и Пример 5.7. Пусть $d\geqslant 1$, $A={\rm I}$ и В случае, когда матрица $A$ невырождена, решение имеет плотность относительно меры Лебега. Более того, если для матрицы $A$ справедливо условие Дини в среднем, то плотность имеет непрерывную положительную версию (см. [32], [55], [57]). Эти наблюдения позволяют в случае невырожденной и достаточно регулярной матрицы $A$ построить решения при более слабых ограничениях на коэффициент сноса и на зависимость коэффициентов от решений. Через $\mathcal{CL}_V(\mathbb{R}^d)$ обозначим множество таких непрерывных функций $\varrho$, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(1+V(x)\bigr)|\varrho(x)|\,dx<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $W\in C(\mathbb{R}^d)$, $W>0$ и $\lim_{|x|\to\infty} W(x)/V(x)=0$. Нам понадобится весовая $L^1$-норма
$$
\begin{equation*}
\|\varrho\|_{W}=\int_{\mathbb{R}^d}W(x)|\varrho(x)|\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathcal{CP}_V(\mathbb{R}^d)$ обозначим подмножество $\mathcal{CL}_V(\mathbb{R}^d)$, состоящее из вероятностных плотностей. Через $\mathcal{CP}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$ обозначим подмножество $\mathcal{CP}_V(\mathbb{R}^d)$, состоящее из плотностей $\varrho$, для которых верна оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\varrho(x)\,dx\leqslant\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что измеримая функция $f$ удовлетворяет на шаре $B$ условию Дини в среднем с модулем непрерывности $w_B$, если существует такая непрерывная возрастающая функция $w_B$ на $[0,+\infty)$, что $w_B(0)=0$, верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\sup_{x\in B}\frac{1}{|B\cap B(x, r)|}\int_{B\cap B(x, r)}|f(y)-f_{B, r}(x)|\,dy\leqslant w_B(r),
\end{equation*}
\notag
$$
где $|B|$ – объем множества $B$ и
$$
\begin{equation*}
\quad f_{B,r}(x)=\frac{1}{|B\cap B(x,r)|}\int_{B\cap B(x,r)}f(y)\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
и выполнено условие Известно, что $f$ имеет непрерывную версию (см. [73]), с ней далее мы и будем иметь дело. Предположим, что для каждой функции $\varrho\in\mathcal{CP}_V(\mathbb{R}^d)$ и всех $i,j\leqslant d$ на $\mathbb{R}^d$ определены борелевские функции $a^{ij}(\,\cdot\,,\varrho)$, $b^i(\,\cdot\,,\varrho)$, причем матрицы $A(x,\varrho)=\bigl(a^{ij}(x,\varrho)\bigr)_{i,j\leqslant d}$ симметричны и неотрицательно определены. Положим
$$
\begin{equation*}
L_{\varrho}\varphi(x)=\sum_{i,j\leqslant d} a^{ij}(x,\varrho)\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi(x)+ \sum_{i\leqslant d} b^i(x,\varrho)\partial_{x_i}\varphi(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\varrho\in\mathcal{CP}_V(\mathbb{R}^d)$ является решением нелинейного стационарного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова если мера $\mu=\varrho\,dx$ является решением линейного уравнения с оператором $L_{\varrho}$. Теорема 5.8. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякого шара $B$ и всякого $\alpha>0$ найдутся такие число $\lambda_{B,\alpha}>0$ и функция $w_{B,\alpha}$, что для всех $\varrho\in\mathcal{CP}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ функции $a^{ij}(\,\cdot\,,\varrho)$ непрерывны на $B$, удовлетворяют на $B$ условию Дини в среднем с модулем непрерывности $w_{B,\alpha}$ и для всех $x\in B$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\lambda_{B,\alpha}\cdot {\rm I}\leqslant A(x,\varrho)\leqslant \lambda_{B,\alpha}\cdot {\rm I};
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) для всякого шара $B$ и всякого $\alpha>0$ найдутся такие числа $N(B,\alpha)>0$ и $p(B,\alpha)>d$, что
$$
\begin{equation*}
\|b(\,\cdot\,,\varrho)\|_{L^{p(B,\alpha)}(B)}\leqslant N(B,\alpha)\quad \forall\, \varrho\in\mathcal{CP}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d);
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) если функции $\varrho_n\in \mathcal{CP}_V(\mathbb{R}^d)$ сходятся к $\varrho\in \mathcal{CP}_V(\mathbb{R}^d)$ локально равномерно и $\|\varrho_n-\varrho\|_{W}\to 0$, то функции $a^{ij}(\,\cdot\,, \varrho_n)$ поточечно сходятся к функции $a^{ij}(\,\cdot\,, \varrho_n)$, а функции $b^i(\,\cdot\,, \varrho_n)$ сходятся к функции $b^i(\,\cdot\,,\varrho)$ в $L^1(B)$ для всякого шара $B$; (iv) есть такие числа $\delta\in [0,1]$, $\Lambda>0$, $C>0$, что
$$
\begin{equation*}
L_{\varrho}V(x)\leqslant (1-\delta)C+ \Lambda\biggl(\delta\int_{\mathbb{R}^d}V\,d\mu-V(x)\biggr)\quad \forall\, x\in\mathbb{R}^d, \ \varrho\in\mathcal{CP}_{V}(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует единственное решение уравнения $L_{\varrho}^{*}\varrho=0$, причем это решение является непрерывной положительной функцией. Доказательство. Пусть $\alpha>0$ и $\sigma\in\mathcal{CP}_{V}(\mathbb{R}^d)$. Согласно [29; теорема 4.2 и теорема 4.7] существует единственное решение $\varrho$ уравнения $L_{\sigma}^{*}\varrho=0$. Кроме того, в силу [29; теорема 3.5] для каждого шара $B$ существуют такие не зависящие от $\sigma$ число $C(B,\alpha)$ и модуль непрерывности $\omega_{B,\alpha}$ (непрерывная строго возрастающая функция на $[0,+\infty)$, равная нулю в нуле), что
$$
\begin{equation*}
|\varrho(x)-\varrho(y)|\leqslant\omega_{B, \alpha}(|x-y|), \qquad \sup_{B}\varrho\leqslant C(B,\alpha)\inf_{B}\varrho.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что Рассмотрим множество $X_{\alpha}$, состоящее из таких функций $\varrho\in\mathcal{CP}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$, что для всякого шара при $x,y\in B$ имеем Множество $X_{\alpha}$ для достаточно больших $\alpha$ непусто. Из всякой последовательности $\varrho_n\in X_{\alpha}$ можно выбрать такую подпоследовательность $\varrho_{n_j}$, что она сходится равномерно на всяком шаре к некоторой неотрицательной непрерывной функции $\varrho$, мера $\varrho\,dx$ является вероятностной, причем меры $\varrho_{n_j}\,dx$ сходятся $V$-слабо к мере $\varrho\,dx$. Следовательно, $\|\varrho_{n_j}-\varrho\|_W\to 0$. Таким образом, множество $X_{\alpha}$ является выпуклым компактом в $\mathcal{CL}_V(\mathbb{R}^d)$ по метрике, порожденной нормой $\|\cdot\|_W$.
Зафиксируем такое число $\alpha>0$, что множество $X_{\alpha}$ непусто и $\alpha>C/\Lambda$. Для каждой функции $\sigma\in X_{\alpha}$ через $\Phi(\sigma)$ обозначим единственное решение $\varrho$ уравнения $L^{*}_{\sigma}\varrho=0$. Проверим непрерывность отображения $\Phi$. Пусть $\sigma_n\in X_{\alpha}$, $\varrho_n=\Phi(\sigma_n)$ и $\sigma\in X_{\alpha}$, причем $\|\sigma-\sigma_n\|_W\to 0$. Во всякой подпоследовательности $\{\varrho_{n_k}\}$ есть дальнейшая подпоследовательность $\{\varrho_{n_{k_j}}\}$, которая сходится локально равномерно и по норме $\|\cdot\|_W$ к $\varrho\in X_{\alpha}$. Более того, можно считать, что $\{\sigma_{n_{j_k}}\}$ сходится локально равномерно к $\sigma$. Проверим, что $\varrho=\Phi(\sigma)$. Из этого будет следовать, что вся исходная последовательность $\{\varrho_n\}$ сходится к $\varrho$. Для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\bigl[\operatorname{trace}\bigl(A(x,\sigma_{n_{j_k}}) D^2\varphi(x)\bigr)+\langle b(x,\sigma_{n_{j_k}}), \nabla\varphi(x)\rangle\bigr]\,\varrho_{n_{j_k}}(x)\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $B$ – шар, содержащий носитель $\varphi$. Заметим, что последовательность функций $a^{ij}(\,\cdot\,,\sigma_{n_{j_k}})$ равномерно на $B$ сходится к $a^{ij}(\,\cdot\,, \sigma)$, а функции $\varrho_{n_{j_k}}$ сходятся к $\varrho$ в $L^1(B)$. Следовательно, верно равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}\operatorname{trace} \bigl(A(x, \sigma_{n_{j_k}})D^2\varphi(x)\bigr)\varrho_{n_{j_k}}(x)= \int_{\mathbb{R}^d}\operatorname{trace}\bigl(A(x,\sigma)D^2\varphi(x)\bigr) \varrho(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функции $b^{i}(\,\cdot\,,\sigma_{n_{j_k}})$ сходятся к $b^i(\,\cdot\,,\sigma)$ в $L^1(B)$, а последовательность $\{\varrho_{n_{j_k}}\}$ равномерно ограничена на $B$ и сходится равномерно на $B$ к $\varrho$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}\bigl\langle b(x,\sigma_{n_{j_k}}), \nabla\varphi(x)\bigr\rangle\varrho_{n_{j_k}}(x)=\int_{\mathbb{R}^d} \langle b(x,\sigma),\nabla\varphi(x)\rangle\varrho(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, переходя к пределу, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\bigl[\operatorname{trace} \bigl(A(x,\sigma)D^2\varphi(x)\bigr)+\langle b(x,\sigma), \nabla\varphi(x)\rangle\bigr]\,\varrho(x)\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\varrho=\Phi(\sigma)$. Поскольку отображение $\Phi$ из $X_{\alpha}$ в $X_{\alpha}$ непрерывно и $X_{\alpha}$ – выпуклый компакт по норме $\|\cdot\|_W$, то по теореме Шаудера (см. [34; теорема 1.12.8]) найдется такое $\varrho\in X_{\alpha}$, что $\varrho=\Phi(\varrho)$. Рассмотрим пример, показывающий, что в условиях теоремы 5.8 нельзя ожидать единственности решения. Пример 5.9. Пусть $d=1$ и Ключевую роль в получении достаточных условий единственности играют оценки расстояний между решениями. Приведем пример достаточных условий единственности, получаемых таким образом. Теорема 5.10. Пусть $A(x,\mu)=\mathrm{I}$ и $V(x)=|x|^2$. Пусть для всякой меры $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ определена функция $b(\,\cdot\,,\mu)$, ограниченная на каждом шаре и удовлетворяющая условию Тогда $\mu=\sigma$. В частности, если $\kappa(\mu)=\kappa$ не зависит от $\mu$ и $Q(x)=Q$ не зависит от $x$, то при $Q<\kappa$ уравнение $L_{\mu}^{*}\mu=0$ имеет не более одного решения. Доказательство. Из примера 4.3 получаем оценку Следовательно, $W_2(\mu,\sigma)\leqslant \kappa(\mu)^{-1}\|Q\|_{L^2(\sigma)}W_2(\mu,\sigma)$. Если $\|Q\|_{L^2(\sigma)}<\kappa(\mu)$, то $W_2(\mu,\sigma)=0$. Теорема доказана. Рассмотрим пример, показывающий точность условий теоремы 5.10. Пример 5.11. Пусть $d=1$, $\varepsilon>0$ и Заметим, что Известно (см. [15; § 3.2]), что найдется вероятностная мера $\pi$, для которой Тогда Таким образом, условия теоремы выполнены с $\kappa=1$ и $Q=\varepsilon$. Если $\varepsilon<1$, то решение единственно. Несложно проверить, что при $\varepsilon=1$ решением является всякая мера $\mu$, заданная плотностью $(2\pi)^{-1/2}e^{-(x-a)^2/2}$, $a\in\mathbb{R}$. Обратим внимание, что условие $Q<\kappa$ из теоремы 5.10 и условие
$$
\begin{equation*}
L_\mu V(x)\leqslant C(1-\delta)+ \Lambda\biggl(\delta\int_{\mathbb{R}}V\,d\mu-V(x)\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
из теорем существования означают определенную малость нелинейной по $\mu$ части коэффициентов. Это же видно из примеров, разобранных выше. Если рассматривать нелинейное уравнение как возмущение линейного уравнения, то естественно ожидать, что при малых возмущениях остаются в силе теоремы существования и единственности, справедливые для линейного уравнения. Приведем следующий результат из работы [28]. Через $\mathcal{P}_k^a(\mathbb{R}^d)$ обозначим подмножество в $L^1(\mathbb{R}^d)$, состоящее из таких неотрицательных почти всюду функций $\varrho$, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\varrho(x)\,dx=1, \qquad \int_{\mathbb{R}^d}|x|^k\varrho(x)\,dx<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что для всякой функции $\varrho\in\mathcal{P}_k^a(\mathbb{R}^d)$ (как обычно, подразумевается не одна функция, а класс эквивалентности по отношению равенства почти всюду) и всякого $\varepsilon\in[0,1]$ заданы борелевские функции $a^{ij}_{\varepsilon}(\,\cdot\,,\varrho)$, $b^i_{\varepsilon}(\,\cdot\,,\varrho)$. Соответствующий оператор обозначим через $L_{\varrho,\varepsilon}$. Для всех таких функций $f$, что $(1+|x|^k)|f|\in L^1(\mathbb{R}^d)$, положим Теорема 5.12. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) матрицы $A_{\varepsilon}(x, \varrho)= \bigl(a^{ij}_{\varepsilon}(x, \varrho)\bigr)_{i,j\leqslant d}$ симметричны, неотрицательно определены и существуют такие числа $\lambda>0$ и $\theta>0$, что для всех $\varrho\in\mathcal{P}_k^a(\mathbb{R}^d)$ и $\varepsilon\in[0,1]$ верны оценки
$$
\begin{equation*}
|A_{\varepsilon}(x, \varrho)-A(y, \varrho)|\leqslant\lambda|x-y|, \qquad \theta\cdot {\rm I}\leqslant A_{\varepsilon}(x, \varrho)\leqslant \theta^{-1}\cdot {\rm I};
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) существуют такие числа $\beta_0>0$, $\beta_1>0$, $\beta_2>0$, $\beta_3>0$ и $m\geqslant 0$, что для всех $\varrho\in\mathcal{P}_k^a(\mathbb{R}^d)$ и $\varepsilon\in[0,1]$ верны оценки
$$
\begin{equation*}
|b_{\varepsilon}(x, \varrho)|\leqslant\beta_0(1+|x|)^m\|\varrho\|_k, \qquad \langle b_{\varepsilon}(x, \varrho), x\rangle\leqslant \beta_1-\beta_2|x|^{2k}+\varepsilon\beta_3\|\varrho\|_k^2;
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) существует такое число $N>0$, что для всех $\varrho,\sigma\in \mathcal{P}_k^a(\mathbb{R}^d)$ и $\varepsilon\in[0,1]$ оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|A_{\varepsilon}(x,\varrho)-A_{\varepsilon}(x,\sigma)\|\leqslant \varepsilon N\|\varrho-\sigma\|_k, \\ |\partial_{x_j}a_{\varepsilon}^{ij}(x, \varrho)- \partial_{x_j}a_{\varepsilon}^{ij}(x, \sigma)|+ |b_{\varepsilon}(x,\varrho)-b_{\varepsilon}(x,\sigma)|\leqslant \varepsilon N(1+|x|)^m\|\varrho-\sigma\|_k \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнены для почти всех $x$. Тогда найдется такое число $\varepsilon_0\in (0, 1]$, что для каждого $\varepsilon\in[0, \varepsilon_0]$ решение $\varrho_{\varepsilon}\in\mathcal{P}_k^a(\mathbb{R}^d)$ уравнения $L_{\varrho, \varepsilon}^{*}\varrho=0$ существует и единственно. Доказательство существенно использует оценки расстояний между решениями и априорные оценки логарифмического градиента решения. Рассмотрим пример, когда выполнены условия теоремы 5.12. Пример 5.13. Пусть Параметр $\varepsilon$ в условиях теоремы 5.12 отвечает за величину нелинейной части. При $\varepsilon=0$ из условия (iii) следует, что коэффициенты не зависят от $\varrho$ и уравнение является линейным. Соответственно при близких к нулю значениях параметра $\varepsilon$ нелинейное уравнение мало отличается от линейного и наследует верные для него теоремы существования и единственности. Рассмотрим часто встречающийся вид зависимости коэффициентов от параметра, когда
$$
\begin{equation*}
a^{ij}_{\varepsilon}(x,\varrho)=a^{ij}(x,\varepsilon\varrho), \qquad b^i_{\varepsilon}(x,\varrho)=b^i(x,\varepsilon\varrho).
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что при некотором $\varepsilon>0$ существует вероятностное решение $\varrho_{\varepsilon}$ нелинейного уравнения с коэффициентами $a^{ij}_{\varepsilon}(x,\varrho)$ и $b^i_{\varepsilon}(x,\varrho)$. Тогда $\sigma=\varepsilon\varrho_{\varepsilon}$ является решением уравнения с не зависящими от $\varepsilon$ коэффициентами $a^{ij}(x,\varrho)$ и $b^i(x,\varrho)$. Однако $\sigma$ не является вероятностной плотностью, а интеграл от $\sigma$ равен $\varepsilon$. Таким образом, можно вместо задачи о построении вероятностного решения при малом значении параметра $\varepsilon$ решать задачу о построении неотрицательного решения с равным $\varepsilon$ интегралом. В некоторых физических задачах именно такая постановка является естественной, например, так обстоит дело при решении уравнений Бозе–Эйнштейна. Выше обсуждались условия на коэффициенты, допускающие лишь нелокальную зависимость от решений, типичным примером которой является выражение вида Однако многие популярные физические, биологические и экономические модели (см. [48], [65], [109]) приводят к уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова с локальной нелинейностью, когда коэффициенты зависят от значения решения в точке.Приведем результат из работы [33] о существовании и единственности неотрицательного решения с заданным значением интеграла для нелинейного уравнения, допускающего локальную и нелокальную нелинейность. Для фиксированного $k\geqslant 1$ обозначим через $\mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$ множество неотрицательных непрерывных функций $\varrho$, удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(1+|x|^k\bigr)\varrho(x)\,dx<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что матрицы $A(x)=(a^{ij}(x))_{i,j\leqslant d}$ симметричны и существует такая константа $\theta>0$, что
$$
\begin{equation*}
\theta^{-1}\cdot {\rm I}\leqslant A(x)\leqslant \theta\cdot {\rm I}, \quad \|A(x)-A(y)\|\leqslant \theta|x-y| \quad \forall\,x, y\in\mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть дано такое отображение
$$
\begin{equation*}
b\colon \mathbb{R}^d \times [0, +\infty)\times \mathcal{CL}_{k}^{+}(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{R}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
что для каждого $g\in \mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$ отображение $(x,u)\mapsto b(x,u,g)$ измеримо по Борелю и ограничено на множествах
$$
\begin{equation*}
Q_R=\{(x,u)\colon |x|\leqslant R, \, 0\leqslant u\leqslant R\}, \qquad R>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже требуется еще липшицевость по $g$, что влечет борелевость по совокупности переменных. Положим
$$
\begin{equation*}
L_{g}\varphi(x)=\sum_{i,j\leqslant d}a^{ij}(x)\partial_{x_i}\partial_{x_j} \varphi(x)+\sum_{i\leqslant d}b^i(x,g(x),g)\partial_{x_i}\varphi(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Как и ранее, функция $\varrho \in \mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$ называется решением нелинейного уравнения $L^{*}_{\varrho}\varrho=0$, если $\varrho$ является решением линейного уравнения с оператором $L_{\varrho}$. Для функций $g$ из линейной оболочки $\mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$ положим
$$
\begin{equation*}
\|g\|_k=\int_{\mathbb{R}^d}\bigl(1+|x|^k\bigr)|g(x)|\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
а для ограниченных функций положим $\|g\|_{\infty}=\sup_{x\in\mathbb{R}^d}|g(x)|$. Пусть $m\geqslant 1$. Теорема 5.14. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) существует число $\beta_0>0$, с которым верна оценка (ii) существуют такие числа $\beta_1>0$, $\beta_2>0$ и $r_0>0$, что для всякой функции $g\in \mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$ c $\|g\|_k\leqslant r_0$ и всех $x\in\mathbb{R}^d$, $u\in [0,r_0]$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\langle x, b(x, u, g)\rangle \leqslant \beta_1-\beta_2|x|^2;
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) для всякого $r>0$ существует такое число $C_r>0$, что неравенство
$$
\begin{equation*}
|b(x, u, g)-b(x, v, h)|\leqslant C_r(1+|x|^m)\bigl(|u-v|+\|g-h\|_{k}\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
верно для всех $x\in\mathbb{R}^d$, $u,v\in[0,r]$ и всех $g, h\in \mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$ таких, что $\|g\|_k\leqslant r$ и $\|h\|_k\leqslant r$. Тогда существует такое число $M_0>0$, что для всякого $M \in (0, M_0)$ стационарное уравнение $L^{*}_{\varrho}\varrho=0$ имеет единственное решение $\varrho\in \mathcal{CL}_k^{+}(\mathbb{R}^d)$, удовлетворяющее условиям Более того, решение $\varrho$ на всяком компакте непрерывно по Гёльдеру.Рассмотрим пример, когда выполнены условия теоремы 5.14. Пример 5.15. Условия (i)–(iii) теоремы 5.14 с $k=m=1$ выполнены для где $\nu>0$, $\kappa>0$ и $|b(x)|+|K(x, y)|\leqslant c_1+c_2|x|+c_3|y|$. Следующий пример показывает, что ожидать существования решения при всех $M>0$ в общем случае нельзя. Пример 5.16. Рассмотрим стационарное уравнение Бозе–Эйнштейна В размерности $d\geqslant 3$ интеграл конечен, следовательно, нет стационарного решения с интегралом по $\mathbb{R}^d$ большим, чем $M_1$. В одномерном и двумерном случаях данный интеграл расходится, поэтому для всякого $M>0$ есть положительное решение с интегралом, равным $M$.В работах [39], [49] и [47] в одномерном и двумерном случаях доказано, что для всякого $M>0$ существует такое глобальное по времени решение $\varrho$ задачи Коши для уравнения
$$
\begin{equation}
\partial_t\varrho=\Delta\varrho+ \operatorname{div}\bigl(x\varrho(1+\varrho)\bigr),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
что интеграл функции $x\mapsto \varrho(x,t)$ по $\mathbb{R}^d$ при каждом $t$ равен $M$, и обоснована сходимость этого решения при $t\to+\infty$ к стационарному решению с интегралом, равным $M$. В работе [111] получены достаточные условия несуществования глобального по времени решения в трехмерном случае. Наконец, в работах [46], [69] в многомерном случае рассматривается аппроксимация уравнения (5.1) более регулярными уравнениями и обосновывается сходимость решений к кривой в пространстве мер, которая является суммой дельта-меры в нуле и меры, заданной плотностью относительно меры Лебега, причем вне нуля эта плотность удовлетворяет уравнению (5.1). 6. Нелинейные параболические уравненияНелинейные параболические уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова, как и нелинейные эллиптические уравнения, отличаются от линейных зависимостью коэффициентов от решений. Характер зависимости коэффициентов определяется прикладной задачей, приводящей к уравнению. Важным частным случаем нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова являются знаменитые уравнения Власова, которые появляются, например, при описании большого числа взаимодействующих частиц. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation*}
\dot{x}^i_t=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NK(x^i_t, x^j_t), \qquad x^i_t\in\mathbb{R}^d,\quad 1\leqslant i\leqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Распределение точек $x^1_t,\dots,x^N_t$ в $\mathbb{R}^d$ можно описать с помощью меры
$$
\begin{equation*}
\mu^N_t=\frac{1}{N}(\delta_{x_t^1}+\cdots+\delta_{x_t^N}).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ верны равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{d}{dt}\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\, d\mu_t^N&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \biggl\langle\nabla\varphi(x^i_t),\frac{1}{N} \sum_{j=1}^NK(x^i_t, x^j_t)\biggr\rangle \\ &=\int_{\mathbb{R}^d}\langle\nabla\varphi(x),b(x,\mu_t^N)\rangle\,\mu_t^N(dx), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
b(x, \sigma)=\int_{\mathbb{R}^d}K(x, y)\, \sigma(dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мера $\mu^N=\mu_t^N(dx)\,dt$ является решением уравнения Власова
$$
\begin{equation*}
\partial_t\mu_t=-\operatorname{div}\bigl(b(x,\mu_t)\mu_t\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
При широких условиях на функцию $K$ можно показать (см. знаменитую работу Р. Л. Добрушина [54]), что если начальные распределения $\mu_0^N$ слабо сходятся к некоторой мере $\nu$, то решения $\mu^N$ слабо сходятся к решению $\mu$ задачи Коши для того же уравнения Власова с начальным условием $\nu$. Отметим, что в [54] была впервые применена метрика Канторовича–Рубинштейна для доказательства разрешимости нелинейного уравнения Власова с помощью теоремы о сжимающем отображении. В этой работе коэффициент сноса имел вид где $a$ и $B$ имеют ограниченные непрерывные производные первого порядка, причем $B$ тоже ограничено. Рассмотрим теперь систему стохастических уравнений
$$
\begin{equation*}
dx^i_t=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NK(x^i_t,x^j_t)\,dt+\sqrt{2}\,dw_t^i, \qquad 1\leqslant i\leqslant N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_t^i$ – независимые $d$-мерные винеровские процессы. Предположим, что случайные величины $x^1_0,\dots,x^N_0$ независимы и имеют распределение $\nu$. При широких условиях на $K$ для каждого $t$ последовательность эмпирических мер $\mu_t^N=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^N\delta_{x^i_t(\omega)}$ сходится по вероятности при $N\to\infty$ к вероятностной (неслучайной) мере $\mu_t$, причем мера $\mu=\mu_t\,dt$ является решением задачи Коши для нелинейного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова
$$
\begin{equation*}
\partial_t\mu_t=\Delta\mu_t- \operatorname{div}\bigl(b(x,\mu_t)\mu_t\bigr),\qquad b(x,\mu_t)=\int_{\mathbb{R}^d}K(x,y)\, \mu_t(dy),
\end{equation*}
\notag
$$
с начальным условием $\mu_0=\nu$. Более того, при $N\to\infty$ процессы $x_t^1,\dots,x_t^N$ приближаются к $N$ независимым процессам $y_t^1,\dots,y_t^N$, которые удовлетворяют стохастическим уравнениям Маккина–Власова где $w_t^i$ – независимые $d$-мерные винеровские процессы, $\mu_t$ – распределение случайной величины $y_t^i$, случайные величины $y_0^i$ независимы и имеют распределение $\nu$. Это явление называют “распространением хаоса” (см. [77], [93], [94]). Таким образом, типичный пример зависимости коэффициентов от решения, как уже отмечалось в эллиптическом случае, доставляет выражение Важнейшими вопросами теории нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова являются существование и единственность решений задачи Коши, их сходимость к стационарному решению при $t\to+\infty$. Далее речь пойдет о решениях в классах вероятностных или неотрицательных мер, однако уравнения со знакопеременными мерами также представляют значительный интерес.Перейдем к точным формулировкам и примерам. Пусть $T>0$, а функция $V\in C^2(\mathbb{R}^d)$ такова, что
$$
\begin{equation*}
V\geqslant 0, \qquad \lim_{|x|\to\infty}V(x)=+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для всякого $\tau\in(0,T]$ через $\mathcal{M}_{\tau}(V)$ обозначим множество конечных неотрицательных борелевских мер $\mu$ на $\mathbb{R}^d\times [0,\tau]$ вида $\mu=\mu_t\, dt$, где $\mu_t\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$, для которых отображение $t\mapsto \mu_t$ непрерывно в слабой топологии и
$$
\begin{equation*}
\sup_{t\in[0,\tau]}\int_{\mathbb{R}^d} V\, d\mu_t <\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем говорить, что последовательность мер $\mu^n=\mu^n_t\,dt$ из $\mathcal{M}_{\tau}(V)$ сходится $V$-слабо к мере $\mu=\mu_t\,dt$ из $\mathcal{M}_{\tau}(V)$, если для всех $t\in [0,\tau]$ последовательность мер $\mu_t^n$ сходится $V$-слабо к $\mu$. Пусть $C^{+}[0,\tau]$ – множество неотрицательных непрерывных функций на отрезке $[0,\tau]$. Для $\tau\in(0,T]$ и функции $\alpha\in C^{+}[0,\tau]$ через $M_{\tau,\alpha}(V)$ обозначим множество таких мер $\mu=\mu_t\,dt\in \mathcal{M}_{\tau}(V)$, что для всех $t\in[0,\tau]$ верно неравенство Как было отмечено в эллиптическом случае, если меры $\mu_n=\mu^n_t\, dt\in M_{\tau,\alpha}(V)$ таковы, что при каждом $t$ меры $\mu_t^n$ слабо сходятся к мерам $\mu_t$ и $\mu=\mu_t\, dt$, то имеет место $V$-сходимость мер $\mu_n$ к $\mu$.Далее предполагаем, что мера $\mu=\mu_t\,dt\in \mathcal{M}_{\tau}(V)$ доопределена на $[0,T]\times\mathbb{R}^d$ равенством $\mu_t=\mu_{\tau}$ при $t>\tau$. Если $\mu=\mu_t\,dt\in \mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$, то после доопределения новая мера $\widetilde{\mu}$ входит в $\mathcal{M}_{\tau,\widetilde{\alpha}}(V)$, где $\widetilde{\alpha}(t)=\alpha(t)$ при $t\in[0,\tau]$ и $\widetilde{\alpha}(t)=\alpha(\tau)$ при $t>\tau$. Если последовательность мер $\mu^n$ из $\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$ сходится $V$-слабо к мере $\mu\in\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$, то после доопределения последовательность мер $\widetilde{\mu}^n$ сходится $V$-слабо к мере $\widetilde{\mu}$. Аналогичным образом определяются классы $\mathcal{SM}_{\tau}(V)$ и $\mathcal{SM}_{\tau,\alpha}(V)$, состоящие из мер $\mu=\mu_t\,dt$, где $\mu_t$ – субвероятностные меры на $\mathbb{R}^d$. Предположим, что для всех $\mu\in\mathcal{M}_{T}(V)$ на $\mathbb{R}^d\times[0,T]$ и для всех $i, j\leqslant d$ заданы борелевские функции $a^{ij}(\,\cdot\,{,}\,\cdot\, ,\mu)$, $b^{i}(\,\cdot\, {,} \,\cdot\,, \mu)$, причем матрица $A(x,t,\mu)=(a^{ij}(x,t,\mu))_{i,j\leqslant d}$ симметрична и неотрицательно определена. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, L_{\mu}\varphi(x,t)=\operatorname{trace}(A(x,t,\mu)D^2\varphi(x))+ \langle b(x,t,\mu),\nabla\varphi(x)\rangle, \\ b(x,t,\mu)=(b^i(x,t,\mu))_{i\leqslant d}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\nu\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$. Мера $\mu=\mu_t\, dt\in\mathcal{M}_{\tau}(V)$ на $\mathbb{R}^d\times[0,\tau]$ является решением задачи Коши для нелинейного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова если $\mu$ является решением задачи Коши для линейного уравнения с оператором $L_{\mu}$. Как и в линейном случае, для меры $\mu=\mu_t\, dt$ такая запись идентична укороченному выражению Следующая теорема обобщает результаты из [92] (см. также [23; гл. 6]). Ранее аналогичное утверждение для транспортного уравнения было получено в [24]. Теорема 6.1. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякого шара $B\subset\mathbb{R}^d$ и всякой функции $\alpha\in C^{+}[0, T]$ функции $a^{ij}(\,\cdot\,, t, \mu)$ и $b^i(\,\cdot\,, t, \mu)$ равномерно по $\mu\in \mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$ и $t\in[0,T]$ ограничены на $B$ и для почти всех $t\in[0,T]$ равностепенно по $\mu\in \mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$ непрерывны на $B$; (ii) если последовательность мер $\mu^n\in \mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$ сходится $V$-слабо к некоторой мере $\mu\in \mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$, то для почти всякого $t\in[0,T]$ при всех $x\in B$ верны равенства
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}a^{ij}(x, t, \mu^n)=a^{ij}(x, t, \mu), \qquad \lim_{n\to\infty}b^{i}(x, t, \mu^n)=b^{i}(x, t, \mu);
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) даны такие отображения $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$, ставящие функции $\alpha\in C^{+}[0,T]$ в соответствие функции $\Lambda_1[\alpha]$ и $\Lambda_2[\alpha]$ из $C^{+}[0,T]$, что для всех $\alpha\in C^{+}[0,T]$ и всех $\mu\in\mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}V(x, t)\leqslant \Lambda_1[\alpha](t)+\Lambda_2[\alpha](t)V(x) \quad \forall \, x\in\mathbb{R}^d,\ t\in[0, T].
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для всякой вероятностной меры $\nu$ такой, что $V\in L^1(\nu)$, найдется число $\tau$ из $(0,T]$, для которого на $\mathbb{R}^d\times[0,\tau]$ существует мера $\mu=\mu_t\,dt\in\mathcal{M}_{\tau}(V)$, являющаяся решением задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$. Более того, если где $g_1$ и $g_2$ – положительные неубывающие непрерывные функции на $[0,+\infty)$, то в качестве $\tau$ можно взять произвольное число не больше $T$ и меньше $\tau^{*}$, где Доказательство. Пусть $\sigma=\sigma_t\,dt\in\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$. В силу [23; теоремы 6.7.3 и 7.1.1] задача Коши $\partial_t\mu_t=L_{\sigma}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$, имеет решение $\mu=\mu_t\,dt\in\mathcal{M}_{\tau}(V)$, для которого верна оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d} V\,d\mu_t\leqslant Q(t)+R(t)\int_{\mathbb{R}^d} V\, d\nu,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
R(t)=\exp\biggl(\int_0^t\Lambda_2[\alpha](s)\,ds\biggr), \qquad Q(t)=R(t)\int_0^t\frac{\Lambda_1[\alpha](s)}{R(s)}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Когда отображения $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ произвольны, положим и найдем столь малое $\tau\in(0,T]$, что $Q(t)\leqslant 1$ и $R(t)\leqslant 2$ при $t\in[0,\tau]$. Когда $\Lambda_1[\alpha](t)=g_1(\alpha(t))$ и $\Lambda_2[\alpha](t)=g_2(\alpha(t))$, зафиксируем произвольное число $\tau$, удовлетворяющее условиям
$$
\begin{equation*}
0<\tau\leqslant T, \qquad \tau<\int_{u_0}^{+\infty}\frac{du}{g_1(u)+ug_2(u)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
а функцию $\alpha$ найдем, решая на $[0,\tau]$ дифференциальное уравнение
$$
\begin{equation*}
\alpha'=g_1(\alpha)+\alpha g_2(\alpha), \quad \alpha(0)=u_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что интеграл от $V$ по мере $\mu_t$ не превосходит $\alpha(t)$. Выбирая таким образом $\tau$ и $\alpha$, получаем, что мере $\sigma\in\mathcal{M}_{\tau, \alpha}(V)$ соответствует решение $\mu$ из $\mathcal{M}_{\tau, \alpha}(V)$. Пусть $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$. Так как для всех $t,s\in[0,\tau]$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\mu_t-\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\mu_s= \int_s^t\int_{\mathbb{R}^d} L_{\sigma}\varphi(x,\theta)\,d\mu_{\theta}\,d\theta
\end{equation*}
\notag
$$
и по условию (i) коэффициенты оператора $L_{\sigma}$ на носителе $\varphi$ ограничены равномерно по $\sigma\in\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$ и $t\in[0,\tau]$, то
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\mu_t- \int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\mu_s\biggr|\leqslant C(\varphi)|t-s|,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C(\varphi)&=\sup\bigl\{|\operatorname{trace}A(x, t, \sigma)D^2\varphi(x)|+ |\langle b(x, t, \sigma), \nabla\varphi(x)\rangle|\colon \\ &\qquad x\in\mathbb{R}^d,\ t\in[0,\tau],\ \sigma\in\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим множество $\mathcal{K}$, состоящее из мер $\sigma=\sigma_t\,dt\in\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$, для которых
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\sigma_t- \int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\sigma_s\biggr|\leqslant C(\varphi)|t-s|\quad \forall\, \varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d), \ \ t, s\in[0,\tau].
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\mathcal{K}$ выпукло и непусто. Покажем, что оно компактно в пространстве конечных неотрицательных мер на $\mathbb{R}^d\times[0,\tau]$. Пусть $\sigma^n\in\mathcal{K}$. Поскольку $\|V\|_{L^1(\sigma_t^n)}\leqslant\alpha(t)$, то при фиксированном $t$ из $\sigma_t^n$ можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность. С помощью диагональной процедуры выберем такую подпоследовательность $\{n_k\}$, что меры $\sigma_r^{n_k}$ сходятся слабо к некоторой вероятностной мере $\sigma_r$ для всех рациональных $r\in [0,\tau]$. Пусть $t\in [0,T]$ и $\varepsilon>0$. Для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ найдется такое рациональное число $r\in[0,T]$, что $C(\varphi)|t-s|<\varepsilon$. Пусть $N$ таково, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\sigma_r^{n_k}- \int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\sigma_r^{n_m}\biggr|\leqslant \varepsilon \quad \forall\, k, m>N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда Таким образом, для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ последовательность интегралов является фундаментальной. Отсюда следует слабая сходимость последовательности $\{\sigma_t^{n_k}\}$ к некоторой вероятностной мере $\sigma_t$. Заметим, что $\|V\|_{L^1(\sigma_t)}\leqslant\alpha(t)$ и отображение $t\mapsto\sigma_t$ непрерывно, так как Итак, получили меру $\sigma=\sigma_t\,dt\in\mathcal{M}_{\tau, \alpha}(V)$, к которой слабо сходится подпоследовательность $\{\sigma^{n_k}\}$.
Рассмотрим многозначное отображение $\Phi$, которое всякой мере $\sigma\in\mathcal{K}$ ставит в соответствие подмножество $\Phi(\sigma)\subset\mathcal{K}$, состоящее из решений задачи Коши $\partial_t\mu=L_{\sigma}^{*}\mu$, $\mu_0=\nu$. Ясно, что $\Phi(\sigma)$ непусто и выпукло. Проверим замкнутость графика отображения $\Phi$. Пусть меры $\sigma^n\in\mathcal{K}$ сходятся слабо к $\sigma\in\mathcal{K}$, а меры $\mu^n\in\mathcal{K}$ сходятся слабо к $\mu$. Проверим, что $\mu\in\Phi(\sigma)$. Переходя к подпоследовательности $n_k$, можно считать, что для каждого $t$ меры $\sigma^{n_k}_t$ и $\mu^{n_k}_t$ сходятся $V$-слабо к $\sigma_t$ и $\mu_t$ соответственно. Тогда по условиям (i) и (ii) на всяком шаре для почти всех $t$ последовательности функций $a^{ij}(\,\cdot\,, t, \sigma^{n_k})$, $b^i(\,\cdot\, , t, \sigma^{n_k})$ сходятся равномерно к непрерывным функциям $a^{ij}(\,\cdot\,, t, \sigma)$, $b^i(\,\cdot\,, t, \sigma)$. Это замечание и слабая сходимость $\{\mu^{n_k}_t\}$ к $\mu_t$ позволяют для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ обосновать для почти всех $t\in[0,\tau]$ равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma^{n_k}} \varphi(x,t)\,\mu^{n_k}_t(dx)= \int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\varphi(x,t)\,\mu_t(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{k\to\infty}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^d} L_{\sigma^{n_k}}\varphi(x, s)\,\mu^{n_k}_s(dx)\,ds= \int_0^t\int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\varphi(x, s)\,\mu_s(dx)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в равенстве
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\mu_t^{n_k}= \int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\nu^{n_k}+\int_0^t\int_{\mathbb{R}^d} L_{\sigma^{n_k}}\varphi\,d\mu_s^{n_k}\,ds
\end{equation*}
\notag
$$
можно перейти к пределу при $k\to\infty$ и получить равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\mu_t=\int_{\mathbb{R}^d}\varphi\,d\nu+ \int_0^t\int_{\mathbb{R}^d}L_{\sigma}\varphi\,d\mu_s\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мера $\mu=\mu_t\,dt$ входит в $\Phi(\sigma)$. По теореме Какутани–Ки Фаня существует мера $\mu\in\mathcal{K}$, принадлежащая $\Phi(\mu)$, т. е. $\mu$ является решением задачи Коши $\partial_t\mu=L^{*}_{\mu}\mu$, $\mu_0=\nu$. В силу определения множества $\mathcal{K}$ отображение $t\mapsto\mu_t$ непрерывно. Теорема 6.1 доказана. Приведем типичный пример, когда применима теорема 6.1. Пример 6.2. Положим С помощью принципа суперпозиции (см., например, [30]) из существования решения задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова можно вывести существование решения нелинейной мартингальной задачи. Напомним, что принцип суперпозиции для решения $(\mu_t)_{t\in [0,T]}$ задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова с оператором $L$ дает (при широких условиях на $L$) такую борелевскую вероятностную меру $P$ на пространстве траекторий $C([0,T],\mathbb{R}^d)$, что $\mu_t$ есть образ $P\circ e_t^{-1}$ меры $P$ при отображении $e_t(\omega)=\omega(t)$, $t\in [0,T]$, причем для всех $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ процесс
$$
\begin{equation*}
\xi_t(\omega)=\varphi(\omega(t))-\varphi(\omega(0))- \int_0^tL \varphi(\omega(s),s)\,ds
\end{equation*}
\notag
$$
является мартингалом относительно $P$ и фильтрации $\mathcal{F}_t=\sigma\bigl(\omega(s), s\leqslant t\bigr)$. Меру $P$ называют решением мартингальной задачи с оператором $L$. Таким образом, принцип суперпозиции означает представление решения задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова в виде одноточечных распределений решения мартингальной задачи. Теорема 6.3. Пусть для всякой меры $\mu\in\mathcal{M}_T(V)$ найдется такое число $C(\mu)>0$, что Пусть $\tau\in(0,T]$ и $\nu$ – вероятностная мера, причем $V\in L^1(\nu)$. Предположим, что мера $\mu=\mu_t\,dt\in\mathcal{M}_{\tau}(V)$ является решением задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$. Тогда существует такая вероятностная мера $P$ на $C([0,T],\mathbb{R}^d)$, являющаяся решением мартингальной задачи для оператора $L_{\mu}$, что $\mu_t=P\circ e_t^{-1}$. Доказательство. Заметим, что функции $\|A(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,,\mu)\|$ и $|b(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,,\mu)|$ интегрируемы по мере $\mu$ на $\mathbb{R}^d\times[0,\tau]$, и применим принцип суперпозиции для линейного уравнения с оператором $L_{\mu}$, что возможно при указанных в теореме условиях (см. [30]). Существование и единственность решений нелинейной мартингальной задачи и соответствующего стохастического уравнения исследовались в работах [64], [95], [96]. Рассмотрим теперь пример, когда не на всяком отрезке $[0,\tau]$ существует решение. Пример 6.4. Пусть $d=1$, $a(x,t,\mu)=0$ и Условия теоремы 6.1 выполнены с функцией $V(x)=|x|^2$, так как Приведем достаточные условия отсутствия глобального решения. Вопросам “взрыва” (“blow-up”) решений уравнений рассматриваемого вида посвящена обширная литература; см. [97], [98], [14], [43], [85]. Следующий результат получен в работе [92]. Теорема 6.5. Пусть выполнены условия (i) и (ii) теоремы 6.1 и непрерывная возрастающая функция $G>0$ на $[0,+\infty)$ такова, что Пусть также $|\sqrt{A(x,t,\mu)}\,\nabla V(x)|^2\leqslant C_1+C_2V(x)$ для некоторых констант $C_1>0$ и $C_2>0$. Предположим, что $u_{0}=\|V\|_{L^1(\nu)}>0$, причем в ситуации (a) на $[u_0,+\infty)$ интегрируема функция $1/(uG(u))$ и ее интеграл равен $\tau_1<T$, а в ситуации (b) на $[u_0,+\infty)$ интегрируема функция $1/G(u)$ и ее интеграл равен $\tau_1<T$. Тогда задача Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$, на отрезке $[0,\tau]$ c $\tau\geqslant \tau_1$ не имеет решения из $\mathcal{M}_T(V)$. В работе [68] рассматривались интегральные условия с функцией Ляпунова. Приведем в качестве примера следующее утверждение, аналогичное результату из [68] для стохастического уравнения, доказанному при дополнительных ограничениях на рост коэффициентов, но для более общих функций Ляпунова. Результат для стохастического уравнения влечет разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова (но обратное можно получить из принципа суперпозиции). Пусть $a^{ij}(x,t,\mu)$ и $b^i(x,t,\mu)$ определены для $\mu\in\mathcal{SM}_T(V)$. Теорема 6.6. Предположим, что выполнены условия (i) и (ii) теоремы 6.1, но с заменой классов $\mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$ на $\mathcal{SM}_{T,\alpha}(V)$. Пусть существуют такие положительные числа $C_1$ и $C_2$, что для всех мер $\mu\in\mathcal{SM}_{T,\alpha}(V)$, имеющих на $\mathbb{R}^d\times[0,T]$ компактный носитель, верна оценка Тогда для всякой вероятностной меры $\nu$, для которой $V\in L^1(\nu)$, существует решение $\mu=\mu_t\,dt\in\mathcal{M}_T(V)$ задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$. Доказательство. Пусть $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$, $0\leqslant\varphi\leqslant 1$ и $\varphi(x)=1$ при $|x|<1$, $\nu^n$ – вероятностная мера с носителем в шаре $|x|<n$, меры $\nu^n$ слабо сходятся к $\nu$, причем величины $\|V\|_{L^1(\nu^n)}$ равномерно ограничены числом $C_{\nu}$. Положим $\varphi_n(x)=\varphi(x/n)$ и $L_{\mu,n}=\varphi_nL_{\varphi_n\mu}$. По теореме 6.1 существует решение $\mu^n\in\mathcal{M}_T(V)$ задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu,n}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu^n$. Заметим, что $\varphi_n\mu^n \in \mathcal{SM}_{T,\alpha}(V)$ и потому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\mathbb{R}^d}L_{\mu^n,n}V(x,t)\,\mu^n_t(dx)&= \int_{\mathbb{R}^d}[L_{\varphi_n\mu^n}V(x,t)]\varphi_n(x)\,\mu^n_t(dx) \\ &\leqslant C_1+C_2\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\varphi_n(x)\,\mu^n_t(dx) \\ &\leqslant C_1+C_2\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\,\mu^n_t(dx). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из условий на коэффициенты следует, что в данном случае равенство (3.7) остается в силе для функций $\varphi\in C^2(\mathbb{R}^d)$ с компактным носителем, но так как функция $\varphi_n$ равна нулю вне шара, то при $\mu=\mu^n$ это равенство верно и для $\varphi=V$. Следовательно, верна оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\,\mu_t^n(dx)\leqslant \int_{\mathbb{R}^d}V(x)\,\nu^n(dx)+ \int_0^t\biggl[C_1+C_2\int_{\mathbb{R}^d}V(x) \varphi_n(x)\,\mu^n_s(dx)\biggr]\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство Гронуолла, получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\,\mu_t^n(dx)\leqslant \frac{C_1}{C_2}\,e^{C_2t}+C_{\nu}e^{C_2t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\alpha(t)=C_1C_2^{-1}e^{C_2t}+C_{\nu}e^{C_2t}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mu^n\in\mathcal{M}_{T,\alpha}(V)\quad\text{и}\quad \varphi_n\mu^n\in\mathcal{SM}_{T,\alpha}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\varphi_n(x)a^{ij}(x,t,\varphi_n\mu^n)$ и $\varphi_n(x)b^{i}(x,t,\varphi_n\mu^n)$ ограничены на всяком шаре $B\subset\mathbb{R}^d$ равномерно по $t\in[0,T]$ и $n$, то для всякой функции $\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_{\mathbb{R}^d}\psi(x)\,\mu_t^n(dx)- \int_{\mathbb{R}^d}\psi(x)\, \mu_s^n(dx)\biggr|\leqslant C(\psi)|t-s|
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой константой $C(\psi)$, которая не зависит от $t$, $s$ и $n$. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 6.1, находим такую подпоследовательность $\{n_k\}$, что последовательность $\{\mu_t^{n_k}\}$ слабо сходится к некоторой вероятностной мере $\mu_t$, причем $\|V\|_{L^1(\mu_t)}\leqslant\alpha(t)$ и отображение $t\mapsto\mu_t$ непрерывно. Итак, получили меру $\mu=\mu_t\,dt\in\mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$. Ясно, что меры $\mu^{n_k}$ сходятся $V$-слабо к $\mu$, причем аналогичное утверждение верно для последовательности $\{\varphi_{n_k}\mu^{n_k}\}$. Для всякой функции $\psi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ верно равенство В силу условий теоремы последовательности $a^{ij}(x,t,\varphi_n\mu^n)$ и $b^{i}(x,t,\varphi_n\mu^n)$ равномерно сходятся на каждом шаре к непрерывным по $x$ функциям $a^{ij}(x,t,\mu)$ и $b^{i}(x,t,\mu)$. Это позволяет перейти к пределу при $n\to\infty$ и получить равенство Таким образом, мера $\mu=\mu_t\,dt$ является решением задачи Коши на $\mathbb{R}^d\times[0,T]$. Теорема доказана. Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему 6.6. Пример 6.7. Пусть $d=1$ и Рассматриваются также функции Ляпунова, зависящие от меры $\mu$. В этом случае важную роль играют дифференциальное исчисление на пространстве вероятностных мер и обобщения формулы Ито на случай функций, зависящих от распределения случайного процесса (см. [41; гл. 5] и [68]). Применение дифференциального исчисления на пространстве вероятностных мер для обоснования существования и единственности решений нелинейных мартингальных задач и соответствующих нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова обсуждается в работе [50]. Основная новизна этой работы состоит в условиях на зависимость коэффициента диффузии от решения, так как вместо классических условий липшицевости предполагается существование и регулярность линейной производной по мере. В случае, когда матрица $A$ невырождена и достаточно регулярна, решение обладает непрерывной плотностью относительно меры Лебега и естественнее рассматривать нелинейные уравнения в пространстве плотностей, а не мер. Приведем пример такого утверждения. Через $\mathcal{L}_{\tau}(V)$ и $\mathcal{L}_{\tau,\alpha}(V)$ обозначим подмножества в $\mathcal{M}_{\tau}(V)$ и $\mathcal{M}_{\tau,\alpha}(V)$ соответственно, состоящие из таких мер $\mu=\mu_t\,dt$, что $\mu_t(dx)=\varrho(x,t)\,dx$ для каждого $t\in(0,\tau]$. Обратим внимание, что не предполагается абсолютная непрерывность меры $\mu_0$. Пусть $B$ – открытый шар в $\mathbb{R}^d$. Обозначим через $B_r(z)$ пересечение $B\cap B(z,r)$, где $B(z,r)$ – открытый шар радиуса $r$ с центром в точке $z$. Положим Будем говорить, что измеримая функция $f$ на $B\times(0, T)$ удовлетворяет условию Дини по $x$ в среднем с модулем непрерывности $w_B$, если существует такая непрерывная возрастающая функция $w_B$ на $[0,+\infty)$, что $w_B(0)=0$ и верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\sup_{Q_r(z,s)\subset \overline{B}\times[0,T]}\frac{1}{|Q_r(z,s)|} \int_{Q_r(z,s)}|f(y,t)-f_{r}(z,t)|\,dy\,dt\leqslant w_B(r),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_{r}(z, t)=\frac{1}{|B_r(z)|}\int_{B_r(z)}f(y, t)\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
причем Будем теперь предполагать, что коэффициенты оператора $L_{\mu}$ определены только на $\mathcal{L}_T(V)$. Решением задачи Коши $\partial_t\mu=L^{*}_{\mu}\mu$, $\mu_0=\nu$, называют меру $\mu\in\mathcal{L}_T(V)$, которая является решением задачи Коши для линейного уравнения с оператором $L_{\mu}$ и начальным условием $\nu$. Теорема 6.8. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякого шара $B$ и всякой функции $\alpha\in C^{+}[0,T]$ найдутся такие число $\lambda_{B,\alpha}>0$ и функция $w_{B,\alpha}$, что для всех $\mu\in\mathcal{L}_{T,\alpha}(V)$ и всех $t\in [0,T]$ функции $a^{ij}(\,\cdot\,,t,\mu)$ непрерывны на $B$, удовлетворяют на $B\times(0,T)$ условию Дини в среднем с модулем непрерывности $w_{B,\alpha}$ и для всех $x\in B$ и $t\in[0,T]$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\lambda_{B,\alpha}}\cdot{\rm I}\leqslant A(x,t,\mu)\leqslant \lambda_{B,\alpha}\cdot {\rm I};
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) для всякого шара $B\subset\mathbb{R}^d$ и всякой функции $\alpha\in C^{+}[0, T]$ функции $b^i(\,\cdot\,,t,\mu)$ ограничены на $B$ равномерно по $\mu\in \mathcal{L}_{T,\alpha}(V)$ и $t\in[0,T]$ и для почти всех $t\in[0,T]$ непрерывны на $B$ равностепенно по $\mu\in \mathcal{L}_{T,\alpha}(V)$; (iii) если меры $\mu^n=\varrho^n(x,t)\,dx\,dt$, $\mu=\varrho(x,t)\,dx\,dt$ принадлежат $\mathcal{L}_{T,\alpha}(V)$ и для почти каждого $t\in (0,T]$ последовательность $\varrho^n(\,\cdot\,,t)$ сходится к $\varrho(\,\cdot\,,t)$ в $L^1(\mathbb{R}^d)$, то для почти всякого $t\in[0,T]$ при всех $x\in\mathbb{R}^d$ имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}a^{ij}(x,t,\mu^n)=a^{ij}(x,t,\mu), \qquad \lim_{n\to\infty}b^{i}(x,t,\mu^n)=b^{i}(x,t,\mu);
\end{equation*}
\notag
$$
(iv) существуют такие положительные числа $C_1$ и $C_2$, что Тогда для всякой вероятностной меры $\nu$, удовлетворяющей условию $V\!\in L^1(\nu)$, существует решение $\mu\in\mathcal{L}_T(V)$ задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$. Доказательство. Пусть $\omega\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ и
$$
\begin{equation*}
\omega\geqslant 0, \qquad \omega(x)=0 \quad \text{при } \ |x|>1, \qquad \|\omega\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\omega_n(x)=n^d\omega(nx)$. Пусть Заметим, что для $\mu\in\mathcal{M}_{T, \alpha}(V)$ меры $(\omega_n*\mu)(x, t)\,dx$ являются вероятностными, причем т. е. $(\omega_n*\mu)(x,t)\,dx\,dt\in\mathcal{L}_{T,\widetilde{\alpha}}$. Более того, если меры $\mu^k\in\mathcal{M}_{T,\alpha}(V)$ сходятся $V$-слабо к $\mu\in\mathcal{M}_{T, \alpha}(V)$, то для каждого $t\in[0,T]$ вероятностные плотности $x\mapsto (\omega_n*\mu^k)(x,t)$ сходятся поточечно к вероятностной плотности $x\mapsto (\omega_n*\mu)(x,t)$, что влечет их сходимость в $L^1(\mathbb{R}^d)$.
Положим $L_{\mu, n}=L_{(\omega_n*\mu)\,dx\,dt}$. Согласно сделанным выше замечаниям, для коэффициентов оператора $L_{(\omega_n*\mu)\,dx\,dt}$ выполнены все условия теоремы 6.1 с $\Lambda_1=\Lambda_2=C_2$. Следовательно, на $\mathbb{R}^d\times[0,T]$ существует решение $\mu^n\in\mathcal{M}_T(V)$ задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu, n}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$. Заметим, что для $\mu^n$ верна оценка
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\,\mu^n_t(dx)\leqslant C_2e^{C_2t}+ e^{C_2t}\int_{\mathbb{R}^d}V(x)\,\nu(dx)=\alpha(t),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mu^n\in\mathcal{M}_{T, \alpha}(V)$ для всех $n$. Значит, $\omega_n*\mu^n\in\mathcal{M}_{T,\widetilde{\alpha}}(V)$, где $\widetilde{\alpha}=C_1+C_1\alpha$. Более того, решение $\mu^n$ имеет непрерывную плотность $\varrho^n$ относительно меры Лебега, причем согласно [56; теорема 1.4] для всяких шара $B$ и отрезка $J\subset(0,T)$ существуют такие не зависящие от $n$ число $C(B,J,\widetilde{\alpha})$ и непрерывная возрастающая функция $\omega_{B,J,\widetilde{\alpha}}$, что для всех $x,y\in B$ и $t,s\in J$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\varrho^n(x,t)\leqslant C(B,J,\widetilde{\alpha}), \quad |\varrho^n(x,t)-\varrho^n(y,s)|\leqslant \omega_{B,J,\widetilde{\alpha}}(|x-y|+|t-s|).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к подпоследовательности, можно считать, что $\{\varrho^n\}$ сходится к некоторой непрерывной на $\mathbb{R}^d\times(0,T)$ функции $\varrho$ равномерно на всяком цилиндре $B\times J$. Так как при $t>0$ функции $\varrho^n(\,\cdot\,,t)$ являются вероятностными плотностями и интегралы по $\mathbb{R}^d$ от $V(x)\varrho^n(x,t)$ равномерно ограничены, то функция $\varrho(\,\cdot\,,t)$ является вероятностной плотностью и последовательность $\varrho^n(\,\cdot\,,t)$ сходится к ней в $L^1(\mathbb{R}^d)$. Кроме того, при каждом $t>0$ последовательность $(\omega_n*\mu^n)(\,\cdot\,, t)$ сходится к $\varrho(\,\cdot\,, t)$ в $L^1(\mathbb{R}^d)$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|(\omega_n*\mu^n)(\,\cdot\,,t)-\varrho(\,\cdot\,,t)\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} &\leqslant\|\varrho^n(\,\cdot\,,t)- \varrho(\,\cdot\,,t)\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\qquad+\|(\omega_n*\varrho)(\,\cdot\,,t)- \varrho(\,\cdot\,,t)\|_{L^1(\mathbb{R}^d)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделанные наблюдения позволяют для всякой функции $\varphi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ перейти к пределу при $n\to\infty$ в равенстве и получить равенство Таким образом, мера $\mu=\varrho(x,t)\,dx\,dt$ является искомым решением. Теорема доказана. Отметим, что в доказательстве теоремы 6.8 мы фактически приблизили нелинейное уравнение на плотность $\varrho$ нелинейным уравнением на меру $\mu$, используя подстановку в коэффициенты уравнения вместо $\varrho$ выражения $\omega_n*\mu$. Такой подход плодотворно применялся для приближения нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова с локальной нелинейностью уравнениями с нелинейностью нелокального вида (см. [52]). В теореме 6.8 нельзя ожидать единственности решения. Пример 6.9. Пусть $d=1$ и $\nu=\delta_0$. Положим Другие примеры неединственности можно найти в [90]. Один из способов получения достаточных условий единственности состоит в применении подходящей оценки расстояний между решениями линейных уравнений. Приведем утверждение из [108]. Теорема 6.10. Пусть $V(x)=1+|x|^{2m}$, $m\geqslant 1$. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякой меры $\mu\in\mathcal{L}_T(V)$ найдутся такие числа $\lambda(\mu)>0$ и $\theta(\mu)>0$, что при всех $x, y\in\mathbb{R}^d$ и всех $t\in[0, T]$ верны неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\theta(\mu)}\cdot {\rm I}\leqslant A(x,t,\mu)\leqslant \theta(\mu)\cdot {\rm I}, \qquad |A(x,t,\mu)-A(y,t,\mu)|\leqslant\lambda(\mu)|x-y|;
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) для всякой меры $\mu\in\mathcal{L}_T(V)$ найдется такое число $\gamma(\mu)>0$, что при всех $x\in\mathbb{R}^d$ и всех $t\in[0, T]$ верны неравенства
$$
\begin{equation*}
\langle b(x,t,\mu),x\rangle\leqslant\gamma(\mu)+\gamma(\mu)|x|^2, \qquad |b(x, t, \mu)|\leqslant \gamma(\mu)+\gamma(\mu)|x|^m;
\end{equation*}
\notag
$$
(iii) найдутся такие числа $C_1>0$ и $C_2>0$, что при $\mu, \sigma\in\mathcal{L}_T(V)$ неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |a^{ij}(x,t,\mu)-a^{ij}(x,t,\sigma)|+|\nabla_xa^{ij}(x,t,\mu)- \nabla_xa^{ij}(x,t,\sigma)|\leqslant C_1\|\mu_t-\sigma_t\|, \\ |b^i(x,t,\mu)-b^i(x,t,\sigma)|\leqslant C_2(1+|x|^m)\|\mu_t-\sigma_t\| \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнены для почти всех $(x,t)\in\mathbb{R}^d\times[0,T]$. Тогда для всякой вероятностной меры $\nu=\varrho_0\,dx$, удовлетворяющей условиям $\varrho_0\log\varrho_0\in L^1(\mathbb{R}^d)$ и $V\varrho_0\in L^1(\mathbb{R}^d)$, в $\mathcal{L}_T(V)$ имеется не более одного решения $\mu$ задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$. Ключевую роль в обосновании играет оценка из теоремы 4.7. Разнообразные достаточные условия единственности представлены в работе [90]. Важной задачей является исследование поведения решений $\mu=\mu_t\,dt$ параболического уравнения при $t\to\infty$ и, в частности, получение достаточных условий сходимости к стационарному решению. Этому вопросу посвящено значительное число работ, среди которых выделим [36], [44], [45], [67], [82], [86], [107]. Например, в работе [36] рассмотрены решения $\mu_t\in \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^n)$ нелинейного уравнения
$$
\begin{equation*}
\partial_t \mu_t=\Delta \mu_t+\nabla \cdot (\mu_t(\nabla V+\nabla W*\mu_t)),
\end{equation*}
\notag
$$
являющиеся градиентными потоками для функционала энергии
$$
\begin{equation*}
F(\mu)=\int_{\mathbb{R}^n} \mu\log \mu\, dx+ \int_{\mathbb{R}^n} V\, d\mu+ \frac{1}{2} \int\!\!\!\int_{\mathbb{R}^{2n}} W(x-y)\, \mu(dx)\, \mu(dy),
\end{equation*}
\notag
$$
и получены условия их сходимости к стационарному решению $\mu_\infty$, а также оценки
$$
\begin{equation*}
W_2(\mu_t,\mu_\infty)\leqslant e^{-ct}W_2(\mu_0,\mu_\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Сходимость к стационарному решению не по метрике Канторовича, а по полной вариации исследовалась в работах [38], [28], [29], [12]. Приведем результат из работы [28]. Пусть $A(x)=(a^{ij}(x))_{i,j\leqslant d}$ – симметричная положительно определенная матрица, причем существуют такие числа $\theta>0$ и $\lambda>0$, что
$$
\begin{equation*}
\theta^{-1}\cdot {\rm I}\leqslant A(x)\leqslant \theta\cdot {\rm I},\qquad \|A(x)-A(y)\|\leqslant \lambda|x-y|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $V\geqslant 1$. Напомним, что $\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ – множество вероятностных мер $\mu$ на $\mathbb{R}^d$, для которых $V\in L^1(\mu)$, а $\mathcal{P}_{\alpha, V}(\mathbb{R}^d)$ – подмножество $\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$, состоящее из мер $\mu$, для которых $\|V\|_{L^1(\mu)}\leqslant\alpha$. Предположим, что для всякого $\varepsilon\in[0, 1]$ и всякой меры $\mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ на $\mathbb{R}^d$ определено борелевское векторное поле $b_{\varepsilon}(\,\cdot\,,\mu)$. Положим
$$
\begin{equation*}
L_{\mu,\varepsilon}\varphi(x)= \operatorname{trace}\bigl(A(x)D^2\varphi(x)\bigr)+ \langle b_{\varepsilon}(x,\mu),\nabla\varphi(x)\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\gamma\in(0,1/2]$ и $W(x)=V(x)^{\gamma}$. Теорема 6.11. Предположим, что выполнены следующие условия: (i) для всякого $\alpha>0$ существуют такие числа $N_1(\alpha)>0$ и $N_2(\alpha)>0$, что для всякого $\varepsilon\in[0, 1]$, всех $\mu\in\mathcal{P}_{\alpha,V}(\mathbb{R}^d)$ и всех $x\in\mathbb{R}^d$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |b_{\varepsilon}(x,\mu)|&\leqslant N_1(\alpha)V(x)^{1/2-\gamma}, \\ |b_{\varepsilon}(x,\mu)-b_{\varepsilon}(x, \sigma)|&\leqslant \varepsilon N_2(\alpha)V(x)^{1/2-\gamma}\|W(\mu-\sigma)\|; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) имеются такие числа $C_1>0$ и $C_2>0$, что
$$
\begin{equation*}
L_{\mu, \varepsilon}V(x)\leqslant C_1-C_2V(x) \quad \forall\, \varepsilon\in[0, 1], \ x\in\mathbb{R}^d, \ \mu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда найдется такое число $\varepsilon_0\in (0, 1]$, что для всякого $\varepsilon\in[0, \varepsilon_0]$ существует решение $\mu^{\varepsilon}\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ стационарного уравнения $L^{*}_{\mu,\varepsilon}\mu=0$ и для всякой вероятностной меры $\nu\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$ на $\mathbb{R}^d\times[0,+\infty)$ есть единственное решение $\mu_t^{\varepsilon}\,dt$, $\mu_t^{\varepsilon}\in\mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d)$, задачи Коши $\partial_t\mu_t=L_{\mu_t,\varepsilon}^{*}\mu_t$, $\mu_0=\nu$, причем верна оценка где $q_1$ и $q_2$ – положительные числа и $q_2$ не зависит от $\nu$. Пример 6.12. Пусть $A={\rm I}$ и Близкий результат о сходимости к стационарному решению в случае, когда матрица диффузии зависит от решения, получен в [29]. Существование глобального решения параболического уравнения и его сходимость к стационарному решению в случае, когда уравнение содержит нелинейные члены локального и нелокального вида, исследовались в [33]. В [70]–[72], [74], [116] нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова рассмотрены на бесконечномерных пространствах. Пусть $E=C([-1,0],\mathbb{R}^d)$ – пространство непрерывных отображений со стандартной $\sup$-нормой, и пусть функции $b^i$ и $a^{ij}$ на $E\times \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ измеримы по Борелю. При фиксированной мере $\mu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ они задают оператор $L_{\mu}$ на $C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ со значениями в пространстве борелевских функций на $E$ по формуле
$$
\begin{equation*}
L_{\mu}f(v)=\sum_{i,j\leqslant d}a^{ij}(v,\mu)\partial_{x_i}\partial_{x_j}f(v(0))+ \sum_{i\leqslant d} b^{i}(v,\mu)\partial_{x_i} f(v(0)).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда борелевское отображение $t\mapsto \mu_t\in \mathcal{P}(E)$ со значениями в пространстве вероятностных мер на $E$ называется решением нелинейной задачи Коши $\partial_{t}\mu(t)=L_{\mu_t}^*\mu_t$ с начальным условием $\mu_0$, где $\mu(t)$ есть образ меры $\mu_t$ при проекции $v\mapsto v(0)$ из $E$ в $\mathbb{R}^d$, если для всех $f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ функция $L_{\mu_t}f$ интегрируема по мере $\mu_t\, dt$ на множествах $E\times [0,T]$ и верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^d} f(x)\, \mu(t)(dx)-\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\, \mu(0)(dx)= \int_0^t\int_E L_{\mu_s}f(x,s)\, \mu_s(dx)\, ds.
\end{equation*}
\notag
$$
В упомянутых выше работах можно найти условия разрешимости таких уравнений и свойства решений. В работе [113] изучена дифференцируемость нелинейного функционала на пространстве мер по решению параболического уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова. О выборе решений со свойством потока в случае неоднозначной разрешимости нелинейного уравнения см. [103]. Мы не обсуждаем уравнений на областях – в этой связи см., например, работу [102], где рассмотрены уравнения с нелинейностью в правой части типа где $b$ – векторное поле, не зависящее от времени и решения, $h$ – функция от решения $u(\,\cdot\,,\cdot)$.В работе [101] рассмотрена стохастическая аппроксимация нелинейного уравнения
$$
\begin{equation*}
\partial_t u(t,x)=\Delta u(t,x)-\nabla \cdot (u(t,x) K * u(t,x))
\end{equation*}
\notag
$$
с сингулярными сверточными ядрами $K$. Стохастическая аппроксимация системы Навье–Стокса–Власова–Фоккера–Планка изучена в [61]. В работах [105] и [104] обсуждается линеаризация нелинейных параболических уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова. Авторы выражают благодарность рецензенту за полезные замечания. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogSha24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|